НАХОЖДЕНИЕ КВАДРАТУРЫ КРУГА В КЛАССИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

 Скачать статью в формате PDF

В данной работе поставлена и решена задача: найти квадратуру круга в рамках классической геометрии.
В классической геометрии все построения выполняются простой линейкой, не имеющей шкалы, и циркулем. Расстояния измеряются раствором циркуля; углы непосредственно не измеряются (транспортир не применяется).
Доказательство базируется на аксиоматике планиметрии, которая приведена в книге автора [1] и не приводится заново в этой статье.

Дано: круг произвольного диаметра.
Задача: с помощью простой линейки и циркуля построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга.Разбиение круга на четыре квадранта.Если центр окружности, включающей в своей внутренней области данный круг, не задан, то для его нахождения выбираем на окружности некоторую точку А, а также еще две точки F и J. Проводим серединные перпендикуляры к двум отрезкам, точка их пересечения есть центр окружности, обозначим ее через О. Проводим отрезок АL, являющийся диамет­ром окружности. Строим серединный перпендикуляр п к отрезку АL; порядок построения серединного перпендикуляра к отрезку приведен в п. 7.1. этой статьи. Точки пересечения прямой п с окружностью обозначим через В и N; отрезок ВN является диаметром окружности (Рис. 1). Отрезок ОA является радиусом; обозначим его длину через R.

При этом круг разбит на четыре квадранта (Рис. 1).Деление квадранта на три равных сектора.Это можно сделать следующим способом.
В прямоугольном треугольнике к углу в 60°, то есть к углу, составляющему 2/3 прямого, прилегает сторона, в два раза меньшая гипотенузы, что является эмпирическим фактом; обоснование этого положения приведено в п. 7.2. этой статьи.
На отрезке ОА в данном круге выбираем некоторую точку С. Из точки С восставляем перпендикуляр к прямой ОА; обозначаем этот перпендикуляр через с; порядок построения восставленного перпендикуляра к прямой приведен в п. 7.3. этой статьи. Проводим дугу окружности с центром в точке О и радиусом, равным удвоенному расстоянию ОС, до пересечения ее с прямой с; точку пересечения обозначаем через К. Проводим луч ОК до пересечения его с дугой АВ – дугой окружности, заключенной в данном квадранте; обозначаем точку пересечения через Т (Рис. 2). Треугольник ОСК – прямоугольный, его сторона ОС в два раза меньше гипотенузы ОК, следовательно, угол СОК равен 2/3 прямого угла; по аксиоме о независимости величины угла от длины его сторон (Ах. 4.3.2.), угол АОТ равен 2/3 прямого угла.

Проводим биссектрису угла АОТ; точку пересечения этой биссектрисы с дугой АВ обозначаем через Р (Рис. 2); порядок построения биссектрисы угла приведен в п. 7.4. этой статьи.
Таким образом, прямой угол АОВ разбит на три равных угла: АОР, РОТ и ТОВ.
Разбиение углов, составляющих одну треть прямого, на четыре равных угла.Рассмотрим угол АОР. Проводим его биссектрису ОА₂; порядок построения биссектрисы приведен в п. 7.4. этой статьи. Проводим биссектрису ОА₁ угла АОА₂; проводим биссектрису ОА₃ угла А₂ОР (Рис. 3).

Угол АОР разбит на четыре равных угла: АОА₁, А₁ОА₂, А₂ОА₃ и А₃ОР.

Углы РОТ и ТОВ разбиваются на четыре равных угла таким же способом.

В итоге квадрант АОВ разбит на 12 равных секторов (Рис. 4а).

Нахождение в рассматриваемом квадранте длины дуги, равной радиусу окружности.В квадранте АОВ от точки А нужно вымерить длину дуги, приблизительно равную радиусу данной в задаче окружности. Раствором циркуля последовательно измеряются длины l₀ хорд, соединяющих точки пересечения дуги АВ с лучами, делящими квадрант АОВ на 12 равных секторов (Рис. 4а); длины l₀ хорд приблизительно равны длинам l дуг (длины l несколько больше длин l₀). Измеренные расстояния последовательно откладываются на отдельно проведенном луче от его начала (Рис. 4б, 5). Суммарная длина семи с дробью хорд, стягивающих дуги малых секторов, примерно равна радиусу окружности: .

Расчет площади круга.Площадь круга равна: , где  – площадь квадранта АОВ; площадь квадранта АОВ равна умноженному на 12 усредненному значению площади малого сектора, который будем обозначать через АОА₁. Площадь малого сектора равна [2]: , где  – средняя длина дуги, ограничивающей малый сектор, которая приблизительно равна: . Тогда площадь круга равна:
.Построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга.Сторона квадрата, площадь которого равна площади данного круга, равна: . Порядок умножения длины на корень квадратный приведен в статье автора, публикуемой в этом же номере журнала: Плисова Н.Н. Умножение и деление длины отрезка на корни квадратные в классической геометрии. В указанной статье изложен порядок построения прямоугольных треугольников, нужных для нахождения искомых длин отрезков, поэтому в этой статье он не приводится.
Сначала строим прямоугольный треугольник с равными катетами длиной R (Рис. 6а). По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), которая доказывается в рамках классической геометрии [1], гипотенуза этого треугольника равна .
Строим прямоугольный треугольник, один катет которого равен R, а другой катет равен  (Рис. 6б); для этого замеряется раствором циркуля длина гипотенузы построенного перед этим треугольника с равными катетами (Рис. 6а) и откладывается на прямой, на которой лежит соответствующая сторона треугольника. По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), гипотенуза построенного прямоугольного треугольника равна .
Нужно получить геометрически длину, равную . Для этого строим прямоугольный треугольник, один катет которого равен , а другой катет равен  (Рис. 6г); для этого замеряется раствором циркуля длина  гипотенузы построенного перед этим треугольника (Рис. 6б) и откладывается на прямой, на которой лежит соответствующая сторона треугольника. Длина  получается путем разбиения отрезка А₁А₆ длиной R на 5 равных частей и замера расстояния А₁А₃ в 2 части:  (Рис. 6в); порядок разбиения отрезка на пять равных частей приведен в п. 7.5. этой статьи. По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), гипотенуза d этого треугольника равна: .
Строим квадрат со стороной, равной:  (Рис. 6д); длина стороны квадрата замеряется раствором циркуля по гипотенузе d построенного перед этим прямоугольного треугольника с катетами, равными  и  (Рис. 6г).

Квадрат строится следующим образом. Проводим прямую, обозначаем ее через р. На прямой р берем некоторую точку, которую обозначаем через А. Из точки А восставляем перпендикуляр к прямой р, обозначим его через АК; порядок построения восставленного перпендикуляра приведен в п. 7.3. этой статьи. Проводим дугу окружности с центром в точке А и радиусом d, точки пересечения дуги с прямой АК и с прямой р обозначаем через В и D соответственно. Расстояния АВ и АD раны d. Из точки D восставляем перпендикуляр к прямой р, обозначим его через DМ. От точки D на прямой DМ откладываем расстояние d, конец отрезка обозначаем через С. Соединяем отрезком точки В и С, при этом образуется четырехугольник АВСD. Прямые АD и ВС – равноудаленные и, следовательно, по теореме 7.2., параллельные; прямые АВ и DС параллельны по теореме 3.3., следовательно, четырехугольник АВСD является параллелограммом. По второму свойству параллелограмма (по теореме 7.6.2.), стороны АD и ВС равны, углы ВАD и АВС, углы СDА и DСВ равны, следовательно, четырехугольник АВСD является квадратом.

Площадь квадрата АВСD (Рис. 6д) равна площади данного круга: , то есть построенный квадрат представляет собой решение поставленной задачи.Приложения.
Построение серединного перпендикуляра к отрезку.Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку АL, проводим окружность с центром в точке А и радиусом АL, проводим окружность с центром в точке L и радиусом LА=AL, точки пересечения окружностей обозначаем через F и G. Через точки F и G проводим прямую n, которая является серединным перпендикуляром к отрезку АL; точку их пересечения обозначаем через О (Рис. 7).
Действительно, треугольники FAG и FLG равны по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно, углы АFG и LFG равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). Треугольники АFО и LFО равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.), следовательно, отрезки АО и ОL, углы FОА и FOL равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). Углы FОА и FOL – смежные (Def. 4.14.), следовательно, они – прямые (Def. 4.10., 4.17.). Прямая FG является серединным перпендикуляром к отрезку АL (Def. 3.11.).

В прямоугольном треугольнике к стороне, в два раза меньшей гипотенузы, прилежит угол в 2/3 прямого.Теорема: В прямоугольном треугольнике угол, прилежащий катету, в два раза меньшему гипотенузы, равен p/3.
Доказательство: Пускай в прямоугольном треугольнике АВС (Def. 8.3.3.): угол В – прямой; катет ВС равен половине гипоте­нузы АС. Проведем медиану к гипотенузе АС, обозначим ее через ВМ (Рис. 8). По теореме 8.12.2., медиана МВ равна половине гипотенузы, то есть равна отрезку МС, катет ВС равен отрезку МС по условию, значит, треугольник ВСМ – равносторонний (Def. 8.4.3.). По теореме 8.11.1., в равностороннем треугольнике все углы равны. По теореме 5.4., сумма углов в треугольнике равна p, следовательно, угол ВСМ равен p/3. По аксиоме 4.3.2., угол ВСА равен p/3, что и требовалось доказать.

Построение восставленного к прямой перпендикуляра.На отрезке ОА выбираем некоторую точку С. Проводим окружность с центром в точке С и некоторым радиусом r, точки ее пересечения с отрезком ОА обозначаем через К и М. Проводим дугу окружности с центром в точке К и радиусом КМ; проводим дугу окружности с центром в точке М и радиусом МК=КМ; точку пересечения дуг в полуплоскости нахождения точки В обозначаем через Р. Через точки С и Р проводим прямую и обозначаем ее через с (Рис. 9). Прямая с является серединным перпендикуляром к прямой ОА.

Радиусы окружностей равны: КР=МР, следовательно, треугольники РСК и РСМ равны по трем сторонам (Ах. 8.5.3.). Тогда углы РСК и РСМ равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.), при этом эти углы – смежные (Def. 4.14.), следовательно, прямая с, проходящая через точку Р, является серединным перпендикуляром к отрезку KM (Def. 3.11.). Прямые с и ОА перпендикулярны.
Построение биссектрисы угла.Построим биссектрису угла АОТ. Для этого проводим дугу окружности с центром в точке О и некоторым радиусом r, пересекающую стороны этого угла ОА и ОТ в точках, которые обозначаем через L и N. Проводим дугу окружности с центом в точке L и радиусом LО=r, проводим дугу окружности с центом в точке N и радиусом NО=LО, точку пересечения дуг обозначаем через Q. Из точки О проводим луч через точку Q (Рис. 10). Луч ОQ является биссектрисой угла AОТ.

Действительно, треуголь­ник ОLQ равен треугольнику ОNQ по трем сторонам (Ax. 8.5.3.), так как радиусы окружностей равны (Def. 1.16.): NО=LО=r, следовательно, угол LОQ равен углу NОQ по аксиоме о равен­стве фигур (Ax. 6.8.). Угол АОQ равен углу LОQ, а угол ТОQ равен углу NОQ по аксиоме о независимости величины угла от длины его сторон (Ax. 4.3.2.). Углы АОQ и ТОQ равны по аксиоме 6.7. о равенстве фигур, то есть луч ОQ является биссектрисой угла AОТ.

Разбиение отрезка на пять равных частей.Нужно разбить отрезок длиной R на пять равных отрезков [2]. Обозначим отрезок длиной R через А₁А₆. На произвольном расстоянии от отрезка А₁А₆ проводим параллельную ему прямую, обозначаем ее через с; порядок построения прямой приведен в [1, п. 7.2.2.]. На этой прямой берем произвольную точку С₁ (со стороны точки А₁); от нее откладываем циркулем некоторое расстояние и обозначаем полученную точку через С₂; от точки С₂ откладываем то же самое расстояние С₁С₂ и получаем точку С₃; от точки С₃ откладываем то же самое расстояние С₁С₂ и получаем точку С₄; от точки С₄ откладываем то же самое расстояние С₁С₂ и получаем точку С₅; от точки С₅ откладываем то же самое расстояние С₁С₂ и получаем точку С₆. Через точки А₁ и С₁, точки А₆ и С₆ проводим прямые до их пересечения в точке, которую обозначаем через М. Через точки М и С₂, М и С₃ и так далее проводим прямые, точки их пересечения с отрезком А₁А₆ обозначаем через А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ и А₆ (Рис. 11); эти точки разбивают отрезок А₁А₆ на пять равных частей.

По теореме 8.5.4., отрезки А₁А₆ и С₁С₆ являются прообразом и образом при гомотетии относительно точки М; то же справедливо относительно отрезков А₁А₂ и С₁С₂, А₂А₃ и С₂С₃ и так далее. Отрезок С₁С₆ разбит на пять равных частей, следовательно, и отрезок А₁А₆ разбит на пять равных частей, так как коэффициент гомотетии един для всех отрезков.
8. Решение обратной задачи – построение круга, площадь которого равна площади данного квадрата.Дано: квадрат со стороной некоторой длины b_□ (Рис. 14).
Задача: по правилам классической геометрии построить круг, площадь которого равна площади данного квадрата.
Из задачи нахождения квадратуры круга следует, что: , следовательно, для нахождения радиуса искомого круга нужно провести деление длины b на корень квадратный: . Геометрическое деление длины отрезка на корень квадратный отлично от алгебраического, так как все рассматриваемые отрезки не коллинеарны.
Порядок деления длины отрезка на корень квадратный подробно изложен в уже указанной статье автора: Плисова Н.Н. Умножение и деление длины отрезка на корни квадратные в классической геометрии. Здесь он будет приводиться кратко, без доказательств, которые приведены в указанной статье.
Сначала нужно построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна . Для этого берем раствором циркуля некоторое расстояние с. Строим прямоугольный треугольник с равными катетами длиной с (Рис. 12а). По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), его гипотенуза равна .

Строим прямоугольный треугольник с катетами длиной с и  (Рис. 12б); длина  замеряется по гипотенузе построенного перед этим треугольника с равными катетами (Рис. 12а). По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), гипотенуза этого треугольника равна .
Чтобы получить длину , строим прямоугольный треугольник с катетами длиной  и  (Рис. 12г); длина  замеряется по гипотенузе треугольника с катетами длиной с и  (Рис. 12б); длина  определяется путем разбиения отрезка длиной с на 5 равных частей и замера суммарной длины двух частей (Рис. 12в); порядок разбиения описан в п. 7.5. этой статьи. Обозначим построенный треугольник через КМТ (Рис. 12г). По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), его гипотенуза равна .
Строим прямоугольный треугольник, подобный треугольнику КМТ по стороне и двум прилежащим углам, гипотенуза которого равна b. Для этого: проводим прямую р; берем на ней некоторую точку, которую обозначаем через А; откладываем от точки А расстояние b, обозначаем конец отрезка через В (Рис. 13а): .

От прямой р строим угол с вершиной в точке В, равный углу КМТ: проводим дугу окружности с центром в точке М и некоторым радиусом r; точки пересечения этой дуги с отрезками КМ и МТ обозначаем через С и Е соответственно (Рис. 12г). Проводим дугу окружности с центром в точке В и тем же радиусом r; точку пересечения этой дуги с отрезком АВ обозначаем через Р. Замеряем раствором циркуля расстояние СЕ. Проводим дугу окружности с центром в точке Р и радиусом СЕ; точку пересечения этой дуги с предыдущей дугой обозначаем через О. Через точку О проводим луч с началом в точке В (Рис. 13а).
От прямой р строим угол с вершиной в точке А, равный углу МКТ: проводим дугу окружности с центром в точке К и некоторым радиусом R; точки пересечения этой дуги с отрезками КМ и КТ обозначаем через G и F соответственно (Рис. 12г). Проводим дугу окружности с центром в точке А и тем же радиусом R; точку пересечения этой дуги с отрезком АВ обозначаем через J. Замеряем раствором циркуля расстояние GF. Проводим дугу окружности с центром в точке J и радиусом GF; точку пересечения этой дуги с предыдущей дугой обозначаем через Н. Через точку Н проводим луч с началом в точке А (Рис. 13а).
Луч АН пересекается с лучом ВО, точку их пересечения обозначим через С (Рис. 13а). Образуется треугольник АВС, подобный треугольнику КМТ по стороне и двум прилежащим углам (Ах. 8.7.2.) и, следовательно, прямоугольный; его катеты считаем соответственно пропорциональными R. Из определения подобных треугольников (Def. 8.6.) следует, что: , при этом , , , следовательно, .
Нужно геометрически определить длину R. Проводим луч от некоторой точки, которую обозначим через В, от точки В откладываем расстояние ВС; делим отрезок ВС пополам, для чего проводим серединный перпендикуляр к нему, середину отрезка ВС обозначаем через Р (Рис. 13б); порядок построения серединного перпендикуляра к отрезку приведен в п. 7.1. этой статьи. Длина отрезка ВР равна 1/5 искомого радиуса. От точки С откладываем последовательно три раза расстояние ВР, конечную точку обозначаем через Н. Длина отрезка ВН равна искомому радиусу круга (Рис. 13б).

На плоскости выбираем некоторую точку, обозначаем ее через О и проводим окружность с центром в точке О и радиусом длиной ВН (Рис. 14). Площадь круга, ограниченного проведенной окружностью, равна площади заданного квадрата, таким образом, задача решена.
Выводы. В рамках классической геометрии найдена квадратура круга, то есть с помощью простой линейки и циркуля построен квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Решена и обратная задача – с помощью простой линейки и циркуля построен круг, площадь которого равна площади данного квадрата.

1. Плисова Н.Н. Основания геометрии. – 4-е изд. – М.: Эдитус, 2022. – 224 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 509 с.

Все статьи автора «Плисова Ника Николаевна»