Рисунок 1 – Геометрическая форма пчелиной соты

Возникает вопрос: каким должен быть плоский угол при вершине S ячейки, чтобы расход воска на изготовление ячейки был наименьшим? Иными словами, каким должно быть положение точки S, чтобы площадь поверхности ячейки была наименьшей?
Для ответа на этот вопрос введём обозначения:  Пользуясь ими, найдём сначала площадь каждой трапеции. Она равна  или  (так как . Площадь же каждого ромба равна  или в принятых обозначениях . Площадь нижнего основания можно не принимать в расчёт, так как от положения точки S она не зависит. Поэтому интересующая нас площадь выразится формулой  или  Эта площадь будет иметь наименьшее значение, если наименьшим будет выражение . Обозначив эту разность через , получим: , или , откуда  Так как расстояние  должно быть действительным числом, то поэтому получаем неравенство , или . Значит, наименьшее значение , при котором и  будет иметь наименьшее значение, должно быть равно . Соответствующее ему значение  легко находится. Получаем, что при  расход воска будет наименьшим.
Зная , нетрудно найти плоский угол при вершине . Это можно сделать так: . Поэтому . 
Проведём натурные измерения размеров пчелиной соты и проверим, насколько они соответствуют полученным расчётам. Фотографии пчелиных сот, с которых были взяты численные измерения, представлены на рис.2, рис.3. и рис.4. На рис.2 показана нижняя часть соты (правильный шестиугольник), на рис.3 – верхняя часть, на рис.4 – длина медовой соты. 

Рисунок 2 – Нижняя часть соты (правильный шестиугольник)

Рисунок 3 – Верхняя часть соты
Рисунок 4 – Длина медовой соты

По аналогии с рис. 1 были произведены измерения длин CD, BB₁, CK, B₁D₁, SK, SO₁. В результате были получены следующие значения:

В соответствии с полученными формулами . 
Если , то  должен быть равен:

 мм.

Сравним данное значение с измеренным:

.

Найдём плоский угол  при вершине  измеряемой медовой соты:

Отсюда .
Сравним данное значение угла с значением, полученным математическими доказательствами:

Таким образом, непосредственные измерения подтверждают данные, полученные математическим расчётом. Пчела оказалась хорошим «математиком», исходя из принципа наименьшей затраты воска. 
Для интереса можно вычислить площадь поверхности наблюдаемой соты. Она будет равна:

.

Ранее установлено, что экономия воска, которая получается при такой форме ячейки (по сравнению с шестиугольной призмой) составляет примерно 2%. Более точно эту экономию можно выразить так: из воска, сэкономленного при устройстве 54 ячеек, пчёлы могут дополнительно построить ещё одну ячейку. Экономия значительная.
Таким образом, природа существует по принципу минимума энергии. С помощью математических расчётов иногда можно получить численные значения различных величин природных тел.