Для аналитического исследования математической модели рассмотрим следующую систему:

с граничными условиями вида:


В нашей системе (1): — параметр шероховатости земной поверхности,
— объемная концентрация положительных и отрицательных ионов,
— подвижность ионов,
— напряженность электрического поля,
— коэффициент рекомбинации ионов,
— интенсивность ионообразования ионов,
— элементарный заряд,
— электрическая постоянная.
Для аналитического исследования предположим в (1): ,
Тогда запишем второе уравнение (1) следующим образом:

Уравнение (3) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение ищется в виде суммы общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения
исходного неоднородного уравнения, то есть:

Рассмотрим соответственно однородное уравнение:

И для его решения определим корень соответствующего характеристического уравнения:

т.е. .
Из (6) получаем:

С учетом (7) общее решение однородного уравнения:
.gif)
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
.gif)
Учитывая (8) и (9), запишем решение уравнения (1):
.gif)
С помощью граничного условия (2) найдем значение константы :
.gif)
Таким образом, с учетом (10) и (11) получаем решение нашего уравнения:
.gif)
Для полученного решения построим графики зависимости при разных значениях напряженности
и при
.

Рисунок 1. Распределение при
и
,
Рисунок 2. Распределение при
и
Рисунок 3. Распределение при
и

.gif)
.gif)
.gif)
На основании полученного решения для рассчитаем теперь напряженность электрического поля. Используем уравнение Пуассона:
.gif)
при выполнении условия:
.gif)
где, зная, что выполнено соотношение (14) получаем следующее:

.gif)
Проинтегрировав выражение (16), запишем конечный результат для напряженности электрического поля в виде
.gif)
Так же построим график зависимости при
.
Высота приэлектродного слоя изменяется в зависимости от значений поля и интенсивности ионообразования
.
Рисунок 5. Распределение при
и
Рисунок 6. Распределение при
и
Рисунок 8. Распределение при
и

.gif)
.gif)
.gif)
Библиографический список
- Thomson J.J. Conduction of electricity through gases Cambrige:1903.566 p.
- Куповых Г. В., Клово А.Г. Моделирование электрического состояния приземного слоя // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях», Ставрополь, 2000 г.
- Swan W.F.G. The atmospheric potential gradient and a theory as to the cause of its connection with other phenomena in atmosphere electricity, together with certain conclusionsas to expression for the electric force between two parallel charged plates // Terr. Magn, Atmos.Elec.,18,1913.P.163-184.
- Tuomi T.J. The atmospheric electrode effect over snow // J.Atm. and Terr.Phys.1982.V.44.P.737-745.
- Самарский А.А., Гулин А.В., Численные методы математической физики, 2003.