Рассмотрим уравнение

где при
и может обращаться в нуль при
и
,
.
Пусть – конечная односвязная область плоскости независимых переменных
с границей
– часть Г, где характеристическая форма уравнения (1)
, а
совпадает с множеством точек
, для которых функции
– направляющие косинусы вектора нормали к Г,
,
.
Заметим, что уравнение (1) является прямым параболическим уравнением при и обратно параболическим [1] при
и
.
Задача G. Найти регулярное решение уравнения (1) в области из класса
, удовлетворяющее краевому условию

Пусть L* – оператор, сопряженный по Лагранжу с оператором L:

пространство Соболева [2] со скалярным произведением
и нормой
Обозначим через множество функций
из класса
, для которых
и соблюдено краевое условие (2), а через
– множество функций
из W, для которых
и выполнено краевое условие
.gif)
здесь – множество точек
, где функция
.
Для любых функций и
справедливо равенство
.gif)
Действительно, пусть – область прямой параболичности уравнения (1), а
и
– области обратной параболичности (1). Тогда, будем иметь [3]:

.gif)
где – элементы длины
, (
) – направляющие косинусы внешней нормали N к границам областей
. Принимая во внимание условия (2) и (4), а также и свойства направляющих косинусов, из последнего выражения получаем равенство (5).
В соответствии с этим задачу : найти функцию
из класса
, удовлетворяющую уравнению (3) в области и краевому условию (4), будем называть сопряженной задаче G.
Слабым решением задачи G назовём любую функцию , для которой
.gif)
.gif)
а слабым решением задачи – функцию
, для которой
.gif)
.gif)
Для любых функций и
имеют место энергетические неравенства
.gif)
.gif)
где – положительные постоянные, независящие от
, соответственно.
В самом деле, пусть – произвольная функция класса
, обладающая тем свойством, что
.gif)
Из очевидных тождеств
.gif)
.gif)
В результате почленного сложения и применения формулы Грина аналогично [4, 5], нетрудно убедиться в справедливости равенства:

Из (9), с учётом (2) и (8), заключаем, что
.gif)
где
.gif)
Далее, пользуясь хорошо известным неравенством , получаем
.gif)
Из последнего неравенства и (10), убеждаемся в справедливости (6). Аналогично может быть получена априорная оценка для.
Энергетические неравенства (6) и (7) – необходимое и достаточное условие существования при любой полусильного решения.
Библиографический список
- Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 428 с.
- Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – М.: Наука, 1988. – 336 с.
- Шериев М.Г., Лесев В.Н. Локальная краевая задача для параболического уравнения с переменными коэффициентами // Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции «Молодежный форум: технические и математические науки». – Воронеж, 2015. №8,ч.4. – С. 339-342.
- Барагунова М.А., Лесев В.Н. Об одном частном случае классической краевой задачи для уравнения высокого порядка // Сборник статей Международной научно-практической конференции «Теоретические и практические вопросы науки xxi века». Уфа, 2015. С. 3-5.
- Желдашева А.О., Лесев В.Н., Думаева Л.В. Нелокальная краевая задача для вырождающегося уравнения второго порядка с разрывными условиями сопряжения // Theoretical & Applied Science. 2015. № 8 (28). С. 76-79.