УДК 510

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА ПИ С ПОМОЩЬЮ ОБРАЗОВ КСС

Лазуко Алина Георгиевна1, Коновалов Владислав Сергеевич2, Васильев Николай Геннадьевич3
1Пензенский Государственный Университет, студентка
2Пензенский Государственный Университет, студент
3Пензенский Государственный Университет, кандидат технических наук, доцент, кафедра Экономической кибернетики

Аннотация
Рассмотрено описание числа Пи и произведена попытка его визуализации. Математические величины скрывают за собой достаточно сложные процессы. Поэтому особенно важно не просто изучить их, а именно визуализировать с помощью определенных моделей. Цель работы: рассмотреть число Пи в сравнении с другими математическими величинами и визуализировать их. Материалы и методы. В данном исследовании использована КСС (компьютерная система, обладающая собственными способностями) для интерпретации математических величин. Визуализация выполнена на основе уже существующего представления числа Пи. Результаты. Изучены характеристики числа Пи и других математических величин. В процессе было выявлено, что существующие модели числа не демонстрируют в полной мере динамичность величин. Выводы. Установлена возможность использования демонстрационной среды КСС "Demomod" при визуализации моделей числа. При этом визуализация с помощью «живой» системы КСС позволяет детально рассмотреть модели числа Пи в образах.

Ключевые слова: визуализация, КСС, математическая величина, СSS, число Пи


THE VISUALIZATION OF PI ON THE MODELS OF KSS

Lazuko Alina Georgievna1, Konovalov Vladislav Sergeevich2, Vasilyev Nikola yGennadyevich3
1Penza State University, student
2Penza State University, student
3Penza State University, candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of Economic cybernetics

Abstract
The article reviews the description of Pi and it's visualization. The mathematical values are very complicated. As well as learning these quantities, it is also important to visualize them using especial models. The purpose of this research is consideration of Pi comparing with other mathematical values and visualization. Materials and methods. We use CSS (computer system which has the own possibilities) to interpret mathematical quantities. The visualization bases on the previous Pi presentation. Results. The article reviews the characteristics of Pi and other mathematical variable. We have educed that exist models don't demonstrate in full measure the responsiveness of quantities. Conclusions. The possibility of using demonstration model of CSS "Demomod" for visualization of numerical models is recognized. The visualization using "alive" system CSS allows to view models of number in details.

Keywords: mathematical quantity, Pi, visualization


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Лазуко А.Г., Коновалов В.С., Васильев Н.Г. Визуализация понятия числа ПИ с помощью образов КСС // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/06/55037 (дата обращения: 20.11.2016).

В рамках курса «Семантические информационные системы» нами была рассмотрена сущность семантики. Семантика – это отрасль семиотики, изучающая отношения между десигнатом и денотатом, между именем и десигнатом, между сигнификатом и именем, денотатом и собственно знаком (именем). Семантика – означающий. Основу семантики составляет модель знака, в рамках которой обусловливается все возможные комбинации между четырьмя ее компонентами [1]. Важно различать понятия «означающий» и «означаемый». Под означаемым понимается динамично существующая система, способная быть/мыслить, в том числе давать имена, означать представления и понятия, возникающие в процессе зарождения, формирования и существования языка, которые являются означающим для других. Внешне видимый знак есть означающий для другого. Математические знаки, в том числе число π, лишь означающие, визуализирующие скрывающиеся за ними процессы, определяющие наличие их понимания. Раскрытие содержания означающего, внешне видимой математической конструкции или знака называется интерпретацией. В математике роль интерпретации трудно переоценить. Для интерпретации тех или иных явлений мы использовали КСС. КСС-компьютерная система, обладающая собственными способностями, в частности иметь свои понятия и понятие система в частности. КСС является реальным процессом супервзаимодействия или так называемым РУП (рациональным унифицированным процессом), визуализирующим свои состояния и их изменения, т.е. информация РУП является базовым процессом, в рамках которого сегодня строятся самые различные информационные системы, предназначенные для реализации систем менеджмента качества (СМК), и реализуются самые разные подходы к построению систем ВРМ [2]. КСС по своей сути представляет собой свое понятие системы, которое будучи визуализированным, подлежит исследованию для получения определенной информации об изучаемом объекте (явлении), рассматриваемом как система. КСС предназначена для упрощения восприятия человеком характеристик и свойств рассматриваемых объектов и процессов, представленных, как правило, в виде огромных объемов данных. С помощью динамично возникающих и становящихся самими собой образов КСС как реакций на внешние возмущения, источниками которых могут являться любые подлежащие управлению объекты, мы можем увидеть реальные процессы, измерить их характеристики и использовать их для правления с определенной целью. Таким образом, КСС визуализирует то, что обычно человек лишь понимает, но никогда не видит, может быть кроме специально введенных кратких обозначений своих пониманий, к которым относятся обозначения математических абстракций [3]. Одной из фундаментальных математических абстракций является число π, которому до сих пор уделяется огромное внимание исследователей. Британский математик Джонс впервые использовал греческую букву (начальную букву от слов греческого языка, которые переводятся на русский язык как окружность и периметр) для обозначения данного числа [4]. Илья Рипс, математик, профессор Еврейского Университета в Иерусалиме, называет число π «жемчужиной красоты в математике». Число π является иррациональным, то есть последовательность его цифр нециклична. Владимир Горбацевич, доктор физико-математических наук, профессор, подчеркивает трансцендентность числа π, называя его «выходящим за пределы разума». Ученые рассчитали данное число с точностью до десяти триллионов цифр после запятой. Все чаще число π встречается не только в математике, но и в физике, генетике, оно контролирует многие жизненные процессы. Американский музыкант Майк Блэйк переложил число π на музыку, получив красивую гармоничную мелодию, опираясь на свою интуицию[5].

В процессе проведения данной работы, мы рассмотрели материал, основанный на работах Мартина Кржвинского. Мартин Кржвинский изучая число Пи визуально представил его в красочных моделях. В результате получилось достаточно наглядное представление важного математического понятия. Лекция [6], изученная нами, представлена на английском языке. Мы сделали перевод материала и в данной статье предлагаем лишь основные положения, необходимые для интерпретации одной из фундаментальных математических абстракций – числа π.

Перевод:

Визуализация данных является способом представления информации творческим, интересным, занимательным путем, с помощью которого ученые могут представлять графики с разбросанными черно-белыми скучными кружочками. Но если вы хотите рассказывать об информации и данных публике, вы должны быть находчивыми, вы должны быть интересными, а информация и данные – красочными. И мы подумали, что мы могли бы взглянуть на работы такого ученого, как Мартин Кржвински( Krzywinski). Сегодня мы посмотрим на его многочисленные творческие работы. Мы посмотрим на то, как он находит красоту, можно сказать, артистизм в хаотичности числа Пи.


Рис. 1 – Визуальное представление числа Пи

Это одна из самых простых форм изображения, которую он создал. Всё, что он сделал – взял число Пи и каждой из цифр, его составляющих, присвоил собственный цвет. Итак, он начал с 3, и 3 – это оранжевый, далее 1 – это красный, 4 – это желтый, снова 1 – красный, затем 5 – это зеленый, и, наконец, 9 – это фиолетовый. Эти узоры отражают полную хаотичность числа Пи. Но на этом он не остановился. Он начал закрашивать центр кружков, используя цвет следующего числа. Это выглядит так:


Рис. 2 – Группировка чисел одного цвета

Вы можете увидеть, что он соединил цифры на этой картинке, которые имеют одинаковые цвета, т.е. имеет одинаковое число. Они создают разъединённую сеть. В связи с тем, что последовательность цифр в числе Пи оказывается нарезанной на длинные куски, равные ширине прямоугольника, которым оно представлено, то этот способ напоминает Пифограммы А.А.Зенкина. Другой способ представления числа – это отображения числа Пи в спирали, как здесь.


Рис. 3 – Спиральное представление числа Пи

Он пошёл ещё дальше и получил следующее:


Рис. 4 – Визуальная модель числа Пи

Он соединил цифры между собой. Итак, начнем с трёх. Соединим тройку с единицей, затем соединим единицу с четверкой, затем вернемся к единице, теперь соединим с пятеркой, с девяткой, и всё соединяется подобным образом. И при этом каждое число имеет свой цвет. Т.е. это похоже на путь, который соединяет числа в круге от 0 до 9. И получается путь, который создаёт этот красивейший круг, частицу искусства.

Поговорим о серьезной математике. О таком предмете, как комбинаторика, которая очень наглядна. Изображать математику можно в картинках, диаграммах и других подобных вещах. Пример, который мы имеем, теперь можно рассмотреть с другой стороны. Итак, мы думаем, что Пи довольно хаотично. Мартин сравнил Пи с несколькими случайно полученными (сгенерированными) числами.


Рис. 5 – Сравнение Пи со случайно сгенерированным числами

Т.е., сгенерировав все эти Пи, эти случайно полученные числа, он отобразил их подобным образом, и вы можете наблюдать одинаковые типы оттенков. Пи имеет вид случайно полученного числа.

Другое отображение числа Пи Мартином имеет ту же идею круговых путей, но с использованием маленьких точек на внешней стороне круга, чтобы показать нам, где линия входит внутрь окружности и выходит за ее пределы. Это напоминает меру Лебега или точнее меру Жордана, в которой есть внутренняя и внешняя границы.


Рис. 6 – Модель числа Пи с использованием точек на внешней стороне круга

Т.е. если у нас 3.1, то из тройки идет в единицу, затем за тройкой отображается маленькая точка, говорящая нам, что путь пошел в единицу. За единицей отображается точка, что значит – путь пришел из тройки. Почти все они имеют одинаковые размеры. Но посмотрите на эти две большие фиолетовые точки. Фиолетовый цвет говорит о том, что это цифра 9. Это демонстрирует определенную последовательность числа Пи – последовательность 9 (9999) или точка Фейнмана.

    Анализ работы Крживнского.

Основным недостатком данной работы является тот факт, что автор не сформулировал цель своей работы. Он просто проделал большую работу, используя существующую десятичную систему счисления и записи чисел, в котором используется алфавит из 10 символов, которые он заменил на разные цвета точек. И далее пытался вскрыть закономерности, которые должны присутствовать в результатах такого анализа при помощи получаемых образов. Его работы можно назвать исследованием, проведенным на удачу. Кроме этого, он прошел мимо весьма интересного результата, представленного на рис. 7, который просто подталкивает к проведению аналогии с более развитой математической конструкцией – мерой Жордана (см. рис. 7).


Рис. 7 – Интерпретация меры Жордана

Мера Жордана – один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного объема в n-мерном евклидовом пространстве. Можно считать интересным результат, представленный на рис.5, который показывает, что образы, полученные на круговых путях, очень похожи для любых сгенерированных случайных последовательностей. Автор делает вывод о том, что число Пи случайное. Но, пожалуй, более важно здесь то, что это число есть некое разбиение бесконечной последовательности натурального ряда, которое можно использовать в качестве качественной шкалы, связывающей количество с качеством.

Ведь, что такое число π? Это число, получаемое как результат отношения измеряемых характеристик длины окружности и ее диаметра. В силу того, что КСС является визуализацией различных отношений, задаваемых с различной точностью при помощи значений ее параметров, то появляется надежда на то, что ее можно использовать в качестве процесса, обобщающего это число, путем его вычисления и визуализации скрываемых в нем закономерностей, связанных с точностью задания. Мы преследовали цель показать, что КСС способна порождать структуры, аналогичные тем, которые получил автор анализируемой работы.

На основе рассмотренного материала мы попытались интерпретировать визуальное представление числа Пи с помощью КСС.

Для получения в КСС образа, воссоздающего представленную выше визуализацию числа Пи, были проведены следующие опыты:

Изначально мы определили, что подобный образ можно создать с помощью КСС первого уровня сложности организации, так как именно в ней есть возможность исследовать отношения значений параметров, а число π есть ни что иное, как отношение:


Рис.8 –Фрагмент динамично-существующего образа КСС 1-ого уровня сложности организации (стационарное состояние)

Сразу же стало очевидно, что изобразительный примитив «точка», стоящий по умолчанию, не отвечает нашим требованиям к визуализации. Тогда мы предположили, что примитив «локальный луч» сможет реализовать данную задачу с большей вероятностью:


Рис. 9– Фрагмент динамично-существующего образа КСС с примитивом рисования «локальный луч»

На данном образе, созданным КСС, отображается 658 точек, в отличие от образа числа Пи, который имеет лишь 10 точек от 0 до 9: В связи с данной разницей в количестве точек сделаем несколько экспериментов с уменьшением точек-следов образа первого уровня КСС. Для начала мы взяли число Пи, которое равно 3.14159265359 и попробовали сделать шаг приращения равным данному числу. Тем самым мы получили следующий образ КСС первого уровня:


Рис. 10 – Фрагмент динамично-существующего образа КСС 1-ого уровня с шагом приращения = 3.14159265359

Мы видим, что при f = p изображающие точки образа поменялись местами. Далее мы попробовали уменьшить число ИТ КСС умножив число Пи на 10:


Рис. 11 – Сравнение образа числа Пи и образа КСС

Здесь мы можем увидеть определенное сходство образов, хотя и не полное.

Для достижения полного сходства мы попробовали полученное число (31,141592..) умножить на 2, тем самым ещё сократив число точек:


Рис. 12 – Фрагмент динамично-существующего образа КСС образа 1-ого уровня с шагом приращения = 62,283

На полученном образе мы видим, что ярко выраженных «пучка» точек осталось четыре, что не соответствует нашей задаче.

В последующих экспериментах, пытаясь различными способами подобраться к воссозданию точной копии образа числа Пи, которое было получено в [6] мы получали огромное количество разных, уникальных и при этом неповторимых образов, в том числе образ, близкий к спиральному представлению числа Пи:


Рис. 13 – Фрагмент динамично-существующего образа КСС образа 1-ого уровня, приближенный к спиральному представлению числа Пи

После множества удивительных по своей уникальности и красоте экспериментов, мы не смогли подойти к образу числа Пи ближе, чем при f1 и f2 равных 31,141592…:


Рис.14 – Фрагмент динамично-существующего образа КСС образа 1-ого уровня, приближенный к визуальной модели числа Пи

В данной работе нами были исследованы материалы зарубежных ученых, описывающие число Пи и его образы. Мы рассмотрели сравнение числа Пи с другими важными математическими величинами. С помощью образов КСС мы провели интерпретацию числа Пи. Эксперименты, проведенные в процессе работы, помогли достичь желаемого результата и получить образ, приближенный к визуальной модели числа Пи. Таким образом, КСС, будучи «живой» системой [7], помогло детально визуализировать рассматриваемые модели числа Пи. И наметить план дальнейшей работы по использованию КСС. В частности более подробно рассмотреть подход и представления К. Жордана, который внес огромный вклад в развитие математики, и далее использовать КСС для формализации более важных отношений, в частности экономических, что сегодня является до сих пор непреодолимой проблемой при построении информационных систем управления бизнес-процессами.


Библиографический список
  1. Семиотика: Антология / Сост. Ю.С. Степанова. М., 2001, с. 5 – 42.
  2. Чеботарев В.Г., Громов А.И. Эволюция подходов к управлению бизнес-процессами Журнал Бизнес-информатика. Избранные статьи. 2013 г. стр. 38-45.
  3. Васильев Н.Г. Расширенный взгляд на модели и моделирование/ Васильев Н.Г., Д.Н. Васильев, Федотов Н.Г. // Сборник статей VIII Всероссийской научно-технической конференции Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов (25-26 мая 2010 г.)
  4. Прохоров А.М. Большая советская энциклопедия. В 30 томах/ А.М.Прохоров – Изд.: Советская энциклопедия, 1969.
  5. Роковые числа. Нумерология. [Электронный ресурс]. URL:http://russia.tv/brand/show/brand_id/57833
  6. Numberphile:[Электронный ресурс]. URL:http://www.numberphile.com/
  7. Васильев Н.Г. Распознавание образов как приложение для квантового компьютера (статья)/ Васильев Н.Г., Федотов Н.Г., Васильев Д.Н.//Известия ВУЗов. Поволжский регион. Технические науки №1 (17)- 2011 г.


Все статьи автора «Коновалов Владислав Сергеевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация