Абелевы группы без кручения ранга 2, представимые в виде подпрямой суммы абелевых групп без кручения ранга 1 образуют важный для изучения подкласс класса абелевых групп без кручения конечного ранга, а описание таких групп достаточно актуально в теории абелевых групп. В работах автора [1] – [4] ранее изучались группы из данного подкласса.

Определение. Подгруппа G прямого произведения  абелевых групп называется подпрямой суммой групп А_i, если для каждого i отображение  является эпиморфизмом, где – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель А_i  [5].

Всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы.

Известно [5], что группа G является подпрямой суммой групп А и В тогда и только тогда, когда существует группа F и такие эпиморфизмы и
, что , для любых элементов и . Группу F назовем порождающей группой, а эпиморфизмы и – определяющими эпиморфизмами для группы G – подпрямой суммы групп А и В.

Необходимые термины и обозначения приведены в работах [1-10].

В данной статье продолжено изучение строения одного подкласса класса абелевых групп – так называемых специальных или s-групп (определение дается ниже), а также их подгрупп, являющихся esn-группами.

Далее, всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В – рациональные делимые, G – подпрямая сумма групп А и В, порождающую группу которой обозначаем через F, а также обозначим и . Символом обозначаем циклическую абелеву группу, порожденную элементом , через Δ- множество всех подпрямых сумм групп А и B с порождающей группой Q/Z.

Определение 1. Абелева группа называется рациональной если она изоморфна группе Q рациональных чисел или ее подгруппе [5].

Определение 2. Абелева группа А называется делимой, если для любого натурального числа п: пА = А [5].

Пусть Т – некоторое числовое множество, х – некоторый элемент произвольной группы, тогда будем обозначать множество .

Определение 3. Пусть группа , , . Будем говорить, что группа G обладает основным элементом , если , . Такую группу мы будем называть специальной или s-группой.

Определение 4. Если для некоторого данного числа п ≠ 1, группа H является подпрямой суммой групп и , порожденной конечной циклической группой Z_п – аддитивной группой кольца вычетов по модулю п – то группу H будем называть элементарной специальной п-группой (esп-группой) [4].

Пусть G – специальная группа с основным элементом . Для любого натурального числа введем следующее обозначение:

.

Также будем использовать стандартные обозначения: НОД(х, у) – наибольший общий делитель чисел х и у, НОК(х, у) – соответственно, наименьшее общее кратное.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. , для любого целого числа k.

Доказательство. Пусть . Предложение очевидно для взаимно простых чисел k и d, так как и, следовательно, по определению, принадлежит .

Пусть , и пусть , . Поскольку, очевидно, , а также, как известно, числа и взаимно просты, то получаем:

ЛЕММА. Множество с операцией сложения является группой.

Доказательство. Рассмотрим два произвольных элемента  и  из множества и покажем, что их сумма также принадлежит . Пусть , причем , . Тогда

.

Поскольку, как нетрудно видеть, , то, следовательно, . Откуда вытекает, что есть группа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть G – s-группа с основным элементом . Тогда является esп-группой для любого натурального числа .

Доказательство. Из определения группы , очевидно, следует, что , для любого натурального числа .

Пусть m и n – натуральные числа, причем . Рассмотрим два возможных случая для чисел m и n.

1) , причем , . Тогда, по теореме из [1] и определению esn-группы, для некоторого числа , взаимно простого с числом , элемент , а поскольку , то .

Пусть , покажем, что элемент . Действительно,  .

2) . Тогда, по теореме из [1], для некоторого числа , взаимно простого с числом n, элемент и, аналогично первому случаю, . Следовательно, аналогично доказывается, .

Таким образом, как в первом, так и во втором случае, доказано, что проекция есть эпиморфизм.

Аналогично доказывается, что проекция также есть эпиморфизм.

Далее покажем, что группа является esn-группой. Действительно, пусть элемент , тогда, по теореме из [1] и следствию из нее, имеем: элементы и , но элементы  и , для каждого натурального числа , такого что . Из чего, по определению, следует, что если элемент, то элементы  и , но элементы  и , для каждого натурального числа , такого что .  Откуда, а также из теоремы III [4], непосредственно получаем, что группа является esn-группой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть n – натуральное число, причем , Н – esn-группа. Тогда существует s-группа G такая, что .

Доказательство. Пусть G – некоторая s-группа с основным элементом . Поскольку, , , то, по определению групп A и B,
для любых целых чисел m и m’, взаимно простых с числом n,  и . А тогда элемент . Таким образом, каждая s-группа G, для заданного числа n, содержит подгруппу .  Далее, пусть Н – esn-группа с парой определяющих эпиморфизмов и . Введем обозначение: , также пусть и – склеивания [3], соответственно, групп и .

Пусть G – s-группа с парой определяющих эпиморфизмов и ,  – s-группа с парой определяющих эпиморфизмов и , причем для любых элементов и  :, .

Далее докажем, что . Действительно, пусть , следовательно, по определению, . А тогда, из равенств (1.1) и (1.2) получаем , откуда, на основе равенства (1.3), следует, что элемент , а элемент . Следовательно, по предложению 3 [3], получаем: . Но так как , то , и, значит, элемент . Таким образом, мы доказали, что .

Проведя выше изложенные рассуждения в обратном порядке, мы докажем обратное включение: .

Итак, установлено, что , что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть G – s-группа с основным элементом . Тогда для любых целых положительных чисел n и k, таких что , .

Доказательство. Нетрудно видеть, что если элемент , то элемент . С другой стороны, если , для некоторого целого числа t, то элемент и, следовательно, элемент . Таким образом, доказано, что .

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть G – s-группа с основным элементом . Тогда для любых целых положительных чисел n и k,   тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть . Поскольку,  – esk-группа и  — esn-группа, то по теореме II [4], . Следовательно, по определению, получаем, что . Проведя данные рассуждения в обратном порядке, мы получим, что .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть и – s-группы, с одним и тем же основным элементом . Тогда тогда и только тогда, когда для любого целого числа n, такого что , .

Доказательство. Поскольку необходимость очевидна, установим только достаточность.

Пусть для любого целого числа n, такого что , , но . Следовательно, для некоторых целых чисел k и т, взаимно простых с числом n, найдется пара , которая принадлежит одной из групп и и не принадлежит другой. Но тогда пара также принадлежит одной из групп и и не принадлежит другой, что противоречит равенству групп и . Откуда и следует требуемое утверждение.

1. Трухманов В.Б. О подпрямой сумме делимых рациональных абелевых групп и ее основных элементах // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/04/48077 (дата обращения: 03.05.2015).
2. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
3. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
4. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.
6. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
7. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
8. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
9. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Vol. 42. № 2. С. 297-298.

Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»