Абелевы группы без кручения ранга 2, представимые в виде подпрямой суммы абелевых групп без кручения ранга 1 образуют важный для изучения подкласс класса абелевых групп без кручения конечного ранга, а описание таких групп достаточно актуально в теории абелевых групп. В работах автора [1] – [4] ранее изучались группы из данного подкласса.

Определение. Подгруппа G прямого произведения  абелевых групп называется подпрямой суммой групп А_i, если для каждого i отображение  является эпиморфизмом, где – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель А_i [5].

Всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы.

Известно [5], что группа G является подпрямой суммой групп А и В тогда и только тогда, когда существует группа F и такие эпиморфизмы и , что , для любых элементов и .

Группу F назовем порождающей группой, а эпиморфизмы и – определяющими эпиморфизмами для группы G – подпрямой суммы групп А и В.

Необходимые термины и обозначения приведены в работах [1-10].

В данной статье изучается строение абелевых групп – так называемых специальных или s-групп (определение дается ниже) – в зависимости от основного элемента.

Далее, всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В – рациональные делимые, G – подпрямая сумма групп А и В, порождающую группу которой обозначаем через F, а также обозначим и . Символом обозначаем циклическую абелеву группу, порожденную элементом .

Определение 1. Абелева группа называется рациональной если она изоморфна группе Q рациональных чисел или ее подгруппе [5].

Определение 2. Абелева группа А называется делимой, если для любого натурального числа п: пА = А [5].

Далее всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В – рациональные делимые.

Пусть Т – некоторое числовое множество, х – некоторый элемент произвольной группы, тогда будем обозначать множество .

ЛЕММА. Пусть группа А изоморфна группе Q. Тогда для любого элемента , отличного от нуля, .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и . Очевидно, что множество есть группа и, следовательно, подгруппа группы А,
то есть . Покажем справедливость обратного включения.

Пусть . Поскольку ранг группы А равен 1, что равносильно линейной зависимости ее элементов, то для некоторых целых взаимно простых чисел k и s имеет место равенство . Откуда, . Следовательно, .
Итак, доказано, что , и, таким образом, . Лемма доказана.

Далее всюду в статье через А и B будем обозначать делимые рациональные группы, через множество всех подпрямых сумм групп А и B с порождающей группой Q/Z.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть группа , , . Будем говорить, что группа G обладает основным элементом или основой , если , . Такую группу мы будем называть специальной или s-группой.

Не все группы из множества Δ имеют основу.

Предложение 1. В множестве Δ существуют группы без основного элемента.

Доказательство. Пусть A = Q = B, R – подгруппа рациональных чисел со знаменателями, свободными от квадратов. Рассмотрим подгруппу группы .

Нетрудно видеть, что группа S есть подпрямая сумма групп A и B c порождающей группой Q/Z (последнее следует из изоморфизма ), то есть .

Кроме того, . А так как группа R не циклическая, то таковой будет и группа S_B, следовательно, группа S не обладает основным элементом.

Далее, если не сказано иначе, группа G – s-группа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть группа G имеет основу . Элемент также является основой группы G, тогда и только тогда, когда , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть группа G содержит как основу так и основу . Тогда, имеем: , .

Откуда и получаем искомые равенства. Обратное утверждение очевидно.

ТЕОРЕМА 1. Пусть , . Пара является основой группы G тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) для любого элемента найдутся целые числа т и п, такие что , или целое число и целые числа , каждое из которых взаимно просто с k и отлично от нуля, такие что ;

2) пусть для целого числа и целых чисел , каждое из которых взаимно просто с k и отлично от нуля, 

тогда для любого целого числа t, и

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть группа G содержит основу , следовательно, по определению, , .

Тогда, очевидно по определению группы G, найдутся целые числа , такие что . Следовательно, . Так как , то, по определению групп и , . А, так как можно полагать, что дробь не сократима, то это означает, что число k′ делит число k. Аналогично имеем, что число k делит число k′ . Следовательно, k = k′ . Таким образом, условие 1 доказано.

Перейдем к условию 2. Пусть для целого числа и целых чисел  , каждое из которых взаимно просто с k и отлично от нуля,  тогда  Кроме того, по определению G_B, . Следовательно,   откуда,

Обратно. Пусть для группы истинны условия 1) и 2). Так как группа G имеет ранг 2, то найдется число , причем , такое, что . По условию 1 следует, что t – целое число. Но тогда получаем, что . Аналогичным образом доказывается, что .

Для доказательства обратных включений предположим сначала, что тогда, по условию 2, следовательно, Но тогда получаем, что , то есть , откуда следует, что . Аналогично доказывается, что .

Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть G – s-группа с основой , и пусть для целого числа и целых чисел , каждое из которых взаимно просто с k и отлично от нуля,   Если для некоторого натурального числа хотя бы одно из условий: или  выполняется, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что . Тогда 

Следовательно, по теореме 1 и определению групп и , имеем либо (что противоречит условию), либо , что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается данное утверждение из условия, что .

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть p – простое число, G – s-группа c основой , и пусть для целых чисел , каждое из которых взаимно просто с p и отлично от нуля, а также натурального числа i, . Пусть также l″  – целое число, j – натуральное, причем .

 тогда и только тогда, когда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , тогда, по условию, 

Так как также ,  то 

Но тогда, по теореме 1, получаем, что , или, другими словами, .

Обратно. Пусть , это значит, что , и пусть .

Но тогда , и, следовательно, по теореме 1,

Что и требовалось доказать.

1. Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 283-285.
2. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
3. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
4. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.
6. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
7. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
8. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
9. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys 42 (2). 297-298.

Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»