УДК 519.6

МЕТОД СПУСКА ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЦЕПТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МАТЕРИАЛОВ КАК СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Сухов Ярослав Игоревич1, Гарькина Ирина Александровна2
1Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, студент
2Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, д.т.н., профессор

Аннотация
На основе сравнительной оценки различных методов оптимизации параметров сложных систем предлагаются наиболее предпочтительные вычислительные процедуры для определения рецептурно-технологических параметров материалов.

Ключевые слова: методы спуска, параметрическая оптимизация, приложения к синтезу материалов, сложные системы


DESCENT METHOD IN THE OPTIMIZATION OF PRESCRIPTION-TECHNOLOGICAL PARAMETERS OF MATERIALS AS A COMPLEX SYSTEM

Suhov Yaroslav Igorevich1, Garkina Irina Aleksandrovna2
1Penza state university of architecture and construction, student
2Penza state university of architecture and construction, doctor of science in engineering, professor

Abstract
Based on the comparative evaluation of different methods of optimizing the parameters of complex systems offers the most preferred computational procedures to determine the parameters of materials.

Keywords: application to the synthesis of materials, complex systems, methods descent, parametric optimization


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Сухов Я.И., Гарькина И.А. Метод спуска при оптимизации рецептурно-технологических параметров материалов как сложных систем // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9. Ч. 1 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/09/38216 (дата обращения: 05.06.2017).

При разработке реальных систем обычно доминирует математический уровень стро­гости, и математический язык рассматривается как наилучшее средство представления системы. В большинстве работ ограничиваются лишь постановкой и исследованием математических задач и не затрагиваются содержательные и человеческие аспекты практической идентификации. Подобная избирательность во многом определяется тем, что при значи­тель­ном объеме представлений о потенциально возможных способах ис­сле­дователь не в состоянии разработать детальную общую схему иденти­фикации.
При структурной идентификации определяется вид математической модели. Далее осуществляется параметрическая идентификация: определяются числовые параметры математической модели, при которых решение задачи соот­вет­ствует экспериментальным даннымОбычно взаимодействие раз­лич­ных составляющих динамической системы задаются в виде систем ал­ге­браи­ческих, дифференциальных (разностных), алгебро-дифферен­циаль­ных или интегральных уравнений. В силу неоднозначности в постановке задачи (связана с неполнотой знаний об объекте, ограничениями в наблюдениях объекта во времени, неточностью измерения сигналов на входе и на выходе объекта и т. п.) выбор метода идентификации определяется неоднозначно.
Таким образом, выделяются следующие основные этапы идентификации:
– выбор структуры модели по результатам изучения системы или по имеющимся априорным сведениям; 
– определение критерия близости (подобия) модели и системы;
– определение по экспериментальным данным, исходя из выбранного критерия, параметров модели.
Совокупностью критериев качества  определяется качество целостной системы. Каждый из критериев  есть численная (редко качественная) величина и характеризует способность удовлетворить установленные и/или предполагаемые потребности.
Ограничимся рассмотрением приложения методов теории сложных систем к синтезу композиционных материалов (определение оптимальных рецептурно-технологи­ческих параметров материала, обеспечивающих его струк­ту­ру и свойства), а именно важной для практических приложений задачи определения минимума функ­ции двух переменных:

;

точка  принадлежит плоскости ось  пер­пен­ди­ку­л­яр­на плоскости  (рис. 1). Уравнению  а некоторой окрестности точки  локального минимума  со­от­вет­ствует поверхность (имеет форму чашив трехмерном пространстве. 

Рис. 1

Если функция  мономодальна в  (имеет единственную точку локального ми­ни­мума ) , то ее линии уровня  располагаются так, как это показано на рис. 2.

Рис. 2

При множестве изолированных точек минимума функции будут мультимодальными.
В со­от­вет­ст­вии с предыдущим поиск точек  локального минимума функции  сводится к определению последовательности то­чек , сходящейся к точке ; справедливо:

.

Во всех методах спуска сначала выбирается начальная точка по­следовательности следующие приближения  опре­де­ля­ются соотношениями
, (1)

где  – вектор направления спуска; скалярная величина  является решением задачи одномерной минимизации

 (2)

Поиск минимума функции нескольких пе­ременных сводится к решению ряда задач одномерной ми­ни­мизации (2) по переменной  на отрезках -мерного про­ст­ран­ст­ва, проходяших через точки  в направлении векторов Методы спуска различаются лишь выбором вектора спуска и сп­о­с­о­бом решения задачи одномерной минимизации. Для поиска минимума функции одной пе­ре­меной можно огра­ни­чить­ся методом сканирования: выбрав произвольно начальную точку  и на­чаль­ный шаг по переменной t, можно по­лу­чить различные точки минимума мультимодальной функции. Если функция  мономодальна, то независимо от выбора на­чаль­ной точки траектория поиска приведет к единственной точке локального минимума этой функции.
Существует и другой метод поиска - покоординатный спуск Гаусса-Зейделя. Здесь  в области определения функ­ции  произ­воль­но выбирается начальная точка. Приближения определяются соотношениями (1), где  – единичный вектор, совпадающий с каким-либо ко­ор­динатным направлением. Например, если  параллелен , то = 1, 0, 0, …0, если он параллелен , то = 0, 1, 0, …0 и т.д. Величина  является решением задачи одномерной мини­ми­зации (2) и может определяться методом сканирования.
В частности, для функции двух переменных, исходя из на­чаль­ной точки можно определить точку  минимума функ­ции одной переменной а затем -точку минимума  функции  по второй координате. При­нимая исходной точкой  (при фиксированной ее второй ко­ор­динате), определится точка минимума  функции  одной переменной . Точка определится в результате минимизации целевой функции  по координате (фиксируется координата  точки ) и т.д. (рис.3).

 
Рис.3

Вычислительная процедура прекращается при 
, (3)
ε - за­дан­ная точность.
В методе наискорейшего спуска, исходя из начальной точки , строится последовательность приближений , где  – единичный вектор, сонаправленный с направлением вектора-градиента функции  в точке :

=.

Точку  определяют из решения задачи одномерной мини­ми­за­ции функции  по переменной t в направлении век­то­ра :
. (6)
Задача (4) численно легко решается методом сканирования. Вычис­лительная процедура осуществляется до выполнения неравенства (3).
В двумерном случае отрезок ломаной, соединяющий точки  и  (k= 0, 1, …), параллелен вектору-градиенту функции  в точ­ке , перпендикулярному линии уровня функции , проходящей через точку  (рис.4).

 
Рис.4

Приведенные методы эффективно использовались при определении рецептурно-технологических параметров строительных материалов различного назначения [1…7].


Библиографический список
  1. Математические методы в строительном материаловедении: монография / И.А.Гарькина [и др.]; под ред. акад. РААСН В.И.Соломатова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. –  2001. – 188 с.
  2. Данилов А.М.,Гарькина И.А., Домке Э.Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. –  Пенза: ПГУАС. –  2011. 296 с.
  3. Гарькина И.А., Данилов А.М., Домке Э.Р. Промышленные приложения системных методологий, теорий идентификации и управления / Вестник МАДИ. –  2009. – № 2(17). –  С.77-82.
  4. Данилов А.М. Системы и модели: монография. – Пенза: ПГАСИ. –1995. – 200 с.
  5. Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А.М. Моделирование с позиций управления  в технических системах / Региональная архитектура и строительство. –2013. – № 2 (16). – С. 138-142.
  6. Данилов А.М., Гарькина И.А. Методология проектирования сложных систем при разработке материалов специального назначения / Известия ВУЗов. Строительство.–2011. –С.80-85
  7. Данилов А.М., Гарькина И.А. Интерполяция, аппроксимация, оптимизация: анализ и синтез сложных систем: монография. – Пенза: ПГУАС. –2014. – 168 с.


Все статьи автора «fmatem»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: