Для построения эффективных систем управления потоками мощности требуется точно определить причины возникновения неактивных токов для выбора средств компенсации. В качестве основы для анализа токов реальных систем можно использовать теорию мгновенных мощностей [1,2,3].

Основы были заложены Фризе в 1936 г.[4]. Было предложено рассматривать ток в цепи как сумму активного и неактивного токов в функции от времени, но на момент разработки теория Фризе не нашла применения и в течение 60 лет оставалась неизвестной, пока в конце прошлого столетия ее не начали использовать для управления активными фильтрами.

,	(1)
где: – активная составляющая тока,  – неактивная составляющая тока.

Активная составляющая тока , согласно теории, пропорциональна активной мощности и в фазе с напряжением, что значит, что неактивная составляющая тока  полезной работы не выполняет и является причиной дополнительных потерь в линии.

Для трехфазной цепи можно представить напряжение и ток трехкомпонентными векторами, координаты которых пропорциональны токам и напряжениям в фазах, а скалярное произведение равно сумме мгновенных мощностей трех фаз:

,	(2)
где:  – фазные токи,  – орты системы координат.
,	(3)
где:  – фазные напряжения.
,	(4)
где: p – мгновенная мощность системы.

Как и в теории Фризе ток системы делится на две составляющие: векторы активного и неактивного тока. Активная составляющая является проекцией вектора тока на вектор напряжения, неактивная составляющая находится к вектору напряжения под прямым углом, образуя с активной составляющей и вектором тока прямоугольный треугольник:

,	(5)
где:  – вектор активного тока системы,  – вектор неактивного тока системы.

Неактивная составляющая в любой момент времени определяется помощью вектора мгновенной реактивной мощности (МРМ), который в свою очередь определяется как векторное произведение векторов тока и напряжения системы:

Рассмотрим два случая активной трехфазной несимметричной нагрузки с нулевым проводом и без него.

Рисунок 1 – Годографы векторов напряжения и тока трехфазной системы с нулевым проводом и координаты вектора мгновенной реактивной мощности при активной несимметричной нагрузке

Рисунок 1 отражает изменение координат векторов напряжения и тока системы во времени, представлены годографы векторов за три четверти периода, чтобы лучше показать положение векторов в пространстве друг относительно друга. Изменение вектора мгновенной реактивной мощности можно проследить по изменению его координат во времени (на рисунке справа). Видно, что координаты изменяются по синусоидальному закону, и каждая имеет постоянную составляющую, отличную от нуля. Уравнение координаты вектора МРМ по оси а:

где:  – постоянная составляющая координаты вектора мгновенной реактивной мощности по оси а,– амплитуда переменной составляющей координаты вектора по оси а,  – круговая частота вектора напряжения,  – начальная фаза переменной составляющей координаты вектора.

В векторе МРМ можно выделить постоянную несимметричную составляющую:

где:  – постоянная несимметричная составляющая вектора мгновенной реактивной мощности,  – постоянная составляющая координаты вектора по оси b,  – постоянная составляющая координаты вектора по оси c.

В системе без нулевого провода вектор МРМ меняет свое поведение (рис.2).

Рисунок 2 – Годографы векторов мгновенных напряжений и токов трехфазной системы без нулевого провода и координаты вектора мгновенной реактивной мощности при активной несимметричной нагрузке

Вектор симметрично изменяется по синусоидальному закону и не имеет постоянной составляющей. В этом случае векторы тока и напряжения вращаются постоянно в одной плоскости.

Интересна для анализа система с чисто индуктивной нагрузкой (рис.3).

Рисунок 3 – Годографы векторов мгновенных напряжений и токов трехфазной системы с нулевым проводом и координаты вектора мгновенной реактивной мощности при индуктивной несимметричной нагрузке

Вектор тока за период описывает эллипс в плоскости отличной от плоскости вектора напряжения. При этом координаты вектора МРМ имеют постоянную и переменную составляющие. Постоянная составляющая в отличие от предыдущего случая значительно смещена в седьмой октант.

Рисунок 4 демонстрирует поведение вектора МРМ при отсутствии нулевого провода. Вектор имеет симметричную постоянную составляющую и переменную, изменяющуюся по синусоидальному закону.

Рисунок 4 – Годографы векторов мгновенных напряжений и токов трехфазной системы без нулевого провода и координаты вектора мгновенной реактивной мощности при индуктивной несимметричной нагрузке

Исходя из полученных результатов вектор МРМ, можно разделить, на три составляющие: симметричную постоянную ,  несимметричную постоянную , появляющуюся в случае наличия нулевого провода и переменную составляющую .

Сравнивая поведение вектора в симметричных[5] и несимметричных системах, можно сделать вывод о том, что симметричная постоянная составляющая вектора пропорциональна реактивной мощности системы. При наличии нулевого провода в несимметричной системе появляется постоянная несимметричная составляющая вектора МРМ.

Подводя итог вышесказанному, нужно отметить, что анализ вектора МРМ в несимметричных системах возможен. Вектор, а значит и неактивный ток трехфазной систем имеет составляющие: симметричные и несимметричные, постоянные и изменяющиеся во времени, появляющиеся в зависимости от нагрузки. Несимметричная постоянная составляющая вектора появляется только в несимметричных системах с нулевым проводом, в то время как симметричная постоянная составляющая появляется всегда при наличии реактивной нагрузки.