Э. Картан (см. [1-3]) первым рассмотрел линейную метрическую связность с кручением вместо связности Леви-Чивиты. Наибольшим интересом среди метрических связностей с кручением пользуется полусимметрическая связность, систематическое исследование которой проведено К. Яно в работе [4]. Четверть-симметрическая связность определена в 1975 г. С. Голабом [5]. Большое количество работ посвящено как метрическим, так и не метрическим связностям с кручением, заданным на многообразиях с почти контактной метрической структурой. Мы остановимся здесь лишь на работе Бежанку [6]. Бежанку определяет связность  на многообразии Сасаки с помощью формулы . В адаптированных координатах [7-9] отличными от нуля компонентами  связности  являются ). Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической в более общем случае почти контактной метрической структурой, чем структура Сасаки. Действительно, так как , то метричность связности Бежанку эквивалентна почти K-контактности [10] почти контактной метрической структуры. Определим на многообразии с почти контактной метрической структурой связность  с помощью равенства , где N – произвольный эндоморфизм. Назовем введенную связность N-связностью. Отличными от нуля компонентами N-связности, самое большее, будут ), =. Кручение N-связности определяется равенством. 
Имеют место следующие теоремы:
Теорема 1. Тензор кривизны N-связности определяется следующими равенствами.


где 

Теорема 2. Существует метрическая N-связность, однозначно определяемая следующими условиями:
1.  (свойство метричности),
2.  -  - p[, ]= (отсутствие кручения),
3. N – симметрический оператор такой, что

, (1)

где  - сечения распределения D, : - проектор.
Доказательство. Первые два условия теоремы однозначно определяют внутреннюю метрическую связность [7]. Альтернируя вторую ковариантную производную, получаем: .
Сравнивая полученный результат с (1), находим явное выражение для эндоморфизма N:
, что и доказывает теорему.
Теорема 3. [10] Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: =; =- ; ==-; =0; =0, где ).
Используя результаты теорем 2,3, получаем равенства, фиксирующие отношения между связностью Леви-Чивиты и N- связностью:

,
=.

1. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative. I // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1923. Vol. 40. P. 325-412.
2. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. I // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1924. Vol. 41. P. 1-25.
3. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. II // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1925. Vol. 42. P. 17-88.
4. Yano K. On semi-symmetric metric connections, Revue Roumaine de Math. Pures et Appliques. 1970. Vol. 15. 1579-1586.
5. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections, Tensor N.S., 1975. Vol. 29. P. 249-254.
6. Bejancu A. Kähler contact distributions // Journal of Geometry and Physics. 2010. Vol. 60. P. 1958-1967.
7. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. Вып. 1. С. 16-22.
8. Букушева А.В. О геометрии слоений на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Пензенского государственного педагогического университета имени В.Г. Белинского. (Серия физико-математические и технические науки). 2012. №30. С. 33-38.
9. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. Вып.3. С. 247-251.
10. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Изв. Вузов, Математика.  2014.  №8. С. 42-52.

Все статьи автора «Галаев Сергей Васильевич»