Пусть Х – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1,  -   - модуль гладких векторных полей на Х. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . 

Пусть D - гладкое распределение почти контактной метрической структуры на Х, определяемое формой η,  - его оснащение. Карту  (α, β, γ = 1,…, n; a, b, c, e = 1,…, n-1) многообразия X будем называть адаптированной к распределению D, если  [1]. Пусть P: TX>D - проектор, определяемый разложением . Векторные поля  линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: . Имеет место равенство , где . Адаптированным будем называть также базис , как базис, определяемый адаптированной картой. Заметим, что имеет место равенство . Преобразование компонент допустимого тензорного поля [1] в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:

, где .

Пусть  - внутренняя линейная связность на многообразии с почти контактной метрической структурой [1]. Коэффициенты внутренней линейной связности определятся из соотношения .
Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным .
Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем .
Действие внутренней линейной связности естественным образом продолжается на произвольные допустимые тензорные поля. 
Говорят, что над распределением D задана связность, если распределение , где  разбивается в прямую сумму вида , где  – вертикальное распределение на тотальном пространстве D. 
Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта  такого, что , где . В случае, когда , связность над распределением определяется внутренней линейной связностью. 
Векторные поля  определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы  – соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,
,
.

Определим на распределении D как на гладком многообразии почти контактную метрическую структуру , полагая , , , , .
Векторные поля  определяются здесь продолженной связностью [1, 2, 3]. Полученную структуру будем называть продолженной почти контактной метрической структурой.
Определим форму , полагая в адаптированных координатах .
Если форма  замкнута, то она определяет на распределении D допустимую симплектическую структуру. 
Векторное поле , где  - адаптированное поле базисов, является инфинитезимальным автоморфизмом [4,5] допустимой симплектической структуры, если выполняется равенство  . 
Имеет место 
Теорема. Для того, чтобы полный лифт  векторного поля , заданного на многообразии X, был инфинитезимальным эндоморфизмом структуры , необходимо и достаточно, чтобы поле  было инфинитезимальной изометрией.

1. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. Вып. 1. С. 16-22.
2. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/04/52011 (дата обращения: 25.06.2015).
3. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/53580 (дата обращения: 25.06.2015).
4. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/04/52009 (дата обращения: 24.06.2015).
5. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/53589 (дата обращения: 25.06.2015).

Все статьи автора «Букушева Алия Владимировна»