Введение
Динамика гетерогенных структур с фазовыми переходами на границах играет важную роль в природных и искусственных системах [1].
Например, каждую зиму в г.Москве от сорвавшихся с крыш снеголедовых масс и сосулек страдает более 50 человек и до 300 автомобилей.
Самолеты, вертолеты, морские суда, портовые сооружения, нефтегазовые, космические объекты и др. подвержены обледенению. Эти процессы чреваты серьезными финансовыми потерями, гибелью людей.
Математическое моделирование динамики гетерогенных структур снеголедовых масс является актуальной задачей.
1. Фундаментальная модель нестационарного теплообмена
Модель описывается в рамках двухмерного нестационарного уравнения теплопроводности, граничные условия задают конвективный теплообмен с окружающей средой.
Рассматривается бесконечная структура прямоугольного сечения, составленная из разнородных материалов. Материалы различаются теплофизическими свойствами: теплопроводностью , удельной теплоемкостью С, коэффициентом теплообмена с окружающей средой . На верхних и нижней гранях происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой . Две другие грани теплоизолированы.
В начальный момент времени структура нагрета до температуры . Задача состоит в нахождении поля температур .
В математическом отношении задача сводится к решению нестационарного уравнения теплопроводности в двухмерной области G c соответствующими краевыми и начальными условиями:
;
;
, , , .
Здесь  тепловой поток;  – коэффициент теплопроводности,  – удельная теплоемкость;  – температура в момент . Решение  ищется в цилиндре , основанием которого является прямоугольник G с границей дG.
2. Конечно-разностная модель гетероструктуры
Задача решается методом конечных разностей, в G вводится пространственная сетка



и сетка по времени
. 
Здесь  – переменные шаги сетки по пространству в направлениях Х и Y и по времени, соответственно.
Задача решается на сетке , вводится сеточная функция температуры , определенная на . Разностная схема во внутренней области G записывается на крестообразном шаблоне с центром в узле 
На сетке  рассматривается ячейка с центром в узле  и вершинами в полуцелых узлах, то есть образованными пересечением прямых, проходящих через середины отрезков, соединяющих узлы шаблона, параллельно направлениям X и Y. Размеры ячейки по этим направлениям:


Площадь ячейки , разностные производные определяются



Здесь введены безиндексные обозначения для размеров ячейки и производных Вводятся также безиндексные обозначения для потоков через грани ячейки:



В соответствии с интегро-интерполяционным методом построения разностных схем уравнение теплового баланса для ячейки имеет вид:
 (2)
Здесь использовано обозначение , . 
Узлам, лежащим на границе дG, будут соответствовать шаблоны и ячейки несколько иного вида. Если дополнить шаблон в этих точках фиктивными узлами, то уравнение баланса в них запишется так же, требуется только положить нулевым соответствующие фиктивные шаги. В общем случае размеры ячейки будут:
 (3)
где , .
Потоки через пограничные грани ячейки определяются в случае граничного узла из краевых условий исходной задачи:




Разностная схема на сетке :
, (4)
где




Таким образом, на каждом временном слое  получена нелинейная система алгебраических уравнений (4), в которую решение подобной системы на предыдущем слое входит как неизвестная функция. На нулевом слое задано начальное распределение:
.
3. Модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов.
Для организации внешнего интеграционного процесса вводится вектор-функция  и операторы , определенные равенствами:
, тогда система (4) запишется так:
. (5)
Для решения ее используется линейно-квадратический процесс. Система (5) переписывается в виде: 
(здесь  – значение функции на верхнем временном слое), применяется линейно-квадратичный итерационный процесс:
.
Верхним индексом помечается номер итерации. Здесь  и  линейные операторы
,
где например,


.
Внутренний итерационный процесс организуется следующим образом. На каждой итерации внешнего процесса линейная система разностных уравнений записывается без индексов внешней итерации, вводится диагональный оператор D так, что , и в операторном виде система имеет вид:
.
Для приближения решения этого оператора уравнения применяется двухслойная итерационная схема с чебышевским упорядоченным набором параметров
.
Здесь  – упорядоченный чебышевский набор параметров. В пространственной сеточной функции  в смысле некоторого скалярного произведения удовлетворяются условия самосопряженности, положительной определенности и ограниченности оператора 
,
,
,
,
гарантирующие сходимость внутреннего итерационного процесса.
Границы спектра  и  оператора  эффективно оцениваются по теории Гершгорина.
4. Импульс градиента температур
Конкретные исследования по описанию алгоритму проведены для следующих значений параметров линейной задачи:



где 
Температурное поле и характер его изменения во времени имеют общий для всех вариантов расчета характерный вид. Температура металла практически постоянна по объему, и при переходе из стали в наледь поверхности теплообмена со средой круто падает, то есть в точках наледи, лежащих на его поверхности по границе с металлом, возникает значительный градиент температуры, направленный вдоль поверхности наледи. Кривая зависимости градиента температуры в угловой точке от времени имеют характерную форму, близкую к форме импульса. Близость кривой к импульсной форме определяется величинами  и .
При уменьшении и  импульс сглаживается. Такая зависимость от  и  сохраняется при всех исследованных отношениях , причем от  острота и амплитуда импульса зависят существенно сильнее, чем от , отношение  слабо влияют на форму зависимости и определяет преимущественно амплитуду импульса.
Градиент температуры в угловой точке достигает своего максимального значения примерно в одно и то же время (около одной секунды с начала остывания) при различных значениях из исследованных интервалов. Крутизна фронта пропорциональна его амплитуде и растет с увеличением как  и , так и с увеличением отношения . В то же время крутизна спада слабо зависит от отношения  и определяется главным образом значениями  и .
Полученные результаты позволяют объяснить предпочтения в выборе материала кровли.
5. Модель процесса замерзания жидкого слоя
Математическое моделирование нестационарных тепловых полей состоит в решении нестационарного уравнения теплопроводности в двумерной области G с соответствующими граничными и начальными условиями:
 (6)
Особенностью рассматриваемой задачи является необходимость учета фазового перехода из жидкого в твердое состояние.
Для сквозного счета таких задач без явного выделения фронта затвердевания нужно учесть, что при температуре фазового перехода энергия Е, как функция температуры, испытывает переход величины , который называется теплотой фазового перехода, поэтому для энергии справедливо:
, где

Это выражение подставляется в уравнение энергии:
, и учитывая что 
есть дельта-функция Дирака, получается уравнение:
, справедливое и в области фазового перехода. Выражение  и  входят в уравнение одинаковым образом, причем  представляет собой сосредоточенную теплоемкость на поверхности .
Для перехода к разностной схеме заменяется дельта-функция приближенно – образной или размазанной функцией , где – величина полуинтервала, на котором функция отлична от нуля.
Таким образом, вводится сглаженная или эффективная теплоемкость , которая удовлетворяет условию  вне интервала .
Изменение энтальпии на интервале  сокращается, т.е.
.
На интервале можно, например, взять , что будет соответствовать интерполяции – функции с помощью прямоугольного импульса. На том же интервале производится сглаживание коэффициента теплопроводности . Вводится сглаженный, или, эффективный коэффициент , совпадающий с  при  и с  при .
Например, если задавалось

То можно взять

В результате получается задача для уравнения теплопроводности со сглаженными коэффициентами:
,
.
Моделирование процессов затвердевания границ льда и основы позволяют выбрать композитные тонкие слои по границам гетероструктур [1].

Выводы
1. Рассмотрена фундаментальная модель процесса теплообмена в гетероструктуре в форме нестационарного уравнения теплопроводности.
2. Описана конечно-разностная модель гетероструктур с введением пространственной сетки и применением интегро-интерполяционного метода построения разностных схем.
3. Предложена эффективная модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов с применением двухслойной итерационной схемы с чебышевским упорядоченным набором параметров.
4. Модель процесса замерзания жидкого слоя наледи построена без явного выделения фронта затвердевания с учетом теплоты фазового перехода.
5. Проведены системные исследования тепловых процессов в гетероструктурах, установлены закономерности протекания нестационарных процессов.
Заключение
1. Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс с фазовыми переходами на границах позволили установить новые закономерности нестационарных процессов обледенения наиболее распространенных в технике гетероструктур.
2. Использование установленных закономерностей в практике проектирования гетероструктур представляет новые возможности в получении более безопасных конструкций.
3. Наиболее распространенные гетероструктуры крыш зданий и сооружений целесообразно устраивать с разными коэффициентами трения точечно по всей крыше и узкой (около 1 %), полосе гидрофобного композита по краям крыш для снижения размера сосулек до безопасного. В качестве тонкослойных композитов для разных материалов крыш разработаны и испытаны эффективные, весьма долговечные и недорогие составы, а также технологии их нанесения с учетом конкретных условий применения.

1. Динамика гетероструктур. Фундаментальные модели. Смогунов В.В., Климинов И.П., Вдовикина О.А. и др. Пенза, Изд-во ПензГУ, 2002. – 598 с.

Все статьи автора «Шорин Владимир Алексеевич»