Рассмотрим уравнение

,     (1)

где  при  и может обращаться в нуль при  и , .
Пусть  – конечная односвязная область плоскости независимых переменных  с границей  – часть Г, где характеристическая форма уравнения (1) , а  совпадает с множеством точек , для которых функции  – направляющие косинусы вектора нормали к Г, , .
Заметим, что уравнение (1) является прямым параболическим уравнением при  и обратно параболическим [1] при  и .
Задача G. Найти регулярное решение  уравнения (1) в области из класса , удовлетворяющее краевому условию

.      (2)

Пусть L^* – оператор, сопряженный по Лагранжу с оператором L:

,      (3)

 пространство Соболева [2] со скалярным произведением  и нормой 
Обозначим через  множество функций  из класса , для которых  и соблюдено краевое условие (2), а через  – множество функций  из W, для которых  и выполнено краевое условие

,     (4)

здесь  – множество точек , где функция .
Для любых функций  и  справедливо равенство

.      (5)

Действительно, пусть  – область прямой параболичности уравнения (1), а  и  – области обратной параболичности (1). Тогда, будем иметь [3]:

где  – элементы длины , () – направляющие косинусы внешней нормали N к границам областей . Принимая во внимание условия (2) и (4), а также и свойства направляющих косинусов, из последнего выражения получаем равенство (5).
В соответствии с этим задачу : найти функцию  из класса , удовлетворяющую уравнению (3) в области и краевому условию (4), будем называть сопряженной задаче G.
Слабым решением задачи G назовём любую функцию , для которой

, ,

а слабым решением задачи  – функцию , для которой

, .

Для любых функций  и  имеют место энергетические неравенства

 ,      (6)
 ,      (7)

где  – положительные постоянные, независящие от , соответственно.
В самом деле, пусть  – произвольная функция класса , обладающая тем свойством, что

.      (8)

Из очевидных тождеств

,

В результате почленного сложения и применения формулы Грина аналогично [4, 5], нетрудно убедиться в справедливости равенства:

      (9)

Из (9), с учётом (2) и (8), заключаем, что

,      (10)

где

.

Далее, пользуясь хорошо известным неравенством , получаем

.

Из последнего неравенства и (10), убеждаемся в справедливости (6). Аналогично может быть получена априорная оценка для.
Энергетические неравенства (6) и (7) – необходимое и достаточное условие существования при любой  полусильного решения.

1. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 428 с.
2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – М.: Наука, 1988. – 336 с.
3. Шериев М.Г., Лесев В.Н. Локальная краевая задача для параболического уравнения с переменными коэффициентами // Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции «Молодежный форум: технические и математические науки». – Воронеж, 2015. №8,ч.4. – С. 339-342.
4. Барагунова М.А., Лесев В.Н. Об одном частном случае классической краевой задачи для уравнения высокого порядка // Сборник статей Международной научно-практической конференции «Теоретические и практические вопросы науки xxi века». Уфа, 2015. С. 3-5.
5. Желдашева А.О., Лесев В.Н., Думаева Л.В. Нелокальная краевая задача для вырождающегося уравнения второго порядка с разрывными условиями сопряжения // Theoretical & Applied Science. 2015. № 8 (28). С. 76-79.

Все статьи автора «Желдашева Анна Олеговна»