Для аналитического исследования математической модели рассмотрим следующую систему:

      (1)

с граничными условиями вида:

, ,       (2)

В нашей системе (1):  — параметр шероховатости земной поверхности,  — объемная концентрация положительных и отрицательных ионов,  — подвижность ионов,  — напряженность электрического поля,  — коэффициент рекомбинации ионов,  — интенсивность ионообразования ионов,  — элементарный заряд,  — электрическая постоянная.

Для аналитического исследования предположим в (1): , 

Тогда запишем второе уравнение (1) следующим образом:

.      (3)

Уравнение (3) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение  ищется в виде суммы общего решения  соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть:

.       (4)

Рассмотрим соответственно однородное уравнение:

.       (5)

И для его решения определим корень соответствующего характеристического уравнения:

,       (6)

т.е. .

Из (6) получаем:

.       (7)

С учетом (7) общее решение однородного уравнения:

.       (8)

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

.       (9)

Учитывая (8) и (9), запишем решение уравнения (1):

.       (10)

С помощью граничного условия (2) найдем значение константы :

       (11)

Таким образом, с учетом (10) и (11) получаем решение нашего уравнения:

       (12)

Для полученного решения построим графики зависимости  при разных значениях напряженности  и при .

Рисунок 4. Распределение  при  и 

На основании полученного решения для  рассчитаем теперь напряженность электрического поля. Используем уравнение Пуассона:

,      (13)

при выполнении условия:

 ,      (14)

где, зная, что выполнено соотношение (14) получаем следующее:

, (15).      (16)

Проинтегрировав выражение (16), запишем конечный результат для напряженности электрического поля в виде

      (17)

Так же построим график зависимости  при .

Высота приэлектродного слоя изменяется в зависимости от значений поля  и интенсивности ионообразования .

Рисунок 9. Распределение  при  и 

1. Thomson J.J. Conduction of electricity through gases Cambrige:1903.566 p.
2. Куповых Г. В., Клово А.Г. Моделирование электрического состояния приземного слоя // Материалы Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях», Ставрополь, 2000 г.
3. Swan W.F.G. The atmospheric potential gradient and a theory as to the cause of its connection with other phenomena in atmosphere electricity, together with certain conclusionsas to expression for the electric force between two parallel charged plates // Terr. Magn, Atmos.Elec.,18,1913.P.163-184.
4. Tuomi T.J. The atmospheric electrode effect over snow // J.Atm. and Terr.Phys.1982.V.44.P.737-745.
5. Самарский А.А., Гулин А.В., Численные методы математической физики, 2003.

Все статьи автора «Елена Черкашина»