УДК 514.1

ПРЯМАЯ В МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ НЕЧЕТКОЙ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Марков Борис Георгиевич
Петрозаводский государственный университет
Институт лесных, инженерных и строительных наук, к.т.н., доцент

Аннотация
В статье дается описание прямой в нечеткой проективной геометрии. Описывается нечеткая прямая проходящая через две нечеткие двумерные точки. Определяется закон распределения прямой. Предлагается задание двумерной прямой по пяти параметрам. Все эти параметры являются параметрами гиперболы изображающей на плоскости нечеткую прямую. Нечеткая прямая представляется как область ограниченная ветвями гиперболы.

Ключевые слова: вероятность, двумерная нечеткая прямая, нечеткая проективная геометрия


RIGHT IN TWO-DIMENSIONAL MODEL OF FUZZY PROJECTIVE GEOMETRY

Markov Boris Georgievich
Petrozavodsk State University
Institute of Forestry, Engineering and Construction Sciences, Ph.D., Associate Professor

Abstract
The article describes the straight in the fuzzy projective geometry. Describes how the fuzzy straight passing through the two-dimensional fuzzy point. The article determined the law of the distribution straight. Prompted to specify a two-dimensional straight by five parameters. All of these parameters are the parameters of the hyperbola which displays a fuzzy straight on the plane. Fuzzy straight appears as an area bounded by the branches of the hyperbola.

Keywords: fuzzy projective geometry, probability, two-dimensional fuzzy straight


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Марков Б.Г. Прямая в модели двумерной нечеткой проективной геометрии // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 11. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/11/40694 (дата обращения: 02.06.2017).

Существует множество задач, исходные данные, для решения которых являются нечеткими. Для решения этих задач часто применяют нечеткие множества [2]. Предлагаемая модификация проективной геометрии учитывает представление информации, с одной стороны, как случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения ошибок, с другой стороны, как нечетких множеств [4, 7]. 
В данной статье прямую рассмотрим в двумерной модели нечеткой проективной геометрии.
Существует только одна нечеткая двухмерная прямая принадлежная паре нечетких двухмерных точек [6].
Пусть даны две принадлежные прямой нечеткие двумерные точки [5]  и  (рис.1). Выберем начало новой системы координат  в точке , ось  проведем через ,. Спроецируем нечеткие двумерные точки на прямые, проходящие через математические ожидания точек  и . и перпендикулярные прямой , их соединяющей. Получим две нечеткие одномерные точки  и [8].
Нечеткая двумерная прямая  принадлежна паре нечетких двухмерных точек  и  есть область возможных положений прямых случайным образом пересекающих нечеткие одномерные точки  и . Любое сечение прямой  перпендикулярное , является одномерной точкой . Определим характер распределения этих точек и закономерности, связывающие их параметры с базовыми точками  и 
Пересечем  и  произвольной прямой  (рис. 2). На расстоянии  от начала координат выберем точку . Величины  и  подчинены нормальному закону распределения. Величину 
 характеризующую распределение точки  можно подсчитать следующим образом
,
, (1)
.

Рис.1 Две непринадлежные двухмерные нечеткие точки  и их проекции .

Рис. 2 Определение параметров распределения произвольной одномерной точки (сечения прямой).
Величина  представляет собой линейную функцию величин  и , подчиненных нормальному закону, следовательно, она сама подчинена нормальному закону распределения [1]. Найдем параметры величины  математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.
, (2)
 (3)
где  - коэффициент корреляции величин  и , в нашем случае он равен 0, так как величины независимые, некоррелированы.
 (4)
Подставим = и выясним зависимость изменения среднего квадратичного отклонения от x.
 (5)
где ,
Геометрическим местом точек изображающих  является гипербола, на мнимой оси которой лежат математические ожидания . Асимптоты этой гиперболы (рис. 3) являются изображением средних квадратичных отклонений нечеткой несобственной точки  прямой , нечеткая одномерная точка с минимальным  вписывается в центр кривой (точка m) и имеет параметры 
,
где  
Определим закон распределения прямой. Выберем оси координат (рис. 4), начало в центре, а ось  на мнимой оси гиперболы. Представим случайную прямую уравнением
, (6)
где  - отрезок ОВ
Крайнее положение прямой проходящей через точку В – касательная к гиперболе в точке .
Уравнение касательной 
, (7)

Рис. 3. Центр и бесконечно удаленная точка нечеткой прямой.

Рис. 4 Определение закона распределения параметров прямой.

Рис. 5 Эллипс рассеивания параметров нечеткой прямой.

Преобразуем уравнение (7) к виду (6)
, (8)
где , (9)
Величины  и  связаны уравнением 
, (10)
из уравнения (10) найдем  из (8) найдем  и подставим их в уравнение (8) полученное уравнение преобразуем к каноническому виду
, (11) 
, (12)
Уравнение (12) – уравнение эллипса. Параметр  подчинен нормальному закону (отклонение от математического ожидания центральной точки прямой),  среднее квадратичное отклонение той же точки,  можно интерпретировать как отклонение от математического ожидания в несобственной точке прямой, а  ее среднее квадратичное отклонение. Нечеткая двумерная прямая представлена в виде двойственного ей объекта нечеткой двумерной точки (рис. 5) в системе координат . Каждая случайная прямая изображается точкой на плоскости. Нечеткая двумерная прямая это система двух нормально распределенных случайных величин 
. (13)
Таким образом, нечеткая прямая задана двумя стандартными точками, центральной и несобственной. 
Стандартное задание нечеткой двумерной прямой будет определяться пятью параметрами 
где m (mx, my) – центр прямой, математическое ожидание центральной точки прямой,
 - среднее квадратичное отклонение центральной точки,
 - среднее квадратичное отклонение несобственной точки прямой,
 - угол наклона прямой, направление на несобственную точку прямой.
Одновременно все эти параметры являются параметрами гиперболы изображающей на плоскости нечеткую прямую (рис. 6). Ветви гиперболы ограничивают область, где прямая может появляться с заданной вероятностью.

Рис. 6 Собственная двухмерная нечеткая прямая.

Рис. 7 Частные случаи собственной нечеткой прямой.

Несобственная ось гиперболы прямая Р - математическим ожиданием нечеткой двумерной прямой. Прямые касательные к гиперболе являются изображениями сигма прямых аналогов точек принадлежащих сигма эллипсу нечеткой двумерной точки. На рис. 7 изображены частые случаи нечеткой двухмерной прямой: а) = 0, б) = 0, в) == 0
Нечеткие прямые на плоскости могут быть собственными и несобственными. Каждая проективная плоскость содержит одну нечеткую несобственную прямую . Она проходит через две несобственные точки. Ее математическое ожидание – несобственная прямая проективной плоскости. Гипербола, изображающая несобственную прямую выродилась в окружность с радиусом  - достаточно большое наперед заданное число. 
Нечеткой прямой с параметрами  на плоскости, будем называть подмножество  такое, что
  (14)
Подмножество  также называется нечетким подмножеством, соответствующим нечеткой точке с параметрами 
Легко установить, что функция принадлежности изменяется в интервале [0,1] и ставит в соответствие каждому элементу  число  из интервала [0,1]. Точками перехода, то есть значениями  для которых , являются точки гиперболы с параметрами
 ,
высота нечеткого множества

На основе нечеткой проективной геометрии был разработан ряд алгоритмов предназначенных для геометрического моделирования утраченных памятников архитектуры [3]. Разработаны одномерный и двухмерный варианты алгоритмов. Каждый алгоритм состоит из отдельных задач. Для их решения написан на языке AutoLisp в среде AutoCAD комплекс программ, реализующий операции нечеткой проективной геометрии. В следующей статье будут рассмотрены случаи пересечения и параллельности нечетких прямых.
Работа выполнена в рамках Программы стратегического развития ПетрГУ на 2012-2016 гг.


Библиографический список
  1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. – 6-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 1999. – 576 c.
  2. Воронова А.М., Воронов Р.В. Обоснование использования нечетких структур для моделирования размещения погрузочных пунктов и сети волоков на лесосеке // Актуальные вопросы современной науки. 2009. № 7-1. С. 86-93.
  3. Косенков А.Ю., Марков Б.Г., Марков О.Б. Графическая реконструкция часовни иконы смоленской божьей матери в деревне Кинерма // CARELiCA. 2013. Т. 1. № 1-1 (10). С. 155-162.
  4. Марков Б.Г. Автоматизация геометрического моделирования утраченных памятников архитектуры по иконографическим материалам //  диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Петрозаводск, 2000.
  5. Марков Б.Г., Марков О.Б. Геометрическая интерпретация нечеткой точки  //  депонированная рукопись  № 1402-В2003 16.07.2003.
  6. Марков Б.Г., Марков О.Б. Геометрическая интерпретация нечеткой прямой  //  депонированная рукопись  № 1401-В2003 16.07.2003.
  7. Марков Б.Г., Марков О.Б., Борисов А.Ю. Особенности геометрического моделирования утраченных памятников архитектуры // Ученые записки Петрозаводского государственного университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. № 8 (137). С. 88-92.
  8. Марков Б.Г., Марков О.Б., Воронов Р.В. Модель одномерного нечеткого проективного пространства // Современные проблемы науки и образования. 2013. № 6. С. 894.


Все статьи автора «Марков Борис Георгиевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: