УДК 530.145

НОВОЕ УРАВНЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Дангян Араик Эмильевич

Аннотация
В работе проводится анализ аналитического решения стационарного уравнения Клейна-Гордона для атома водорода и водородоподобных ионов (изоэлектронный ряд водорода). На основании сравнения энергии связи водородоподобных ионов, полученных при аналитическом решении, с соответствующими экспериментальными значениями, делается вывод о том, что решения уравнения Клейна-Гордона все более значительно отклоняются от экспериментальных значений при увеличении заряда ядра Z.
Предлагается новое релятивистское уравнение более адекватно описывающее атом водорода и изоэлектронный ряд водорода.

Ключевые слова: атом водорода, водород, водородоподобные ионы, изоэлектронный ряд водорода, квантовая механика, релятивистское уравнение, уравнение Клейна-Гордона


NEW EQUATION OF THE RELATIVISTIC QUANTUM MECHANICS

Danghyan Arayik Emilevich

Abstract
This paper analyzes analytical solution of the stationary Klein-Gordon equation for the hydrogen atom and hydrogen-like ions (isoelectronic sequence of hydrogen). It is concluded that the solutions of the Klein-Gordon equation deviate significantly from the experimental values ​​with increasing nuclear charge Z. Conclusions are based on a comparison of the binding energy of hydrogen ions produced in the analytical solution with the corresponding experimental values.
We propose new relativistic equation which can describes more adequately the hydrogen atom and hydrogen isoelectronic series.

Keywords: hydrogen, hydrogen atom, hydrogen-like ions, Klein-Gordon equation, quantum mechanics, relativistic equation


Рубрика: 01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Дангян А.Э. Новое уравнение релятивистской квантовой механики // Современные научные исследования и инновации. 2013. № 12 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2013/12/30356 (дата обращения: 30.09.2017).

Введение

В работе проводится анализ аналитического решения стационарного уравнения Клейна-Гордона для атома водорода и водородоподобных ионов (изоэлектронный ряд водорода). На основании сравнения энергии связи водородоподобных ионов, полученных при аналитическом решении, с соответствующими экспериментальными значениями, делается вывод о том, что решения уравнения  Клейна-Гордона все более значительно отклоняются от экспериментальных значений при увеличении заряда ядра Z.

Предлагается новое релятивистское уравнение более адекватно описывающее атом водорода и изоэлектронный ряд водорода.

Данную статью можно скачать в формате PDF по ссылке - http://r-lib.snauka.ru/2013/12/1118

1. Анализ решений уравнения Клейна-Гордона

Приведем кратко вывод стационарного уравнения Клейна-Гордона.

Используя выражения релятивистской энергии (1.1) и релятивистского импульса (1.2)

  (1.1) ,          (1.2)

Получается соотношение связи энергии и импульса :      (1.3)

Откуда   (1.4)

В стационарном потенциальном поле  выражение (1.4) принимает вид :    (1.5)    откуда    (1.6)

Подставляя в (1.6) выражение для квадрата импульса   (1.7) приходим к стационарному уравнению Клейна-Гордона:    (1.8)

В центральном поле ядра атома водорода потенциальная энергия электрона зависит только от одной координаты, расстояния от центра.     (1.9)

Оператор Лапласа в сферических координатах выглядит следующим образом:     (1.10)

Волновую функцию  представим в виде  (1.11)  Подставляя  (1.9), (1.10) и (1.11) в уравнение (1.8) с учетом   получим радиальное уравнение Клейна-Гордона в системе СИ.   (1.12)

В рамках данной работы будем рассматривать сферически симметричные состояния с нулевым орбитальным моментом . С учетом сказанного уравнение (1.12) примет вид  (1.13)

Далее будем использовать систему атомных единиц Хартри. В этой системе приняты следующие единицы:

За единицу длины принято среднее расстояние электрона от ядра в атоме водорода (радиус Бора) м.

За единицу массы принята масса покоя электрона кг.

За единицу заряда принято абсолютное значение заряда электрона Кл.

За единицу действия принята постоянная Планка Дж*с.

За единицу энергии принята удвоенная энергия основного состояния электрона в атоме водорода, называемая Хартри. 1 Хартри=Дж=27.21138386эВ.

За единицу скорости принята скорость электрона на внутренней орбите боровской модели атома водорода.

Скорость света в атомных единицах Хартри равна .

Все сказанное можно записать следующим образом: 

Запишем радиальное уравнение Клейна-Гордона (1.13) в атомных единицах Хартри  () (1.14)

Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha   http://www.wolframalpha.com/

Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:

 (1.15)  где  вырожденная гипергеометрическая функция второго рода,  константа интегрирования.

Как известно, из аналогичных решений уравнения Шредингера, первый параметр вырожденной гипергеометрической функции является радиальным квантовым числом . И для основного состояния радиальное квантовое число принимается равным нулю . Из этих соображений, получаем уравнение для определения энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов в следующем виде:

                                        (1.16)

Решая уравнение (1.16) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде:  (1.17) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах. эВ  (1.18)

Построим сравнительную диаграмму значений энергии полученных аналитическим решением (формула (1.18)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].

Рис.1 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения Клейна-Гордона.

Как видно из диаграммы, полученные при решении уравнения Клейна-Гордона значения энергии, плохо согласуется с экспериментальными значениями по мере увеличения заряда ядра . Эти значения даже хуже чем соответствующие решения нерелятивистского стационарного уравнения Шредингера  . То есть при приближении к релятивистским скоростям отклонения увеличиваются . Хотя логично было бы ожидать обратное.

                            2. Вывод нового релятивистского уравнения

Сделаем предположение, что в атоме водорода имеют место следующие соотношения энергии и импульса:

  (2.1)     (2.2)

Формулу энергии (2.1) преобразуем следующим образом:   (2.3)

Подставим квадрат импульса в формулу энергии (2.3)    (2.4)  возведя в квадрат и перегруппировав, получим новое соотношение энергии и импульса в виде:   (2.5)  Действуя по аналогии с уравнением Клейна-Гордона получим следующее уравнение:  

                                        (2.6)

Условно назовем полученное уравнение .

Дальнейшее преобразование дает радиальное уравнение для сферически симметричных состояний с  нулевым орбитальным моментом  в виде:

                                          (2.7)  

Перепишем уравнение (2.7) в атомных единицах Хартри

                                             (2.8)

Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha   http://www.wolframalpha.com/

Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:

 

  (2.9)  где  вырожденная гипергеометрическая функция второго рода,  константа интегрирования.

 Для нахождения формулы энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, приравниваем к нулю первый параметр гипергеометрической функции:         (2.10)

Решая уравнение (2.10) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде:

  (2.11)  Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах.

  эВ  (2.12)

Построим сравнительную диаграмму значений энергии, полученных аналитическим решением (формула (2.12)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].

Рис.2 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения М2.

Как видно из диаграммы полученные при решении уравнения М2 значения энергии хорошо согласуется с экспериментальными значениями.

Отметим, что в рамках данной работы не анализируются причины такого поведения электрона в атоме водорода и в водородоподобных ионах. Возможно этой проблеме будет посвящена отдельная статья.


Библиографический список
  1. Основы квантовой теории и атомной физики: Учеб. пособие /Ю.Н.Колмаков,  Ю.А.Пекар, Л.С.Лежнева, В.А.Семин; Тул.гос.ун-т. – Тула, 2005. – 147 с.
  2. http://en.wikipedia.org/wiki/Ionization_energies_of_the_elements_(data_page)


Все статьи автора «Дангян Араик Эмильевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: