Наиболее существенным, для оценки степени формализации процесса, является объем и уровень исследованных и установленных функциональных связей между параметрами конструкции, эксплуатационными показателями и условиями эксплуатации обкаточных резцов.

На рис. 1 приведена схема основных факторов и показателей процесса формообразования зубьев деталей резанием по методу обкатки.

Большое количество проведенных исследований позволило определить как внутренние функциональные связи между факторами процесса формообразования, так и внешние – между факторами и показателями. Для анализа и последующего использования при создании базы знаний процесса формообразования, а также для создания на ее основе САПР инструмента, основные функциональные связи между факторами процесса формообразования зубьев деталей можно представить в виде матрицы МФ (рис. 2).

Рисунок 1 ­– Функциональные связи факторов и показателей процесса формообразования зубьев деталей резанием по методу обкатки

Рисунок 2 – Общий вид матрицы МФ

Математическая матрица МФ будет выглядеть так:

, где Аⁱ_j - элемент матрицы, представляющий собой многомерную матрицу, включающую: совокупность функциональных зависимостей, табличных данных, неформализованных сведений и рекомендаций, связывающих между собой рассматриваемые факторы процесса формообразования, расположенные в i–ой строке и j–ом столбце матрицы МФ. Вид, структура и форма элементов Aⁱ_j матрицы МФ может быть различной, а при отсутствии установленных функциональных связей элемент матрицы  Aⁱ_j =0.

Рисунок 3 – Структура и состав элемента трехмерной матрицы функциональных связей 

На рис. 3 приведена трехмерная структура элемента матрицы  Aⁱ_j, обусловленная наличием большого количества достаточно сложных механизмов взаимодействия, как между факторами, так и между параметрами, от которых эти факторы зависят сами, но которые не входят в перечень анализируемых факторов i и j, т.к. являются предметом изучения и исследования в смежных дисциплинах, например, материаловедении, сопротивлении материалов и т.д.

Аналогичным образом может быть сформирована матрица МФП функциональных связей между факторами и показателями процесса формообразования зубьев детали, т.е. матрица связи конструкции, условий эксплуатации и показателей эксплуатации.

Математический вид матрицы МФП будет следующим:

р₁ – р₁₆ ­ это показатели эксплуатации;

f₁ – f₁₃ ­ это параметры конструкции;

f₁₄ – f₂₃ ­ это условия эксплуатации.

Вⁱ_j  – элемент матрицы, представляющий собой многомерную матрицу, включающую: совокупность функциональных зависимостей, табличных данных, неформализованных сведений и рекомендаций, связывающих между собой рассматриваемые факторы, расположенные в i–ой строке, и показатели, расположенные в j–ом столбце, матрицы МФП процесса формообразования. Вид, структура и форма элементов  Вⁱ_j матрицы МФП, построены аналогично элементам Аⁱ_j матрицы МФ. При этом, при отсутствии установленных функциональных связей элемент матрицы  Вⁱ_j =0.

Приведенные матрицы представляют собой основу построения базы данных знаний процесса формообразования зубьев путем резания методом обкатки. Они могут использоваться в качестве интерфейса системы формирования и управления базой знаний процесса формообразования. Номер строки и столбца каждого элемента этой системы, не равного нулю, можно рассматривать как адрес ячейки системы управления базой данных знаний, в которой хранятся накопленные знания о функциональных связях между факторами или между факторами и параметрами процесса формообразования. Так, при формировании САПР инструмента главными исходными данными будет являться система показателей, которой должен будет удовлетворять процесс формообразования. В свою очередь система показателей определит состав факторов и функциональные связи с ними. Приведена построенная на основе модификации матрицы МФ, матрица инцинденций связей между факторами процесса формообразования (рис. 4). Аналогично строится на основе модификации матрицы МФП – матрица инцинденций связей между факторами и показателями процесса формообразования.

Рисунок 4 – Единичная матрица функциональных связей между фаткорами 

 – функциональные связи между факторами не установлены;

 – функциональные связи, установленные косвенно;

 – функциональные связи между факторами, установленные в работе.

Приведенные матрицы достаточно наглядно демонстрируют степень формализации процесса формообразования и возможные направления дальнейших исследований.

Матрицы инцинденций представлены в виде пульта графического интерфейса управления базой данных знаний процесса формообразования зубьев резанием методом обкатки. Элементы матрицы представлены в виде клавиш трех цветов, содержание которых определяется степенью формализации функциональных связей.

Использование данного представления матриц позволит в значительной степени формализовать процесс создания САПР инструмента. Кроме того, приведенная система позволяет оценить степень формализации и качество используемых функциональных связей. Благодаря этому можно сделать обоснованный выбор состава факторов и функциональных связей между факторами и показателями, исходя из конкретных условий формообразования.

Матрицы инцинденций могут также служить ориентиром в направлении развития исследований процесса формообразования. При этом сами матрицы связей МФ и МФП, по мере накопления знаний, будут претерпевать изменения как по составу факторов и показателей, так и по глубине формализации связей между ними.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы:

1. Процесс формообразования характеризуется большим количеством связей между факторами, которые целесообразно разделить на внутренние – параметры, и внешние – показатели.
2. Совокупность функциональных связей, как между факторами, так между факторами и показателями, записанная в виде матриц функциональных связей, позволяет систематизировать и формализовать их представление.
3. Матрицы функциональных связей представляют собой организационную структуру базы знаний процесса формообразования.
4. Матрицы инцинденций, сформированные на базе матриц функциональных связей, представляют собой графический интерфейс системы управления базой знаний процесса формообразования.
5. Матрицы инцинденций позволяют осуществлять планирование исследований по формализации функциональных связей процесса формообразования.

Помимо упомянутых традиционных методов изготовления цилиндрических зубчатых колес, необходимо отметить метод зуботочения, впервые научно обоснованный во ВНИИИНСТРУМЕНТ [21]. Сущность этого метода заключается в том, что для его реализации используется специальный инструмент (обкаточный резец) типа косозубого долбяка с числом зубьев, равным числу заходов при согласованных вращениях инструмента и изделия на их скрещивающихся в пространстве осях. Метод в силу различных причин не получил широкого распространения. Однако, учитывая все более широкое применение современного оборудования с ЧПУ, использование данного метода в современных условиях представляется весьма перспективным.

Особенно актуальным метод находит свое применение при нарезании зубчатых колес внутреннего зацепления, поскольку другие методы обработки, в сравнении с зуботочением, являются менее производительными. Так при зубодолблении, в силу наличии холостых ходов при обработке, производительность гораздо меньше, чем при обработке обкаточным резцом.

Применение метода зуботочения для нарезания колес с внутренними зубьями требует вывода математических зависимостей определения профиля зубьев обкаточных резцов. Станочное зацепление инструмента и детали похоже на винтовую зубчатую передачу на скрещивающихся осях. Для вывода зависимостей определения координат точек режущих кромок инструмента используются правые системы координат. При этом внутреннее станочное зацепление характеризуется кинематической схемой изображенной на рис. 1, рассмотренной в работе [22].

Рисунок 1 – Схема внутреннего станочного зацепления обкаточного резца с обрабатываемой деталью 

Здесь: Оx’₁y’₁z’₁ – неподвижная система координат детали (ось Оz’₁ совпадает с осью обрабатываемой детали, ось Ox’₁ – с межосевой линией); Ox₁y₁z₁ – подвижная система координат, жестко связанная с обрабатываемой деталью (повернута относительно системы координат Оx’₁y’₁z’₁ на угол φ₁ – фазу зацепления); Оx_ky_kz_k – вспомогательная система с центром в полюсе зацепления, в которой задается кинематический задний угол α_k; О₀x’₀y’₀z’₀ – неподвижная система координат инструмента; О₀x₀y₀z₀ – подвижная система координат,  жестко связанная с обкаточным резцом (повернута относительно системы координат О₀x’₀y’₀z’₀ на угол φ₀ – фазу зацепления); Σ – угол скрещивания осей обрабатываемой детали и обкаточного резца. Фаза зацепления φ₁ и угол φ₀ поворота инструмента связаны соотношением (1):

                                                                    (1)

где  передаточное число станочного зацепления; z₁, z₀ – число зубьев обрабатываемой детали и число зубьев (заходов) обкаточного резца соответственно.

Соотношения между указанными системами координат определяются следующими математическими зависимостями:

Преобразование 1: между системами Ox₁y₁z₁ и Оx’₁y’₁z’₁ (рис. 2):

Рисунок 2 – Схема преобрпахования систем координат Оx’₁y’₁z’₁ и Ox₁y₁z₁ 

Переход от системы Ox₁y₁z₁ к системе Оx’₁y’₁z’₁ и обратно характеризуется поворотом на угол φ₁.

Для удобства запишем преобразования координат в матричном виде. При этом используем квадратные матрицы четвертого порядка, так как они учитывают, кроме поворотов, еще и линейные перемещения. Для того чтобы воспользоваться матрицами такого порядка, нужно предварительно вести так называемые однородные координаты. При однородных координатах положение точки в системе x_i, y_i, z_i задается четырьмя величинами: x’_i, y’_i, z’_i, t’_i. Четыре новые величины не равны одновременно нулю и связаны с x_i, y_i, z_i соотношениями (2):

,                              ,                              .                    (2)

Следовательно, из четырех новых величин: x’_i, y’_i, z’_i, t’_i – независимыми являются только три.

Аналогично, для определения положения точки в системе x_j, y_j, z_j будем пользоваться однородными координатами: x’_j, y’_j, z’_j, t’_j, где:

,                              ,                             .                   (3)

Условимся, что t’_j = t’_i = 1. Это позволит совершать переход от однородных ординат к обычным и обратный переход. Тогда при однородных координатах положение любой точки в соответствующих системах координат можно записать в матричном виде, используя матрицу четвертого порядка.

Матрица M_11‘ прямого преобразования:

Матрица M_1′1 обратного преобразования:

Преобразование 2: между системами Оx’₁y’₁z’₁ и Оx_ky_kz_k  (рис. 3):

Рисунок 3 – Схема преобразования систем координат Оx’₁y’₁z’₁ и Оx_ky_kz_k

Переход от системы Оx’₁y’₁z’₁ к системе Оx_ky_kz_k одновременно характеризуется смещением в полюс зацепления зубчатого колеса и обкаточного резца на радиус начальной окружности зубчатого колеса r_w1 и поворотом на задний кинематический угол α_k.

Матрица M_1′k прямого преобразования:

Матрица M_k1′ обратного преобразования:

Преобразование 3: между системами Оx_ky_kz_k и О₀x’₀y’₀z’₀ (рис. 4):

Рисунок 4 – Схема для преобразования систем координат О₀x’₀y’₀z’₀ и Оx_ky_kz_k

Переход от системы Оx_ky_kz_kк системе О₀x’₀y’₀z’₀ характеризуется перемещением на радиус начальной окружности обкаточного резца к центру инструмента и углом скрещивания Σ.

Матрица M_k0′ прямого преобразования:

Матрица M_0′k обратного преобразования:

Преобразование 4: между системами О₀x’₀y’₀z’₀ и O₀x₀y₀z₀ (рис. 5):

Рисунок 5 – Схема для преобразования систем координат О₀x’₀y’₀z’₀ и O₀x₀y₀z₀

Переход от системы О₀x’₀y’₀z’₀ к системе O₀x₀y₀z₀ и обратно характеризуется поворотом на угол φ₀.

Матрица M_0’0 прямого преобразования:

Матрица M_00′ обратного преобразования:

Для реализации такой кинематической схемы в работе [22] были модернизированы универсальные зубофрезерные станки, так как до модернизации станки не позволяли выполнить условия соотношения скоростей (скорость вращения стола была очень мала).

В настоящее время оборудование с ручным управлением, рассчитанное на быстрое вращение стола в РФ и за рубежом не производится. Наиболее перспективным представляется использование современных многокоординатных станков с ЧПУ, которые обеспечивают не только высокую скорость вращения стола, но и позволяют устанавливать инструмент относительно обрабатываемой детали в требуемом положении. Так же необходимо отметить, что соотношения скоростей вращения обрабатываемой детали и обкаточного резца на таком оборудовании реализуются на программном уровне.

Таким образом, соотношение скоростей определяется передаточным числом в соответствии с описанным выше соотношением . Это означает, что, если принять n₁ за частоту вращения обрабатываемой детали, то частота вращения обкаточного резца составит .

В дальнейшем, для вывода уравнения огибающей профиля обрабатываемого колеса нам понадобится результирующая матрица MS.

При этом запишем угол поворота обкаточного резца φ₀, как произведение передаточного числа u₀ и угла поворота обрабатываемого колеса φ₁:

Аналогично считается обратная результирующая матрица MR:

В дальнейшем, полученные математические преобразования будут использоваться при выводе уравнения боковой поверхности зубьев зубчатого колеса в системе O₀x₀y₀z₀, жестко связанной с обкаточным резцом, уравнение поверхности, огибающей боковую поверхность зуба цилиндрического зубчатого колеса, и уравнения режущей кромки зуба обкаточного резца. На основе определения указанных выше уравнений строится методика профилирования обкаточного резца для нарезания зубчатых колес внутреннего зацепления методом зуботочения.

Помимо упомянутых традиционных методов изготовления цилиндрических зубчатых колес, необходимо отметить метод зуботочения, впервые научно обоснованный во ВНИИИНСТРУМЕНТ [22]. Сущность этого метода заключается в том, что для его реализации используется специальный инструмент (обкаточный резец) типа косозубого долбяка с числом зубьев, равным числу заходов при согласованных вращениях инструмента и изделия на их скрещивающихся в пространстве осях. Метод в силу различных причин не получил широкого распространения. Однако, учитывая все более широкое применение современного оборудования с ЧПУ, использование данного метода в современных условиях представляется весьма перспективным.

Оборудование с ЧПУ, имея сложную кинематику работы, позволяет применять более простой инструмент. Так классический обкаточный резец можно упростить за счет изменения его конструкции, а именно принять задний угол равным нулю. Такие изменения обеспечат неизменный профиль в следствии переточки инструмента, т.е. погрешности переточки будут минимизированы.

При проектирование режущего инструмента важнейшим является прямая задача профилирования, то есть определение профиля инструмента по заданному профилю детали. Для определения профиля инструмента в первую очередь  необходимо задаться системами координат определяющие внутреннее станочное зацепление, характеризующееся кинематической схемой, изображенной на рис. 1 [1].

Рисунок 1 – Схема внутреннего станочного зацепления обкаточного резца с обрабатываемой деталью

Соотношения между указанными системами координат определяются математическими зависимостями [23], выраженными матрицами четвертого порядка. Так для вывода уравнения огибающей профиля инструмента используется матрица, связывающая систему координат изделия с системой координат инструмента:

Согласно поставленной задаче, необходимо реализовать указанные системы координат в среде t-Flex CAD 3D (рис. 2).

Рисунок 2 – Системы координат, необходимые для реализации модели

Прямая задача профилирования гласит, что профиль инструмента определяется по заданному, то есть известному, профилю детали. Обрабатываемой деталью является зубчатое колесо внутреннего зацепления. В связи с этим, в среде t-Flex CAD 3D реализуется параметрическая модель колеса внутреннего зацепления. Для этого указываются все необходимые параметры колеса (модуль, число зубьев, угол наклона зубьев, угол профиля исходного контура) и рассчитываются зависимые параметры (диаметры основной и делительной окружностей, диаметры вершин и впадин зубьев, окружные величины толщин зубьев и др.) по известным формулам [24] (рис. 3).

Рисунок 3 – Параметры модели и математические зависимости

Затем, по рассчитанным параметрам, строится профиль зубчатого колеса и его трехмерная модель. Вместе с этим, в системе инструмента реализуется тонкостенная заготовка, на которой и будет определяться профиль обкаточного резца (рис. 4).

Рисунок 4 – Определение профиля зубчатого колеса внутреннего зацепления; построение трехмерной модели зубчатого колеса внутреннего зацепления

На следующем этапе профилирования необходимо определить движения инструмента и изделия и установить между ними связь. Обкаточный резец и зубчатое колесо с внутренними зубьями имеют вращательные движения, при этом вращаются они в одном направлении. А так как они находятся в зацеплении, то, как и у колес внутреннего зацепления, пара инструмент-деталь имеем передаточное отношение, которое определяется числами их зубьев z₀ и z₁ для обкаточного резца и зубчатого колеса соответственно. Тогда:

 _{u0 = z1 / z0} .                              (1)

Таки образом, можно определить условие обкатки:

  _{φ0 = φ1 / u0},                              (2)

где φ₀ – угол поворота обкаточного резца, φ₁ – угол поворота зубчатого колеса с внутренними зубьями.

Особенность данного метода профилирования заключается том, что инструмент “фиксируется”, а все движения передаются изделию с заданным профилем. То есть зубчатое колесо должно, кроме вращения во круг своей оси, вращаться вокруг оси инструмента. Для этого необходимо определить координаты оси инструмента в системе координат, жестко связанной с зубчатым колесом. Координаты определяются с помощью обратной результирующей матрицы MR, которая считается аналогично матрице прямого преобразования MS. 

В среде t-Flex это реализуется за счет операции параметрический массив, где массив зубчатых колес совершает обкатку вокруг заготовки инструмента (рис. 5 и 6). 

Рисунок 5 – Параметры массива

Рисунок 6 – Результат операции “параметрический массив”

Следующим шагом необходимо из заготовки обкаточного резца вычисть булевой операцией результат параметрического массива (рис. 7).

Рисунок 7 – Результат булевой операции вычитания.

Для достижения результата поставленной задачи достаточно получить профиль на одном зубе инструмента (рис. 8), а далее массивом получить профиль всего обкаточного резца (рис. 9).

Рисунок 8 – Профиль одного зуба обкаточного резца

Рисунок 9 – Профиль всех зубьев обкаточного резца

Таким образом был получен профиль инструмента по заданному профилю зубчатого колеса. Для получения готовой модели инструмента необходимо сформировать опорный торец и выточку под переточку по передней поверхности (рис. 10), шпоночный паз и переднюю поверхность инструмента (рис. 11 и 12).

Рисунок 10 – Формирование опорного торца и выточки под переднюю поверхность

Рисунок 11 – Формирование передней поверхности; имитация обработки

Рисунок 12 – Результат формирования передней поверхности инструмента

В результате выполненной работы была получена трехмерная параметрическая модель обкаточного резца (рис. 13), которая наглядно демонстрирует применимость метода трехмерного моделирования для решения прямой задачи профилирования – определения профиля инструмента.

Рисунок 13 – Параметрическая модель обкаточного резца

 Модель применима для профилирования инструмента, ориентированного на обработку широкого спектра зубчатых колес внутреннего зацепления, с различными параметрами чисел зубьев, угла наклона зубьев, модуля и т.д. Также модель применима к зубчатым колесам не только эвольвентного профиля, но и других. Практическая ценность работы, заключается в решении задачи профилирования и определении эффективных путей улучшения выходных параметров инструмента.

. (1)

В данной работе рассматривается определение вектора относительной скорости . Для определения скорости относительного движения звеньев необходимо задаться схемой внутреннего станочного зацепления (рис. 1).

Рисунок 1 – Схема внутреннего станочного зацепления обкаточного резца с обрабатываемой деталью

Здесь: O₁xyz – неподвижная система координат детали (ось Оz совпадает с осью обрабатываемой детали); O₁x₁y₁z₁ – подвижная система координат, жестко связанная с обрабатываемой деталью (повернута относительно системы координат O₁xyz на угол f₁); O₀x_py_pz_p – вспомогательная система координат (система позиционирования), в которой задается угол установки a_p; O₀x₀y₀z₀ – неподвижная система координат инструмента (ось Оz_p совпадает с осью обрабатываемой детали); O₀x_wy_wz_w – подвижная система координат, жестко связанная с обкаточным резцом (повернута относительно системы координат O₀x₀y₀z₀ на угол f₀). Угол поворота обрабатываемого зубчатого колеса f₁ и обкаточного резца f₀ связаны соотношением (2):

, (2)
, (3)

где u – передаточное число станочного зацепления; z₁, z₀ - число зубьев обрабатываемой детали и число зубьев (заходов) обкаточного резца соответственно.
Соотношения между указанными системами координат определяются следующими математическими зависимостями:
1. Преобразование координат между системами O₁x₁y₁z₁ и O₁xyz (рис. 2):

Рисунок 2 – Схема преобразования систем координат O₁x₁y₁z₁ и O₁xyz

Переход от системы O₁x₁y₁z₁ к системе O₁xyz и обратно характеризуется поворотом на угол f₁.
Для удобства преобразования координат запишем в матричном виде, используя квадратные матрицы четвертого порядка, поскольку такие матрицы учитывают, не только повороты, но и линейные перемещения. 
Чтобы воспользоваться матрицами четвертого порядка, необходимо предварительно вести однородные координаты. При однородных координатах положение точки в системе x_i, y_i, z_i задается четырьмя величинами: x’_i, y’_i, z’_i, t’_i. Четыре новые величины не равны одновременно нулю и связаны с x_i, y_i, z_iсоотношениями (4):

 ,  , . (4)

Следовательно, из четырех новых величин: x’_i, y’_i, z’_i, t’_i – независимыми являются только три.
Условимся, что t’_i = 1. Это позволит совершать переход от однородных координат к обычным и обратный переход. Тогда при однородных координатах положение любой точки в соответствующих системах координат можно записать в матричном виде, используя матрицу четвертого порядка.
Выразим координаты системы O₁xyz через координаты системы O₁x₁y₁z₁:

Матрица M₁ прямого преобразования:

Здесь и далее будем записывать только матрицы преобразования, не приводя уравнения зависимостей координат одной системы от другой.
Матрица M’₁ обратного преобразования:

2. Преобразование координат между системами O₁xyz и O₀x_py_pz_p (рис. 3):

Рисунок 3 – Схема преобразования систем координат O₁xyz и O₀x_py_pz_p

Переход от системы O₁xyz к системе O₀x_py_pz_p характеризуется смещением центра на величину а, где:

. (5)

Матрица M₂ прямого преобразования:

Матрица M’₂ обратного преобразования:

3. Преобразование координат между системами O₀x_py_pz_p и O₀x₀y₀z₀ (рис. 4):

Рисунок 4 – Схема для преобразования систем координат O₀x_py_pz_p и O₀x₀y₀z₀

Переход от системы O₀x_py_pz_p к системе O₀x₀y₀z₀ характеризуется поворотом на угол установки a_p.
Матрица M₃ прямого преобразования:

Матрица M’₃ обратного преобразования:

4. Преобразование координат между системами O₀x₀y₀z₀ и O₀x_wy_wz_w (рис. 5):

 
Рисунок 5 – Схема для преобразования систем координат O₀x₀y₀z₀ и O₀x_wy_wz_w

Переход от системы O₀x₀y₀z₀ к системе O₀x_wy_wz_w и обратно характеризуется поворотом на угол f₀.
Матрица M₄ прямого преобразования:

Матрица M’₄ обратного преобразования:

Задавшись схемой станочного зацепления обрабатываемого зубчатого колеса и обкаточного резца и составив матрицы преобразования координат, определяем скорость относительного движения звеньев.
Звено 1 (обрабатываемое зубчатое колесо) принадлежит неподвижной системе координат О₁xyz и вращается вокруг оси z c угловой скоростью (рис. 6). Звено0 (обкаточный резец) принадлежит неподвижной системе O₀x₀y₀z₀ и вращается вокруг оси z₀ с угловой скоростью .

Рисунок 6 – Схема определения вектора относительной скорости

Скорость точки звена 1 в системе О₁xyz определяется уравнением:

 , (6)

где:  – радиус-вектор точки звена 1.
В общем виде, для определения скорости точки звена 0 в системе О₁xyz необходимо привести вектор  к центру О₁, заменив его вектором  и вектором моментом:

, (7)

где  – радиус-вектор, являющийся кратчайшим расстоянием между системами координат О₁xyz и O₀x₀y₀z₀. Тогда, скорость точки звена 0 определяется уравнением:

(8)

Поскольку оси z и z₀, указанных выше систем пересекаются, то кратчайшее расстоянии между этими осями равняется нулю (). Следовательно, скорость точки звена 0 определяется уравнением:

, (9)

Скорость движения точки, жестко связанной со звеном 1, относительно той же точки, жестко связанной со звеном 0, определится уравнением:

(10)

Относительное движение звена 1 по отношению к звену 0 определяется вектором , проходящим через точку приведения O₁.
Найдем проекции , приняв во внимание, что:

, (11)
, (12)

где i, j, k – орты координатных осей.
Тогда:

(13)

Не нарушая общности решения задачи, примем ω₁ = 1 рад/сек, тогда:

(14)

Аналогично определяем скорость движения точки, жестко связанной со звеном 0, относительно той же точки, жестко связанной со звеном 1.

(15)

Не нарушая общности решения задачи, примем ω₀ = 1 рад/сек, тогда:

(16)

Полученные расчетные зависимости для определения вектора относительной скорости необходимы для решения задачи профилирования обкаточного резца, обоснования величин его конструктивных и геометрических параметров, а также формализации условий отсутствия подрезания профиля изделия.

                                                                   (1)

На основе уравнения (1) базируется кинематический метод определения уравнения поверхности, огибающей боковую поверхность зуба зубчатого колеса (ЗК).

Ранее, в работе [3],  были определены проекции вектора относительной скорости V . В настоящей работе рассмотрим вывод зависимостей вектора нормали N к профилю ЗК. Для чего необходимо задать параметры зубчатой дели.

В общем случае, параметры зубчатого колеса внутреннего зацепления будем определять следующими параметрами:

• R­­­_y – радиус текущей точки;
• δ_y – полярный угол относительно выбранного начального положения;
• α_y – угол между радиус-вектором и касательной к профилю.

Значения δ_y и α_y имеют положительные значения профиля, как указано на рис.1. Для противоположной стороны профиля значения этих углов изменяются на противоположные.

Рисунок 1 – Параметры зубчатого колеса внутреннего зацепления

Тогда уравнение профиля зубчатого колеса в торцовой плоскости в подвижной системе детали O₁x₁y₁z₁, ось z₁ которой жестко связанна с осью ЗК, будет записана в виде системы уравнений (2).

                                                                                                                (2)

Теперь перейдем от торцового профиля к определению винтовой поверхности. Образование эвольвентной винтовой поверхности схематически показано на рис. 2. Для определенности будем считать, что профиль располагается на правой винтовой поверхности. Введем координату l_y, определяющую расстояние от торцовой плоскости до рассматриваемой точки в направлении оси z₁.

                                                                                                     (3)

Рисунок 2 – Образование эвольвентной винтовой поверхности зуба колеса

Дадим профилю винтовое движение относительно оси z₁ с параметром P₁. При этом, поворот профиля на некоторый угол φ_y обусловит перемещение вдоль оси z₁ на величину (4).

                                                                                                       (4)

Тогда уравнение винтовой поверхности можно записать в виде:

                                                                                                         (5)

Или с учетом формулы (4), из которой следует, что:

то:

                                                                                          (6)

Учитывая широкое распространение прямозубых колес, параметр P₁ удобно заменить на обратную ему величину:

                                                                                        (7)

где β₁ – угол наклона винтовой линии зубьев изделия.

Тогда при значении β₁ = 0 отпадает необходимость определения значения P₁ = ∞.

                                                                                          (8)

Определим координаты вектора нормали к боковой поверхности зубьев зубчатого колеса. Вектор нормали определяется по формуле (9).

                                                                                            (9)

cчитая винтовую поверхность векторной функцией криволинейных координат R_y и l_y:

                                                                                              (10)

                                                                                                  (11)

Найдем входящие в определитель частные производные, учитывая что:

                                                                                                 (12)

                                                                                                                                                 (13)

                                                                                                                                                  (14)

Отсюда следует:

                                                                                                                                                    (15)

Упростим уравнения, учитывая при этом, что:

                                                                                                                                                    (16)

Тогда получим:

                                                                                                                                                     (17)

Полученные расчетные зависимости для определения вектора нормали к профилю изделия необходимы для решения задачи профилирования обкаточного резца – определения кинематическим методом уравнения поверхности, огибающей боковую поверхность зуба ЗК.

На рис. 1 представлена упрощенная блок-схема программы для расчета режущих кромок обкаточного резца. Рассмотрим более подробно каждый из блоков данного алгоритма.

Рисунок 1 – Блок-схема программы для расчета режущих кромок обкаточного резца

1. Начало программы.

2. Ввод исходных данных:

• m – модуль обрабатываемого ЗК;
• z₁ – число зубьев обрабатываемого ЗК;
• z­­₁₀ – число зубьев обкаточного резца;
• β₁ – угол наклона зубьев обрабатываемого ЗК;
• α – угол профиля исходного профиля;
• h^*_a – коэффициент высоты головки;
• c^* – коэффициент радиального зазора.

3. Определение значения угла δ_y радиуса текущей точки R_y, (рис. 2), необходимого для вычисления координат точек профиля обрабатываемого ЗК.

                                      (1)

Рисунок 2 – Параметры зубчатого колеса внутреннего зацепления

4. Определение максимального и минимального значений R_yдля профиля обрабатываемого ЗК.

5. Определение координат профиля ЗК в подвижной системе O₁x₁y₁z₁, жестко связанной с изделием:

                                                                    (2)

6. Преобразование координат профиля ЗК из системы O₁x₁y₁z₁ в подвижную систему координат O₀x_wy_wz_w, жестко связанной с обкаточным резцом (рис. 3), с помощью матрицы преобразования. Матрица преобразования рассчитывается в подпрограмме уравнением (3).

                                                          (3)

7. Определение скорости относительного движения звеньев V_отн векторным методом.

8. Определение проекций вектора нормали N к профилю обрабатываемого зубчатого колеса.

9. Преобразование проекций вектора нормали N, записанных в подвижной СК O₁x₁y₁z₁, в СК O₀x_wy_wz_w, жестко связанной с обкаточным резцом, с помощью матрицы преобразования (3).

10. Решение характеристического уравнения (4). Определение уравнения поверхности, огибающей боковую поверхность зуба ЗК при его движении относительно обкаточного резца.

(4)

Рисунок 3 – Схема внутреннего станочного зацепления обкаточного резца с обрабатываемой деталью

11. Выбор передней поверхности. Решение уравнения ПП.

12. Определение погрешности несовпадения точки режущей кромки и передней поверхности.

13. Определение координат режущих кромок зуба обкаточного резца, как результат совместного решения уравнений, полученных на стадиях 10 и 11. Вывод данных (координат).

14. Согласованный доворот зубчатого колеса и обкаточного резца на угол Δ_φ, для последующего перерасчета погрешности несовпадения точки РК и ПП.

15. Конец программы.

На основе выше приведенного алгоритма формируется программа расчета координат режущих кромок обкаточного резца, для обработки зубчатых колес внутреннего зацепления. Также программа позволит производить расчеты для проектирования обкаточных резцов для обработки ЗК и внешнего зацепления.