При разработке реальных систем обычно доминирует математический уровень строгости, и математический язык рассматривается как наилучшее средство представления системы. В большинстве работ ограничиваются лишь постановкой и исследованием математических задач и не затрагиваются содержательные и человеческие аспекты практической идентификации. Подобная избирательность во многом определяется тем, что при значительном объеме представлений о потенциально возможных способах исследователь не в состоянии разработать детальную общую схему идентификации.
При структурной идентификации определяется вид математической модели. Далее осуществляется параметрическая идентификация: определяются числовые параметры математической модели, при которых решение задачи соответствует экспериментальным данным. Обычно взаимодействие различных составляющих динамической системы задаются в виде систем алгебраических, дифференциальных (разностных), алгебро-дифференциальных или интегральных уравнений. В силу неоднозначности в постановке задачи (связана с неполнотой знаний об объекте, ограничениями в наблюдениях объекта во времени, неточностью измерения сигналов на входе и на выходе объекта и т. п.) выбор метода идентификации определяется неоднозначно.
Таким образом, выделяются следующие основные этапы идентификации:
– выбор структуры модели по результатам изучения системы или по имеющимся априорным сведениям;
– определение критерия близости (подобия) модели и системы;
– определение по экспериментальным данным, исходя из выбранного критерия, параметров модели.
Совокупностью критериев качества определяется качество целостной системы. Каждый из критериев есть численная (редко качественная) величина и характеризует способность удовлетворить установленные и/или предполагаемые потребности.
Ограничимся рассмотрением приложения методов теории сложных систем к синтезу композиционных материалов (определение оптимальных рецептурно-технологических параметров материала, обеспечивающих его структуру и свойства), а именно важной для практических приложений задачи определения минимума функции двух переменных:
точка принадлежит плоскости ; ось перпендикулярна плоскости (рис. 1). Уравнению а некоторой окрестности точки локального минимума соответствует поверхность (имеет форму чаши) в трехмерном пространстве.
Если функция мономодальна в (имеет единственную точку локального минимума ) , то ее линии уровня располагаются так, как это показано на рис. 2.
При множестве изолированных точек минимума функции будут мультимодальными.
В соответствии с предыдущим поиск точек локального минимума функции сводится к определению последовательности точек , сходящейся к точке ; справедливо:
Во всех методах спуска сначала выбирается начальная точка последовательности ; следующие приближения определяются соотношениями
, (1)
где – вектор направления спуска; скалярная величина является решением задачи одномерной минимизации
(2)
Поиск минимума функции нескольких переменных сводится к решению ряда задач одномерной минимизации (2) по переменной на отрезках -мерного пространства, проходяших через точки в направлении векторов . Методы спуска различаются лишь выбором вектора спуска и способом решения задачи одномерной минимизации. Для поиска минимума функции одной переменой можно ограничиться методом сканирования: выбрав произвольно начальную точку и начальный шаг по переменной t, можно получить различные точки минимума мультимодальной функции. Если функция мономодальна, то независимо от выбора начальной точки траектория поиска приведет к единственной точке локального минимума этой функции.
Существует и другой метод поиска - покоординатный спуск Гаусса-Зейделя. Здесь в области определения функции произвольно выбирается начальная точка. Приближения определяются соотношениями (1), где – единичный вектор, совпадающий с каким-либо координатным направлением. Например, если параллелен , то = 1, 0, 0, …0, если он параллелен , то = 0, 1, 0, …0 и т.д. Величина является решением задачи одномерной минимизации (2) и может определяться методом сканирования.
В частности, для функции двух переменных, исходя из начальной точки , можно определить точку минимума функции одной переменной ; , а затем -точку минимума функции по второй координате. Принимая исходной точкой (при фиксированной ее второй координате), определится точка минимума функции одной переменной ; . Точка определится в результате минимизации целевой функции по координате (фиксируется координата точки ) и т.д. (рис.3).
Вычислительная процедура прекращается при
, (3)
ε - заданная точность.
В методе наискорейшего спуска, исходя из начальной точки , строится последовательность приближений , где – единичный вектор, сонаправленный с направлением вектора-градиента функции в точке :
Точку определяют из решения задачи одномерной минимизации функции по переменной t в направлении вектора :
. (6)
Задача (4) численно легко решается методом сканирования. Вычислительная процедура осуществляется до выполнения неравенства (3).
В двумерном случае отрезок ломаной, соединяющий точки и (k= 0, 1, …), параллелен вектору-градиенту функции в точке , перпендикулярному линии уровня функции , проходящей через точку (рис.4).
Приведенные методы эффективно использовались при определении рецептурно-технологических параметров строительных материалов различного назначения [1…7].
Библиографический список
- Математические методы в строительном материаловедении: монография / И.А.Гарькина [и др.]; под ред. акад. РААСН В.И.Соломатова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. – 2001. – 188 с.
- Данилов А.М.,Гарькина И.А., Домке Э.Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. – Пенза: ПГУАС. – 2011. – 296 с.
- Гарькина И.А., Данилов А.М., Домке Э.Р. Промышленные приложения системных методологий, теорий идентификации и управления / Вестник МАДИ. – 2009. – № 2(17). – С.77-82.
- Данилов А.М. Системы и модели: монография. – Пенза: ПГАСИ. –1995. – 200 с.
- Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А.М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. –2013. – № 2 (16). – С. 138-142.
- Данилов А.М., Гарькина И.А. Методология проектирования сложных систем при разработке материалов специального назначения / Известия ВУЗов. Строительство.–2011. –С.80-85
- Данилов А.М., Гарькина И.А. Интерполяция, аппроксимация, оптимизация: анализ и синтез сложных систем: монография. – Пенза: ПГУАС. –2014. – 168 с.
Количество просмотров публикации: Please wait