УДК 515.12

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ И АБСОЛЮТЫ

Широков Лев Васильевич
Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
Исследуются связи топологических операторов с абсолютами. Рассматривается классификация топологических операторов.

Ключевые слова: абсолют, компакт, непрерывное отображение, ретракт, суперрасширение, топологический оператор, топологическое пространство


TOPOLOGICAL OPERATORS AND ABSOLUTES

Shirokov Lev Vasilievich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod (UNN)
Candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor

Abstract
Explored the links topological operators with absolutes. Discusses the classification of topological operators.

Keywords: absolute, compact, continuous mapping, retract, superextension, topological operator, topological space


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Широков Л.В. Топологические операторы и абсолюты // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 2. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/02/46609 (дата обращения: 02.06.2017).

Постановка вопросов, рассмотренных в данной статье, инспирирована результатами работ , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства .
Определение 1. Пусть  и  - топологические пространства. Всякое отображение  называется топологическим оператором. Топологический оператор  - называется -регулярным оператором, если отображение  инъективно и удовлетворяет условиям:
1) ,
2)  для любых .
Определение 2. Топологический оператор  называется монотонным, если для любых открытых множеств  таких, что  выполняется .
Введем на семействе  всех -регулярных топологических операторов частичный порядок  следующим образом: , если для любого  выполняется . Заметим, что для любого -регулярного топологического оператора  существует монотонный -регулярный топологический оператор  такой, что . Построение  осуществляется следующим образом. Для всякого  положим

.

Непосредственная проверка подтверждает достижение цели.
Определяющую роль в формировании и доказательствах основных результатах работы играет следующее утверждение.
Теорема 1. Если  - -регулярный оператор, то существует -регулярный оператор , удовлетворяющий условию 3)  для любых  таких, что .
Доказательство. Итак на семействе  всех -регулярных топологических операторов введен частичный порядок  следующим образом: , если для любого  выполняется . Покажем, что в  каждая цепь имеет верхнюю грань. Пусть  - цепь и  для любого . Ясно, что  является верхней гранью множества . Пусть  - максимальный элемент множества . Покажем, что  для любых  таких, что . Допустим противное, т. е. что существуют открытые множества  такие, что , но . Положим

.

По предположению . Для произвольного открытого множества  положим

и

.

Оператор  определим правилом:

для любого . Покажем, что оператор . Очевидно выполнение условия 1) определения 1. Пусть  и . Если , то  и, следовательно, . Если

,

то, в силу монотонности оператора  (если , то ), элемент  содержится как в множестве  так и в множестве . Таким образом, . Пусть теперь . Выполнение условия  следует из того, что

 и .

Таким образом, выполнено условие 2) определения 1. Итак, , а это противоречит максимальности оператора . Теорема доказана.
Замечание. Аналогичным образом можно доказать существование -регулярного топологического оператора , удовлетворяющего кроме условия 3) условию 4) для любого , такого, что  или, вместо условия 3), условию   для любых  таких, что .
Существенную роль в изложении последующих результатов работы играет понятие неприводимого отображения . Непрерывное, сюръективное отображение  называется неприводимым, если для любого замкнутого подмножества  такого, что  выполняется .
Определение 3 (Gleason A.M., Rainwater J.). Компакт  называется проективным в классе компактов, если для любых компактов  и , каждого непрерывного отображения  компакта  на  и любого непрерывного отображения  существует непрерывное отображение  такое, что .
Известны следующие понятия и факты:
1. Компакт является проективным в классе в классе компактов в том и только в том случае, если он является ретрактом стоун-чеховское компактификации дискретного пространства 
2. Всякий компакт  является непрерывным образом некоторого проективного в классе компактов пространства  при неприводимом отображении  .
3. Пара  называется проективной резольвентой или абсолютом пространства  .
4. Компакт  является экстремально несвязным пространством, а отображение  - неприводимым .
5. Если некоторый компакт  и отображение  обладает свойствами  и , то найдется гомеоморфизм , такой, что  
Таким образом,  и  определены однозначно (в понятном смысле), а  называется естественным отображением  на . В дальнейшем, если это не будет приводить к двусмысленности, абсолют компакта  будем обозначать , подразумевая, что его существованию сопутствует единственное естественное неприводимое отображение .
Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть  - компакты. Для того, чтобы существовало непрерывное сюръективное отображение  необходимо и достаточно, чтобы существовал -регулярный топологический оператор .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - непрерывное сюръективное отображение. Искомый -регулярный топологический оператор  определи следующим правилом. Для всякого открытого множества  положим

(если  - непрерывное отображение, то для  через  обозначается малый образ множество ). Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый.
Достаточность. Пусть  - -регулярный топологический оператор. Учитывая теорему 1 можно считать, что оператор  удовлетворяет условиям:
1. , .
2. для любых .
3. для любых  таких, что .
Для всякого открытого множества  положим

.

Пусть  - подсемейство всевозможных открыто-замкнутых подмножеств пространства , а  - сужение оператора  на семейство . Оператор  определим следующим правилом. Для всякого  положим . По построению оператор  является инъективным отображением и удовлетворяет условиям:
1. , .
2. Для любых  таких, что  выполняется

.

3. Для любых  выполняется

.

4. Для любых  таких, что  выполняется .
Построение искомого отображения  осуществляется следующим образом.
Для каждой точки  совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств  таких, что  обозначим через . Ясно, что для любого  семейство  центрировано (соответствующее свойство оператора ). Таким образом,  для любого . Для каждой точки  множество  обозначим через . Покажем, что  для любого 
Допустим противное, т. е. что для некоторого  существуют точки  такие, что . Рассмотрим открыто-замкнутую окрестность  точки  в , не содержащую . В силу свойств оператора  точка  должна содержатся либо в , либо в , что и приводит к противоречию. Таким образом,  для любой точки 
Отображение, ставящее в соответствие каждой точке  одноточечное множество , обозначим через . Докажем непрерывность этого отображения.
Пусть  – произвольное открыто-замкнутое подмножество компакта  и  - произвольная точка множества , т. е. . Так как семейство  замкнуто относительно конечных пересечений (третье свойство оператора ), то существует , являющееся подмножеством . По построению  образы всех точек множества  относительно отображения  принадлежат множеству , а значит и множеству . Таким образом, непрерывность отображения  доказана. 
Сюръективность отображения  следует из компактности  и инъективности оператора .
Теорема доказана.
Следствие 1. Если  - ретракт компакта , то существует непрерывное сюръективное отображение .
Доказательство. Пусть  - ретракция. Искомый -регулярный топологический оператор  определяется следующим правилом. Для любого  положим . Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый. Следствие доказано.
Для каждого хаусдофова пространства  через  обозначается множество всех непустых компактных подмножеств пространства , наделенное топологией Вьеториса. Базу этой топологии образуют всевозможные множества вида

для всех .
Следствие 2. Для любого компакта  существует непрерывное сюръективное отображение 
Доказательство. Пусть  - естественное вложение компакта  в . Искомый -регулярный топологический оператор  определяется следующим правилом. Для любого  положим . Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый. Следствие доказано.
Доказательство следующего утверждения основана на свойствах проективной резольвенты .
Следствие 3. Для любого компакта  существует непрерывное сюръективное отображение .
Через  обозначается множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве , через  - функция на , тождественно равная  на  .
Всякое отображение  называется функциональным оператором.
Определение 4. Отображение  называется -регулярным функциональным оператором, если отображение  инъективно и выполняются следующие условия:
1) ,
2)  для любых .
Теорема 3. Пусть  - компакты. Если существует -регулярный функциональный оператор , то существовует непрерывное сюръективное отображение  .
Доказательство. Пусть -регулярный функциональный оператор. Определим топологический оператор  правилом

для каждого открытого множества . Непосредственная проверка показывает, что  является -регулярным топологическим оператором. Для завершения доказательства остается сослаться на теорему 2. Теорема доказана. 
Определение 5. Топологический оператор  - называется регулярным оператором, если отображение  инъективно и удовлетворяет условиям:
1) ,
2) если , то  для любых .
Теорема 4. Если  - регулярный оператор, то существует регулярный оператор , удовлетворяющий условию 3)  для любых  таких, что .
Доказательство. Так же, как и при доказательстве теоремы 1считаем, что на семействе  всех регулярных топологических операторов введен частичный порядок  следующим образом:, если для любого  выполняется . Покажем, что в  каждая цепь имеет верхнюю грань. Пусть  - цепь и  для любого . Ясно, что  является верхней гранью множества . Пусть  - максимальный элемент множества . Покажем, что  для любых  таких, что . Допустим противное, т. е. что существуют открытые множества  такие, что , но . Положим

.

По предположению . Для произвольного открытого множества  такого, что  и  положим  и  для остальных любого . Непосредственная проверка показывает, что, что оператор , а это противоречит максимальности оператора . Теорема доказано.
Далее  - суперрасширение пространства  
Система  замкнутых подмножеств топологического пространства  называется сцепленной, если любые два элемента системы  пересекаются. Всякая сцепленная система замкнутых подмножеств содержится в некоторой максимальной сцепленной системе. Суперрасширением пространства  называется множество  максимальных сцепленных систем замкнутых подмножеств , наделенное волмэновской топологией, т. е. замкнутую предбазу в  образуют множества вида , где  замкнуто в 
Теорема 5. Пусть  - компакты. Для того, чтобы существовало непрерывное отображение  такое, что  необходимо и достаточно, чтобы существовал регулярный топологический оператор .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - непрерывное отображение такое, что  и  - естественный регулярный оператор продолжения открытых множеств пространства , построенный в . Искомый регулярный топологический оператор  определим следующим правилом. Для всякого открытого множества  положим

.

Непосредственная проверка показывает, что оператор  искомый.
Достаточность. Пусть  - регулярный топологический оператор. Рассмотрим регулярный оператор , определенный правилом:  для любого . В силу теоремы 4 можно считать, что оператор  удовлетворяет условию: 3)

для любых  таких, что . Для каждой точки  совокупность всех открытых подмножеств  компакта  таких, что , обозначим через  и положим . Ясно, что семейство  является сцепленной системой и единственным образом дополняется до максимальной сцепленной системы  замкнутых подмножеств компакта . Отображение  определим правилом  для любого . Непосредственная проверка доказывает непрерывность отображения  и выполнение условия . Теорема доказана.
Следствие 4. Если  - компакты,  и  - каппа-метризуемый компакт , то существует непрерывное отображение  такое, что .
Доказательство. В силу результатов работ  существует регулярный оператор продолжения открытых подмножеств . Факт его существования и подтверждает, с учетом теоремы 5, справедливость данного следствия.


Библиографический список
  1. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
  2. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
  3. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
  4. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
  5. Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 283-285.
  6. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
  7. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
  8. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
  9. Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. 176 с.
  10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys 42 (2). 297-298.
  11. Engelking R. General Topology. – Warszawa: PWN, 1977. – 626 p.
  12. Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения. – М.: Мир,1970. – 144 с.
  13. de Groot J. Superextension and  supercompactness. //In: Proc. I Intern. Symp. On extension theory of topological  structures and  its applications. Berlin: VEB Deutsher Verlag Wiss. 1969.  S. 89-90.
  14. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976. т. 31. вып. 5.  С. 191-226.
  15. Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
  16. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.


Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: