О КОЛИЧЕСТВЕННОМ ОПИСАНИИ КАТЕГОРИЙ МИКРОЭКОНОМИКИ

Введение

Базовые понятия современной микроэкономики были заложены в середине XIX в. У.С. Джевонсом [1,2] и Ж. Дюпюи [3]. У.С. Джевонс в 1862-66 гг. ввел понятия полезности товара («Полезным предметом является тот, который вызывает удовольствие либо уже имеющийся от него пользой, либо ожиданием его будущей пользы» [3]) и его ценности («Количество полезности (т.е. «ценность» – авт.) соответствует количеству произведенного удовольствия» [1]). По сути, в своих работах У. Джевонс фактически заложил основу «теории обмена, которая является следствием теории полезности» [2].

Настоящую публикацию автор рассматривает как обоснование некоторого нового подхода, идея которого была впервые предложена в статье [4] и развита в работе [5], к анализу потребления в его связи с производством (торговлей). В предлагаемой статье материал радикально переработан и обобщен.

В современном понимании, полезность товара – это его способность удовлетворять разовые («услуги») или длительные (собственно «товар») потребности покупателей. А потребности – это необходимость или желание покупателя получить некоторые блага, связанные со свойствами приобретаемого товара. Но тогда, что же такое «благо»? Это уже сложная философская категория.

Проблему «человеческого блага» всесторонне изучил еще Аристотель: «…поступок и сознательный выбор, как принято считать, стремятся к определенному благу… Видимо, не безосновательно считать, что благо и счастье люди представляют себе исходя из собственного образа жизни… Но ясно, что «благо» не может быть чем-то всеобъемлюще общим и единым… Следовательно, «благо» как нечто общее, объединенное одной идеей, не существует» [6, кн.1]. Отметим, что к подобным выводам позже приходили многие лица. Скажем, С. Моэм заметил, что «…какие бы цели не ставил человек – он заблуждается, ибо у человека не может быть иных целей, кроме собственного удовольствия» («Луна и пенс»). Если «удовольствие» понимать достаточно широко, как удовлетворение любого рода потребностей человека, то мысль (или шутка?) С. Моэма, вообще говоря, совершенно не противоречит выше приведенным рассуждениям гениального античного мыслителя.

Не вдаваясь более в тонкости философских построений Аристотеля, согласимся, что каждый покупатель на данном рынке стремится удовлетворить некоторые свои потребности, получить благо, т.е. нечто, что он связывает с удовлетворением, исходя из социальных представлений, своего личного образа жизни или нужды. Стремление покупателя сдерживаются имеющимися у него финансовыми возможностями (личным бюджетом). Таким образом, реализуется механизм приобретения блага. В таком же ключе высказался Дж. Винер: «Допустим пока, что благосостояние есть поток полезности, а полезность означает удовлетворение. Экономисты могут принять удовлетворение как количество, не занимая никакой позиции по отношению к его этическому качеству. Какова бы ни была сущность благосостояния, все согласны с тем, что для человека она скорее субъективная и внутренняя, чем объективная и внешняя» [7]. В своей совокупности желание и возможность потребителя приобрести данный товар по заданной цене образуют его индивидуальный спрос. Суперпозиция индивидуальных спросов покупателей данного рынка образует совокупный потребительский спрос.

Потреблением данного товара будем называть фактическую реализацию потребительского спроса на этот товар за единицу времени. Исследование взаимосвязи потребительского спроса на товар с его производством и является предметом обсуждения в настоящей публикации. Заметим, что во многих монографиях и учебниках при изложении основ микроэкономики, как кажется, излишнее внимание уделяют индивидуальному спросу. Такой подход оправдан лишь в тех случаях, когда это делается в целях разработки наиболее эффективных способов продвижения новых товаров на новые рынки [8].

В этой связи Дж. Винер [9] писал: «Критики иногда считали само собой разумеющимся, что экономисты вывели свой закон убывающей полезности из психологического закона Вебера – Фехнера… Я не могу найти ни малейшего подтверждения тому, что ранние теоретики полезности когда-либо слышали об этом законе… Закон убывающей полезности был разработан экономистами на основании их собственных наблюдений, а не заимствован из психологии».

И далее: «Многие теоретики исследовали психологические предпосылки объективного рыночного спроса, так как хотели пролить свет на характер и происхождение спроса, а не потому, что они интересовались психологией потребителя как таковой. Я не нахожу в работах ранних теоретиков полезности подтверждения тезиса многих критиков, что они считали свою теорию готовой взаимодействовать с современной психологией и использовали психоло-гические учения в качестве главных предпосылок, от которых берет начало априори их теории цены» [9].

Законы потребления в действительности определяются психологическими законами. Но, пока эти законы известны лишь в «описательном виде», мы, по примеру «ранних теоретиков полезности», будем опираться исключительно на экономические представления.

1. Спрос на потребительском рынке одного товара

Вначале рассмотрим потребительский рынок одного товара, поставляемого одним продавцом и потребляемого совокупным покупателем. Такое упрощение реальных рыночных отношений позволяет выявить и описать понятия, определяющие рынок как таковой. В зависимости от цены товара p, образуется спрос на товар. Возникает кривая спроса n = n(p), под которой в экономике априори понимается монотонно убывающая функция. Фактически реализованный (за единицу времени) спрос - это потребление товара. Пусть в течение единицы времени цена на товар была постоянна и равна p. За единицу времени совокупный покупатель приобрел n единиц товара.

Тогда стоимость V приобретенного за единицу времени товара равна V = n p (1.1)

Стоимостные величины мы будем измерять в единицах денег (для определенности – $), а количество товаров в «штуках» (кг, баррель, эшелон, карат и т.п.), которое обозначим I. Единица товара будет обозначаться , а размерность цены р будет иметь вид [р] = $ / I. Было бы проще оговорить количество товара как безразмерную величину, что вполне допустимо и упростило бы последующие математические выкладки. Но нормировка вида $ / I имеет более глубокий смысл. Так мы конкретизируем смысл предельных величин, избегая использования операции предельного перехода, которая не всегда правомерна в экономике. Если посмотреть на проблему глубже, то нам придется рассматривать вопрос об измеримости [10] основных категорий теории спроса и производства, т.е. вопрос об их представлении числом.

В древнегреческой натурфилософии любое число рассматривалось как некоторое количество естественных «единиц». После работ Р. Декарта, переосмыслившего античную математику, описанную в «Началах» Евклида, изменился сам смысл понятия «число». Это первым отметил И. Ньютон, писавший, что «под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отношение некоторой величины к другой величине того же рода, принятой (курсив мой. – авт.) нами за единицу» («Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе»). Любопытно, что понятие числа «нуль» для древнегреческих математиков было нонсенсом. Так же бессмысленны для них были понятия математической точки, линии нулевой толщины и т.п. Соответственно, «нуль» и связанные с ним понятия в книгах «Начал» Евклида вообще отсутствуют.

Часть покупателей была готова заплатить за купленный товар более высокую цену, чем p. В результате образовался потребительский излишек W. Эта категория была введена в 1844 г. Ж. Дюпюи [3]: «Окончательная полезность продукта («потребительский излишек» – авт.) выражается в виде разности между жертвой, которую покупатель согласен принести, чтобы приобрести этот продукт, и покупной ценой, которую он должен заплатить за него». Мера полезности товара всегда определяется соответствующим рынком, в связи с чем Ж. Дюпюи подчеркивал, что «в торговле цель всегда одна и та же: заставить оплачивать за товары и оказанные услуги не их истинную ценность, а ту ценность, в которую покупатель оценивает эти услуги… Реальна та полезность, которую покупатели согласны оплачивать» [3]. Как экономическая категория потребительский излишек выражает разность между максимальной суммой U, которую совокупный покупатель готов был заплатить за данный объем данного товара, и его фактическими затратами на его приобретение.

Отсюда понятно, что потребительский излишек (или излишек потребителя) является мерой выгоды совокупного покупателя. Ясно, что, поскольку цена может быть любой положительной величиной, продавец «недополучил» сумму . (1.2)

В терминах непрерывных величин из (1.2) следует, что потребление равно

. (1.3)

Общепринято считать, что кривая спроса (и, следовательно, потребление) монотонно убывает с ростом р. Следовательно, существует биекция между n и p. Представим (1.2) в виде

. (1.4)

У. Джевонс [3,4] ввел понятие ценности товара

U = V + W, (1.5)

равной сумме стоимости товара и потребительского излишка. Под величиной U понимается полезность товара, выраженная в деньгах. Можно сказать, что величина выручки продавца от продажи товара была бы равна его ценности в том случае, если бы каждый покупатель платил за купленную им часть товара максимальную из приемлемых для него цен.

Из соотношений (1.4-5) следует, что

(1.6)

Откуда непосредственно получаем, что

, (1.7)

т.е. в одномерном случае (монопольный рынок) предельная полезность товара совпадает с его ценой. «Ценность» товара выступает как денежная мера полезности товара. Важно, что ценность позволяет численно сопоставить количество различных товаров при их обмене.

2. Цены и потребление на многотоварном конкурентном рынке

Рассмотрим совокупность из m видов конкурирующих товаров. Пусть j -й товар куплен в объеме . Определим: под функцией ценности набора из m конкурентных товаров понимается функция .

Экономический смысл ценности товаров заключается в том, что каждый набор товаров приносит определенную «пользу» совокупному покупателю, и, следовательно, обладает определенной полезностью (или ценностью – выражением полезности в деньгах), равной U. Деньги выступают как единая шкала измерения полезности, позволяющая сравнивать ценность товаров различной природы и качества.

Под потребительской ценой
j- го товара будем понимать среднестатистическое отношение количества отданных за него денег к количеству приобретенного товара . Спрос – это векторная функция при заданном (совокупным продавцом) векторе цен . Спрос определяет количество товаров разного вида, представленных на потребительском рынке, которое совокупный покупатель хочет и может приобрести в данных условиях.

Функцией потребления назовем векторную величину количества реально покупаемых товаров от вектора цен, т.е. потребление – это реализованный спрос.

Стоимость j -го товара имеет вид

(2.1)

Тогда суммарная стоимость совокупности купленных товаров V, которую иногда называют «бюджетом рынка», может быть представлена в виде

. (2.2)

Потребительский излишек (или излишек потребителя) W, введенный в экономику Ж. Дюпюи [5], является мерой выгоды совокупного покупателя от приобретения данного количества товаров в объемах :

(2.3)

Соотношение (2.3) определяет смысл процесса обмена товаров на деньги за единицу времени. За данные объемы товаров совокупный покупатель выплачивает некоторую стоимость V. Она равна сумме денег, потраченных на покупку товаров рассматриваемого набора. Взамен покупатели удовлетворяют некоторые свои потребности. Для сопоставления полезности различных товаров вводится денежная мера, называемая ценностью товаров.

Общепринятым считать [10,11], что совокупный покупатель стремится максимально выгодно для себя сформировать потребительскую корзину товаров. Однако, понятие «максимально выгодно» требует конкретизации. При традиционном изложении основ теории спроса и потребления базовым считается принцип оптимума покупателя (ПрОП), который (см., например, [10, матем. прил. к гл.4]) можно представить как условный критерий вида

(2.4)

Смысл ПрОП очевиден: каков бы ни был бюджет конкурентного рынка , затраты на покупки товаров, представленных на данном рынке, распределятся так, чтобы максимизировать ценность совершенных покупок: если уж деньги потрачены, то они потрачены так, чтобы в среднестатистическом смысле получить «побольше благ». Например, Г.Саймон [12] считает: «Как в основе теории потребления лежит предположение, что покупатель стремится к максимизации полезности, так и в теории фирмы основополагающей является гипотеза о стремлении предпринимателя максимизировать свою прибыль» .

Но в действительности любой субъект экономической деятельности максимизирует не получение благ, а меру выгоды от своих действий. Для производителя, Г.Саймон прав, выгода выражается величиной прибыли (а не выручкой от реализации товара, которая имеет для него смысл полезности от продажи этих товаров). Аналогично и для продавца, который отличается от производителя только природой своих издержек. Но для покупателя мерой выгоды выступает совсем не ценность приобретенного товара, а связанный с покупкой излишек потребителя. Противореча своей же процитированной мысли, Г.Саймон отмечает, что «согласно большинству психологических теорий, побуждение к действию происходит из наличия неудовлетворенных желаний и исчезает после их удовлетворения» [12]. Иначе говоря, для покупателя целью является удовлетворение своих насущных потребностей, минимизируя связанные с этим собственные потери, а вовсе не получение максимального блага (связанное с избыточными для него потерями).

Пример. Пусть есть три человека, с сопоставимыми объемами свободных финансовых средств, которые нуждаются в обновлении личного автотранспорта. И всем, предположим, нравится марка «Форд». Но первый покупает малолитражку «Форд Эскорт», поскольку его личные потребности обусловлены только ежедневными поездками в офис фирмы, где он занимает скромную должность клерка. Второй покупает внедорожник «Форд Эксплорер», поскольку его образ жизни связан с частыми выездами на природу. Третий купил «Форд Фокус», поскольку в своей фирме он занимает должность менеджера среднего звена, и его социальный статус полностью соответствует именно такого класса автомашине.

Реализация критерия ПрОП методом множителей Лагранжа [13], приводит к условию вида [10, мат. прил. к гл.4]:

.

Если сравнить это выражение с очевидным одномерным случаем [4,5], то с необходимостью следует вывод: либо всегда λ = 1, либо значение λ зависит от числа видов конкурентных товаров на потребительском рынке (что маловероятно).

Кроме того, в критерии (2.4) априори считают, что , т.е. используются цены предложения (в традиционном понимании). Но любая потребительская цена (среднестатистическое отношение ) является результатом неявного соглашения между совокупным покупателем и совокупным продавцом
j- го товара. Смысл потребительской цены тождественен понятию «равновесной цены» [10,11].

Следовательно, реален тот спрос, который мы наблюдаем в форме потребления, что соответствует естественнонаучной традиции.

Предложение мы не рассматриваем. Смысл такого шага состоит в том, что предложение – принципиально ненаблюдаемая величина. А с времен Фрэнсиса Бэкона, провозгласившего экспериментирование базовым принципом научного познания, анализ такого рода величин перестал считаться вполне научным занятием.

Если в теории фирмы, как верно утверждает Г.Саймон, основой служит критерий максимизации прибыли: P = max, то в теории потребления его аналогом должен выступать не ПрОП, а критерий W = max. Иначе говоря, покупатель стремится не к максимизации полезности приобретаемых товаров, а к разумному удовлетворению своих реальных потребностей при условии максимизации выгоды от покупки товаров.

Количественной мерой выгоды выступает излишек потребителя. Будем исходить из постулата, согласно которому совокупный покупатель старается максимизировать потребительские излишки от покупки данного набора товаров. Этот принцип, для определенности назовем его критерием максимизации выгоды потребителей, используется нами как априорное предположение для получения вида функции потребления.

В качестве условия, накладываемого на критерий оптимизации, естественно рассматривать не заданный уровень бюджета, а уровень потребления, выражающийся суммарным числом купленных товаров данного типа. Формально сказанное можно записать в виде требования:

(2.5)

В критерии (2.5) постоянство цен, которые зависят от спроса и времени, не постулируется. Постоянство их значений далее понимается только для небольших промежутков времени.

Критерий (2.5) определяет связь между ценностью совокупности товаров и потреблением данных товаров при установленных фиксированных ценах. Используя метод множителей Лагранжа [13], из (2.5) получаем критерий безусловной максимизации вида

(2.6)

где константа , имея размерность цены, одна и та же для всех товаров (не зависит от j). Откуда:

. (2.7)

Логично считать, что критерий максимизации выгоды совокупного покупателя (2.5) в теории спроса должен рассматриваться с тем же почтением, с каким в теории производства рассматривается критерий получения максимума прибыли. Подчеркнем, прибыли, как меры выгоды производителя, а не стоимости товара, т.е. выручки от его продажи.

Легко понять: для производителя (и продавца) полезность (ценность) товара – это выручка от продажи этого товара, которая равна сумме выгоды (прибыли) и потерь (издержек).

Резюмируя эти рассуждения, отметим, что обсуждение правомерности ПрОП, далеко не нами и не здесь начатое, на сегодня остается «открытым».

Мы далее будем исходить из критерия максимизации выгоды совокупного потребителя (2.5) и его следствий (2.7). Из требований (2.7) очевидно, что

, (2.8)

а смысл параметров рынка будет разъяснен несколько позже.

Отсюда, учитывая априорную симметрию функции по всем своим аргументами (товарам), находим

. (2.9)

3. Вид функций, описывающих потребления и производство (торговлю)

При краткосрочном рассмотрении потребительского рынка (когда его параметры неизменны), как отмечено, например, в [15, гл.6], издержки продавца j- го товара всегда представимы в виде

. (3.1)

Смысл этой записи заключен в том, что полные издержки равны сумме постоянных издержек , не зависящих от объема продаж товара, и переменных издержек , пропорциональных объему продаж (а не предложения !). Мы ведем обсуждение в терминах потребления, а не спроса покупателей и предложения продавца, как это делается при традиционном изложении основ теории рынка.

В выражении

параметр (удельные переменные издержки), вообще говоря, зависит от времени, но в любую данную единицу времени

можно считать константой. Все вышесказанное (как и весь материал пункта) относится не только к издержкам продавца, но и затратам производителя. Формально, и издержки, и затраты идентичны, отличаясь только по своей природе.

Общепринято [10,11], что в основе производства (торговли) лежит принцип максимизации прибыли P, которая для j- го товара определяется в виде . Это позволяет записать:

. (3.2)

Критерий (3.2) дает:

(3.3)

Условие имеет смысл только для данного короткого промежутка (единицы) времени. Из выражения из (3.3) следует, что

Будем исходить из того, что состояние рынка
определено значениями издержек продавцов. Но тогда оптимальная торговля в среднестатистическом смысле
должна обеспечивать выполнение условий (3.3) в каждую единицу времени.

Будем полагать функцию переменных издержек

,

с точностью до параметров, единой для всех аргументов.

Тогда можно записать:

, где

(3.4)

Смысл параметра заключается в том, что при таком объеме j- го товара, торговля этим товаром становится безубыточной, т.е. потребительская цена товара становится равной его удельным затратам:

Проинтегрировав это выражение по частям, получим соотношение вида

. Поскольку

,

то в качестве гипотезы примем условия вида

(3.5)

Предполагая, что функция потребительского излишка имеет аддитивный характер: , критерий (2.5) можно представить как условие вида

, (3.6)

где функция интегрального логарифма Li(x) для положительных аргументов определена в виде [15,п.VI.1.2]

.

При действительных x > 0, справедливо соотношение: Li(x) = Ei(ln x),

где интегральная показательная функция Ei(x) имеет вид [15, п.VI.1.1] ,

а интеграл вблизи нуля понимается как его главное значение в смысле Коши. Для приложений немаловажно, что функция Ei(x) представима относительно быстро сходящимся рядом вида [15, п.VI.1.1] где

– константа Эйлера.

Из соотношений (3.5-6) следует, что потребительский излишек имеет вид

.

Сравнив это соотношение с выражением (2.9), приходим к выводу, что гипотеза (3.5) верна. Используя (3.6), из (3.5) для функции ценности получаем выражение вида

(3.7)

Совокупная стоимость товаров выразится в виде

(3.8)

И, наконец, цена j- го товара выразится в виде

. (3.9)

Отметим, что параметр является инвариантом:

.

4. Ценность денег по товарам. Избыток продавца (производителя)

Прежде всего, заметим, что констатация факта купли – продажи вида «Первое лицо продало второму лицу 5 кг картошки за 200 рублей» также верно, как и заявление «Второе лицо продало первому 200 рублей за 5 кило картошки». Это следует из того, что любая покупка – это добровольный процесс обмена, достигаемый, как сказал один философ, «при обоюдном непротивлении сторон». Поэтому, что считать товаром, а что – деньгами, вопрос договоренности. В самом деле, картофель – это товар, который продается по цене 40 руб./ кг. Но деньги – тоже товар, который продается за картошку по цене 25 г/руб. Это цена рублей по картошке. Можно рассматривать и цену r денег по любым другим товарам. По всем этим товарам деньги будут обладать своей полезностью (благом) Т, носителем блага V, стоимостью n, а их «приобретение» будет связано с «выгодой» продавца R.

Заменим используемые понятия на более общие. Вместо ценности U будем рассматривать «благо» A, вместо потребительского излишка W – «выгоду» B, вместо стоимости V – «потери» C, вместо количества товара n – «носитель блага» N, вместо цены p – «удельные потери» c = C / N. В каждом конкретном экономическом процессе благо, выгода и пр. будут иметь свой смысл с позиции субъекта хозяйствования. Составим таблицу 1.

Таблица. 1.

Таким образом, оставляя без внимания прочие функции денег, в первом приближении правомерно считать деньги обычным товаром, обладающим единственным (но зато каким!) видом полезности – высочайшей ликвидностью. Исторически мировыми деньгами стало золото. Золото не подвержено коррозии и обладает высокой прочностью, его немного, но не так мало, как, скажем, платины. Все это обеспечило золоту уникальную роль мировых денег.

Вернемся к обсуждению тематики публикации. По аналогии с излишком потребителя, избыток продавца определим в виде R = T – n, (4.1)

где Т – ценность денег, а n – количество приобретенного покупателями совокупного товара.

Понятно, что R служит мерой выгоды совокупного продавца. Цену денег по j-му товару следует определить в виде

. (4.2)

Ввиду смысловой симметрии, критерий максимизации выгоды совокупного продавца R = T – n = max, по аналогии c условным критерием (2.5), приводит к функционалу вида

(4.3)

Размерность параметра η равна [ η ] = 1 / р = I / $. Из (4.3) находим, что

. (4.4)

Откуда следует, что

В силу симметрии функции , получаем:

(4.5)

Для избытка продавца из (4.5) с учетом (4.1) получаем:

. (4.6)

Параметр η инвариантен:

. (4.7)

Производная от избытка продавца (производителя) по имеет вид

(4.8)

Следовательно, избыток продавца и ценность денег по товару монотонно возрастают:

. (4.9)

Заключение

Предложенный подход радикально отличается от традиционного изложения основ микроэкономики. В частности, следует отметить:

1. Потребление рассматривается как наблюдение (в смысле естественнонаучной традиции) спроса. Потребительская цена рассматривается как среднестатистическое отношение стоимости товара, купленного за единицу времени, к его количеству. Потребительская цена по смыслу близка равновесной цене, используемой при традиционном изложении теории спроса.
   

1. Предложение не рассматривается (за ненадобностью). Смысл такого шага состоит в том, что предложение – принципиально ненаблюдаемая величина. Со времен Ф. Бэкона, провозгласившего экспериментирование основополагающим принципом науки, главным методом научного познания, анализ такого рода величин перестал считаться вполне научным занятием.
   
2. Не столь важно, как много данного товара предприниматель произвел, важно, сколько (в рассматриваемый промежуток времени) он его реализовал. По сути, эта мысль лежала в основе планируемых А.Н. Косыгиным реформ. Оцененная «с классовых позиций» руководством КПСС, идея председателя Совмина была отвергнута, а сами «косыгинские реформы», по существу, свелись к «косметическим» преобразованиям экономики СССР.
   
3. Вместо принципа оптимума потребителя используется критерий максимизации излишка совокупного потребителя. Этот критерий для теории рынка аналогичен принципу максимизации прибыли в теории фирмы. Суть в том, что совокупный покупатель стремится удовлетворить свои насущные потребности, избежав излишних затрат, а не в том, чтобы получить «как можно больше благ» (к чему сводится принцип оптимума потребителя).
   
4. Состояние (значения характеристик) потребительского рынка определено затратами производителей (продавцов). В выражениях для базовых категорий потребления затраты (за единицу времени) играют роль параметров состояния. Это позволяет получить функциональные выражения для категорий производства (торговли) и потребления, а также количественно выразить ценность денег по товарам рынка.

Библиографический список

1. Jevons W.S. Notice of a general mathematical theory of political economy. – British Assoc. For the Advancement of Science. // Report of the 32 Meeting Transaction of the Sections. L.J. Murray. 1862, р.158-159.
2. Jevons W.S. Brief of a general mathematical theory of political economy. // Journal of the Statistical Society of London. 1866. XXIX. № 2, р. 282-287.
3. Dupuit J. De la mesure de l`utilite des travaux publics. // Annales des ponts et chaussees. 1844, VIII, ser. 2, р. 332-375.
   
4. Черепанов Е.В. К вопросу формализации базовых понятий теории потребительского спроса. // Математические методы и компьютерные технологии в маркетинговых и социальных исследованиях. Сборник научных работ. М.: Академия менеджмента инноваций, 2004, с.19-24.
5. Черепанов Е.В. Математическое введение в микроэкономику. М.: Академия менеджмента инноваций, 2005.
6. Аристотель. Никомахова этика. // Философы Греции. Сер.: Антология мысли. М.: Эксмо – пресс, 1999, с. 793-1026.
7. Viner J. Cost curves and supply curves // Readings in Price Theory. Homewood, 1952.
8. Пашин Ю.А. Маркетинговые исследования как основа рекламной деятельности при продвижении товаров на рынках. // Анализ социально-экономических и политических процессов и систем. Сборник научных работ, вып.1. М.: Академия менеджмента инноваций, 2005, с.67-82.
9. Viner J. The utility concept in value theory and its critics. // Journal of Political Economy. 1925, v. XXXIII, № 4, р. 369-387; № 6, р. 638-659.
10. Пиндайк Р.С., Рубинфельд Д.Л. Микроэкономика. / Пер. с англ. М.: Дело, 2000.
11. 50 лекций по микроэкономики. В 2-х томах. С.-Пб.: Экономическая школа, 2000. Том 1-й. (ISBN 5-900428-51-6).
12. Simon H. Theories of decision-making in economics and behavioral science // Microeconomics: Selected Reading. Ed. by E. Mansfield. N.Y., 1971.
13. Уайльд Д. Методы поиска экстремума. / Пер. с англ. М.: Наука, 1967.
14. Ковалев С.В. Экономическая математика. М.: Крокус, 2010.
15. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. / Пер. с нем. М.: Наука, 1977.

---

Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Черепанов Евгений Васильевич»