УДК 512.541.3

О ПОДПРЯМОЙ СУММЕ ДЕЛИМЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП И ЕЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ

Трухманов Вячеслав Борисович
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Арзамасский филиал
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
В данной статье рассматриваются абелевы группы, являющиеся подпрямой суммой двух делимых рациональных групп, порождающая группа которой либо группа рациональных чисел, либо ее факторгруппа по некоторой подгруппе.

Ключевые слова: абелева группа без кручения, делимая абелева группа, подпрямая сумма абелевых групп, рациональная группа


ABOUT SUBDIRECT SUMS DIVISIBLE RATIONAL ABELIAN GROUP, AND ITS BASIC ELEMENTS

Trukhmanov Vyacheslav Borisovich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
candidate of physico-mathematical sciences, associate professor

Abstract
This article discusses the Abelian group is a subdirect sum of two divisible rational groups, which generates a group or a group of rational numbers, or its quotient group of some subgroup.

Keywords: Abelian torsion-free group, divisible group, rational group, subdirect sum of Abelian groups


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Трухманов В.Б. О подпрямой сумме делимых рациональных абелевых групп и ее основных элементах // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/04/48077 (дата обращения: 30.09.2017).

Абелевы группы без кручения ранга 2, представимые в виде подпрямой суммы абелевых групп без кручения ранга 1 образуют важный для изучения подкласс класса абелевых групп без кручения конечного ранга, а описание таких групп достаточно актуально в теории абелевых групп. В работах автора [1] – [4] ранее изучались группы из данного подкласса.

Определение. Подгруппа G прямого произведения  абелевых групп называется подпрямой суммой групп Аi, если для каждого i отображение  является эпиморфизмом, где – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель Аi [5].

Всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы.

Известно [5], что группа G является подпрямой суммой групп А и В тогда и только тогда, когда существует группа F и такие эпиморфизмы и , что , для любых элементов и .

Группу F назовем порождающей группой, а эпиморфизмы и – определяющими эпиморфизмами для группы G – подпрямой суммы групп А и В.

Необходимые термины и обозначения приведены в работах [1-10].

В данной статье изучается строение абелевых групп – так называемых специальных или s-групп (определение дается ниже) – в зависимости от основного элемента.

Далее, всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В – рациональные делимые, G – подпрямая сумма групп А и В, порождающую группу которой обозначаем через F, а также обозначим и . Символом обозначаем циклическую абелеву группу, порожденную элементом .

Определение 1. Абелева группа называется рациональной если она изоморфна группе Q рациональных чисел или ее подгруппе [5].

Определение 2. Абелева группа А называется делимой, если для любого натурального числа п: пА = А [5].

Далее всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В – рациональные делимые.

Пусть Т – некоторое числовое множество, х – некоторый элемент произвольной группы, тогда будем обозначать множество .

ЛЕММА. Пусть группа А изоморфна группе Q. Тогда для любого элемента , отличного от нуля, .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и . Очевидно, что множество есть группа и, следовательно, подгруппа группы А,
то есть . Покажем справедливость обратного включения.

Пусть . Поскольку ранг группы А равен 1, что равносильно линейной зависимости ее элементов, то для некоторых целых взаимно простых чисел k и s имеет место равенство . Откуда, . Следовательно, .
Итак, доказано, что , и, таким образом, . Лемма доказана.

Далее всюду в статье через А и B будем обозначать делимые рациональные группы, через множество всех подпрямых сумм групп А и B с порождающей группой Q/Z.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть группа , , . Будем говорить, что группа G обладает основным элементом или основой , если , . Такую группу мы будем называть специальной или s-группой.

Не все группы из множества Δ имеют основу.

Предложение 1. В множестве Δ существуют группы без основного элемента.

Доказательство. Пусть A = Q = B, R – подгруппа рациональных чисел со знаменателями, свободными от квадратов. Рассмотрим подгруппу группы .

Нетрудно видеть, что группа S есть подпрямая сумма групп A и B c порождающей группой Q/Z (последнее следует из изоморфизма ), то есть .

Кроме того, . А так как группа R не циклическая, то таковой будет и группа SB, следовательно, группа S не обладает основным элементом.

Далее, если не сказано иначе, группа Gs-группа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть группа G имеет основу Элемент также является основой группы G, тогда и только тогда, когда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть группа G содержит как основу так и основу . Тогда, имеем: , .

Откуда и получаем искомые равенства. Обратное утверждение очевидно.

ТЕОРЕМА 1. Пусть , . Пара является основой группы G тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) для любого элемента найдутся целые числа т и п, такие что или целое число и целые числа , каждое из которых взаимно просто с k и отлично от нуля, такие что ;

2) пусть для целого числа и целых чисел , каждое из которых взаимно просто с k и отлично от нуля, 

тогда для любого целого числа t, и

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть группа G содержит основу , следовательно, по определению, , .

Тогда, очевидно по определению группы G, найдутся целые числа , такие что . Следовательно, Так как , то, по определению групп и , . А, так как можно полагать, что дробь не сократима, то это означает, что число k′ делит число k. Аналогично имеем, что число k делит число k′ . Следовательно, k = k′ . Таким образом, условие 1 доказано.

Перейдем к условию 2. Пусть для целого числа и целых чисел  , каждое из которых взаимно просто с k и отлично от нуля,  тогда  Кроме того, по определению GB, . Следовательно,   откуда,

Обратно. Пусть для группы истинны условия 1) и 2). Так как группа G имеет ранг 2, то найдется число , причем , такое, что . По условию 1 следует, что t – целое число. Но тогда получаем, что . Аналогичным образом доказывается, что .

Для доказательства обратных включений предположим сначала, что тогда, по условию 2, следовательно, Но тогда получаем, что , то есть , откуда следует, что . Аналогично доказывается, что .

Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть Gs-группа с основой , и пусть для целого числа и целых чисел , каждое из которых взаимно просто с k и отлично от нуля,   Если для некоторого натурального числа хотя бы одно из условий: или  выполняется, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что Тогда 

Следовательно, по теореме 1 и определению групп и , имеем либо (что противоречит условию), либо , что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается данное утверждение из условия, что .

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть p – простое число, Gs-группа c основой , и пусть для целых чисел , каждое из которых взаимно просто с p и отлично от нуля, а также натурального числа iПусть также l″  – целое число, j – натуральное, причем .

 тогда и только тогда, когда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , тогда, по условию, 

Так как также ,  то 

Но тогда, по теореме 1, получаем, что , или, другими словами, .

Обратно. Пусть , это значит, что , и пусть .

Но тогда , и, следовательно, по теореме 1,

Что и требовалось доказать.


Библиографический список
  1. Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 283-285.
  2. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
  3. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
  4. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
  5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.
  6. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
  7. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
  8. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
  9. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
  10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys 42 (2). 297-298.


Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: