При разработке реальных систем обычно доминирует математический уровень стро­гости, и математический язык рассматривается как наилучшее средство представления системы. В большинстве работ ограничиваются лишь постановкой и исследованием математических задач и не затрагиваются содержательные и человеческие аспекты практической идентификации. Подобная избирательность во многом определяется тем, что при значи­тель­ном объеме представлений о потенциально возможных способах ис­сле­дователь не в состоянии разработать детальную общую схему иденти­фикации.
При структурной идентификации определяется вид математической модели. Далее осуществляется параметрическая идентификация: определяются числовые параметры математической модели, при которых решение задачи соот­вет­ствует экспериментальным данным. Обычно взаимодействие раз­лич­ных составляющих динамической системы задаются в виде систем ал­ге­браи­ческих, дифференциальных (разностных), алгебро-дифферен­циаль­ных или интегральных уравнений. В силу неоднозначности в постановке задачи (связана с неполнотой знаний об объекте, ограничениями в наблюдениях объекта во времени, неточностью измерения сигналов на входе и на выходе объекта и т. п.) выбор метода идентификации определяется неоднозначно.
Таким образом, выделяются следующие основные этапы идентификации:
– выбор структуры модели по результатам изучения системы или по имеющимся априорным сведениям; 
– определение критерия близости (подобия) модели и системы;
– определение по экспериментальным данным, исходя из выбранного критерия, параметров модели.
Совокупностью критериев качества  определяется качество целостной системы. Каждый из критериев  есть численная (редко качественная) величина и характеризует способность удовлетворить установленные и/или предполагаемые потребности.
Ограничимся рассмотрением приложения методов теории сложных систем к синтезу композиционных материалов (определение оптимальных рецептурно-технологи­ческих параметров материала, обеспечивающих его струк­ту­ру и свойства), а именно важной для практических приложений задачи определения минимума функ­ции двух переменных:

;

точка  принадлежит плоскости ; ось  пер­пен­ди­ку­л­яр­на плоскости  (рис. 1). Уравнению  а некоторой окрестности точки  локального минимума  со­от­вет­ствует поверхность (имеет форму чаши) в трехмерном пространстве. 

Если функция  мономодальна в  (имеет единственную точку локального ми­ни­мума ) , то ее линии уровня  располагаются так, как это показано на рис. 2.

При множестве изолированных точек минимума функции будут мультимодальными.
В со­от­вет­ст­вии с предыдущим поиск точек  локального минимума функции  сводится к определению последовательности то­чек , сходящейся к точке ; справедливо:

.

Во всех методах спуска сначала выбирается начальная точка по­следовательности ; следующие приближения  опре­де­ля­ются соотношениями
, (1)

где  – вектор направления спуска; скалярная величина  является решением задачи одномерной минимизации

 (2)

Поиск минимума функции нескольких пе­ременных сводится к решению ряда задач одномерной ми­ни­мизации (2) по переменной  на отрезках -мерного про­ст­ран­ст­ва, проходяших через точки  в направлении векторов . Методы спуска различаются лишь выбором вектора спуска и сп­о­с­о­бом решения задачи одномерной минимизации. Для поиска минимума функции одной пе­ре­меной можно огра­ни­чить­ся методом сканирования: выбрав произвольно начальную точку  и на­чаль­ный шаг по переменной t, можно по­лу­чить различные точки минимума мультимодальной функции. Если функция  мономодальна, то независимо от выбора на­чаль­ной точки траектория поиска приведет к единственной точке локального минимума этой функции.
Существует и другой метод поиска - покоординатный спуск Гаусса-Зейделя. Здесь  в области определения функ­ции  произ­воль­но выбирается начальная точка. Приближения определяются соотношениями (1), где  – единичный вектор, совпадающий с каким-либо ко­ор­динатным направлением. Например, если  параллелен , то = 1, 0, 0, …0, если он параллелен , то = 0, 1, 0, …0 и т.д. Величина  является решением задачи одномерной мини­ми­зации (2) и может определяться методом сканирования.
В частности, для функции двух переменных, исходя из на­чаль­ной точки , можно определить точку  минимума функ­ции одной переменной ; , а затем -точку минимума  функции  по второй координате. При­нимая исходной точкой  (при фиксированной ее второй ко­ор­динате), определится точка минимума  функции  одной переменной ; . Точка определится в результате минимизации целевой функции  по координате (фиксируется координата  точки ) и т.д. (рис.3).

 

Вычислительная процедура прекращается при 
, (3)
ε - за­дан­ная точность.
В методе наискорейшего спуска, исходя из начальной точки , строится последовательность приближений , где  – единичный вектор, сонаправленный с направлением вектора-градиента функции  в точке :

=.

Точку  определяют из решения задачи одномерной мини­ми­за­ции функции  по переменной t в направлении век­то­ра :
. (6)
Задача (4) численно легко решается методом сканирования. Вычис­лительная процедура осуществляется до выполнения неравенства (3).
В двумерном случае отрезок ломаной, соединяющий точки  и  (k= 0, 1, …), параллелен вектору-градиенту функции  в точ­ке , перпендикулярному линии уровня функции , проходящей через точку  (рис.4).

 

Приведенные методы эффективно использовались при определении рецептурно-технологических параметров строительных материалов различного назначения [1…7].

1. Математические методы в строительном материаловедении: монография / И.А.Гарькина [и др.]; под ред. акад. РААСН В.И.Соломатова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. –  2001. – 188 с.
2. Данилов А.М.,Гарькина И.А., Домке Э.Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. –  Пенза: ПГУАС. –  2011. – 296 с.
3. Гарькина И.А., Данилов А.М., Домке Э.Р. Промышленные приложения системных методологий, теорий идентификации и управления / Вестник МАДИ. –  2009. – № 2(17). –  С.77-82.
4. Данилов А.М. Системы и модели: монография. – Пенза: ПГАСИ. –1995. – 200 с.
5. Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А.М. Моделирование с позиций управления  в технических системах / Региональная архитектура и строительство. –2013. – № 2 (16). – С. 138-142.
6. Данилов А.М., Гарькина И.А. Методология проектирования сложных систем при разработке материалов специального назначения / Известия ВУЗов. Строительство.–2011. –С.80-85
7. Данилов А.М., Гарькина И.А. Интерполяция, аппроксимация, оптимизация: анализ и синтез сложных систем: монография. – Пенза: ПГУАС. –2014. – 168 с.

Все статьи автора «fmatem»