Комбинаторное правило умножения

Комбинаторное правило умножения является базовым принципом комбинаторики, используемый для вычисления количества возможных вариантов события. Данное правило применяется в случае, когда одно событие может случиться по разным сценариям, при этом каждый случай из этих сценариев связан с другими возможными событиями. Согласно этому принципу определяется общее количество комбинаций в случае если известно количество вариантов для каждого этапа и элемента.

Правило умножения

Если одно событие может случиться как m1​ способов, а далее другое событие как m2​ способов, то формула вычисления общего количества комбинаций этих событий равно:

m = m1​ · m2​  

Для нескольких последовательных событий, каждое из которых имеет определенное число вариантов, правило умножения обобщается так:

m = m1​ · m2​ · m3​ · … · m​  

где i – общее число событий.

Пример применения

Сколько слов из трех букв можно записать, если использовать только буквы П и Р?

Первая буква может быть выбрана в двух вариантах, вторая — также в двух вариантах и третья — также в двух вариантах. Общее количество комбинаций будет 2 · 2 · 2  = 23 = 8.

Взаимосвязь с вероятностью

Правило умножения также применяется для вычислений вероятности. Если три события X, Y и Z независимы, то вероятность их одновременного наступления будет равняться: произведение всех вероятностей:

Это правило необходимо использовать при решении комбинаторных задач вычисления вероятности.

Перестановка

Перестановка – это особая комбинаторная задача по расположению или упорядочиванию элементов в определенную последовательность из общего числа элементов из заданного множества. Для заданного ZZZ объектов общим количеством всевозможных перестановок равен факториалу числа Z (Z!):

Pz = z! = 1 · 2 · 3 ·… · (z-1) · z

Пример перестановки

Допустим, у нас есть три буквы: Q, W и E. Посчитаем количество возможных упорядоченных последовательностей:

  • QWE,
  • QEW,
  • WQE,
  • WEQ,
  • EQW,
  • EWQ.

Вычисление общего количества перестановок: 3! = 6.

Применение

Перестановка может применяться при планировании, составлении расписания, шифровании и других задач.

Факториал

Факториал является математической операцией важной для комбинаторики, статистики и теории вероятности. Факториал числа zzz обозначается как z! и равняется произведению всех натуральных чисел от 1 до z:

Пример вычислений

Для числа 6! факториал будет вычисляться следующим образом:

6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 =  720

Связь с комбинаторикой

Факториал может быть использован для вычисления перестановки комбинаций и размещения. Например, для вычисления общего количества перестановок из x объектов равно x!.

Применение

Факториал применяется для задач по анализу данных, например, для расчета вероятности или для определения количества возможных маршрутов в логистических задачах.

Более подробно ознакомиться с этим и другими правилами можно на сайте: https://маминов.рф/1478-kombinatornoe-pravilo-umnozhenija-perestanovki-i-faktorial.html

Дата публикации статьи: 13.11.2021