УДК 512.541.3

О ПОДПРЯМЫХ СУММАХ ДЕЛИМЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ГРУПП И ИХ БЕСКОНЕЧНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОДГРУПП

Трухманов Вячеслав Борисович
Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
В данной статье рассматриваются абелевы группы, являющиеся подпрямой суммой двух делимых рациональных групп, порождающая группа которой либо группа рациональных чисел, либо ее факторгруппа по некоторой подгруппе, а также подгруппы таких групп, являющиеся подпрямой суммой бесконечных циклических групп.

Ключевые слова: абелева группа без кручения, делимая абелева группа, подпрямая сумма абелевых групп, рациональная группа


ABOUT SUBDIRECT SUM OF DIVISIBLE RATIONAL GROUPS AND THEIR INFINITE CYCLIC SUBGROUP

Trukhmanov Vyacheslav Borisovich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
candidate of physico-mathematical sciences, associate professor

Abstract
This article discusses the Abelian groups that are subdirect sum of two divisible rational groups, which generates a group or a group of rational numbers, or its quotient of a subgroup, and sub-groups of such groups, which are subdirect sum of infinite cyclic groups.

Keywords: Abelian torsion-free group, divisible group, rational group, subdirect sum of Abelian groups


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Трухманов В.Б. О подпрямых суммах делимых рациональных групп и их бесконечных циклических подгрупп // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/52989 (дата обращения: 04.06.2017).

Абелевы группы без кручения ранга 2, представимые в виде подпрямой суммы абелевых групп без кручения ранга 1 образуют важный для изучения подкласс класса абелевых групп без кручения конечного ранга, а описание таких групп достаточно актуально в теории абелевых групп. В работах автора [1] – [4] ранее изучались группы из данного подкласса.

Определение. Подгруппа G прямого произведения  абелевых групп называется подпрямой суммой групп Аi, если для каждого i отображение  является эпиморфизмом, где – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель Аi  [5].

Всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы.

Известно [5], что группа G является подпрямой суммой групп А и В тогда и только тогда, когда существует группа F и такие эпиморфизмы и
, что , для любых элементов и
Группу F назовем порождающей группой, а эпиморфизмы и – определяющими эпиморфизмами для группы G – подпрямой суммы групп А и В.


Необходимые термины и обозначения приведены в работах [1-10].

В данной статье продолжено изучение строения одного подкласса класса абелевых групп – так называемых специальных или s-групп (определение дается ниже), а также их подгрупп, являющихся esn-группами.

Далее, всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В – рациональные делимые, G – подпрямая сумма групп А и В, порождающую группу которой обозначаем через F, а также обозначим и . Символом обозначаем циклическую абелеву группу, порожденную элементом , через Δ- множество всех подпрямых сумм групп А и B с порождающей группой Q/Z.

Определение 1. Абелева группа называется рациональной если она изоморфна группе Q рациональных чисел или ее подгруппе [5].

Определение 2. Абелева группа А называется делимой, если для любого натурального числа п: пА = А [5].

Пусть Т – некоторое числовое множество, х – некоторый элемент произвольной группы, тогда будем обозначать множество .

Определение 3. Пусть группа , , . Будем говорить, что группа G обладает основным элементом , если , . Такую группу мы будем называть специальной или s-группой.

Определение 4. Если для некоторого данного числа п ≠ 1, группа H является подпрямой суммой групп и , порожденной конечной циклической группой Zпаддитивной группой кольца вычетов по модулю п – то группу H будем называть элементарной специальной п-группой (esп-группой) [4].

Пусть G – специальная группа с основным элементом . Для любого натурального числа введем следующее обозначение:

.

Также будем использовать стандартные обозначения: НОД(х, у) – наибольший общий делитель чисел х и у, НОК(х, у) – соответственно, наименьшее общее кратное.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. , для любого целого числа k.

Доказательство. Пусть . Предложение очевидно для взаимно простых чисел k и d, так как и, следовательно, по определению, принадлежит .

Пусть , и пусть . Поскольку, очевидно, , а также, как известно, числа и взаимно просты, то получаем:


ЛЕММА. Множество с операцией сложения является группой.

Доказательство. Рассмотрим два произвольных элемента  и  из множества и покажем, что их сумма также принадлежит Пусть , причем . Тогда

 

.

Поскольку, как нетрудно видеть, , то, следовательно, . Откуда вытекает, что есть группа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть Gs-группа с основным элементом . Тогда является esп-группой для любого натурального числа .

Доказательство. Из определения группы , очевидно, следует, что , для любого натурального числа .

Пусть m и n – натуральные числа, причем Рассмотрим два возможных случая для чисел m и n.

1) , причем , Тогда, по теореме из [1] и определению esn-группы, для некоторого числа , взаимно простого с числом , элемент , а поскольку , то .

Пусть , покажем, что элемент . Действительно,  .

2) . Тогда, по теореме из [1], для некоторого числа , взаимно простого с числом n, элемент и, аналогично первому случаю, . Следовательно, аналогично доказывается, .

Таким образом, как в первом, так и во втором случае, доказано, что проекция есть эпиморфизм.

Аналогично доказывается, что проекция также есть эпиморфизм.

Далее покажем, что группа является esn-группой. Действительно, пусть элемент , тогда, по теореме из [1] и следствию из нее, имеем: элементы и , но элементы  и , для каждого натурального числа , такого что Из чего, по определению, следует, что если элемент, то элементы  и , но элементы  и , для каждого натурального числа , такого что .  Откуда, а также из теоремы III [4], непосредственно получаем, что группа является esn-группой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть n – натуральное число, причем , Н esn-группа. Тогда существует s-группа G такая, что .

Доказательство. Пусть G – некоторая s-группа с основным элементом . Поскольку, , , то, по определению групп A и B,
для любых целых чисел m и m’, взаимно простых с числом n и . А тогда элемент . Таким образом, каждая s-группа G, для заданного числа n, содержит подгруппу .  
Далее, пусть Нesn-группа с парой определяющих эпиморфизмов и . Введем обозначение: , также пусть и – склеивания [3], соответственно, групп и .

Пусть G – s-группа с парой определяющих эпиморфизмов и ,  – s-группа с парой определяющих эпиморфизмов и , причем для любых элементов и  :.

Далее докажем, что . Действительно, пусть , следовательно, по определению, А тогда, из равенств (1.1) и (1.2) получаем , откуда, на основе равенства (1.3), следует, что элемент , а элемент . Следовательно, по предложению 3 [3], получаем: . Но так как , то , и, значит, элемент . Таким образом, мы доказали, что .

Проведя выше изложенные рассуждения в обратном порядке, мы докажем обратное включение: .

Итак, установлено, что , что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть Gs-группа с основным элементом . Тогда для любых целых положительных чисел n и k, таких что , .

Доказательство. Нетрудно видеть, что если элемент , то элемент . С другой стороны, если , для некоторого целого числа t, то элемент и, следовательно, элемент Таким образом, доказано, что .

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть Gs-группа с основным элементом . Тогда для любых целых положительных чисел n и k,   тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть . Поскольку,   esk-группа и  — esn-группа, то по теореме II [4], . Следовательно, по определению, получаем, что . Проведя данные рассуждения в обратном порядке, мы получим, что .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть и s-группы, с одним и тем же основным элементом . Тогда тогда и только тогда, когда для любого целого числа n, такого что , .

Доказательство. Поскольку необходимость очевидна, установим только достаточность.

Пусть для любого целого числа n, такого что , , но . Следовательно, для некоторых целых чисел k и т, взаимно простых с числом n, найдется пара , которая принадлежит одной из групп и и не принадлежит другой. Но тогда пара также принадлежит одной из групп и и не принадлежит другой, что противоречит равенству групп и . Откуда и следует требуемое утверждение.


Библиографический список
  1. Трухманов В.Б. О подпрямой сумме делимых рациональных абелевых групп и ее основных элементах // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/04/48077 (дата обращения: 03.05.2015).
  2. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
  3. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
  4. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
  5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.
  6. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
  7. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
  8. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
  9. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
  10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Vol. 42. № 2. С. 297-298.


Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: