УДК 378

ЗАДАЧА ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ: НАТУРНЫЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Быкова Юлия Сергеевна1, Снежкина Ольга Викторовна2
1Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, Студент
2Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, Кандидат технических наук, доцент кафедры “Математика и математическое моделирование”

Аннотация
Известно, что системы неживой природы постоянно стремятся обрести наиболее устойчивое состояние, при этом каждое тело принимает такую форму, при которой затраты энергии будут минимальными. В статье на основе математического и натурного эксперимента рассмотрен один из принципов природы – принцип наименьшего действия на примере природного объекта - пчелиные соты. Определена оптимальная форма, при которой достигаются наименьшие размеры площади поверхности соты.

Ключевые слова: площадь поверхности, пчелиные соты, экономия воска, экстремальное значение


THE PROBLEM OF EXTREME VALUES: FULL-SCALE EXPERIMENTS AND MATHEMATICAL

Bykova Yulia Sergeevna1, Snezhkina Olga Viktorovna2
1Penza state University of architecture and construction, Student
2Penza state University of architecture and construction, Candidate of technical Sciences, associate Professor “Mathematics and mathematical modeling”

Abstract
It is known that the systems of inanimate nature are constantly striving to find the most stable state, each body takes a form in which energy costs will be minimal. In article on the basis of mathematical and natural experiment considered one of the principles of nature – the principle of least action on the example of a natural object - honeycomb. The optimal form, which achieved the smallest size of the surface cell.

Keywords: extreme value, honeycomb, saving wax, surface area


Рубрика: 06.00.00 СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Быкова Ю.С., Снежкина О.В. Задача об экстремальных значениях: натурный и математический эксперименты // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/08/57326 (дата обращения: 20.11.2016).

Известно, что основной принцип неживой природы – это принцип наименьшего действия. Системы неживой природы постоянно стремятся обрести наиболее устойчивое состояние. При этом каждое тело принимает такую форму, при которой затраты энергии будут минимальными. Это можно увидеть в рассматриваемой задаче на примере такого природного объекта как пчелиные соты.
Пчелиные соты состоят из ячеек в виде десятигранников. Представить себе такую ячейку можно следующим образом. Возьмём правильную шестиугольную призму (рис. 1). Через каждую из трёх диагоналей верхнего основания и точку S, взятую на оси этой призмы, проведём плоскость. Эти плоскости и будут ограничивать сверху ячейку. Таким образом, ячейка ограничена снизу правильным шестиугольником, с боков – шестью равными прямоугольными трапециями и сверху – тремя равными ромбами. Объём ячейки равен объёму исходной призмы. 


Рисунок 1 – Геометрическая форма пчелиной соты

Возникает вопрос: каким должен быть плоский угол при вершине S ячейки, чтобы расход воска на изготовление ячейки был наименьшим? Иными словами, каким должно быть положение точки S, чтобы площадь поверхности ячейки была наименьшей?
Для ответа на этот вопрос введём обозначения:  Пользуясь ими, найдём сначала площадь каждой трапеции. Она равна  или  (так как . Площадь же каждого ромба равна  или в принятых обозначениях . Площадь нижнего основания можно не принимать в расчёт, так как от положения точки S она не зависит. Поэтому интересующая нас площадь выразится формулой  или  Эта площадь будет иметь наименьшее значение, если наименьшим будет выражение . Обозначив эту разность через , получим: , или , откуда  Так как расстояние  должно быть действительным числом, то поэтому получаем неравенство , или . Значит, наименьшее значение , при котором и  будет иметь наименьшее значение, должно быть равно . Соответствующее ему значение  легко находится. Получаем, что при  расход воска будет наименьшим.
Зная , нетрудно найти плоский угол при вершине . Это можно сделать так: . Поэтому 
Проведём натурные измерения размеров пчелиной соты и проверим, насколько они соответствуют полученным расчётам. Фотографии пчелиных сот, с которых были взяты численные измерения, представлены на рис.2, рис.3. и рис.4. На рис.2 показана нижняя часть соты (правильный шестиугольник), на рис.3 – верхняя часть, на рис.4 – длина медовой соты. 


Рисунок 2 – Нижняя часть соты (правильный шестиугольник)

Рисунок 3 – Верхняя часть соты
Рисунок 4 – Длина медовой соты

По аналогии с рис. 1 были произведены измерения длин CD, BB1, CK, B1D1, SK, SO1. В результате были получены следующие значения:





В соответствии с полученными формулами 
Если , то  должен быть равен:

 мм.

Сравним данное значение с измеренным:

.

Найдём плоский угол  при вершине  измеряемой медовой соты:

Отсюда .
Сравним данное значение угла с значением, полученным математическими доказательствами:

Таким образом, непосредственные измерения подтверждают данные, полученные математическим расчётом. Пчела оказалась хорошим «математиком», исходя из принципа наименьшей затраты воска. 
Для интереса можно вычислить площадь поверхности наблюдаемой соты. Она будет равна:


.

Ранее установлено, что экономия воска, которая получается при такой форме ячейки (по сравнению с шестиугольной призмой) составляет примерно 2%. Более точно эту экономию можно выразить так: из воска, сэкономленного при устройстве 54 ячеек, пчёлы могут дополнительно построить ещё одну ячейку. Экономия значительная.
Таким образом, природа существует по принципу минимума энергии. С помощью математических расчётов иногда можно получить численные значения различных величин природных тел.


Библиографический список
  1. Быкова Ю.С., Гафарова Д.З., Снежкина О.В. Прикладная математика в задачах геодезии // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 12 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/12/42283
  2. Нагибин Ф.Ф. Экстремумы. Учебное пособие. – Издательство «Просвещение» Москва, 1966 – 119.
  3. Быкова Ю.С., Снежкина О.В. К вопросу о междисциплинарных связях математики и геодезии // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/08/56834
  4. Баранова, Т.И. Гармонизация методов расчета железобетонных балок с различным пролетом среза / Т.И. Баранова, О.В. Снежкина // Вестник Отделения строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук. – 1998.- № 2.- С. 41.


Все статьи автора «Снежкина Ольга Викторовна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация