УДК 517.954

КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Лесев Вадим Николаевич1, Желдашева Анна Олеговна2
1Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений
2Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений

Аннотация
В работе исследована краевая задача для параболического уравнения в односвязной области. Для случаев прямой и обратной параболичности исходного уравнения получены априорные оценки, гарантирующие существование полусильного решения исследуемой задачи.

Ключевые слова: априорная оценка, параболическое уравнение, энергетические неравенства


CLASSICAL PROBLEM FOR A PARABOLIC EQUATION OF SECOND ORDER IN A RECTANGULAR AREA

Lesev Vadim Nikolaevich1, Zheldasheva Anna Olegovna2
1Kabardino-Balkar State University Н.M. Berbekova, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of the differential equations
2Kabardino-Balkar State University Н.M. Berbekova, Senior Lecturer, Department of Differential Equations

Abstract
We study the boundary value problem for a parabolic equation in a simply connected region. In cases of direct and inverse parabolic original equation, a priori estimates , semistrong guarantee the existence of solutions of the problem.

Keywords: energy inequality, parabolic equation, priori estimate


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Лесев В.Н., Желдашева А.О. Классическая задача для параболического уравнения второго порядка в прямоугольной области // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2016/02/64875 (дата обращения: 20.11.2016).

Рассмотрим уравнение

,     (1)

где  при  и может обращаться в нуль при  и .
Пусть  – конечная односвязная область плоскости независимых переменных  с границей  – часть Г, где характеристическая форма уравнения (1) , а  совпадает с множеством точек , для которых функции  – направляющие косинусы вектора нормали к Г, .
Заметим, что уравнение (1) является прямым параболическим уравнением при  и обратно параболическим [1] при  и .
Задача G. Найти регулярное решение  уравнения (1) в области из класса , удовлетворяющее краевому условию

.      (2)

Пусть L* – оператор, сопряженный по Лагранжу с оператором L:

,      (3)

 пространство Соболева [2] со скалярным произведением  и нормой 
Обозначим через  множество функций  из класса , для которых  и соблюдено краевое условие (2), а через  – множество функций  из W, для которых  и выполнено краевое условие

,     (4)

здесь  – множество точек , где функция .
Для любых функций  и  справедливо равенство

.      (5)

Действительно, пусть  – область прямой параболичности уравнения (1), а  и  – области обратной параболичности (1). Тогда, будем иметь [3]:


где  – элементы длины , () – направляющие косинусы внешней нормали N к границам областей . Принимая во внимание условия (2) и (4), а также и свойства направляющих косинусов, из последнего выражения получаем равенство (5).
В соответствии с этим задачу : найти функцию  из класса , удовлетворяющую уравнению (3) в области и краевому условию (4), будем называть сопряженной задаче G.
Слабым решением задачи G назовём любую функцию , для которой

,

а слабым решением задачи  – функцию , для которой

.

Для любых функций  и  имеют место энергетические неравенства

 ,      (6)
 ,      (7)

где  – положительные постоянные, независящие от , соответственно.
В самом деле, пусть  – произвольная функция класса , обладающая тем свойством, что

.      (8)

Из очевидных тождеств

,

В результате почленного сложения и применения формулы Грина аналогично [4, 5], нетрудно убедиться в справедливости равенства:

      (9)

Из (9), с учётом (2) и (8), заключаем, что

,      (10)

где

.

Далее, пользуясь хорошо известным неравенством , получаем

.

Из последнего неравенства и (10), убеждаемся в справедливости (6). Аналогично может быть получена априорная оценка для.
Энергетические неравенства (6) и (7) – необходимое и достаточное условие существования при любой  полусильного решения.


Библиографический список
  1. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 428 с.
  2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – М.: Наука, 1988. – 336 с.
  3. Шериев М.Г., Лесев В.Н. Локальная краевая задача для параболического уравнения с переменными коэффициентами // Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции «Молодежный форум: технические и математические науки». – Воронеж, 2015. №8,ч.4. – С. 339-342.
  4. Барагунова М.А., Лесев В.Н. Об одном частном случае классической краевой задачи для уравнения высокого порядка // Сборник статей Международной научно-практической конференции «Теоретические и практические вопросы науки xxi века». Уфа, 2015. С. 3-5.
  5. Желдашева А.О., Лесев В.Н., Думаева Л.В. Нелокальная краевая задача для вырождающегося уравнения второго порядка с разрывными условиями сопряжения // Theoretical & Applied Science. 2015. № 8 (28). С. 76-79.


Все статьи автора «Желдашева Анна Олеговна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация