Введение
В работе проводится анализ аналитического решения стационарного уравнения Клейна-Гордона для атома водорода и водородоподобных ионов (изоэлектронный ряд водорода). На основании сравнения энергии связи водородоподобных ионов, полученных при аналитическом решении, с соответствующими экспериментальными значениями, делается вывод о том, что решения уравнения Клейна-Гордона все более значительно отклоняются от экспериментальных значений при увеличении заряда ядра Z.
Предлагается новое релятивистское уравнение более адекватно описывающее атом водорода и изоэлектронный ряд водорода.
Данную статью можно скачать в формате PDF по ссылке - http://r-lib.snauka.ru/2013/12/1118
1. Анализ решений уравнения Клейна-Гордона
Приведем кратко вывод стационарного уравнения Клейна-Гордона.
Используя выражения релятивистской энергии (1.1) и релятивистского импульса (1.2)
(1.1) , 
(1.2)
Получается соотношение связи энергии и импульса : 
(1.3)
Откуда 
(1.4)
В стационарном потенциальном поле 
выражение (1.4) принимает вид : 
(1.5) откуда 
(1.6)
Подставляя в (1.6) выражение для квадрата импульса 
(1.7) приходим к стационарному уравнению Клейна-Гордона: 
(1.8)
В центральном поле ядра атома водорода потенциальная энергия электрона зависит только от одной координаты, расстояния от центра. 
(1.9)
Оператор Лапласа в сферических координатах выглядит следующим образом: 
(1.10)
Волновую функцию 
представим в виде 
(1.11) Подставляя (1.9), (1.10) и (1.11) в уравнение (1.8) с учетом 
получим радиальное уравнение Клейна-Гордона в системе СИ. 
(1.12)
В рамках данной работы будем рассматривать сферически симметричные состояния с нулевым орбитальным моментом 
. С учетом сказанного уравнение (1.12) примет вид 
(1.13)
Далее будем использовать систему атомных единиц Хартри. В этой системе приняты следующие единицы:
За единицу длины принято среднее расстояние электрона от ядра в атоме водорода (радиус Бора) 
м.
За единицу массы принята масса покоя электрона 
кг.
За единицу заряда принято абсолютное значение заряда электрона 
Кл.
За единицу действия принята постоянная Планка 
Дж*с.
За единицу энергии принята удвоенная энергия основного состояния электрона в атоме водорода, называемая Хартри. 1 Хартри=
Дж=27.21138386эВ.
За единицу скорости принята скорость электрона на внутренней орбите боровской модели атома водорода.
Скорость света в атомных единицах Хартри равна 
.
Все сказанное можно записать следующим образом: 
Запишем радиальное уравнение Клейна-Гордона (1.13) в атомных единицах Хартри 
(
) (1.14)
Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/
Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:
(1.15) где 
вырожденная гипергеометрическая функция второго рода, 
константа интегрирования.
Как известно, из аналогичных решений уравнения Шредингера, первый параметр вырожденной гипергеометрической функции является радиальным квантовым числом 
. И для основного состояния радиальное квантовое число принимается равным нулю 
. Из этих соображений, получаем уравнение для определения энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов в следующем виде:
(1.16)
Решая уравнение (1.16) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде: 
(1.17) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона 
. Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах.
эВ (1.18)
Построим сравнительную диаграмму значений энергии полученных аналитическим решением (формула (1.18)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].
Рис.1 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения Клейна-Гордона.
Как видно из диаграммы, полученные при решении уравнения Клейна-Гордона значения энергии, плохо согласуется с экспериментальными значениями по мере увеличения заряда ядра 
. Эти значения даже хуже чем соответствующие решения нерелятивистского стационарного уравнения Шредингера 
. То есть при приближении к релятивистским скоростям отклонения увеличиваются . Хотя логично было бы ожидать обратное.
2. Вывод нового релятивистского уравнения
Сделаем предположение, что в атоме водорода имеют место следующие соотношения энергии и импульса:
(2.1) 
(2.2)
Формулу энергии (2.1) преобразуем следующим образом: 
(2.3)
Подставим квадрат импульса в формулу энергии (2.3) 
(2.4) возведя в квадрат и перегруппировав, получим новое соотношение энергии и импульса в виде: 
(2.5) Действуя по аналогии с уравнением Клейна-Гордона получим следующее уравнение:
(2.6)
Условно назовем полученное уравнение 
.
Дальнейшее преобразование дает радиальное уравнение для сферически симметричных состояний с нулевым орбитальным моментом 
в виде:
(2.7)
Перепишем уравнение (2.7) в атомных единицах Хартри
(2.8)
Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/
Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:
(2.9) где 
вырожденная гипергеометрическая функция второго рода, 
константа интегрирования.
Для нахождения формулы энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, приравниваем к нулю первый параметр гипергеометрической функции: 
(2.10)
Решая уравнение (2.10) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде:
(2.11) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона 
. Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах.
эВ (2.12)
Построим сравнительную диаграмму значений энергии, полученных аналитическим решением (формула (2.12)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].
Рис.2 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения М2.
Как видно из диаграммы полученные при решении уравнения М2 значения энергии хорошо согласуется с экспериментальными значениями.
Отметим, что в рамках данной работы не анализируются причины такого поведения электрона в атоме водорода и в водородоподобных ионах. Возможно этой проблеме будет посвящена отдельная статья.
Библиографический список
- Основы квантовой теории и атомной физики: Учеб. пособие /Ю.Н.Колмаков, Ю.А.Пекар, Л.С.Лежнева, В.А.Семин; Тул.гос.ун-т. – Тула, 2005. – 147 с.
- http://en.wikipedia.org/wiki/Ionization_energies_of_the_elements_(data_page)
Количество просмотров публикации: Please wait