УДК 514.12

НАХОЖДЕНИЕ КВАДРАТУРЫ КРУГА В КЛАССИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Плисова Ника Николаевна

Аннотация
Найдена квадратура круга в рамках классической геометрии, то есть с помощью простой линейки и циркуля построен квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Решена и обратная задача – с помощью простой линейки и циркуля построен круг, площадь которого равна площади данного квадрата.

Ключевые слова: , ,


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Плисова Н.Н. Нахождение квадратуры круга в классической геометрии и решение обратной задачи // Современные научные исследования и инновации. 2022. № 10 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2022/10/98924 (дата обращения: 24.01.2023).

 Скачать статью в формате PDF

В данной работе поставлена и решена задача: найти квадратуру круга в рамках классической геометрии.
В классической геометрии все построения выполняются простой линейкой, не имеющей шкалы, и циркулем. Расстояния измеряются раствором циркуля; углы непосредственно не измеряются (транспортир не применяется).
Доказательство базируется на аксиоматике планиметрии, которая приведена в книге автора [1] и не приводится заново в этой статье.

Дано: круг произвольного диаметра.
Задача: с помощью простой линейки и циркуля построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

1. Разбиение круга на четыре квадранта.

Если центр окружности, включающей в своей внутренней области данный круг, не задан, то для его нахождения выбираем на окружности некоторую точку А. На противоположной стороне окружности находим точку, наиболее удаленную от точки А; обозначаем ее через L. Проводим отрезок АL, являющийся диаметром окружности. Строим серединный перпендикуляр п к отрезку АL; порядок построения серединного перпендикуляра к отрезку приведен в п. 7.1. этой статьи. Точка пересечения серединного перпендикуляра п с отрезком АL, которую обозначим через О, является искомым центром окружности. Точки пересечения прямой п с окружностью обозначим через В и N; отрезок ВN является диаметром окружности (Рис. 1). Отрезок ОA является радиусом; обозначим его длину через R.


При этом круг разбит на четыре квадранта (Рис. 1).

2. Деление квадранта на три равных сектора.

Это можно сделать следующим способом.
В прямоугольном треугольнике к углу в 60°, то есть к углу, составляющему 2/3 прямого, прилегает сторона, в два раза меньшая гипотенузы, что является эмпирическим фактом; обоснование этого положения приведено в п. 7.2. этой статьи.
На отрезке ОА в данном круге выбираем некоторую точку С. Из точки С восставляем перпендикуляр к прямой ОА; обозначаем этот перпендикуляр через с; порядок построения восставленного перпендикуляра к прямой приведен в п. 7.3. этой статьи. Проводим дугу окружности с центром в точке О и радиусом, равным удвоенному расстоянию ОС, до пересечения ее с прямой с; точку пересечения обозначаем через К. Проводим луч ОК до пересечения его с дугой АВ – дугой окружности, заключенной в данном квадранте; обозначаем точку пересечения через Т (Рис. 2). Треугольник ОСК – прямоугольный, его сторона ОС в два раза меньше гипотенузы ОК, следовательно, угол СОК равен 2/3 прямого угла; по аксиоме о независимости величины угла от длины его сторон (Ах. 4.3.2.), угол АОТ равен 2/3 прямого угла.

Проводим биссектрису угла АОТ; точку пересечения этой биссектрисы с дугой АВ обозначаем через Р (Рис. 2); порядок построения биссектрисы угла приведен в п. 7.4. этой статьи.
Таким образом, прямой угол АОВ разбит на три равных угла: АОРРОТ и ТОВ.

3. Разбиение углов, составляющих одну треть прямого, на четыре равных угла.

Рассмотрим угол АОР. Проводим его биссектрису ОА2; порядок построения биссектрисы приведен в п. 7.4. этой статьи. Проводим биссектрису ОА1 угла АОА2; проводим биссектрису ОА3 угла А2ОР (Рис. 3).

Угол АОР разбит на четыре равных угла: АОА1А1ОА2А2ОА3 и А3ОР.

Углы РОТ и ТОВ разбиваются на четыре равных угла таким же способом.

В итоге квадрант АОВ разбит на 12 равных секторов (Рис. 4а).

4. Нахождение в рассматриваемом квадранте длины дуги, равной радиусу окружности.

В квадранте АОВ от точки А нужно вымерить длину дуги, приблизительно равную радиусу данной в задаче окружности. Раствором циркуля последовательно измеряются длины l0 хорд, соединяющих точки пересечения дуги АВ с лучами, делящими квадрант АОВ на 12 равных секторов (Рис. 4а); длины l0 хорд приблизительно равны длинам l дуг (длины l несколько больше длин l0). Измеренные расстояния последовательно откладываются на отдельно проведенном луче от его начала (Рис. 4б, 5). Суммарная длина семи с дробью хорд, стягивающих дуги малых секторов, примерно равна радиусу окружности:

 .

5. Расчет площади круга.

Площадь круга равна: , где  – площадь квадранта АОВ; площадь квадранта АОВ равна умноженному на 12 усредненному значению площади малого сектора, который будем обозначать через АОА1. Площадь малого сектора равна [2]: , где  – средняя длина дуги, ограничивающей малый сектор, которая приблизительно равна: . Тогда площадь круга равна:
.

6. Построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

Сторона квадрата, площадь которого равна площади данного круга, равна: . Порядок умножения длины на корень квадратный приведен в статье автора, публикуемой в этом же номере журнала: Плисова Н.Н. Умножение и деление длины отрезка на корни квадратные в классической геометрии. В указанной статье изложен порядок построения прямоугольных треугольников, нужных для нахождения искомых длин отрезков, поэтому в этой статье он не приводится.
Сначала строим прямоугольный треугольник с равными катетами длиной R (Рис. 6а). По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), которая доказывается в рамках классической геометрии [1], гипотенуза этого треугольника равна .
Строим прямоугольный треугольник, один катет которого равен R, а другой катет равен  (Рис. 6б); для этого замеряется раствором циркуля длина гипотенузы построенного перед этим треугольника с равными катетами (Рис. 6а) и откладывается на прямой, на которой лежит соответствующая сторона треугольника. По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), гипотенуза построенного прямоугольного треугольника равна .
Нужно получить геометрически длину, равную . Для этого строим прямоугольный треугольник, один катет которого равен , а другой катет равен  (Рис. 6г); для этого замеряется раствором циркуля длина  гипотенузы построенного перед этим треугольника (Рис. 6б) и откладывается на прямой, на которой лежит соответствующая сторона треугольника. Длина  получается путем разбиения отрезка А1А6 длиной R на 5 равных частей и замера расстояния А1А3 в 2 части:  (Рис. 6в); порядок разбиения отрезка на пять равных частей приведен в п. 7.5. этой статьи. По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), гипотенуза d этого треугольника равна: .
Строим квадрат со стороной, равной:  (Рис. 6д); длина стороны квадрата замеряется раствором циркуля по гипотенузе d построенного перед этим прямоугольного треугольника с катетами, равными  и  (Рис. 6г).

Квадрат строится следующим образом. Проводим прямую, обозначаем ее через р. На прямой р берем некоторую точку, которую обозначаем через А. Из точки А восставляем перпендикуляр к прямой р, обозначим его через АК; порядок построения восставленного перпендикуляра приведен в п. 7.3. этой статьи. Проводим дугу окружности с центром в точке А и радиусом d, точки пересечения дуги с прямой АК и с прямой р обозначаем через В и D соответственно. Расстояния АВ и АD раны d. Из точки D восставляем перпендикуляр к прямой р, обозначим его через . От точки D на прямой  откладываем расстояние d, конец отрезка обозначаем через С. Соединяем отрезком точки В и С, при этом образуется четырехугольник АВСD. Прямые АD и ВС – равноудаленные и, следовательно, по теореме 7.2., параллельные; прямые АВ и  параллельны по теореме 3.3., следовательно, четырехугольник АВСD является параллелограммом. По второму свойству параллелограмма (по теореме 7.6.2.), стороны АD и ВС равны, углы ВАD и АВС, углы СDА и DСВ равны, следовательно, четырехугольник АВСD является квадратом.

Площадь квадрата АВСD (Рис. 6д) равна площади данного круга: , то есть построенный квадрат представляет собой решение поставленной задачи.

7. Приложения.
7.1. Построение серединного перпендикуляра к отрезку.

Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку АL, проводим окружность с центром в точке А и радиусом АL, проводим окружность с центром в точке L и радиусом =AL, точки пересечения окружностей обозначаем через F и G. Через точки F и G проводим прямую n, которая является серединным перпендикуляром к отрезку АL; точку их пересечения обозначаем через О (Рис. 7).
Действительно, треугольники FAG и FLG равны по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно, углы АFG и LFG равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). Треугольники АFО и LFО равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.), следовательно, отрезки АО и ОL, углы FОА и FOL равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). Углы FОА и FOL – смежные (Def. 4.14.), следовательно, они – прямые (Def. 4.10., 4.17.). Прямая FG является серединным перпендикуляром к отрезку АL (Def. 3.11.).

7.2. В прямоугольном треугольнике к стороне, в два раза меньшей гипотенузы, прилежит угол в 2/3 прямого.

Рассмотрим прямоугольник АВСЕ, в котором диагональ АС в два раза больше стороны АВ. Существование прямоугольника доказано в рамках классической геометрии в [1, п. 7.0.]. Прямоугольник, в котором диагональ АС составляет , рассмотрен в статье автора, публикуемой в этом же номере журнала: Плисова Н.Н. Умножение и деление длины отрезка на корни квадратные в классической геометрии. В указанной статье в рассматриваемом прямоугольнике сторона ВС равна , так же должно быть и в рассматриваемом прямоугольнике АВСЕ. В указанной статье изложен порядок построения прямоугольника с такими сторонами, поэтому в этой статье он не приводится.
Нужный прямоугольник АВСЕ может быть построен и другим способом. Проводим прямую р, берем на ней некоторую точку В. Из точки В восставляем перпендикуляр к прямой р и обозначаем его через п; порядок построения восставленного перпендикуляра приведен в п. 7.3. этой статьи. На прямой п от точки В откладываем расстояние а, конец отрезка обозначаем через А (Рис. 8а.). Проводим дугу окружности с центром в точке А и радиусом 2а, точку ее пересечения с прямой р обозначаем через С. Соединяем отрезком точки А и С. Из точки С восставляем перпендикуляр к прямой р и обозначаем его через с. На прямой с от точки С откладываем расстояние а, конец отрезка обозначаем через Е. Соединяем отрезком точки А и Е, образуется четырехугольник АВСЕ. Равноудаленные прямые ВС и АЕ параллельны (по теореме 7.2.), следовательно, углы ЕАВ и АЕС – прямые (по теореме 3.3.), углы АВС и ЕСВ – прямые по построению, то есть четырехугольник АВСЕ является прямоугольником, в котором диагональ АС в два раза длиннее стороны АВ (Рис. 8а).

I вариант доказательства: Делим диагональ АС прямоугольника АВСЕ на две равные части точкой О; для этого строится серединный перпендикуляр к отрезку АС; порядок построения серединного перпендикуляра к отрезку приведен в п. 7.1. этой статьи. Проводим отрезки ОВ и ОЕ (Рис. 8а). Треугольники АВС и АЕС равны по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно, углы ВАС и АСЕ равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). Следовательно, треугольники АВО и ОСЕ равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.). Тогда, по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.): ОЕ=ОВ, угол СОЕ равен углу АОВ. По аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.7.), ОЕ=ОА и ОА=ОВ, следовательно, треугольник АВО является равносторонним (Def. 8.4.3.). По эмпирическим свойствам треугольника (Ах. 8.8.), все углы в треугольнике АВО равны и, по теореме 5.4. о сумме углов в треугольнике, каждый из них составляет одну треть развернутого угла, то есть угол ВАС, прилежащий к стороне АВ, равной половине гипотенузы, равен 2/3 прямого угла.


II вариант доказательства: Строим биссектрису угла ВАС; обозначаем ее через АТ; порядок построения биссектрисы угла приведен в этой статье в п. 7.4.
Проводим дугу окружности с центром в точке А и некоторым радиусом r, которая пересекает отрезок АЕ в точке К, отрезок АС – в точке М, отрезок АТ – в точке О и отрезок АВ – в точке Р (Рис. 8б). Раствором циркуля измеряем расстояния: , следовательно, треугольники КАММАО и ОАР равны по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно, углы КАММАО и ОАР равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.) и равны каждый 1/3 прямого угла ВАЕ. Значит, в прямоугольном треугольнике угол ВАС, прилежащий к стороне треугольника, в два раза меньшей гипотенузы, равен 2/3 прямого угла.

7.3. Построение восставленного к прямой перпендикуляра.

На отрезке ОА выбираем некоторую точку С. Проводим окружность с центром в точке С и некоторым радиусом r, точки ее пересечения с отрезком ОА обозначаем через К и М. Проводим дугу окружности с центром в точке К и радиусом КМ; проводим дугу окружности с центром в точке М и радиусом МК=КМ; точку пересечения дуг в полуплоскости нахождения точки В обозначаем через Р. Через точки С и Р проводим прямую и обозначаем ее через с (Рис. 9). Прямая с является серединным перпендикуляром к прямой ОА.

Радиусы окружностей равны: КР=МР, следовательно, треугольники РСК и РСМ равны по трем сторонам (Ах. 8.5.3.). Тогда углы РСК и РСМ равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.), при этом эти углы – смежные (Def. 4.14.), следовательно, прямая с, проходящая через точку Р, является серединным перпендикуляром к отрезку KM (Def. 3.11.). Прямые с и ОА перпендикулярны.

7.4. Построение биссектрисы угла.

Построим биссектрису угла АОТ. Для этого проводим дугу окружности с центром в точке О и некоторым радиусом r, пересекающую стороны этого угла ОА и ОТ в точках, которые обозначаем через L и N. Проводим дугу окружности с центом в точке L и радиусом =r, проводим дугу окружности с центом в точке N и радиусом =, точку пересечения дуг обозначаем через Q. Из точки О проводим луч через точку Q (Рис. 10). Луч ОQ является биссектрисой угла AОТ.

Действительно, треуголь­ник ОLQ равен треугольнику ОNQ по трем сторонам (Ax. 8.5.3.), так как радиусы окружностей равны (Def. 1.16.): ==r, следовательно, угол LОQ равен углу NОQ по аксиоме о равен­стве фигур (Ax. 6.8.). Угол АОQ равен углу LОQ, а угол ТОQ равен углу NОQ по аксиоме о независимости величины угла от длины его сторон (Ax. 4.3.2.). Углы АОQ и ТОQ равны по аксиоме 6.7. о равенстве фигур, то есть луч ОQ является биссектрисой угла AОТ.

7.5.Разбиение отрезка на пять равных частей.

Нужно разбить отрезок длиной R на пять равных отрезков [2]. Обозначим отрезок длиной R через А1А6. На произвольном расстоянии от отрезка А1А6 проводим параллельную ему прямую, обозначаем ее через с; порядок построения прямой приведен в [1, п. 7.2.2.]. На этой прямой берем произвольную точку С1 (со стороны точки А1); от нее откладываем циркулем некоторое расстояние и обозначаем полученную точку через С2; от точки С2 откладываем то же самое расстояние С1С2 и получаем точку С3; от точки С3 откладываем то же самое расстояние С1С2 и получаем точку С4; от точки С4 откладываем то же самое расстояние С1С2 и получаем точку С5; от точки С5 откладываем то же самое расстояние С1С2 и получаем точку С6. Через точки А1 и С1, точки А6 и С6 проводим прямые до их пересечения в точке, которую обозначаем через М. Через точки М и С2М и С3 и так далее проводим прямые, точки их пересечения с отрезком А1А6 обозначаем через А1А2А3А4А5 и А6 (Рис. 11); эти точки разбивают отрезок А1А6 на пять равных частей.

По теореме 8.5.4., отрезки А1А6 и С1С6 являются прообразом и образом при гомотетии относительно точки М; то же справедливо относительно отрезков А1А2 и С1С2А2А3 и С2С3 и так далее. Отрезок С1С6 разбит на пять равных частей, следовательно, и отрезок А1А6 разбит на пять равных частей, так как коэффициент гомотетии един для всех отрезков.

8. Решение обратной задачи – построение круга, площадь которого равна площади данного квадрата.

Дано: квадрат со стороной некоторой длины b (Рис. 14).
Задача: по правилам классической геометрии построить круг, площадь которого равна площади данного квадрата.
Из задачи нахождения квадратуры круга следует, что: , следовательно, для нахождения радиуса искомого круга нужно провести деление длины b на корень квадратный: . Геометрическое деление длины отрезка на корень квадратный отлично от алгебраического, так как все рассматриваемые отрезки не коллинеарны.
Порядок деления длины отрезка на корень квадратный подробно изложен в уже указанной статье автора: Плисова Н.Н. Умножение и деление длины отрезка на корни квадратные в классической геометрии. Здесь он будет приводиться кратко, без доказательств, которые приведены в указанной статье.
Сначала нужно построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна . Для этого берем раствором циркуля некоторое расстояние с. Строим прямоугольный треугольник с равными катетами длиной с (Рис. 12а). По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), его гипотенуза равна .

Строим прямоугольный треугольник с катетами длиной с и  (Рис. 12б); длина  замеряется по гипотенузе построенного перед этим треугольника с равными катетами (Рис. 12а). По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), гипотенуза этого треугольника равна .
Чтобы получить длину , строим прямоугольный треугольник с катетами длиной  и  (Рис. 12г); длина  замеряется по гипотенузе треугольника с катетами длиной с и  (Рис. 12б); длина  определяется путем разбиения отрезка длиной с на 5 равных частей и замера суммарной длины двух частей (Рис. 12в); порядок разбиения описан в п. 7.5. этой статьи. Обозначим построенный треугольник через КМТ (Рис. 12г). По теореме Пифагора (по теореме 9.3.), его гипотенуза равна .
Строим прямоугольный треугольник, подобный треугольнику КМТ по стороне и двум прилежащим углам, гипотенуза которого равна b. Для этого: проводим прямую р; берем на ней некоторую точку, которую обозначаем через А; откладываем от точки А расстояние b, обозначаем конец отрезка через В (Рис. 13а): .

От прямой р строим угол с вершиной в точке В, равный углу КМТ: проводим дугу окружности с центром в точке М и некоторым радиусом r; точки пересечения этой дуги с отрезками КМ и МТ обозначаем через С и Е соответственно (Рис. 12г). Проводим дугу окружности с центром в точке В и тем же радиусом r; точку пересечения этой дуги с отрезком АВ обозначаем через Р. Замеряем раствором циркуля расстояние СЕ. Проводим дугу окружности с центром в точке Р и радиусом СЕ; точку пересечения этой дуги с предыдущей дугой обозначаем через О. Через точку О проводим луч с началом в точке В (Рис. 13а).
От прямой р строим угол с вершиной в точке А, равный углу МКТ: проводим дугу окружности с центром в точке К и некоторым радиусом R; точки пересечения этой дуги с отрезками КМ и КТ обозначаем через G и F соответственно (Рис. 12г). Проводим дугу окружности с центром в точке А и тем же радиусом R; точку пересечения этой дуги с отрезком АВ обозначаем через J. Замеряем раствором циркуля расстояние GF. Проводим дугу окружности с центром в точке J и радиусом GF; точку пересечения этой дуги с предыдущей дугой обозначаем через Н. Через точку Н проводим луч с началом в точке А (Рис. 13а).
Луч АН пересекается с лучом ВО, точку их пересечения обозначим через С (Рис. 13а). Образуется треугольник АВС, подобный треугольнику КМТ по стороне и двум прилежащим углам (Ах. 8.7.2.) и, следовательно, прямоугольный; его катеты считаем соответственно пропорциональными R. Из определения подобных треугольников (Def. 8.6.) следует, что: , при этом , следовательно, .
Нужно геометрически определить длину R. Проводим луч от некоторой точки, которую обозначим через В, от точки В откладываем расстояние ВС; делим отрезок ВС пополам, для чего проводим серединный перпендикуляр к нему, середину отрезка ВС обозначаем через Р (Рис. 13б); порядок построения серединного перпендикуляра к отрезку приведен в п. 7.1. этой статьи. Длина отрезка ВР равна 1/5 искомого радиуса. От точки С откладываем последовательно три раза расстояние ВР, конечную точку обозначаем через Н. Длина отрезка ВН равна искомому радиусу круга (Рис. 13б).

На плоскости выбираем некоторую точку, обозначаем ее через О и проводим окружность с центром в точке О и радиусом длиной ВН (Рис. 14). Площадь круга, ограниченного проведенной окружностью, равна площади заданного квадрата, таким образом, задача решена.

Выводы. В рамках классической геометрии найдена квадратура круга, то есть с помощью простой линейки и циркуля построен квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Решена и обратная задача – с помощью простой линейки и циркуля построен круг, площадь которого равна площади данного квадрата.


Библиографический список
  1. Плисова Н.Н. Основания геометрии. – 4-е изд. – М.: Эдитус, 2022. – 224 с.
  2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 509 с.


Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Плисова Ника Николаевна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация