Постановка вопросов, рассмотренных в данной статье, инспирирована результатами работ , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через обозначается топология пространства .
Определение 1. Пусть и - топологические пространства. Всякое отображение называется топологическим оператором. Топологический оператор - называется -регулярным оператором, если отображение инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , ,
2) для любых .
Определение 2. Топологический оператор называется монотонным, если для любых открытых множеств таких, что выполняется .
Введем на семействе всех -регулярных топологических операторов частичный порядок следующим образом: , если для любого выполняется . Заметим, что для любого -регулярного топологического оператора существует монотонный -регулярный топологический оператор такой, что . Построение осуществляется следующим образом. Для всякого положим
Непосредственная проверка подтверждает достижение цели.
Определяющую роль в формировании и доказательствах основных результатах работы играет следующее утверждение.
Теорема 1. Если - -регулярный оператор, то существует -регулярный оператор , удовлетворяющий условию 3) для любых таких, что .
Доказательство. Итак на семействе всех -регулярных топологических операторов введен частичный порядок следующим образом: , если для любого выполняется . Покажем, что в каждая цепь имеет верхнюю грань. Пусть - цепь и для любого . Ясно, что является верхней гранью множества . Пусть - максимальный элемент множества . Покажем, что для любых таких, что . Допустим противное, т. е. что существуют открытые множества такие, что , но . Положим
По предположению . Для произвольного открытого множества положим
и
Оператор определим правилом:
для любого . Покажем, что оператор . Очевидно выполнение условия 1) определения 1. Пусть и . Если , то и, следовательно, . Если
то, в силу монотонности оператора (если , то ), элемент содержится как в множестве так и в множестве . Таким образом, . Пусть теперь . Выполнение условия следует из того, что
Таким образом, выполнено условие 2) определения 1. Итак, , а это противоречит максимальности оператора . Теорема доказана.
Замечание. Аналогичным образом можно доказать существование -регулярного топологического оператора , удовлетворяющего кроме условия 3) условию 4) для любого , такого, что или, вместо условия 3), условию для любых таких, что .
Существенную роль в изложении последующих результатов работы играет понятие неприводимого отображения . Непрерывное, сюръективное отображение называется неприводимым, если для любого замкнутого подмножества такого, что выполняется .
Определение 3 (Gleason A.M., Rainwater J.). Компакт называется проективным в классе компактов, если для любых компактов и , каждого непрерывного отображения компакта на и любого непрерывного отображения существует непрерывное отображение такое, что .
Известны следующие понятия и факты:
1. Компакт является проективным в классе в классе компактов в том и только в том случае, если он является ретрактом стоун-чеховское компактификации дискретного пространства .
2. Всякий компакт является непрерывным образом некоторого проективного в классе компактов пространства при неприводимом отображении .
3. Пара называется проективной резольвентой или абсолютом пространства .
4. Компакт является экстремально несвязным пространством, а отображение - неприводимым .
5. Если некоторый компакт и отображение обладает свойствами и , то найдется гомеоморфизм , такой, что .
Таким образом, и определены однозначно (в понятном смысле), а называется естественным отображением на . В дальнейшем, если это не будет приводить к двусмысленности, абсолют компакта будем обозначать , подразумевая, что его существованию сопутствует единственное естественное неприводимое отображение .
Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть , - компакты. Для того, чтобы существовало непрерывное сюръективное отображение необходимо и достаточно, чтобы существовал -регулярный топологический оператор .
Доказательство. Необходимость. Пусть - непрерывное сюръективное отображение. Искомый -регулярный топологический оператор определи следующим правилом. Для всякого открытого множества положим
(если - непрерывное отображение, то для через обозначается малый образ множество ). Непосредственная проверка показывает, что оператор искомый.
Достаточность. Пусть - -регулярный топологический оператор. Учитывая теорему 1 можно считать, что оператор удовлетворяет условиям:
1. , .
2. для любых .
3. для любых таких, что .
Для всякого открытого множества положим
Пусть - подсемейство всевозможных открыто-замкнутых подмножеств пространства , а - сужение оператора на семейство . Оператор определим следующим правилом. Для всякого положим . По построению оператор является инъективным отображением и удовлетворяет условиям:
1. , .
2. Для любых таких, что выполняется
3. Для любых выполняется
4. Для любых таких, что выполняется .
Построение искомого отображения осуществляется следующим образом.
Для каждой точки совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств таких, что обозначим через . Ясно, что для любого семейство центрировано (соответствующее свойство оператора ). Таким образом, для любого . Для каждой точки множество обозначим через . Покажем, что для любого .
Допустим противное, т. е. что для некоторого существуют точки такие, что . Рассмотрим открыто-замкнутую окрестность точки в , не содержащую . В силу свойств оператора точка должна содержатся либо в , либо в , что и приводит к противоречию. Таким образом, для любой точки .
Отображение, ставящее в соответствие каждой точке одноточечное множество , обозначим через . Докажем непрерывность этого отображения.
Пусть – произвольное открыто-замкнутое подмножество компакта и - произвольная точка множества , т. е. . Так как семейство замкнуто относительно конечных пересечений (третье свойство оператора ), то существует , являющееся подмножеством . По построению образы всех точек множества относительно отображения принадлежат множеству , а значит и множеству . Таким образом, непрерывность отображения доказана.
Сюръективность отображения следует из компактности и инъективности оператора .
Теорема доказана.
Следствие 1. Если - ретракт компакта , то существует непрерывное сюръективное отображение .
Доказательство. Пусть - ретракция. Искомый -регулярный топологический оператор определяется следующим правилом. Для любого положим . Непосредственная проверка показывает, что оператор искомый. Следствие доказано.
Для каждого хаусдофова пространства через обозначается множество всех непустых компактных подмножеств пространства , наделенное топологией Вьеториса. Базу этой топологии образуют всевозможные множества вида
для всех .
Следствие 2. Для любого компакта существует непрерывное сюръективное отображение .
Доказательство. Пусть - естественное вложение компакта в . Искомый -регулярный топологический оператор определяется следующим правилом. Для любого положим . Непосредственная проверка показывает, что оператор искомый. Следствие доказано.
Доказательство следующего утверждения основана на свойствах проективной резольвенты .
Следствие 3. Для любого компакта существует непрерывное сюръективное отображение .
Через обозначается множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве , через - функция на , тождественно равная на .
Всякое отображение называется функциональным оператором.
Определение 4. Отображение называется -регулярным функциональным оператором, если отображение инъективно и выполняются следующие условия:
1) ,
2) для любых .
Теорема 3. Пусть , - компакты. Если существует -регулярный функциональный оператор , то существовует непрерывное сюръективное отображение .
Доказательство. Пусть - -регулярный функциональный оператор. Определим топологический оператор правилом
для каждого открытого множества . Непосредственная проверка показывает, что является -регулярным топологическим оператором. Для завершения доказательства остается сослаться на теорему 2. Теорема доказана.
Определение 5. Топологический оператор - называется регулярным оператором, если отображение инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , ,
2) если , то для любых .
Теорема 4. Если - регулярный оператор, то существует регулярный оператор , удовлетворяющий условию 3) для любых таких, что .
Доказательство. Так же, как и при доказательстве теоремы 1считаем, что на семействе всех регулярных топологических операторов введен частичный порядок следующим образом:, если для любого выполняется . Покажем, что в каждая цепь имеет верхнюю грань. Пусть - цепь и для любого . Ясно, что является верхней гранью множества . Пусть - максимальный элемент множества . Покажем, что для любых таких, что . Допустим противное, т. е. что существуют открытые множества такие, что , но . Положим
По предположению . Для произвольного открытого множества такого, что и положим и для остальных любого . Непосредственная проверка показывает, что, что оператор , а это противоречит максимальности оператора . Теорема доказано.
Далее - суперрасширение пространства .
Система замкнутых подмножеств топологического пространства называется сцепленной, если любые два элемента системы пересекаются. Всякая сцепленная система замкнутых подмножеств содержится в некоторой максимальной сцепленной системе. Суперрасширением пространства называется множество максимальных сцепленных систем замкнутых подмножеств , наделенное волмэновской топологией, т. е. замкнутую предбазу в образуют множества вида , где замкнуто в .
Теорема 5. Пусть , - компакты. Для того, чтобы существовало непрерывное отображение такое, что необходимо и достаточно, чтобы существовал регулярный топологический оператор .
Доказательство. Необходимость. Пусть - непрерывное отображение такое, что и - естественный регулярный оператор продолжения открытых множеств пространства , построенный в . Искомый регулярный топологический оператор определим следующим правилом. Для всякого открытого множества положим
Непосредственная проверка показывает, что оператор искомый.
Достаточность. Пусть - регулярный топологический оператор. Рассмотрим регулярный оператор , определенный правилом: для любого . В силу теоремы 4 можно считать, что оператор удовлетворяет условию: 3)
для любых таких, что . Для каждой точки совокупность всех открытых подмножеств компакта таких, что , обозначим через и положим . Ясно, что семейство является сцепленной системой и единственным образом дополняется до максимальной сцепленной системы замкнутых подмножеств компакта . Отображение определим правилом для любого . Непосредственная проверка доказывает непрерывность отображения и выполнение условия . Теорема доказана.
Следствие 4. Если - компакты, и - каппа-метризуемый компакт , то существует непрерывное отображение такое, что .
Доказательство. В силу результатов работ существует регулярный оператор продолжения открытых подмножеств . Факт его существования и подтверждает, с учетом теоремы 5, справедливость данного следствия.
Библиографический список
- Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
- Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
- Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
- Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
- Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 283-285.
- Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
- Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
- Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
- Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. 176 с.
- Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys 42 (2). 297-298.
- Engelking R. General Topology. – Warszawa: PWN, 1977. – 626 p.
- Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения. – М.: Мир,1970. – 144 с.
- de Groot J. Superextension and supercompactness. //In: Proc. I Intern. Symp. On extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutsher Verlag Wiss. 1969. S. 89-90.
- Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976. т. 31. вып. 5. С. 191-226.
- Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
- Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.
Количество просмотров публикации: Please wait