Математическая модель расчета производственных возможностей ремонтно-восстановительных органов включает в себя расчет до начала боя и в ходе боя.
          1) Построение математической модели расчета производственных возможностей ремонтно-восстановительных органов до начала боя.
В соединении текущий ремонт ВВТ осуществляется отдельным ремонтно-восстановительным батальоном (орвб) соединения и ремонтно-восстановительными органами (РВО) подразделений при их наличии. Для автомобильной техники (АТ) в войсковом звене возможен и средний ремонт.
Производственные возможности каждого РВО соединения по -му виду ремонта (q=1 для текущего ремонта, q=2 для среднего ремонта) для ВВТ j-го типа рассчитываются по следующей формуле:

                                                                                                                                                                             (1)

где     – коэффициент укомплектованности i-го РВО личным составом;
        - коэффициент укомплектованности i-го РВО техникой;
       - производственные мощности i-го РВО по восстановлению ВВТ j-го типа с  видом ремонта.

        Для ракетно-артиллерийского вооружения (РАВ) и бронетанковой техники (БТ) рассматривается только текущий ремонт, т.е. q=1, а для АТ и средний ремонт, т.е. q=1,2.
При этом под производственными возможностями по среднему ремонту понимаются возможности по ТР для АТ, пересчитанные в СР с принятым коэффициентом перевода.
      Производственные возможности всех РВО соединения по -му виду ремонта ВВТ j-го типа рассчитываются по формуле:
                                                                                                                                                                                                                        (2)
где      – производственные возможности i-го РВО соединения по -му виду ремонта.
        2) Построение математической модели расчета производственных возможностей ремонтно-восстановительных органов в ходе боя.
       Оценка производственных возможностей ремонтно-восстановительных органов осуществляется с учетом их укомплектованности личным составом и техникой до начала боевых действий и ежесуточного снижения производственных возможностей. Производственные возможности для ВВТ каждой номенклатуры измеряются количеством ВВТ, ремонтируемых в сутки.
      Расчет производственных возможностей производится на день боевых действий для каждого подразделения, для приданных РВО, для орвб и всего за соединение. Также осуществляется расчет производственных возможностей РВО всех подразделений соединения по текущему ремонту и соединения (орвб и приданных РВО) по ТР и СР (только для автомобильной техники). При этом под производственными возможностями по среднему ремонту понимаются возможности по ТР для автомобильной техники, пересчитанные в СР с принятым коэффициентом перевода.
       Расчет производственных возможностей РВО по текущему ремонту для каждого подразделения соединения, приданных РВО и орвб осуществляется по следующим формулам:
                                                                                                                                       (3)
                                                                                                                        (4)
                                                                                                                                           (5)

где     – обобщенный индекс, принимающий одно из значений индексов l, g, орвб при расчете укомплектованности подразделений соединения, приданных РВО и орвб соответственно;
 - коэффициенты ежесуточного снижения производственных возможностей РВО подразделений соединения, приданных РВО и орвб соответственно по каждой номенклатуре.
     Расчет суммарных производственных возможностей ремонтно-восстановительных органов подразделений соединения выполняется по формуле:
                                                                                                                                                                                                 (6)
        Расчет суммарных производственных возможностей приданных РВО выполняется по формуле:
                                                                                                                                                                                                 (7)
      Суммарные производственные возможности ремонтно-восстановительных органов в целом за соединение определяются по формуле:
                                                                                                                                                                     (8)
         Расчет суммарных производственных возможностей орвб и приданных РВО:
         а) по текущему ремонту:
                                                                                                                                                                                      (9)
         б) по среднему ремонту:
                                                                                                                                                                                                 (10)
       Таким образом, расчеты, проведенные по вышеуказанным зависимостям, позволяют определить производственные возможности всех ремонтно-восстановительных органов соединения и будут использованы в дальнейших расчетах, а также при формировании разрабатываемых должностными лицами технической части соединения выходных документов.

. (1)

Изменение контролируемого параметра системы описывается решением  задачи Коши при начальных условиях , которое определяется корнями характеристического уравнения

 .

Уравнение (1) эквивалентно

.

Справедливо

;

n _o - корни действительные ( - корни кратные);

 .
.

Увеличение  ведёт к уменьшению абсциссы  точки перегиба процесса . При  процесс  определяется значением . Таким образом, значение  должно находиться в некотором интервале: большие значения  могут привести к чрезмерно быстрому увеличению контролируемого параметра в начале процесса; малые значения  - к чрезмерно длительному времени его выхода на эксплуатационное значение. Отметим, что увеличение  (уменьшение ) соответствует увеличению _o . Отсюда следует, что увеличение  ведёт к постепенному переходу гетерогенной системы в гомогенную (), возможно и с потерей необходимых свойств. Так что, как и следовало ожидать, гомогенная система является предельной для гетерогенной при  →0.
Качество композиционного материала определяется и значением  (или ), которое также должно лежать в определённом диапазоне.
Приходим к возможности использования для оценки качества композиционного материала функционала

 ,

где  - весовые константы.
Без ограничения общности рассуждений можно принять  (это равносильно масштабированию ).
Подставляя и , получим:
.
Границы областей  равных оценок качества композиционного материала определятся как линии уровня функции , а области – двойными неравенствами

,

где N - балльность шкалы, k - класс (оценка качества) композиционного материала в баллах в выбранной шкале.
Границы областей равных оценок определятся функциями

,

где

,
, .

Заметим, везде предполагается 1. Случай комплексно-сопряжённых корней не рассматривается. В этом случае выход изучаемой характеристики материала на эксплуатационное значение носит колебательный характер.
Методика уточнения весовых констант  изложена в [1, с.220].
Идентификация областей равных оценок легко осуществляется по числовым значениям , определенных на основе сравнения расчётных границ областей с экспериментальными.
Если требуется улучшить класс системы (качество материала), имеющей параметры  (им соответствует ), то можно воспользоваться вектором-градиентом ; класс системы улучшается при движении в антиградиентном направлении.
Предложенная методика использовалась при синтезе материала на основе Вольского ПЦ 400 Д-20 с суперпластификатором С-3 (товарного, лёгкой и тяжёлой фракций), исходя из обеспечения требуемой кинетики набора прочности.
Параметрическая идентификация рассматриваемого процесса сводится к определению одной из совокупностей , , , . Значения  определяются по экспериментальным зависимостям . 
В результате уточнения значений параметров из условий обеспечения адекватности модели и процесса  были получены значения: x_m = 85; t_n = 2,8; ₂ = 0,07; ₁ = 0,77; = 1,81; _o = 0,232; n = 0,42; балльная оценка (с точки зрения кинетики набора прочности) 
Улучшение класса системы производилось с использованием направления ; является направляющим вектором нормали к линии уровня, проходящей через точку M_o (1,81; 0,232):

или

.

Как следует из расположения линий уровня, для улучшения класса системы следует уменьшить . Тогда, задав шаг , найдём соответствующее изменение _o из условия, чтобы точка лежала на нормали со стороны вектора .
Таким образом, для улучшения класса системы требуется на указанные величины уменьшить и увеличить _o .
Как показали эксперименты по определению влияния молекулярных фракций суперпластификатора С-3 на кинетику набора прочности цемента, можно считать .
Из

 ,

следует , что в окрестности , то есть для уменьшения  следует увеличить ₁ .
В частности, при  получим точку , лежащую на линии уровня  (качество материала в точке  лучше, чем в ). В этой точке (соответствует использованию лёгкой фракции).
Предложенная методика синтеза, исходя их оптимальных параметров кинетических процессов и по областям равных оценок функционала качества, эффективно использовалась при решении и ряда других задач [2…6].

В школьном курсе информатики обучение компьютерному математическому моделированию направлено на решение задач на разработку моделей прогноза (задачи типа «Что будет, если…?» или «Что будет через какое-то время…?») и оптимизации (задачи типа «Как сделать, чтобы…?»). В качестве среды для реализации и исследования математических моделей используется табличный процессор. Программы данного класса дают возможность без изучения языков программирования выполнять расчеты по сложным формулам.

Среди задач математического моделирования для школьников представляют интерес задачи на построение регрессионных моделей. Как указывает Ю.П. Штепа, при построении регрессионных моделей сам процесс получения модели является почти полностью автоматизированным. А вот для исследования модели необходимо уметь выдвигать гипотезы, оценивать адекватность и непротиворечивость модели, выбирать наиболее подходящую модель, не бездумно доверяя компьютеру, а проявляя критичность мышления, способности к оценочным суждениям, видению проблем и противоречий [1].

Рассмотрим пример решения одной из задач.

Как известно, скорость автомобиля зависит от количества лошадиных сил (л.с.) в его двигателе. Используя следующие данные (Табл. 1), определите максимальную скорость движения следующих автомобилей, согласно мощности их двигателя: «Пежо-307» – 101.л.с.; «Рено-Меган» – 107 л.с.; «Форд» – 120 л.с.

Таблица 1

Цель моделирования – построить модель расчета максимальной скорости автомобиля в зависимости от количества лошадиных сил в его двигателе. Объект моделирования – автомобиль, характеризующийся двумя параметрами: максимальной скоростью и мощностью двигателя. Будем считать, что влияние не упомянутых в задаче факторов незначимо.

Для удобства решения объединим формализованное описание объекта и разработку компьютерной модели в один этап. Построим график зависимости максимальной скорости автомобиля от мощности двигателя по известным данным (рис.1).

Рис. 1

Учитывая расположение точек на диаграмме, при построении регрессионной модели произведем выбор из следующих видов функций: линейная, квадратичная, логарифмическая и степенная. Построим соответствующие тренды (рис. 2).

Рис. 2

Мы получили четыре возможных варианта регрессионной модели. Все тренды практически полностью проходят через экспериментальные точки. Поэтому для выявления наиболее подходящей функции обратим внимание на размер критерия R² (коэффициент детерминированности).

Значение R² наибольшее у квадратичной функции, оно очень близко к единице. Это говорит о том, что данная модель является почти идеальной. Поэтому дальнейшие расчеты произведем, подставляя значения мощности двигателя автомобилей «Пежо», «Рено-Меган» и «Форд» в качестве аргумента функции y = –0,025x² + 5,496x – 106,6. Получим следующую таблицу значений:

Данный результат свидетельствует о последующем снижении величины максимальной скорости автомобиля в зависимости от мощности двигателя (график полученной квадратичной функции – парабола, ветви которой направлены вниз). Учитывая, что увеличение мощности двигателя объективно влечет за собой и увеличение максимальной скорости автомобиля, полученная регрессионная модель противоречит реальности и ее нельзя считать адекватной. Это подтверждает тот факт, что за пределами экспериментальной области характер функции может существенно меняться, и экстраполяция может давать неправдоподобные результаты. Так, например, для мощности двигателя 200 л.с. мы вообще получаем отрицательную величину скорости.

Для получения более правдоподобной модели выберем логарифмическую функцию – из оставшихся функций ее коэффициент детерминированности – наибольший. Получим следующую таблицу значений:

Полученные значения являются более достоверными и такую модель вполне можно считать адекватной и непротиворечивой.

Для закрепления умений решать задачи регрессионного прогнозирования можно использовать следующие задачи:

1. Иван начал заниматься футболом в первом классе. Родители Ивана в течение нескольких лет фиксировали, сколько времени тратил сын на занятия футболом.

В этом году Иван окончил 9 классов и собирается поступать в колледж и продолжать заниматься футболом. Необходимо спрогнозировать количество часов, которое будет затрачено Иваном на тренировки в годы учебы в колледже.

2. Средняя зарплата учителя за последние полгода изменялась следующим образом:

Составьте прогноз о размере зарплаты учителя на следующие 3 месяца.

3. В 2006 году Григорий Шоев решил открыть акционерное общество «Григорий &Ko». В таблице приведены данные о средней цене акций этого предприятия в разные годы.

Спрогнозируйте стоимость акций на ближайшие пять лет.

4. В таблице приведены данные о зависимости количества источников, которые были задействованы в подготовке сочинения, и количестве баллов, полученных за данные сочинения по 100-балльной системе:

Сделайте прогноз о количестве баллов за сочинение для следующих учащихся в соответствии с количеством используемых ими источников литературы: Перов – 27; Мамыкин – 23; Ерофеев – 9 источников.

5. Статистические данные указывают на то, что средний балл успеваемости в школе зависит от количества часов, которые ученик ежедневно проводит за обучением дома. Это можно увидеть из следующей таблицы:

Произведите прогноз среднего балла успеваемости для следующих учеников в соответствии с затрачиваемым ими временем: Волков – 4 часа; Петухов – 2,5 часа; Зайцев – 5,5 часов.

Большое количество задач по данной теме содержится в работах Ю.П. Штепы [2-5].

В заключение отметим, что знания и умения, полученные учащимися в процессе решения «несерьезных» задач информационного моделирования в школе, являются базисом для создания в будущем моделей гораздо более высокого уровня сложности, таких как, например, модели, разработанные студентами и описанные в статьях [6-7].

;
.

Откуда:

.

- число измерений .
Из условий минимума

,
,

получим уравнения для определения неизвестных коэффициентов:

,	(1)
,	(2)

, , .

Откуда:

, ;	(3)
,	(4)

С учетом (3) и (1):

,

.

Имеем:

или

.

Откуда следует рекуррентная формула для определения при r-ом измерении через оценку при (r-1)-ом измерении

.

Аналогично – для оценки :

.

Приведенный алгоритм эффективно использовался при разработке тренажных и обучающих комплексов для различных отраслей промышленности [5…8].

Как известно, «общая модель рыночной экономики представляет собой сложную иерархическую систему управления» [1]. Уровень технологического цикла труда есть первый уровень, в котором из предметов труда создаются продукты труда, причем, результаты труда на первом уровне (продукты труда с заданными свойствами) определяются вложенной энергией и управляющей информацией.
Как правило, экономика промышленного производства определяется результатами работы первого уровня управления – работой технологических циклов. «На первом уровне экономического управления создается весь ВВП, все общественное богатство». 
«Второй уровень управления экономикой – координационный, производственный уровень, который объединяет различные циклы труда и координирует их деятельность в составе производства определенной продукции» [1].
Моделирование динамики изменения основных экономических показателей осуществляется, как правило, производственной функцией Кобба-Дугласа, описывающей трансформацию ресурсов в производственный результат (одна из разновидностей «неоклассической функции»), и моделью распределения валового продукта Кейнса. 
Так, например, «чрезвычайно популярной в экономико-математическом моделировании является система, в которой активные элементы имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа»[2,3,4]. Тем не менее, как утверждается в [5], «неоклассические функции являются лишь одним и не самым лучшим классом моделей», так как отражают неэффективное производство на участке убывающей ресурсоотдачи. От абстрактных экономических терминов капитал, сырье, труд производственных функций перейдем к конкретным понятиям изделие – оборудование. Важность такого подхода наиболее ярко проявляется в настоящее время в современной теории автоматического управления, в которой академиком А. А. Красовским [6] была поставлена проблема создания «физической теории управления», отличающейся от абстрактно-математической тем, что в физической теории управления модели и критерии создаются в физических величинах и терминах. Заложенные в математических моделях и критериях реальные факторы и ограничения должны фигурировать и в конечных результатах, определяя границы возможного и невозможного.

ОБЩАЯ ИДЕЯ МОДЕЛИ

Пусть участок дискретной производственной системы представляет собой [6] «закрытую систему А₃ , не взаимодействующую со средой или другими системами и состоящую из двух открытых, или взаимодействующих (неизолированных), подсистем А₁ (изделия) и А₂ (оборудование). Для такой системы А₃ необходимо учитывать принцип компенсации энтропии, который гласит, что «в неизолированной, а значит, во взаимодействующей системе энтропия одной системы может быть уменьшена только в том случае, если в процессе взаимодействия с другой или с другими системами происходит компенсирующее увеличение энтропии другой системы». Тогда для двух открытых и взаимодействующих подсистем А₁ и А₂, находящихся внутри изолированной (закрытой) системы А₃ , выражение для изменения энтропии имеет вид , из которого следует, что если внутри изолированной системы А₃ в одной подсистеме (например, А₁ ) происходит снижение энтропии (), то в другой (А₂ ) энтропия должна на такую же величину возрасти (),чтобы удовлетворялось условие  для общей изолированной системы А₃. Итак, понижение энтропии в одной части изолированной системы и, следовательно, увеличение порядка требует обязательного повышения энтропии и, следовательно, увеличения беспорядка в другой части этой же системы, чтобы они компенсировали друг друга. Таким образом, если две (А₁ и А₂) или более открытые подсистемы взаимодействуют друг с другом и вместе составляют общую изолированную (закрытую) систему А₃, то последняя остается равновесной, если величина изменения энтропии одной подсистемы будет равна изменению энтропии другой подсистемы, взятому с противоположным знаком».
Рассмотрим один из простейших вариантов моделирования взаимодействия предметов труда с орудиями труда, учитывающей количество изделий, требующих обработки на входе системы, и количество и качество используемого на производственном участке оборудования.

МОДЕЛЬ УЧАСТКА УРОВНЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ЦИКЛА ТРУДА

Пусть в начальный момент времени t₀ на производственном участке имеется: х₀ – количество оборудования со средней производительностью α₀ каждый; y₀ – количество деталей на входе участка, которое необходимо обработать на данном оборудовании.
В общем случае за время Δt количество деталей на входе участка в результате обработки уменьшится на  (дискретный вариант) или в непрерывном варианте скорость обработки (уменьшения) входного потока изделий определяется выражением:

 (1)

Чем больше оборудования на участке, чем выше его производительность, тем быстрее уменьшается входной поток деталей.
При обработке деталей (увеличение их порядка, определенности) происходит износ оборудования (увеличение беспорядка, хаоса) и производительность оборудования уменьшается пропорционально износу оборудования, поэтому будем считать . Причем, с учетом коэффициента износа оборудования k(y) получаем . Тогда уравнение (1) можно представить в виде:

или после преобразования

В свою очередь, обработка деталей вызывает износ оборудования пропорциональный количеству обработанных деталей, причем обработка y_max деталей вызывает полный износ единицы оборудования, а одна деталь вызывает выбытие оборудования на величину . Учитывая, что скорость выбытия увеличивается с износом оборудования, можно записать скорость выбытия оборудования в зависимости от обработанных деталей

 (2)

Обработка изделий на участке осуществляется в течение времени технологического цикла (Т_ц ) для обрабатываемой партии деталей, календарный план обработки которых был предварительно рассчитан при подготовке производства. В качестве функции выхода участка примем количество обработанных деталей на выходе участка через указанное время Т_ц :

 (3) ,

где .
Таким образом, модель производственной функции участка с учетом вышеприведенных уравнений можно представить следующим образом:

 (4)

где .
Простейшая модель технологического участка в виде системы уравнений (4) учитывает, таким образом, взаимовлияние оборудования на исходный массив деталей, а также монотонное постепенное понижение работоспособности оборудования вследствие износа в течение времени производственного цикла обработки изделий, что позволяет использовать модель для широкого класса производственных систем, где только обнаруживается такое взаимодействие. 

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА ИЗНОСА ОБОРУДОВАНИЯ

В уравнении (4) используется коэффициент износа оборудования, зависящий от количества обработанных оборудованием деталей k(y). Вопрос моделирования закономерной динамики износа оборудования путем построения сглаженной кривой износа, показывающей связь между коэффициентом износа и хронологическим возрастом для каждой группы машин одного класса, изложен в [7,8].
Задача исследований оценщиков заключалась в том, чтобы разработать практические модели для обоснованного расчета сроков службы машин и оборудования, отталкиваясь от данных статистики о постепенном выбытии эксплуатируемых объектов при достижении определенного возраста.
Коэффициент износа, как отмечается в [7], есть величина, зависящая от времени и меняющаяся по следующей логистической кривой

 (5)

где b - параметр, определяющий изгиб и положение линии относительно горизонтальной оси;
а – параметр наклона кривой в средней части;
k_max – максимальное значение коэффициента износа;
t – хронологический возраст оборудования. 
В [7] отмечается, что начальное значение коэффициента износа может меняться следующим образом: , а максимальное значение при среднем износе работающего оборудования составляет приблизительно 0,9, а при старении оборудования без эксплуатации – 0,3.
Учитывая, что начальное значение коэффициента износа , можно найти значение b из выражения .
Коэффициент а найдем из условия времени наработки на отказ заданного оборудования, при котором .
Таким образом, зная технические характеристики (наработку на отказ, предельный срок эксплуатации) указанного типа оборудования (Т_отк ), при котором коэффициент износа оборудования равен 1, можно определить количество обработанных деталей данным типом оборудования за указанное время как , тогда . В общем случае можно найти кривую износа станка в зависимости от количества произведенных деталей, т.е. от зависимости k(t) перейти к зависимости k(y).
Выражение для коэффициента износа с учетом выражения (5) можно представить следующим образом:

 (6)

где y – количество обработанных деталей;
α – производительность оборудования.
Так, например, для , , расчетном сроке службы оборудования 40000 часов, при производительности нового оборудования 5 изделий в час, выражение (6) будет выглядеть так:

 (7)

Окончательно система уравнений (4), моделирующая производственный участок за время технологического цикла, может быть представлена следующим образом:

 (8)

где . 

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ МОДЕЛИ

Огрубление модели (8) до модели Ланкастера с постоянными коэффициентами при x и y вида

 (9)

позволяет нам получить точное решение такой жесткой модели,

 (10)

«Эволюция x и y происходит вдоль гиперболы, заданной уравнением (10). Гиперболы разделены прямой  . Топологический тип системы на плоскости (x, y) не меняется при изменении параметров a и b на функции a(x,y) и b(x,y) как в случае системы (8), а приводит лишь к искривлению центральной линии». Таким образом, в модели вида (8) нас будут интересовать только такие гиперболы, которые имеют начало ниже разделяющей гиперболы прямой. Только в этом случае гипербола выйдет на ось Х, а это значит, что все детали будут обработаны за конечное время.

ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ПРИМЕР МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ЦИКЛА 

Анализ искусственных модельных примеров в MATLAB Simulink расчета технологического цикла показал возможность использования предложенной математической модели (8) при конкретных значениях параметров системы: 
Случай 1. Нормальный режим эксплуатации оборудования. Обработка y₀ =2000 деталей на х₀ =30 станках с начальной производительностью α₀ =10 и коэффициентом износа оборудования как в (7). Фазовый портрет представлен на рис.1. Все детали обработаны за конечное время без потери качества. Как видно на рисунке, начало гиперболы (х₀ , y₀) фазового портрета расположено ниже разделяющей кривой. 

Рис.1. Фазовый портрет отмечен цифрой 1, случай первый

Случай 2. Катастрофическая загрузка оборудования. Обработка y₀ =2000 деталей на меньшем количестве станков х₀ =6 с начальной производительностью α₀ =5 и коэффициентом износа оборудования как в (7) вызывает выбытие всего оборудования, что отражено на фазовом портрете для данного случая (рис.2). Детали не обработаны. Начало гиперболы фазового портрета расположено выше разделяющей кривой.

Рис.2. Фазовый портрет отмечен цифрой 1, случай 2

Изменение производительности оборудования влияет на кривизну гиперболы фазового портрета, что представлено на рисунках 3 и 4.
Случай 3. Обработка y₀ =2000 деталей на х₀ =7 станках с начальной производительностью α₀ =5 вызывает напряженный режим обработки деталей, что отражено на фазовом портрете для данного случая (рис.3). 

Рис.3. Фазовый портрет (отмечен цифрой 1) обработки y₀ =2000 деталей на х₀ =7 станках с начальной производительностью α₀ =5

Рис.4. Фазовый портрет обработки y₀ =2000 деталей на х₀ =7 станках с начальной производительностью α₀ =15.

ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ УЧАСТКА, МОДЕЛИРУЕМОГО ПРЕДСТАЛЕННОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ

Время моделирования работы технологического участка отличается от теоретического расчетного времени ввиду того, что теоретическое (начальное) значение производительности оборудования α₀ меняется (уменьшается) в результате эксплуатации оборудования. Модельное время технологического цикла t_м больше, чем расчетное теоретическое время t_р :

.

Интересные закономерности проявляются при моделировании производственного участка, имеющего оборудование одинаковой надежности, но разной производительности, причем общая производительность заданного количества оборудования (производительность участка) одинаковая, т.е. .
Зависимость обработки заданного количества деталей y₀ =2000 при разном количестве оборудования х₀ представлена на рис.5., при этом  , т.е. производительность единицы оборудования при росте х уменьшается пропорционально, но производительность участка остается постоянной. Как видно из графика, выполнение плана гарантируется только начиная с 10 станков и более, что не является очевидным фактом, ведь общая производительность участка не меняется. При этом, как представлено на рис.6., при гарантированном выполнении плана время технологического цикла уменьшается с ростом количества станков, что очевидно.

Рис.5. Зависимость выполнения плана y₀ по обработке заданного количества деталей от количества станков при постоянной производительности участка.

Рис.6. Зависимость времени обработки партии деталей от количества станков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная нелинейная модель участка дискретной производственной системы в виде системы уравнений (8) учитывает такие физические величины как количество и актуальное на данный момент текущее качество оборудования (станков), время технологического цикла, количество деталей. Предварительный анализ положения начальных значений гиперболы относительно разделяющей кривой позволяет определить устойчивость процесса обработки. Анализ модели показал, что при заданной общей производительности участка целесообразно использовать большее количество оборудования с низкой производительностью, чем меньшее количество с более высокой производительностью при условии, что минимизируется общее время выполнения технологического цикла (время обработки всего массива изделий). Таким образом, относительно простая нелинейная модель позволяет моделировать функционирование дискретной производственной системы с целью: управления участком по выпуску изделий, замены и ремонта оборудования участка, расчета необходимого количества станков с заданными свойствами для обработки необходимого объема деталей, расчета объема партии деталей для обработки на заданном количестве станков с известными характеристиками и т. д., что делает ее достаточно актуальной при моделирование дискретных производств. Существует возможность использования модели для любых типов производства.

Как известно, процессы обучения и воспитания могут быть сведены к управлению развитием различных качеств личности учащихся с помощью целенаправленных и согласованных воздействий со стороны учителя и родителей. Проблемы управления дидактическими системами и методы математического моделирования процесса обучения проанализированы в многочисленных работах (например, в [1–5; 9]). Так, в книге Л. П. Леонтьева и О. Г. Гохмана [5] рассматриваются следующие аспекты оптимального управления учебным процессом в вузе: разработка оптимального учебного плана, измерение учебной информации, модель связи объема изложенного и усвоенного материала, квантование учебного материала, принцип обратной связи и др. В книге Д.А. Новикова [9] анализируются математические, кибернетические и теоретико–информационные модели итеративного научения.

Настоящая статья посвящена созданию компьютерной модели кибернетической системы “учитель–ученик” и ее использованию для изучения и обоснования важных закономерностей функционирования дидактических систем. Можно предположить, что учет структуры системы “учитель–ученик”, основных информационных потоков и цепей управления позволит более убедительно объяснить некоторые особенности процесса обучения.

1. Построение компьютерной модели дидактической системы

С точки зрения педагогической кибернетики [8] дидактическая система, состоит из источника информации (учителя), приемника информации (ученика), которые соединены прямым каналом связи от учителя к ученику (рис. 1.1). Так же существует обратный канал связи, по которому с некоторой задержкой поступает информация от ученика к учителю; исходя из нее, учитель оценивает состояние ученика, его уровень знаний. Допустим, при изучении новой темы учитель требует от ученика усвоения всей сообщаемой им информации. Тема состоит из N элементов учебного материала (ЭУМ), причем сложность i–того ЭУМ S_i пропорциональна затратам времени и усилий, требующихся для усвоения данного ЭУМ (у самого простого ЭУМ S = 1, а у более сложных – S больше 1). Если все N ЭУМ имеют сложность 1, то уровень требований учителя L (или количество информации, которое должен усвоить ученик) равен N. В общем случае L=S_1+S_2_…+S_N. Скорость передачи информации v равна отношению уровня требований учителя L (или количества сообщенных им знаний) ко времени. Если время измерять в условных единицах (УЕВ), то скорость передачи информации, быстрота изменения количества знаний, коэффициенты усвоения и забывания измеряются в 1/УЕВ.

Предлагаемая математическая модель ученика сводится к следующей системе уравнений:

Эта модель обоснована в статьях [6, 7], через alfa и gamma обозначены коэффициенты усвоения и запоминания соответственно. При этом учитывается следующее: 1. Быстрота увеличения знаний dZn/dt пропорциональна усилиям F, затрачиваемым учеником в единицу времени, которые зависят от разности D между уровнем требований учителя L и знаниями ученика Z. 2. При небольшой разности D = L – Zn  затрачиваемые учеником усилия F возрастают и достигает максимума. При большом отставании D ученик осознает, что не может усвоить требуемый материал, и F уменьшается, стремясь к некоторому пределу b = 0,1 – 0,3 (рис. 1.2). 3. Канал связи между учителем и учеником имеет определенную пропускную способность. При увеличении скорости v поступления информации коэффициент передачи канала связи K сначала равен 1, а затем плавно уменьшается до 0, так как ученик не успевает воспринять, понять и усвоить рассуждения учителя. 4. Уровень обученности ученика в заданный момент времени определяется количеством непрочных знаний Z_1, количеством умений Z_2 и навыков Z_3 (прочных знаний). Непрочные знания забываются быстрее прочных знаний. 5. В процессе обучения у ученика увеличивается количество непрочных знаний Z_1, причем часть непрочных знаний превращаются в более прочные (умения Z_2 и навыки Z_3). 6. После окончания обучения ученик начинает забывать усвоенную информацию; прочные знания (навыки) постепенно превращаются в менее прочные, а количество непрочных знаний Z_1 уменьшается по экспоненциальному закону.

На основе представленной выше системы уравнений в среде Free Pascal создана программа 1, которая моделирует замкнутую дидактическую систему. Она имитирует процесс обучения и позволяет рассчитать количество прочных и непрочных знаний ученика при заданной зависимости уровня требований учителя от времени L(t). Программа содержит цикл по времени, в котором методом конечных разностей определяются Z_1, Z_2 и Z_3 в последовательные моменты времени и строятся соответствующие графики. Способы решения подобных задач рассмотрены в [6–8].

 2. Результаты моделирования замкнутой дидактической системы

С помощью компьютерной программы 1 промоделируем замкнутую дидактическую систему, учитывая не только передачу учебной информации по прямому каналу связи, но и поток информации по обратному каналу связи, которая позволяет учителю непрерывно отслеживать состояние ученика. Предполагается, что учитель может: 1) сообщать новую информацию со скоростью v = const, при этом L(t) = L_0+v(t – t_0); 2) организовывать повторение изученного материала, при этом L = const, v = 0.

Допустим, что учитель излагает новый материал, уровень предъявляемых требований L растет пропорционально t. Когда учитель обнаруживает, что отставание D ученика от предъявляемых требований превышает пороговое значение 150 ЭУМ, он прерывает изложение теории и организует повторение изученного материала в течение 20 УЕВ. Во время повторения уровень требований учителя L остается постоянным, ученик выполняет практические задания, стараясь запомнить изученное ранее. После этого учитель снова приступает к изложению нового материала. Программа 1 как раз моделирует эту ситуацию. Результаты моделирования представлены на рис. 2.1 (v = 12), вертикальные линии соответствуют моментам времени, когда D = 150 ЭУМ, и учитель переходит к повторению. Система самоадаптирующаяся: при увеличении скорости изложения v нового материала ученик чаще задает вопросы, обнаруживая свое непонимание, учитель вынужден чаще останавливать изложение нового материала и заниматься повторением. Средняя скорость передачи знаний не превышает некоторого предельного значения, зависящего от параметров ученика. При малых скоростях сообщения информации (меньше v_к = 8) ученик успевает усвоить материал, и учитель не прерывается на повторение.

На рис. 2.2 представлены графики зависимостей общего уровня требований учителя L и суммарных знаний ученика Z в конце занятия от скорости изложения нового материала. Видно, что пока скорость v сообщения информации ниже критического значения v_к, ученик самостоятельно усваивает учебный материал, L и Z возрастают пропорционально скорости v. Когда скорость изложения v превышает критическое значение v_к, учитель вынужден периодически прерывать изучение теории и заниматься повторением; при этом L и Z уменьшаются. Получается, что независимо от скорости передачи информации учителем увеличения знаний ученика в течение фиксированного времени обучения T не превышает некоторого предельного значения (около 2700 ЭУМ), определяемого пропускной способностью прямого канала связи “учитель–ученик” (рис. 1.1). Это соответствует второй теореме Шеннона о передаче информации по каналу связи с шумом, из которой следует, что если производительность источника превышает пропускную способность канала связи с шумом, то не существует никакого метода кодирования позволяющего безошибочно передать сообщение. Под кодированием в данном случае понимается “укладывание” новой информации в понятийную систему ученика с последующим запоминанием [10, с. 97–100]. Роль шума играют различные случайные процессы, препятствующие пониманию и усвоению.

Изучим зависимость коэффициента обученности K_L=Z/L, количества усвоенной учеником информации Z и числа прерываний учителя N_п от коэффициента усвоения ученика. Для этого зададим конечную скорость v сообщения информации учителем, и проведем серию вычислительных экспериментов при различных коэффициентах усвоения. Результаты позволяют утверждать, что с ростом коэффициента усвоения число прерываний учителя снижается до 0, количество усвоенных учеником знаний Z повышается до vT, коэффициент обученности K_L стремится к 1.

Компьютерная модель ученика также позволяет проанализировать зависимости суммарного времени изучения теории t_т, выполнения практических заданий t_п, коэффициента обученности K_L и числа прерываний учителя N_п от скорости v изложения теоретического материала. В результате проведения серии вычислительных экспериментов получены графики, изображенные на рис. 3. Видно, что при увеличении скорости v изложения материала: 1) суммарное время изучения теории t_т сначала равно длительности обучения T, а затем плавно уменьшается; 2) суммарное время повторения t_п сначала равно нулю, а затем стремится к T; 3) число прерываний учителя N_п сначала равно нулю, затем быстро возрастает, достигает максимума при v = 12 – 14, а затем медленно убывает; 4) коэффициент обученности ученика K_L уменьшается от 1 до 0,8. Величины K, N_п и L с ростом v изменяются ступенчато, потому что возможно только целое число прерываний.

По графикам, представленным на рис. 2.2 и 3, можно определить критическое значение скорости v_к сообщения теоретического материала, при превышении которого ученик уже не может самостоятельно понять и усвоить учителя, который вынужден прерываться и заниматься повторением, разъяснением и выполнением практических заданий. При используемых параметрах модели оно составляет примерно 7. Видимо, оптимальная скорость изложения нового материала лежит в интервале 7 – 9. Когда v превышает 14, ученик не успевает понять теоретический материал, так как коэффициент передачи канала связи мал, а скорость сообщения информации с учетом ее сложности велика. Поэтому учитель вынужден слишком много времени тратить на повторение и закрепление, во время которого коэффициент передачи равен 1 и количество знаний ученика повышаются до уровня требований.

Заключение

В статье рассмотрены математическая и компьютерная модели процесса обучения, и методом имитационного моделирования проанализирована самоадаптирующаяся замкнутая система управления деятельностью ученика. При этом установлено, как зависят количество усвоенных учеником знаний, суммарное время изучения теории и выполнения практических заданий, а также число прерываний учителя от скорости изложения нового материала. Полученные результаты позволяют обосновать правильный выбор скорости изложения нового материала, при котором дидактическая система работает максимально эффективно: учитель успевает рассмотреть большое количество вопросов, а ученик усваивает практически весь изучаемый материал.

Специфика региональных систем электроснабжения определена целым  спектром задач. Ключевые из которых: поддержание социальной стабильности и комфортных условий проживания в труднодоступных районах, ориентация на доступные  виды энергоносителей, минимизация логистических затрат [1,2]. Настоящие проблемы и задачи региональных изолированных  электроэнергетических систем характерны для большинства стран, независимо от климата.

Особенное значение для России такой указанной проблемы привело к созданию  Технологической платформы «Малая распределенная энергетика», и к выделению развития распределенной энергетики как одного из направлений «Энергетической стратегии России на период до 2030 года» [1].

В настоящее время малая электроэнергетика России состоит из более 49000 малых электростанций общей мощностью более 17 млн. кВт  (около 8% от всей установленной мощности электростанций России), работающих как в энергосистемах, так и автономно. Общая годовая выработка электроэнергии на этих электростанциях достигает 5% от выработки всех электростанций страны. Средняя установленная мощность малых электростанций составляет примерно 340 кВт. Основной источник электрической энергии малой электростанции – дизельный электрогенератор[2,3] .

Указанные обстоятельства ведут к росту расходования дизельного топлива, что сопровождается появлением экологических, ценовых, логистических и целого спектра других специфических явлений. Достаточно указать на появление регионов с разбросом  стоимости одного кВт*час полученного от ДЭС доходящего до 30 раз  [3].

Выявленные проблемы региональных систем электроснабжения требуют решения целого спектра взаимно увязанных задач [4,5,6,7]:

- создание методик оптимизации размещения малых электростанций;

- разработка малых электростанций адаптированных к местным энергетическим ресурсам;

- создание методик проектирования электротехнических комплексов малой энергетики оптимальных в смысле энергоэффективности;

- создание методик и вычислительных инструментов анализа электротехнических комплексов;

- создание электротехнических комплексов, на базе дизельных электростанций, минимизирующих расход ресурсов при сохранении качества и надежности поставляемой энергии;

- создание многокомпонентных, в смысле видов первичных источников энергии, автономных систем энергоснабжения;

- создание систем повышения квалификации и переподготовки кадров в области МЭ.

В 80-х гг. XIX в. начались стационарные наблюдения за температурой и соленостью Белого моря. Первым гидрометеорологическим пунктом стал Архангельск (район Соломбала), а первым биологическим стационаром – Соловецкая биологическая станция (1881 г.). Здесь проводились систематические гидрологические наблюдения, в частности Н.М. Книповичем, который также как и Н.П. Андреев отметил зону глубинной постоянной отрицательной температуры и высказал справедливое предположение, что источник ее происхождения – Баренцево море.

Сначала температурные совместно с соленостными наблюдения проводились на маяках: Терско-Орловский, Сосновец, Жижгин, Жужмуй (1887 г.); Зимнегорский (1892 г.); Святой Нос и Моржовец (1898 г.) [5], и все работы выполняли смотрители маяков, а в 1912 г. была организована гидрометеорологическая служба Белого моря и Северного Ледовитого океана. Появились самостоятельные пункты – гидрометеорологические станции (ГМС). Постепенно развиваясь, сеть гидрометеорологических станций стала приобретать современный вид. Появились стационары в Умбе, на мысе Турий, в Порьей губе и более менее равномерно по всему побережью. Здесь выполнялись одновременно метеорологические, уровенные и ледовые наблюдения. В 30-е гг. ХХ в. была разработана единая схема гидрологических разрезов.

На некоторые вопросы, связанные с температурным режимом Белого моря, смогли пролить свет биологические исследования. Самым ярким представителем здесь по праву считается К.М. Дерюгин. В 1922 г. под его руководством прошла самая в то время крупная беломорская экспедиция. На судне «Мурман» (переименованный «Андрей Первозванный», судно Мурманской научно-промысловой экспедиции в 1900-1906 гг.) была выполнена серия разрезов, и один из них (от Кандалакшского залива до Двинского) позднее назвали «дерюгинским». Оказалось, что по температурам придонных вод Белое море является одним из самых холодных в Мировом океане, и для летнего времени характерны два «пятна» воды – «полюс тепла» и «полюс холода» [11]. В то время не было достаточно убедительного обоснования причин существования подобных температурных аномалий. Сейчас их связывают с положением приливного фронта и процессами, происходящими на этой границе вод с различными свойствами [18]. Так, фронт Двинского залива распространяется от устья р. Северной Двины до м. Зимнегорский, а теплые и холодные области образуются благодаря меандрированию вдоль фронтального течения [7, 12]. Образование антициклонических вихрей в отделившихся справа от основного течения рингах способствует развитию даунвеллигов, в результате чего с глубиной наблюдается положительная аномалия температуры. Ринги, отделившиеся слева от основного течения, формируют циклонические вихри, то есть вызывают апвеллинги.

В 1928 году вышел труд К.М. Дерюгина «Фауна Белого моря и условия ее существования» [18], где подробнейшим образом был рассмотрен животный мир моря, найдены некоторые новые для того времени закономерности в гидрологическом режиме и впервые была дана приблизительная оценка численности фитопланктонных организмов. По данным Дерюгина, глубинные воды с температурой -1,4°С и соленостью 30‰ приурочены к глубоководному желобу, протягивающемуся от о. Жижгин до Средних Луд.

В настоящее время изучение температуры и солености основывается на современных методах статистического анализа длительных рядов наблюдений и моделирования, перейдя от констатации к новому качеству – прогнозированию. Применение математических моделей [8, 13, 16, 21, 23, 25], методов дистанционного зондирования [14, 26] и использование новых технологий для обработки накопленного материала позволило создавать расчеты состояния гидрологических характеристик разного временного масштаба в зависимости от влияния на них различных условий среды, как природных, так и антропогенных. Подробные результаты исследований гидрофизических параметров Белого моря и закономерности их изменчивости приведены в работах [4, 6, 17, 24]. Спутниковую информацию по Белому морю можно получить, например, на сайте [режим доступа: http://optics.ocean.ru].

Кроме того, в настоящее время актуальным является изучение взаимодействия пограничных сред море-атмосфера, дно-придонный горизонт и проблем, связанных с изменчивостью температуры на фоне глобального изменения климата. Активно этой проблемой начали заниматься в 90-х г. прошлого века и продолжают в настоящее время [5] [3]. Однако процесс проявления климатических изменений в температуре Белого моря, как основа для моделирования и мониторинга гидрофизических процессов, все еще изучен недостаточно.

Отдельные составляющие водного и теплового балансов Белого моря изучаются с конца XIX в. Так, в 1881 г. [7] начались наблюдения за расходом р. Северная Двина и одновременно за уровнем моря в дельте реки. Тепловой баланс Белого моря впервые был рассчитан В.В. Тимоновым и Л.П. Кузьминым (1939) [19] в 30-е гг. ХХ в. Позднее этим вопросом занимались А.Р. Шишко в 40-е гг. (1948) [22], Н.Я. Арсеньева в 60-е гг. (1964) [2], Г.В. Гирдюк и Т.В. Кириллова в 70-е гг. (1974) [10], В.В. Елисов в 90-е гг. [12].

В 1971 г. издан «Справочник по гидрологическому режиму морей и устьев рек СССР, т. V, Белое море», где была дана схема квазипостоянных течений Белого моря. В 1991 г. увидел свет подробный справочник: «Белое море. Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Вып. 1. Гидрометеорологическое состояние» [7]. В 2005 г. опубликована монография «White Sea. Its Marine Environment and Ecosystem Dinamics Influenced by Global Change» [24], а в 2007 г. «Белое море и его водосбор под влиянием климатических и антропогенных факторов» [6]. Новые результаты исследований термохалинного режима Белого моря содержатся в серии Института океанологии РАН «Система Белого моря» [17].

Изучение ледового режима на Белом море началось в конце XIX в. Для этого использовали маяки: Мудьюгский (1894 г.), Зимнегорский (1896 г.), Терско-Орловский и Святой Нос (1898 г.) [7]. Результатом наблюдений за ледовыми условиями стала разработка руководства по плаванию во льдах Белого моря [15]. С 1909-1910 гг. ледовые наблюдения осуществлялись в открытой части моря, а с 1927 г. появилась авиаразведка. Сначала время наблюдений было приурочено к периоду зверобойного промысла, то есть весной. С 1948 г. [5] они проводились с января по май, а с 1951 г. охватывали период с момента ледообразования до схода льда.

Первые обобщения обширного материала наблюдений за состоянием льда были сделаны И.П. Ануфриевым и Э. Лесгафтом в начале ХХ в. [5]. Позднее, в 1932 г., используя личный опыт плаваний во льдах и опыт многих капитанов и промышленников, А.К. Бурке издал «Атлас карт состояния льдов, сжатий и разрежений в северной части и Горле Белого моря и в районах острова Моржовец» [9].

Занимался изучением ледовой обстановки Белого моря и В.Ю. Визе (1925, 1926 г.), и Н.Н. Зубов (1942 г.), и В.В. Тимонов (1942, 1958, 1961 г.) [см. в: 7]. В настоящее время ежегодно выпускаются обзоры ледового режима Белого моря, активно используются дистанционные методы. Информацию по ледовой обстановке в Белом море можно получить, например, в Интернете на сайте: [режим доступа: http://sputnik.infospace.ru/welcomer.htm]. Современные исследования ледяного покрова выполнены разными авторами с использованием дистанционных методов [24] и моделирования [6]. Можно воспроизводить ледовые условия на Белом море, например, с помощью объединенной модели И.А. Неелова и О.П. Савчука [25] и модели Н.Г. Яковлева в модификации И.А. Чернова [21, 23].

В течение нескольких десятилетий в Белом море различными научными организациями проводились комплексные экспедиции, позволившие собрать уникальный материал по гидрофизическим и гидрохимическим показателям, оценить многолетнюю изменчивость параметров, расширить знания о функционировании экосистем этого водоема. Заметную роль в исследовании температурного режима Белого моря играл ИВПС КарНЦ РАН наряду с другими институтами: ИБ КарНЦ РАН, ЗИН РАН, ИО РАН, включая филиал в Санкт-Петербурге и отделения в Архангельске и Калининграде, ММБИ КНЦ РАН, Международный центр по окружающей среде и дистанционному зондированию имени Нансена, ИЭПС УрО РАН и другие. Значительный вклад внесли постоянно действующие стационары на островах и побережьях Белого моря: ББС ЗИН РАН, ББС МГУ и СПбГУ, находящиеся на территории водосбора ООПТ. В последнее десятилетие как никогда активно используется спутниковая информация, современные методы обработки больших массивов данных, математическое моделирование процессов различных временных и пространственных масштабов для формирования подходов к прогнозированию состояния Белого моря, 3-D визуализация, алгоритмы усвоения данных на основе фильтра Калмана. Все накопленные знания о Белом море свидетельствуют, этот водоем, как ни один другой, подходит для роли микромодели Арктики. Относительно небольшие размеры (600 на 450 км), глубины (67 м – средняя и 350 м – максимальная), сложная конфигурация береговой линии, океанографический режим (отрицательные температуры глубинной водной массы, мощные течения), ледовый режим, климатические условия делают Белое море удобным полигоном для проверки результатов численных экспериментов на математических моделях, а также практических испытаний новой техники, предназначенной для работы в условиях Севера. Но на сегодняшний день многие вопросы остаются до сих пор слабо изученными, например, изменение, а также изменчивость температурного режима, особенности ледового режима, как важной составляющей теплообмена водоема, расчет и прогноз гидрометеорологических состояний Белого моря при разном комплексе климатических условий, термогидродинамическое и биогеохимическое моделирование.

Работа выполнена при поддержке Программы Президиума РАН «Поисковые фундаментальные научные исследования в интересах развития Арктической зоны Российской Федерации» по теме «Оценка влияния изменений климата и антропогенных факторов на экосистему и  биоресурсы  Белого моря и водосбор» на 2015  г.

В связи с необходимостью в достаточной полноте изучить режимы работы ассинхронного тягового привода является актуальной разработка и совершенствование методов математического решения соответствующих задач, разработка адекватных математических моделей [1]. Данной проблеме посвящены учебные пособия [2,3], являющиеся одними из первых работ по рассматриваемой теме. В указанных пособиях для желающих изучить работу асинхронного тягового привода, приведены математические основы и примеры расчета электромагнитных процессов в асинхронном двигателе при его питании от автономных инверторов напряжения и тока для двух способов управления:

- естественного, когда угол проводимости инверторных ключей соответственно равен λ = π и λ = 2π/3,

- улучшенного, когда выходное напряжение (ток) инвертора на полупериоде формируется из определенного количества (в нашем случае из семи) однополярных импульсов напряжения (тока) переменной длительности так, чтобы среднее значение эквивалентной кривой на полупериоде изменялось приблизительно по синусоидальному закону.

В частности авторы приводят методику расчетов для следующих режимов, свойственных тяговому приводу:

- номинального,

- ослабления поля,

- тормозного (генераторного),

- холостого хода (выбега)

- режима трогания (пускового).

Результаты расчётов представлены нагялядно в виде графиков, некоторые примеры которых изображены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Результаты расчётов в виде графиков

Кроме того, были решены задачи расчета в среде Maple кривых движения подвижного состава перспективного городского транспорта (трамвая, троллейбуса и поезда метрополитена) и пригородного электропоезда с тяговым асинхронным приводом типа электромотор-колесо [4].

Особенностью решения приведенных задач является аналитический вывод расчетных формул и вычисление результатов по этим формулам с помощью математического пакета Maple. Отличие используемого метода анализа от применяемых многими расчетчиками заключается в следующем. Наиболее распространен метод схемотехнического моделирования, когда от автора требуется минимальное усилие – составить электрическую схему замещения исследуемого объекта, а составление и решение дифференциальных уравнений выполняет стандартная программа. В работах [2,3] решаются две проблемы: при расчете электромагнитных процессов в асинхронном тяговом двигателе составляется и аналитически решается линейное дифференциальное уравнение, а вычислительный процесс осуществляется с помощью Maple; при расчете кривых движения составляются нелинейные дифференциальные уранвения, которые в Maple решаются численным методом. При этом учитывается дискретный характер изменения правой части дифференциальных уравнений, математическая интерпретация которой в среде Maple осуществляется функцией “piecewise”.

Математическое моделирование есть метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики — математических моделей. Этот метод чрезвычайно плодотворен и известен уже несколько тысячелетий. Возможности математического моделирования и его влияния на научно-технический прогресс неизмеримо возросли в последние десятилетия в связи с переходом к информационному обществу. Однако и до момента появления компьютеров математическое моделирование  играло существенную роль в решении задач прикладного характера. Примером такого рода задач является знаменитая проблема семи мостов Кенигсберга, которую можно сформулировать следующим образом: возможно ли пройти по всем семи мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды?

Наиболее очевидное решение – полностью перебрать все возможные маршруты движения по мостам. В этом случае мы имеем дело с алгоритмом полного перебора. Но, несмотря на свою кажущуюся простоту, данный способ является малоэффективным по нескольким причинам. Во-первых, алгоритмы, основанные на полном переборе, требуют дополнительных расходов памяти, связанных с тем, что возникает необходимость запоминать маршруты, которые были рассмотрены на предыдущих итерациях алгоритма. В случае, если это не выполняется, то велика вероятность того, что программа будет снова и снова перебирать одни и те же, вероятно неверные, маршруты, что приведет к зацикливанию.

Во-вторых, основная проблема алгоритмов, в основе которых лежит полный перебор, связана с неоправданно высокими, по сравнению с прочими способами решения, временными затратами. Несмотря на то, что мостов всего семь, их взаимное расположение порождает достаточно внушительное количество потенциальных маршрутов, каждый из которых может оказаться верным, что позволит положительно ответить на поставленный в задаче вопрос. Но в то же время любой вариант решения может оказаться ошибочным, что просто сократит количество не рассмотренных на данном шаге маршрутов на единицу.

Из-за вышеописанных недостатков алгоритм полного перебора как метод решения данной задачи является крайне неэффективным в силу большой ёмкостной сложности, что практически полностью нивелирует выгоду от полученного решения.

Проведем математическое моделирование исходной задачи. Как следует из определения, первоначально необходимо описать реальные объекты на языке математики. В этом нам поможет теория графов, созданная Леонардом Эйлером, который и является автором оригинального решения задачи о кенигсбергских мостах.

Поставим в соответствие частям города, соединенным мостами, вершины, а мостам – ребра графа. В результате условие исходной задачи можно сформулировать следующим образом: возможно ли соединить все вершины графа, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одно и то же ребро дважды? Нужно заметить, что сформулировав условие подобным образом, мы перешли к более общей задаче, что позволяет говорить о большей универсальности конечного решения.

Теперь для решения задачи необходимо воспользоваться несколькими положениями теории графов. Во-первых, число нечетных вершин связного графа должно быть четно. Не существует связного графа, в котором было бы нечетное количество нечетных вершин. Во-вторых, граф может быть начерчен один росчерком тогда и только тогда, когда в нем либо отсутствуют нечетные вершины, либо их количество равно двум. Причем, в случае, если все вершины четные, начинать и заканчивать чертеж можно произвольной парой вершин, в то время как в случае, если в графе две нечетных вершины, то начинать и заканчивать необходимо исключительно этой парой вершин.

На основе данных положений для утвердительного ответа на поставленный в задаче вопрос необходимо и достаточно, чтобы количество вершин, имеющих нечетную степень, было не более двух. Степень вершины можно определить, как количество исходящих из нее ребер. В этом случае, алгоритм решения задачи можно представить следующим образом.

Представим исходный граф в виде матрицы смежности со следующими уточнениями: значение элемента, располагающегося в i-ой строке j-ом столбце, равно количеству ребер, соединяющих i-ю и j-ю вершины. Данный подход позволит определить суммарный вес некоторой k-ой вершины путем сложения всех чисел, расположенных в k-ом столбце. В случае если сумма будет нечетна, необходимо увеличить на единицу значение счетчика, хранящего количество нечетных вершин.

Алгоритм заканчивается анализом значения счетчика: если оно равно нулю или двум, то на поставленный в условии задачи вопрос дается положительный ответ. В противном случае ответ будет отрицательным.

Реализация данного алгоритма на языке программирования С++ может выглядеть следующим образом.

Первоначально обнуляется общее количество вершин, имеющих нечетную степень.

int numberOfOddVertex=0;

На следующем шаге по отношению к каждой вершине выполняется два действия: рассчитывается и анализируется ее степень. Причем если степень вершины нечетна, счетчик нечетных вершин увеличивается на единицу.

for(int i=0; i<rows; i++)

{

if (sum(adjacencyMatrix[i],columns)%2!=0)

numberOfOddVertex++;

}

Степень вершины рассчитывается посредством вспомогательной целочисленной функции sum, которая возвращает общее количество ребер, исходящих из данной вершины.

int sum(int* array, int arraySize)

{

int result=0;

for (int i=0; i<arraySize; i++)

result+=array[i];

return result;

}

Завершается работа алгоритма анализом количества нечетных вершин. В случае если количество нечетных вершин четно и не превышает двух, функция возвращает значение true, иначе – false.

if ((numberOfOddVertex%2==0)&&(numberOfOddVertex<=2))

return true;

else

return false;

Если применить полученный алгоритм по отношению к графу, являющемуся моделью семи мостов города Кенигсберг, то получится, что невозможно начертить данный граф, не отрывая карандаша от бумаги, что означает, что невозможно пройти по всем мостам, проходя по каждому единожды.

Особенность математического моделирования заключается в том, что с его помощью одна и та же задача может быть решена различными методами, которые могут оказаться не одинаково оптимальными. Для доказательства данного утверждения обратимся к еще одной классической задаче, известной как задача коммивояжера и рассмотрим ее незамкнутый и симметричный вариант, формулирующийся следующим образом: найти кратчайший маршрут между конечным множеством мест, расстояние между которыми известно.

Вначале формализуем задачу. Поменяем множество мест на множество точек, а пути, соединяющие места между собой, на ребра, вес которых будет равен соответствующим длинам пути. Таким образом, от  реальных объектов (города и пути между ними) перейдем к графу, что позволит описать математическую модель решения задачи. Отметим, что полный перебор, как метод решения данной задачи, так же неэффективен, как и в предыдущей задаче. Даже в самом простом случае общее количество всевозможных маршрутов будет равняться (n-1)!/2 , что при 11 городах дает 1 814 400 возможных маршрутов, а при 13 городах уже 239 500 800 вариантов. Однако модификация перебора с возвратом, известная как метод ветвей и границ, относительно эффективно справляется с данной задачей.

Данный метод относится к области дискретной математики, и в его основе лежит следующая идея: при решении экстремальной задачи множество всех возможных вариантов решения разбивается на классы, для каждого из которых строится соответствующая оценка. Подобный подход позволяет отбрасывать целые классы решений в случае, если их оценка хуже некоторого рекордного значения.

Рассмотрим данный способ решения задач в общем виде. Условие может быть сформулировано следующим образом: пусть дано дискретное множество A и определенная на данном множестве функция f. Обозначим минимум функции f на множестве X как F(x) Тогда необходимо найти такое , что f(a)=F(A).

Разобьем все исходное множество  на некоторое количество (отличное от единицы) непересекающихся подмножеств: . Причем, , т.е. на  минимум не достигается. Тогда справедливым будет утверждение:

Введем дополнительную функцию φ, заданную на совокупности подмножеств исходного множества A так, что ее значение не превышает минимума функции f для любого из подмножеств в разбиении

.

Пусть  - произвольный элемент множества A и пусть. Тогда справедливо следующее утверждение:

.

Используя утверждения (1) и (2) можно использовать следующий способ поиска минимума.

Разобьем все множество A на некоторые подмножества , и для каждого из них найдем нижнюю оценку . После этого для всех элементов множества A вычислим значения функции f, запоминая наименьшее в качестве рекордного значения. Все подмножества, чья оценка превышает рекордное значение (f*), объединим во множество , тем самым исключив их из дальнейшего рассмотрения.

На следующем шаге выберем некоторое подмножество , которое, в свою очередь, разобьем на более мелкие подмножества, при этом улучшая рекордное значение f*. Продолжаться данный процесс будет до тех пор, пока не будут рассмотрены все подмножества исходного множества A.

Полученные в результате классы и будут решением исходной задачи.

Вернемся к задаче о коммивояжере. Решение данной задачи методом ветвей и границ было предложено коллективом автором (Дж. Литл, К. Мурти, Д. Суини, К. Кэрол) в 1963 году, а алгоритм, который используется для решения задачи, получил название алгоритм Литла.

Входными данными для алгоритма Литла является матрица смежности графа, следующего вида: число k, стоящее на пересечении i-ой строки и j-того столбца означает, что i-ая и j-ая вершины графа соединены ребром, вес котором равен k. Отсутствующие дуги помечаются некоторым числом, которое на несколько порядков превосходит вес самого «тяжелого» ребра – это необходимо для того, чтобы сразу исключить из рассмотрения отсутствующие ребра. Что же касается структуры самого алгоритма, то он состоит из нескольких шагов:

1) Приведение исходной матрицы.

В каждом столбце и каждой строке исходной матрицы смежности необходимо получить хотя бы один ноль. Осуществить это можно следующим образом: в каждом столбце выбирается минимальный элемент, который вычитается из всех остальных элементов соответствующего столбца. При этом, если в некоторых строках не появляется ноль, для них проводится аналогичная процедура. После этого необходимо вычислить константу приведения – сумму минимальных элементов строк и столбцов, использованных для преобразования исходной матрицы.

На первом шаге будет получена преобразованная матрица и константа приведения.

2) Определение степеней нулей.

Второй шаг начинается с подсчета степеней каждого нуля – суммы минимальных элементов строки и столбца, в которых расположен ноль (сам ноль из подсчета исключается). Ноль с максимальной степенью определяет ребро (i, j), которое, скорее всего, войдет в конечное решение. Но ребро, соответствующее максимальной степени нуля, может и не входить в решение, в связи с чем необходим третий шаг.

3) Ветвление.

Первый случай. Возможно, ребро вошло в конечное решение. Тогда исключаем его из рассмотрения, а строку и столбец, в которых он располагается, вычеркиваем. После чего приводим матрицу меньшего размера и вычисляем ее константу приведения .

Второй случай. Ребро не вошло в конечное решение. Исключаем его из рассмотрения и для получившейся матрицы вычисляем константу приведения 

Если оказывается, что , то повторяем второй и третий шаг с матрицей смежности, получившейся в первом случае. Если получается, что  , то второй и третий шаг повторяем с матрицей, которая получилась во втором случае.

Продолжаем данную операцию до тех пор, пока не дойдем до матрицы, содержащей два нуля. Нули соответствуют двум последним ребрам из решения. При этом, если получается, что , то задача решена. Если же есть такое k, для которого , то всю процедуру следует провести с матрицей, полученной во втором случае на k-ой итерации алгоритма. На последнем этапе будет получено новое значение . Данный процесс повторяется до тех пор, пока полученные значения  не станут меньше значения .

Рассмотренный выше алгоритм, основанный на методе ветвей и границ, хоть и сокращает общее время поиска по сравнению с полным перебором, остается не самым эффективным алгоритмом решения данной задачи. Попытаемся найти другой вариант решения, возможно, более эффективный.

Данную задачу можно решить посредством построения минимального остового дерева, что позволяет использовать алгоритм Прима-Краскала.

Основная идея алгоритма заключается в следующем: в представленном графе с n вершинами n-1 раз выбирается самое короткое ребро, которое не образует цикла с уже включенными в дерево ребрами.

Формализовать данный алгоритм можно следующим образом. На первом шаге раскрасим все вершины графа в разные цвета. После этого, до тех пор, пока общее количество ребер, включенных в минимальное остовое дерево, меньше, чем n-1 ребро, выполняем следующим шаги:

1)     находим минимальное ребро из не включенных в дерево и, если оно не образует цикл (то есть, если вершины, которые оно соединяет, не покрашены в один цвет), встраиваем данное ребро в конечное остовое дерево.

2)     меняем все цвета вершин, включенных в дерево, на один общий цвет.

Результатом выполнения вышеописанных шагов будет остовое дерево минимального веса.

Рассмотрим пример реализации данного алгоритма на языке С++.

На первом шаге нумеруются вершины графа: каждая вершина получает номер, соответствующий текущему значению счетчика – это необходимо для имитации раскраски вершин графа в разные цвета.

for (int i=0; i<vertexCount; i++)

{

vertexArray[i]=i;

}

После этого в цикле n-1 раз (где n – количество вершин графа) выполняются следующие действия.

1)     минимальный вес ребра принимается за достаточно большое число, на порядок превышающее все веса ребер, входящих в граф.

minimalVertexWeight = INT_MAX;

2)    просматриваются всевозможные пары вершин, для того чтобы найти пару отличных друг от друга вершин, которая соединена ребром, вес которого меньше текущего минимума. Как только такая пара будет найдена, запоминаем ее, и обновляем минимальный вес.

for (int i=0; i<vertexCount; i++)

{

for (int j=0; j<vertexCount; j++)

{

if ((vertexArray[i]!=vertexArray[j])&&(adjacencyMatrix [i][j]<minimalVertexWeight))

{

firstVertexIndex=i;

secondVertexIndex=j;

minimalVertexWeight=adjacencyMatrix[i][j];

}

}

}

3)    обновляется исходный граф – все вершины, окрашенные в цвет конечной вершины только что встроенного ребра, перекрашиваются в цвет исходной вершины этого ребра.

for (int i=0; i<vertexCount; i++)

{

if (vertexArray[i]==vertexArray[secondVertexIndex])

vertexArray[i]=vertexArray[firstVertexIndex];

}

В результате, совокупность ребер, окрашенных в общий цвет, будет образовывать искомое остовое дерево минимального веса.

Изначально высокие требования к эффективности алгоритмов диктовались ограниченностью ресурсов, доступных ЭВМ. В современном  мире наблюдается аналогичная тенденция: прогресс привел не только к росту вычислительных мощностей, но и к существенному усложнению задач, которые решаются посредством компьютеров. Если раньше было достаточно решить задачу коммивояжера с количеством городов равным ста, то теперь требуется найти оптимальный маршрут для миллиона городов. Это приводит к тому, что необходимо разрабатывать все более и более эффективные алгоритмы решения задач. А разрабатываются они на основе методов математического моделирования, которое не только может существенно облегчить задачу, но и помочь в нахождении правильных и эффективных решений, совершенно отличающихся друг от друга.

Математическое моделирование движения космического аппарата при развертывании тросовой системы рассматривается с двух точек зрения. С одной стороны это динамическая система, описывающая движение центр масс аппарата, с другой – движение, при котором аппарат вращается вокруг центра масс.
Для описания движения центра масс малого космического аппарата используется динамическая система вида [1]

 (1)

 (2)

где θ и ω – угол отклонения и угловая скорость угла отклонения троса от местной вертикали, L – длина выпуска троса, Ω – угловая скорость движения базового космического аппарата по круговой орбите, m – масса малого КА, T – сила натяжения троса, ρ – линейная плотность материала троса.
Сила натяжения троса изменяется по закону [1]

 (3)

где  – конечная длина троса, V – скорость выпуска троса, a и b – параметры закона.
В самом простом плоском случае уравнение углового движения малого спутника имеет вид

 (4)

где θ – угол отклонения оси симметрии спутника от направления троса, l – расстояние точки крепления троса от центра масс спутника.
Для описания пространственного движения космического аппарата вокруг собственного центра масс используются следующие уравнения

 (5) (6) (7)

 (8)

 (9)

 (10)

где θ, φ, ψ – углы нутации собственного вращения и прецессии,  – проекции кинетического момента малого КА на оси связанной с ним системы координат,  – угловые скорости космического аппарата. 
Проекции кинетического момента определяются из выражений

 (11) (12) (13)

где  – моменты инерции. Асимметрия характеризуется разностью , а также центробежными моментами инерции . Совокупность шести моментов инерции составляет тензор инерции малого КА и полностью характеризует распределение масс внутри аппарата.
Моменты, зависящие от силы натяжения троса, определяются по формулам

 (14) (15) (16)

где T – сила натяжения троса, l – плечо силы натяжения троса.
Для описания движения малого космического аппарата с произвольным внутренним распределением масс необходимо привести уравнения (11–13) к наиболее простому виду. Для этого нужно преобразовать тензор инерции малого КА к диагональному виду. Таким образом, осуществляется переход от произвольной связанной системы координат к главным координатам. Приведение тензора инерции к диагональному виду осуществляется при помощи метода вращений Якоби.

Ниже приведены графики, характеризующие изменение угла нутации (рис. 1а) и модуля угловой скорости вращения малого КА относительно центра масс (рис. 1б) в зависимости от времени.

^а) 

^б) 
Рис. 1. Изменение угла нутации и модуля угловой скорости вращения малого КА

Малый КА представляет собой тело, близкое к телу вращения с эллипсоидом инерции вида . Масса малого КА 20 кг, высота орбиты базового КА 500 км. Развертывание космической тросовой системы производится по закону (3). Массово-инерционная асимметрия вносит дополнительные возмущения в движение малого КА относительно центра масс.
Программа моделирования движения малого КА, составленная по результатам данной работы, позволяет оценить максимальную допустимую величину асимметрии КА и сформулировать требования на допустимые угловые скорости, которые возникают при отделении малого КА от базового КА. 

Математическая модель – это приближенное отображение исследуемого объекта, описанное на языке математики, с использованием формул и отношений.

Изначально математическое моделирование применялось для изучения технических систем и физических процессов и явлений. В современном мире математическое моделирование применяют и в других областях науки, в том числе гуманитарных: философии, лингвистике, истории, социологии, педагогике и др.

Согласно федеральным государственным образовательным стандартам высшего образования, выпускник каждого гуманитарного направления  должен обладать профессиональными компетенциями, которые включают в себя владение математическими методами исследования в своей области профессиональной деятельности. Поэтому, подготовку выпускника гуманитарного направления невозможно представить без обучения методам математического моделирования.

Изучение элементов математического моделирования может быть включено в различные модули дисциплин таких, как «Математика», «Информатика», «Математические методы принятия решений», «Эконометрическое моделирование», «Математика в социально-гуманитарной сфере», «Математические методы в научных исследованиях», «Математические методы в лингвистике»,  и др.

Однако изучение математических моделей на гуманитарных направлениях имеет ряд особенностей.

1) Математическая «сложность» моделей.

Традиционно сложилось так, что студенты гуманитарных направлений изучают только основы высшей математики. Более того, с 2015 г. единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике подразделяется на два уровня: профильный и базовый. Задания профильного уровня содержательно похожи на задания  ЕГЭ предыдущих годов. Задания базового уровня намного проще и требуют знаний только основ алгебры, геометрии и анализа.  Для получения аттестата о среднем полном образовании необходимо сдать на положительную оценку базовый экзамен. Базового экзамена достаточно и для поступления на гуманитарные направления подготовки, такие как, философия, филология, история, юриспруденция, психология, журналистика, политология, культурологи и многие другие [9].

В свою очередь, многие математические модели состоят из сложных математических структур. Так, например, модели, которые описывают изменение системы, представляют собой дифференциальные уравнения в полных или частных производных, а иногда и систем таких уравнений, о методах решения которых, «гуманитарии», в большинстве своем, не имеют представления.

2) Сложность компьютерной реализации математических моделей.

Данная особенность тесно связана с предыдущей.

Для реализации математической модели на ЭВМ и проведения экспериментов, необходимо использовать специальное программное обеспечение, а иногда и методы вычислительной математики, изучение которых, зачастую, не предусмотрено на гуманитарных направлениях.

3) Отсутствие интереса у студентов.

Студенты гуманитарных направлений, в большинстве своем, не проявляют интереса к изучению математических дисциплин [13].

Для успешного изучения основ математического моделирования можно предложить следующие решения: использовать модели линейной алгебры и математической статистики.

Изучение данных разделов математики вызывает меньшие трудности, чем другие разделы математики; их основы изучаются в средней школе. Более того такие модели описывают довольно широкий класс прикладных задач.

Данное решение поможет справиться и с проблемой компьютерной реализации моделей. Электронные таблицы (MS Excel, Open Office Calc, Gmuneric) содержат большое количество встроенных процедур и функций для работы задачами линейной алгебры и статистики.

Использование для обучения профессионально-ориентированных моделей.  Интерес студентов к изучению методов математического моделирования будет выше, если для обучения использовать не стандартные модели, а профессионально-ориентированные.

Среди традиционно преподаваемых задач математического моделирования можно выделить: транспортную задачу, производственную задачу, задачу о полете ракеты (мяча), задача о динамике популяции, модель «хищник-жертва». Такие модели могут быть интересны для изучения экономистам, биологам, физикам.

Для гуманитарных направлений можно выделить следующие профессионально-ориентированные модели:

• частотная модель языка [1];
• модель «идеального» четырехстопного ямба [2];
• модель волшебной сказки [3];
• вероятностное моделирование боевых действий [4];
• «формула человека» [5];
• модели «калокагатии» [6].

Таким образом, для качественной подготовки будущих выпускников гуманитарных направлений и повышения их интереса к методам математического моделирования необходимо тщательно выбирать модели обучения, которые не содержат слишком сложных математических операций и имеют профессионально-ориентированный характер.

Чтобы понять эту проблему, необходимо проанализировать место использования математического моделирования в теории научных исследований и в практике управления, определить принципы рационального соотношения процессов моделирования и решения информационно-расчётных задач.

Анализ показывает, что в настоящее время выделяются три основные сферы применения модельных технологий [3,4,5]:

1)Гносеологическая, связанная с исследованием процессов и явлений

2)Обучающая, связанная с подготовкой персонала.

3)Управленческая, связанная с поддержкой принятия решений и прогнозированием последствий их реализации.

Первая область применения связана с изучением объектов и процессов, которых пока ещё физически нет в природе. Если разработка таких объектов процесс долгий и дорогостоящий, то математическое моделирование различных вариантов реализации их структуры помогает снизить временные и финансовые затраты. Частный случай этой области – полунатурные и компьютерные испытания объектов и систем, когда реальный эксперимент дополняется модельным. Примером могут являться «электронные пуски» ракет.

Вторая область – изучение и освоение принципов организации поведения объектов там, где их физически нет в настоящее время: во времени или пространстве: по причинам дороговизны или опасности. Использование математического моделирования в области обучения позволяет снизить затраты на подготовку персонала к управлению реальными объектами и системами. Примерами использования моделирования в этой области являются компьютерные формы обучения, тренажерные системы, системы дополненной реальности.

В третьей области применения моделирования – сфере поддержки принятия решений, используется самый широкий спектр математических моделей для оценки результатов воздействия на поведение сложных систем, обеспечения планирования ресурсного обеспечения, разработки управляющих, нормативных и доктринальных документов и т.п.

Анализ указанных областей использования модельных технологий показывает, что основной функцией применения моделирования в них является прогнозирование поведения реальных и виртуальных объектов и систем, ожидаемых результатов развития процессов.

В настоящее времени существует достаточно широкий спектр средств прогнозирования [6,7]. Один из вариантов их классификации приведен на рисунке 1. Как видно из рисунка, методы прогнозирования включают не только математическое моделирование, но и ряд других подходов: логические рассуждения, решение прямых расчётных задач и т.п. Но именно математическое моделирование, как наиболее точный и универсальный инструмент, является основным средством получения прогнозов, особенно при анализе сложных систем и процессов [8].

Рисунок 1. Обобщённая классификация методов прогнозирования

Основной способ избежать проблем в использовании математического моделирования – корректное использование модельных технологий и рациональное соотношение моделирования и расчётов. Обеспечение этого достигается выполнением двух основных условий, соблюдаемых при принятии решения на использование моделирования в рамках реализации конкретной задачи:

1)определение необходимости использования моделирования в принципе;

2)выбор типа используемой модели.

Первое условие оценивается, в большинстве случаев, простой логикой, на основе анализа условий получения прогноза. Как правило, чем менее задача формализуема и структурируема, тем меньше эффективность применения фактографических методов её решения. Чем проще её формализовать без потери точности результата – тем предпочтительнее применять не модели, а методы прямого вычисления. Сравнительная оценка точности формализации исследуемого объекта и адекватности получаемой модели позволит разработчику, двигаясь  “по узкой тропинке между болотом усложнения и пустыней упрощения”, определить целесообразность применения математического моделирования.

При получении решения в пользу моделирования, появляется задача выбора типа используемой математической модели. Это задача, решение которой определяется достаточно большим количеством разнообразных факторов.

В настоящее время существует достаточно большое множество задач, решаемых с применением математического моделирования и широкий спектр разнообразных моделей. Это разнообразие и порождает проблему выбора модели для эффективного решения конкретной задачи.

Каждая из групп моделей (рисунок 1) обладает собственными характеристиками, преимуществами и недостатками. Причём их комбинации по-разному проявляются в разных условиях практического применения модельных технологий [9,10,11]. В результате перед разработчиком появляется проблема выбора: какой тип модели выбрать для решения конкретной задачи прогнозирования. Проблема эта не простая, но важная, от эффективности её решения зависит качество получаемого прогноза и, в итоге, качество вырабатываемых решений. Основой решения задачи выбора может служить сопоставление характеристик двух процессов: требований к модели от управляемой системы и характеристик классов модели. Вариант анализа такого соотношения приведён в таблице 1. При проведении анализа учитывались некоторые усреднённые условия применения для средних по сложности моделей. Знак “+” в таблице обозначает возможность использования модели при заданных условиях, знак “-” – невозможность или нецелесообразность.

Таблица 1 – Матрица показателей выбора типа модели (вариант)

Разумеется, классификация характеристик выбора, приведённая в таблице 1, является осреднённой и приблизительной. Для получения точного анализа пригодности тех или иных моделей для решения конкретных задач нужно в каждом случае проводить более детальный анализ, ориентированный на конкретные условия применения [12,13,14], с составлением более детальной, уже не “плоской” а многомерной матрицы характеристик. Кроме формирования матриц применимости, могут использоваться и другие условия и принципы оценки целесообразности использования различных типов моделей в разных сферах использования: от субъективных логических до точных расчётных, например, квалиметрических. Эти подходы могут как заменять, так и дополнять предлагаемый метод.

Использование предлагаемых принципов может быть одним из условий повышения эффективности получения прогнозов в самых разных отраслях применения математического моделирования, от технических, до экономических [15] и социальных [16,17]. И, как следствие, корректного использования модельных технологий, обеспечивающего поступательное развитие области практической поддержки принятия решений.

Всестороннее обследование локального статуса, а также изучение прочих особенностей состояния здоровья пациента с учетом возможности развития различных локальных и системных реакций организма в ответ на проводимые лечебно-диагностические мероприятия позволяет осуществить оптимальный вид ортопедического лечения при полной вторичной адентии.

Клинико-морфологические данные являются основанием для моделирования протеза с учетом сохранения естественной окклюзии, что необходимо для поддержания кинематического равновесия в системе жевательного аппарата. Важное значение при формировании базисной части протеза также имеет топография установки и векторы распределения нагрузки в отношении имплантатов. Несоблюдение данных условий может приводить к разрушению и прогрессирующей убыли параимплантатной костной ткани, нарушая устойчивость и функциональность всей конструкции [4], [5].

В отличие от интактных зубных рядов, в которых значительная часть жевательной нагрузки гасится твердыми тканями зуба, структурами периодонта и костными образованиями челюстях, условия полного соприкосновения имплантата и костной ткани исключают амортизацию за счет вышеуказанных элементов жевательного аппарата. Поэтому перегрузки зон повышенного давления и нарушенного кровообращения способствуют развитию костной резорбции [8].

Имплантаты с круглым срезом обладают существенно меньшей устойчивость к вертикальным и горизонтальным нагрузкам в сравнении с устойчивостью, присущей анатомическим корням зуба, имеющим овальный срез. В данных обстоятельствах установку имплантата под углом к действующим силам следует рассматривать как грубое пренебрежение биомеханическими принципами зубочелюстной системы, приводящее к таким серьезным осложнениям как резорбция кости и периимплантит [3], [16].

От качества ремоделирования параимплантатной кости в наибольшей степени зависит функциональность протезной системы [1], ввиду чего именно индивидуальная имплантационная программа с тщательно продуманными расположением, направлением и процессом установки имплантатов, а также подходом к ведению послеоперационного периода определяет эффективность и долговечность протезирования в целом. В настоящее время известны различные подходы к проведению хирургического этапа протезирования. При двухэтапной имплантации на протяжении 3-6мес. имплантат находится в кости, фактически, как инородное тело, затем осуществляется его раскрытие с последующей нагрузкой за счет протезной конструкции [7]. Более популярная на сегодняшний день одномоментная методика установки имплантатов связана с аналогичными техническими и анатомическими трудностями. Основополагающим принципом протезирования с опорой на имплантаты и в том, и в другом случае заключается в соблюдении условия ранней этапно-прогредиентной нагрузки на имплантаты от супраструктуры [18], благодаря чему уже в первые недели после имплантации происходит структурно-функциональное ремоделирование параимплантатной кости.

Помимо технических аспектов хирургических и ортопедических манипуляций для сохранения качества диагностических и лечебных мероприятий при протезировании важно также учитывать индивидуальные факторы со стороны пациента, в особенности – влияющие на переносимость лечения. Наиболее часто встречающееся обстоятельство, в той или иной мере затрудняющее работу врача-стоматолога, наличие у пациента выраженного рвотного рефлекса в ответ на минимальные действия в полости рта. Сам по себе рвотный рефлекс — это не что иное, как разновидность защитной физиологической реакции. В ее основе лежит безусловно-рефлекторный акт, целью которого является предотвращение попадания инородного тела в дыхательные пути за счет обратной перистальтической активности гладкой мускулатуры ЖКТ и моторики диафрагмы. Физиологическую основу рвотного рефлекса составляют два различных диэнцефальных центра, один из которых локализуется в латеральной ретикулярной формации, а другой – в области ромбовидной ямки, на дне четвертого желудочка. Причем первый из них (собственно, рвотный центр) непосредственно отвечает за реализацию рвотного рефлекса, запуская его на основании информации, полученной с афферентных чувствительных нейронов, тогда как второй представляет собою хеморецепторную триггерную зону, которая активируется гуморальным путем, то есть опосредовано через кровь или лимфу (за счет медикаментозного, гипоксического, химиотерапевтического и др. воздействий). Отдельно известен также условно-рефлекторный механизм формирования рвотного рефлекса при участии вкусовых, обонятельных, зрительных центров, который закрепляется при переживании индивидуально значимого неприятного опыта стоматологического лечения [15].

Учитывая комплексный, многоэтапный характер лечения, предусмотренного при полной вторичной адентии, а также полиэтиологическую природу повышенного рвотного рефлекса, значение данной индивидуальной особенности и ее влияние на промежуточные и финальные результаты проводимых работ трудно переоценить.

Целью данной статьи явилось описание разработанного индивидуализированного подхода к ведению хирургического и ортопедического этапов лечения при полной вторичной адентии с учетом наличия повышенного рвотного рефлекса в анамнезе.

Гиперчувствительность пациентов к различного рода внутриротовым манипуляциям, приводящая к возникновению рвотного рефлекса в стоматологической практике в большинстве случаев связана с наличием психогенной стоматофобии, а также с чрезмерной интенсивностью воздействия на механо- или хеморецепторы слизистой оболочки ротовой полости. Первый случай можно рассматривать как пример условно-рефлекторной рвотной реакции, закрепленной наличием выраженного негативного психоэмоционального фона, второй же – как результат реализации гуморально-опосредованного механизма активации защитного рвотного рефлекса по вагус-опосредованному пути [6].

Помимо непроизвольных спастических волнообразных сокращений пишеварительной и диафрагмальной мускулатуры, затруднение проведения стоматологического обследования и лечения связано также и с другими, сопряженными физиологическими факторами, активирующимися в сопряжении с рвотной реакцией. Гиперсаливация, слезотечение, а также изменение сердечного ритма в сторону ускорения либо замедления, вазоспазм могут развиваться вследствие иррадиации возбуждения с рвотного центра на близлежащие ядра языкоглоточного и фациального нервов, а также на центр регуляции сердечно-сосудистой деятельности. Многие исследователи отмечают высокую вариабельность индивидуальной склонности к проявлению рвотной реакции у пациентов при стоматологических манипуляциях наряду с отсутствием прямой зависимости между интенсивностью раздражающего фактора физической или химической природы [14].

В ротовой полости выделяют пять анатомических зон, отличающихся особенно низким порогом возбудимости: корень языка, задняя стенка глотки, небно-язычная и небно-глоточная дужки, свод мягкого неба и язычок. Контакт с ними в процессе медицинских манипуляций может более вероятно провоцировать возникновение рвотного рефлекса у пациента [15]. Примечательно также, что в каждом конкретном случае чувствительность вышеперечисленных триггерных зон у одного человека может отличаться.

Существуют также дополнительные, предрасполагающие факторы, обусловливающие наличие гиперактивности указанной защитной реакции. Основными из них являются:

• наличие коморбидной патологии со стороны желудочно-кишечного тракта (гастрит, язва различной этиологии, онкопатология);
• анатомические особенности иннервации, обусловливающие гиперчувствительность слизистой оболочки полости рта;
• физиологическая гиперреактивность (например, в связи с беременностью);
• неблагоприятный психоэмоциональный фон (наличие стоматофобии или выраженного дискомфорта на приеме у врача, паническое расстройство и др.);
• ятрогения (неудачный опыт лечения в анамнезе, ношение плохо адаптированных протезных конструкций и т.п.) [6], [15].

Понимание основных причин, лежащих в основе гиперактивности рвотного рефлекса, позволяет разработать персональную щадящую тактику для установления контакта с пациентом и преодоления данной трудности. Однако у врача не всегда есть возможность выяснить заранее и точно установить причину возникновения этой индивидуальной особенности у пациента, ввиду чего уже с первичного приема следует соблюдать основные меры предосторожности в отношении триггерных зон и с должным вниманием относиться к стоматологическому и сопутствующему общемедицинскому анамнезу, а также его психологическому состоянию на момент обследования и лечения. Особенно важной задачей преодоление данной проблемы становится при выполнении протезирования пациентов с полной вторичной адентией ввиду продолжительности и масштабности необходимых работ [14].

Основные рекомендации для врача, позволяющие минимизировать вероятность развития или выраженность рвотного рефлекса у пациента во время лечебно-диагностических манипуляций в стоматологической клинике, приведены ниже.

• Рекомендовать пациенту воздержаться от плотного приема пищи перед посещением стоматолога.
• Проинструктировать пациента в отношении техники правильного дыхания во время стоматологических работ, акцентируя внимание на его непрерывности, недопустимости задержек.
• Назначать прием пациентов с повышенный рвотным рефлексом во второй половине дня, поскольку в утренние часы отмечается более выраженная триггерная активность.
• Избегать контакта рук и инструментов с триггерными зонами слизистой ротовой полости.
• При составлении плана стоматологического лечения начинать с более легких работ, постепенно удлиняя их продолжительность и сложность выполнения. Это позволит достигнуть как физической, так и психологической десенсибилизации.
• Следить за эргономичностью выполняемых манипуляций, избегая лишних действий и процедур (например, повторного рентгенологического контроля с установлением внутриротового датчика или многочисленных ортопедических примерок).
• Использовать во время стоматологического приема отвлекающие факторы (музыка, видео).
• При готовности пациента – обучить его технике десенсибилизации в домашних условиях перед проведением стоматологических работ.
• При необходимости проведения манипуляции с высоким риском возникновения рвотного рефлекса использовать прием функциональной блокады в момент ее выполнения.
• Выполнение местной аппликационной или инъекционной анестезии триггерных зон перед проведением сложных манипуляций.
• В случаях явного присутствия психоэмоционального компонента – рекомендовать прием противорвотных и/или седативных средств за несколько дней до запланированного стоматологического лечения.
• В ряде случаев возможно применение специальных физиотерапевтических (акупунктура, МДМ-терапия и пр.), медикаментозных (например, закись азота), психотерапевтических (например, гипноз) средств с целью преодоления рвотного рефлекса.

Планирование хирургического этапа имплантации осуществляется на основании индивидуальных анатомических и биомеханических взаимоотношений элементов, образующих жевательный аппарат. Врач должен четко определить количество, расположение, направление и метод установки имплантатов при сохранении зоны мышечного равновесия в межчелюстном пространстве и оптимальной окклюзионной ситуации [10, 13].

Основными практическими задачами, подлежащими решению в ходе моделирования искусственных зубных рядов на имплантатах, являются:

• Определение локализации и направления имплантатов – рассматривается исходя из строения зубных дуг относительно протетической плоскости и жевательного центра функциональных сил.
• Правильное создание протетической плоскости в межчелюстном пространстве – осуществляется в рамках сферической теории артикуляции, учитывая сагиттальное и трансверзальное искривления зубных дуг, способствуя идентификации объемных ориентационных параметров в архитектуре лицевого черепа относительно поля функциональных сил.
• Пространственное расположение окклюзионной плоскости – производится относительно зрачковой, франкфуртской или камперовской горизонталей.
• Собственно, хирургическое установление имплантатов, оптимально ориентированных в кости, с учетом действия основных групп жевательных мышц в межчелюстном пространстве.
• Правильное позиционирование искусственных зубных рядов, фиксированных на имплантатах – размещение в зоне равновесия между давлением на протезы мышц щек и языка.
• Соблюдение фиссурно-морфологической архитектуры жевательных поверхностей искусственного зубного ряда.
• Контроль высоты и угла наклона резцового и бугоркового перекрытий зубов – с целью минимизации феномена Христенсена при скольжении нижнего зубного ряда по верхнему.
• Функциональность зубного ряда – распределение жевательной нагрузки вдоль продольной оси имплантата с ее ориентацией в направлении продольной оси удаленных зубов перпендикулярно окклюзионной плоскости при сохранении принципов сбалансированной окклюзии.
• Исследование биомеханических взаимоотношений верхнего и нижнего зубных рядов при двигательных актах нижней челюсти при помощи лицевой дуги с артикулятором. Моделирование зубочелюстной системы таким способом дает возможность тщательно проанализировать движения нижней челюсти и идентифицировать корректное направление осей имплантатов.
• Определение локализации имплантата в челюстной кости – выполняется методом комплексной оценки данных, полученных в ходе клинического осмотра, анализа ортопантомограммы, а также моделирования с применением артикулятора (включает диагностическую и окончательную постановку искусственных зубов с опорой на имплантаты).

На этапах планирования и подготовки к ортопедическому лечению соблюдение данных принципов позволит предупредить смещение имплантатов и альвеолярных гребней в горизонтальном и вертикальном направлениях и снизит вероятность появления паразитарных напряжений в параимплантатной кости [11], [16].

Существует ряд правил, выполнение которых позволит достичь хороших клинических результатов при протезировании с опорой на имплантаты.

- Вертикальная ось имплантата, аналогично удаленному зубу, принимает на себя нагрузку от супраструктуры, распределяющуюся в плоскости, которая перпендикулярна протетической.

- Несколько имплантатов объединяются протезом балочной, мостовидной, съемной перекрывающей или комбинированной конструкции.

- Часть имплантата, погруженная в костную ткань, всегда превышает по длине свободный участок, предназначенный для фиксации супраструктуры, причем оптимальным соотношением длины погруженной и свободной части имплантата считается 2:1.

- Минимальная допустимая дистанция между соседними имплантатами – 5мм, при условии, что толщина костной ткани по окружности установленного имплантата составляет не менее 2 мм.

- Наиболее успешными являются результаты бикортикальной имплантационной методики, как при одномоментной, так и при двух моментной установке имплантата.

- Не допускается блокирование движений нижней челюсти за счет супраструктуры; размеры бугоркового и резцового перекрытия должны быть идентичными.

- Архитектура жевательных протезных поверхностей предполагает согласованность окклюзионного баланса в сагиттальном и трансверзальном направлениях.

- Одномоментность протезирования справа и слева является обязательным условием, позволяющим предотвратить перегруженность отдельных участков конструкции.

- Жевательная поверхность моляров диагностической акриловой протезной модели должна быть уменьшена до 70% с сохранением минимальных контактов в области защитных бугорков для снижения нагрузки на имплантат.

- Поля функциональных сил, локализующиеся в области второго премоляра и первого моляра, принимают на себя наибольшие жевательные нагрузки, в связи с чем, выбор и техника установки имплантатов в этой области требуют особой тщательности.

- При расчете количества и расположения устанавливаемых имплантатов, необходимо стремиться к максимальному соответствию с числом, позицией и направлением утраченных зубов.

- Конструкция супраструктуры должна обеспечивать беспрепятственное осуществление гигиенических манипуляций.

В связи с тем, что распределение напряжений, интенсивность жевательных нагрузок и эффект, оказываемый ними на окружающую костную ткань, во многом определяют исход стоматологической имплантации и сроки службы протезной конструкции, расчет количества и конфигурации имплантатов, их местоположения в челюсти и пространственно-объемного расположения является первоочередной задачей для специалиста. Определяющее значение в решении данного вопроса имеет картина биомеханических взаимоотношений между супраструктурой и костью, служащей фундаментом для протеза [2], [3]. С этой задачей позволяет успешно справиться техника математического моделирование методом конечных элементов, согласно которой в расчетах учитываются значения биофизических параметров челюстных костей, твердых тканей зуба и пародонта, а также имплантационных материалов.

Вслед за разработкой тактики лечения при полной вторичной адентии, специалист переходит непосредственно к выполнению намеченной работы. Качество хирургического этапа протезирования напрямую зависит от рациональности распределения нагрузки и надежности фиксации супраструктуры. Не последнюю роль в этой связи играет и переносимость стоматологических манипуляций со стороны пациента. В совокупности данные факторы обусловливают длительность и комфортность ношения протеза в будущем. Ниже приведена технология стоматологической имплантации при протезировании с опорой на имплантаты, которая отвечает принципам рациональности и эргономичности стоматологического вмешательства с учетом возможного наличия повышенного рвотного рефлекса.

Комплексная оценка клинико-функционального состояния костных и мягкотканых структур, составляющих протезное ложе, включает следующие стратегические шаги:

• анализ панорамной рентгенограммы и томограммы (по показаниям) обеих челюстей;
• изготовление моделей челюстей с последующей установкой их в артикуляторе;
• определение верхнечелюстной позиции относительно черепа при помощи лицевой дуги;
• идентификация центральной окклюзии с применением внутриротового устройства;
• регистрация трансверзальных и сагиттальных двигательных актов нижней челюсти;
• изготовление пластмассовых хирургических шаблонов на челюстных моделях;
• перенесение на шаблоны и модели точек и направлений локализации имплантатов с учетом протетической плоскости;

Вслед за закреплением шаблона на протезном ложе верхней челюсти, последовательно выполняются такие манипуляции:

• разметка позиций имплантатов шаровидным бором;
• удаление микротомом слизистой оболочки в участках расположения имплантатов;
• формирование первоначального канала, соответствующего ходу имплантата путем пилотного сверления;
• последовательное создание остальных каналов для имплантации под контролем соответствия первоначальному;
• расширение каналов сверлами до необходимого диаметра;
• установка имплантатов в каналы, локализованные в участках наиболее плотной кости, контроль взаимной параллельности имплантатов.

Результатом настоящего этапа работы является создание траектории для посадки будущего протеза верхней челюсти, после чего все действия повторяются для нижней челюсти с соблюдением параллельности имплантатов в пределах одной челюсти и на обеих челюстях.

После установки винтов-заглушек выполняется рентгенографический контроль.

Безупречное качество проведение хирургического этапа само по себе не может гарантировать общего успеха ортопедического лечения. Так, в период раннего заживления формируются условия, обеспечивающие первичную и в дальнейшем – вневременную стабильность имплантата. Главным образом, речь идет о процессе остеоинтеграции. Ранняя (первичная) стабильность достигается путем соблюдения режима покоя, профилактикой ремоделирования и смещения костной ткани. Вторичная стабильность имплантата формируется за счет формирования прочной связи между его поверхностью и челюстной костью. Это обусловливает значимость благоприятного течения постимплантационного периода для успешной реализации биологических механизмов репарации и физиологической регенерации кости, а также создания соединительно-тканного барьера на уровне слизистой оболочки протезного ложа, [16]. Ввиду возможного наличия у пациентов с полной вторичной адентией сопутствующей патологии (аллергического, метаболического, воспалительного и другого характера), следует учитывать общесоматический анамнез, его влияние на течение процессов заживления и остеоинтеграции, принимая соответствующие профилактические меры в необходимом объеме [12], [18].

С целью повышения качества реабилитации пациентов после проведения стоматологической имплантации в раннем послеоперационном периоде мы применяли метод мезодиэнцефальной модуляции (МДМ). Принцип МДМ-терапии состоит в воздействии индивидуально откалиброванных электротоков на глубинные структуры головного мозга. При этом осуществляется активация основных нейроэндокринных механизмов периферического и системного уровня, ответственных за стимуляцию регенераторно-репаративных, противовоспалительных и иммунообеспечивающих ресурсов организма. Данная методика направлена на регуляцию равновесия активности внутренних про- и антистрессорных систем, которое смещается в сторону преобладания стрессового компонента в связи с проводимым хирургическим вмешательством, а также на фоне предсуществующей патологии [14].

Практический результат применения мезодиэнцефальной модуляции в постимплантационном периоде выражается в достижении анальгетического, противовоспалительного, а также репараторного эффектов. Кроме того, МДМ улучшает периферическую микроциркуляцию, которая благотворно сказывается на сроках заживления и реорганизации параимплантатной кости [19], [20]. Общее релаксирующее, седативное действие, которое оказывает МДМ на организм пациента, в свою очередь, позволяет также уменьшать выраженность повышенного рвотного рефлекса при проведении дальнейшего ортопедического лечения и других нежелательных стрессовых реакций, уменьшая риск неудачного проведения врачебных манипуляций, а значит, повышая успешность протезирования. Предложенная нами тактика ведения хирургического и ортопедического этапов лечения с применением математического моделирования и артикулятора также соотносятся с принципами эргономичности и необходимости щадящего выполнения стоматологических работ у пациентов, склонных к чрезмерной рвотной реакции, поскольку позволяют избегать многочисленных подготовительных внутриротовых манипуляций, связанных с планированием лечения, разработкой и подгонкой ортопедической конструкции, и, таким образом, предупреждают риск усугубления активности рвотного рефлекса.

Подводя итоги, стоит подчеркнуть, что протезирование при полной вторичной адентии с опорой на имплантаты в современной ортопедической практике можно считать методом выбора при условии морфофункциональной полноценности анатомических структур, формирующих протезное ложе. На эффективность и качество данного вида протезирования влияет множество внешних и внутренних факторов, ведущими и клинически контролируемыми среди которых являются оптимальный выбор количества, типа и локализации опорных имплантатов, модели супраструктуры протеза, техники выполнения хирургического этапа лечения и ведения послеоперационного периода. Успешная реализация данных условий зависит от соблюдения биомеханических принципов, действующих в системе супраструктура-имплантат-кость со стороны специалиста, а также от хорошей индивидуальной переносимости сложного стоматологического лечения со стороны пациента. Полноценная остеоинтеграция при этом достигается путем создания условий для оптимального взаимодействия костной ткани с поверхностью имплантата и является облигатным, но не единственным фактором, обеспечивающим долгосрочную службу и комфортное ношение протеза.

• дверей (передних, задних, левых и правых);
• крыльев (передних, задних, левых и правых);
• стойки,
• капота,
• крыши и т.д.

Которые после изготовления свариваются, подвергаются окрашиванию, сушке и контролю выполненных операций, а затем поступают на сборку, где в свою очередь устанавливается разное количество необходимых комплектующих изделий (двигатель – 1 шт., коробка передач – 1 шт., сидения – два передних и одно заднее, подвеска – передняя и задняя, колеса – 4 основных колеса и запаска, и т.д.). Многие из перечисленных изделий изготовляются на самом предприятии, а часть из них закупаются в готовом виде. Кроме этого, для того чтобы обеспечить изготовление производимых изделий, предприятию необходимо закупать соответствующее сырье и материалы. В связи с этим, ставиться задача, рассчитать необходимое количество закупаемых сырья, материалов и комплектующих для производства нужного объема деталей, сборочных узлов и элементов, чтобы обеспечить выпуск запланированного объема товарной продукции.
План выпуска товарной продукции, для многих машиностроительных предприятий он также является и производственной программой, на соответствующий период, разрабатывается с учетом определенных данных, к которым можно отнести:
спрос на продукцию предприятия со стороны частных покупателей и разных организаций, уточненный с учетом прогнозов маркетинговых служб предприятия;
действующие на предприятии технико-экономические нормы и нормативы по использованию производственных мощностей, затрат живого труда и материальных ресурсов;
наличие заданий по созданию, освоению и внедрению новой техники и технологии для сокращения статьей затрат, связанных с производством товарной продукции.
На основе этапов формирования плана выпуска товарной продукции (производственной программы) на ОАО “АВТОВАЗ” 1, с. 88-90, представим данный процесс в укрупненном виде. Процесс формирования плана выпуска товарной продукции можно представить в виде схемы (рис. 1), которая наглядно отображает процесс взаимодействия структурных подразделений предприятия с целью утверждения плана выпуска товарной продукции и производственных программ, каждого из участников создания этой продукции.

На первом этапе корпоративный центр ставит задачи, на основании которых, дирекция по производственной логистике и дирекция по экономике и планированию разрабатывают план выпуска товарной продукции предприятия в денежном и количественном эквиваленте.
Второй этап предполагает разработку проекта плана выпуска товарной продукции, на основе поставленной корпоративным центром задачи, который поступает на согласование в производственные службы.
Далее, на третьем этапе, каждое производственное подразделение, занятое обеспечением необходимых комплектующих для выпуска товарной продукции, вносит свои коррективы в этот план, и передают их на согласование в дирекции по производственной логистики и дирекции по экономики и планированию. После этого, скорректированные и согласованные планы передаются опять производствам.
Движение проекта плана выпуска товарной продукции осуществляется до тех пор, пока с ним не согласятся все производственные подразделения, которые занимаются исполнением 1, с. 91.
План выпуска товарной продукции необходим для выполнения расчетов, связанных с потребностями производств и может в себя включать:
расчеты потребностей в материалах, комплектующих изделиях и инструменте;
расчеты трудоемкости работ оборудования и рабочей силы, в часовой единице измерения;
расчеты смет затрат на закупку материалов, комплектующих изделий, инструмента и т.д.
Данные расчеты производят для определения плана выпуска товарной продукции на год, квартал и месяц. А на основе месячного плана составляют план на декаду, неделю, день и смену.
Также следует отметить, что расчет годового плана выпуска товарной продукции на планируемый период проводится три раза в год (в июне, августе и ноябре), это позволяет максимально учесть изменения спроса на рынке и минимизировать затраты, связанные с выпуском невостребованной продукции.
Особенностью расчета производственных потребностей и программ выпуска на квартал является то, что они выполняются за 70 дней до начала планируемого квартала. В основу расчета ложится план производства товарной продукции и плана производства запасных частей и деталей для кооперации на квартал.
Расчет программы производства и распределения на месяц и потребностей выполняется четыре раза в месяц:
два раза во второй половине предшествующего планируемому месяцу, с интервалом в 10 дней;
два раза в самом начале планируемого месяца с интервалом в 5 дней.
В процессе согласования плана выпуска товарной продукции и производственных программ по подразделениям формируется огромное количество утвердительных, согласовательных и распорядительных документов. Это приводит к увеличению времени утверждения плана выпуска товарной продукции и производственных планов.
С целью оптимизации процесса формирования, согласования и утверждения, создаваемых на предприятии, оперативных планов, предлагается использовать математическое моделирование, позволяющее:
минимизировать вероятность некорректного составления плана;
сократить время согласования и утверждения плана;
уменьшить затраты, связанные с составлением и утверждением плана;
повысить эффективность взаимодействия производственных подразделений.
Учитывая особенность машиностроительного предприятия с полным циклом производства товарной продукции, представим процесс формирования плана математически:

 (1)

Для наглядности описанного выражения приведем стохастическую экономико-математическую модель планирования объема выпуска товарной продукции и производственного плана (рис. 2) 2, стр. 168.
Данная модель позволяет определять производственную программу выпуска каждого изделия, входящего в товарную продукцию, и описывает организационные, технологические и другие отношения между производственными подразделениями, которые связаны единым процессом (заготовительным, обрабатывающим и сборочным) изготовления товарной продукции, в соответствии с плановыми заданиями. Кроме того, эта модель показывает связи с поставщиками сырья, заготовок и комплектующих, необходимых для основного производства, и потребителями выпущенной продукции 2, стр. 167.

Математическую зависимость представленных в модели взаимосвязей можно выразить следующим образом:

 (2)

где: Z – количество продукции (продуктовая программа), которые необходимо произвести, шт.; i– этап технологической цепочки:1 – заготовительный,
2 – обрабатывающий,
3 – сборочный.
Соответственно, количество продукции, произведенное после определенного этапа технологической цепочки, определяется по формуле:

 (3)

где: z – количество продукции, которая проходит по технологическому процессу; j – продукция, которая проходит по производственному процессу, но имеет разные пути ее доведения до основного производства:
а – продукция, поставляемая поставщиками;
б – продукция собственного производства и отправленная потребителю;
в – продукция собственного производства, предназначенная для внутреннего потребления.

В развернутом виде данная математическая модель выглядит следующим образом:

 (4)

где: z^/_i – преобразовавшаяся продукция, после определенного этапа производственного процесса.

Если совместить математические описания формирования объема товарной продукции, представленные в формулах (1) и (4), то можно получить следующие выражения, позволяющие спланировать объем производства товарной продукции и, необходимых для его выпуска, комплектующих, сборочных узлов и единиц, по каждой стадии производственного процесса в штуках (5) и рублях (6) на единицу продукции:

где: Ц – цена покупных видов сырья, материалов, комплектующих и инструмента, С – наименование сырья, необходимого для производства; М – наименование материала, необходимого для производства; К – наименование комплектующего изделия, необходимого для сборки товарной продукции или сборочной единицы; И – наименование инструмента, необходимого для выполнения технологического процесса изготовления детали или изделия; З –затраты предприятия, связанные с собственных производством необходимого объема комплектующих, сборочных единиц и элементов; k– количество или объем, необходимых видов сырья, материалов, комплектующих и инструмента, шт., кг, т.; J – виды наименований, закупаемых материалов, сырья, инструмента и комплектующих; п – количество наименований учитываемых видов сырья, материалов, комплектующих и инструмента; q – количество видов наименований.

Так как формулы (5) и (6) описывают необходимое количество и затраты предприятия, соответственно, всех составных элементов, входящих только в одну единицу выпущенной товарной продукции, то при планировании, формировании и утверждении плана выпуска для производственных подразделений, необходимо будет учитывать объем товарной продукции:

где: N_ГОД – годовая программа выпуска товарной продукции или объем выпуска товарной продукции, шт.

Математически описанное формирование объема выпуска товарной продукции в количественном (7) и стоимостном (8) выражении позволяет детально расписать все входящие в товарную продукцию компоненты, исключить или свести к минимуму допущение ошибок при этих расчетах, так как для этого используются простейшие математические действия.
Применение представленных математических моделей в процессе формирования производственной программы на этапах II и III, описанных на рисунке 1 (см. выше), позволит в автоматическом режиме формировать производственную программу для всех занятых в выпуске товарной продукции структурных подразделений. Кроме этого, упростит процедуру согласования, ускорить процедуру утверждения, так как позволяет оперативно вносить корректирующие поправки в планы. На основе предложенных математических моделей, также в автоматическом режиме, определяются нормы и нормативы для составления графиков работы всех производственных подразделений, занятых в производственном процессе изготовления товарной продукции и задаются параметры, которые должны быть выполнены при реализации плана. Таким образом, предприятия может достичь высокой точности, применяемых на предприятии, планово-экономических показателей, и снизить экономические и финансовые риски от возникающих внеплановых затрат.
Итогом проведенного исследования может служить то, что применение математического моделирования при формировании плана выпуска товарной продукции, позволит оптимизировать весь процесс оперативного планирования, происходящий на машиностроительном предприятии с полным производственным циклом.

Рис. 1 Зависимость времени простой реакции от временного интервала после предварительного реагирования. Большие ромбики – реальное расположение значений, маленькие кружки – порядковое ранжирование значений времени реакции по мере уменьшения значений.

Мы поступили таким образом, и результирующая зависимость (маленькие кружки) дают нам кривую, спадающую со временем ожидания, причем она сначала уменьшается быстро, а потом все медленнее, в пределе стремясь к какой-то постоянной величине. Основанием для такой перестановки было вычисление в соответствии с [6, с. 106] критерия Кендала, который оказался равным 0,31, и достоверность утверждения, что данная зависимость была монотонно уменьшающейся, оказалась равна 0,998, откуда можно было утверждать, что наше предположение о монотонном уменьшении верно. Таким образом, наше утверждение, что время реакции на раздражение зависит от интервала времени от предыдущего реагирования, и снижается с увеличением этого интервала, достаточно подтверждено, и мы имеем право говорить о торможении ТППФР после реакции на раздражение.
Далее нам предстоит выяснить характер зависимости ТППФР от предварительного реагирования. Кукинов [6, с.102-106] предлагает несколько вариантов дальнейшего улучшения экспериментальной зависимости, кроме простого ранжирования значений. Мы в работе [5, с.68-70] проверили эти варианты и пришли к выводу, что наиболее подходящим являются: 1- упорядочение по рангу экспериментальных данных, 2- замена последних точек на кривой, которая после определенного снижения наклона, вновь быстро начинает снижаться, постоянными величинами, равными точке, с которой началась замена, 3- сглаживание кривой по 3 точкам [7, с.144-145], 4- нахождение значений 1 производной с дальнейшим ранжированием полученных значений и 5- обратное восстановление зависимости с использованием ранжированных значений производной. 
В качестве модели поведения мы приняли зависимость, описываемую уравненим (1):

где Yt =время ППФР в текущий момент времени, t – текущий момент времени от предыдущей ППФР, Ao –постоянная величина ППФР в момент времени, бесконечный от предыдущей реакции ППФР, A1, A3 ,A5 – амплитуды 1,2,3 компонент спада торможения ППФР; A2, A4 , A6, – константы спада соответственно 1,2,3 компонент торможения ППФР.
Экспериментальные данные сравнивались с моделью, и вычислялась сумма квадратичных отклонений R²: 
R²=(Y_{i эксп} - Y_i выч)*(Y_{i эксп} - Y_i выч) (2),
где Y_{i эксп} - эксперименальное значение времени ППФР, Y _выч – вычисленное из модели (1) значение ППФР. Критерием подбора решения с помощью метода оптимизации была минимальная величина R². Оптимизация проводилась путем подбора значений амплитуд и коэффициентов уравнения (1) с помощью программы «Поиск решения» в EXCEL. Результаты приведены в Таблице 1.

Проанализируем Таблицу 1. Аппроксимация экспериментальных точек по уравнению (1) дает нам 3 компоненты с резко отличными компонентами: времена релаксации равны 1,2, 202 и 3130 мсек. (№1). При этом величина A_o, т.е. величина времени реакции при бесконечно большом интервале времени ожидания составляет 193 мсек. Однако величина ошибки R² составляет очень большую величину, что не позволяет принимать полученные данные достоверными. Упорядочение приводит к резкому снижению R², как это и указывалось в статье [6]. Полученные значения кинетических констант значительно отличаются от №1. Между тем, у данного испытуемого при задании постоянно как можно быстрее подряд несколько раз нажимать на кнопку реагирования временной интервал между нажатиями составлял примерно 150 мсек., и этот факт находится в противоречии с величиной А₀=74,2 мсек в варианте 2.
Таким образом, кроме простого упорядочения по рангу необходимы дополнительные манипуляции. Мы уже говорили, что при упорядочении данных в области больших времен ожидания наблюдается новое увеличение спада ППФР. Это связано как с наличием ошибочных тестов, когда испытуемый реагирует даже быстрее подачи раздражения, так и наличием флуктуаций в реагировании. В результате упорядочения по мере увеличения интервала ожидания происходит быстрое снижение времени ППФР, затем замедление этого снижения, а потом наблюдается вновь увеличение снижения. Такая картина наблюдалась и в модельном эксперименте, когда анализировался зашумленный экспоненциальный спад [5, с.70]. Поэтому мы, начиная с точки нового увеличения скорости снижения данных в кривой зависимости времени ППФР от интервала ожидания, фиксировали дальнейшие точки на том же уровне. В строке №3 показаны результаты итераций в этом случае. Величина R² почти не изменяется по сравнению со строкой №2, что указывает примерно на тот же характер достоверности, что и в случае простого упорядочения. Амплитуды быстрых компонент насколько уменьшаются, времена релаксации близки к №2. Значительно изменяется медленная компонента: резко уменьшается амплитуда и время релаксации.
Следующим моментом манипуляций данных является сглаживание кривой, как это мы указывали ранее. И эта манипуляция снижает величину R² с 655 до 519, даже лучше чем в случае простого ранжирования данных (строка № 4). Значения кинетических величин остаются в том же диапазоне, что и у № 3, только медленная компонента становится быстрее.
Следующие строки, №№ 5 и 6, в качестве моделей представляли собой 2- и 1- компонентные спады. Это привело к изменению кинетических параметров, но и к увеличению ошибки, а это свидетельствует о меньшей достоверности результата. Таким образом, наши данные указывают о многокомпонентности ТППРФ. 
В попытке приблизить результаты к истинным, мы использовали метод, предложенный Кукиновым [6,с.102-106]: вычисление производных, ран-жирование этих величин и воссоздание с их использованием новой зависимости. Эти данные показаны в строках №№ 7-9 аналогичных строкам №№ 5-7 в отношениях числа компонент. В результате мы видим аналогию в поведении ошибки: она наименьшая в случае модели с 3 компонентами спада ТППФР, что также подтверждает многокомпонентность ТППФР. При этом значения R² становятся совсем маленькими: 58,6 против 519 у аналогичного варианта. Однако при этом наблюдается резкое снижение времен релаксаций всех трех компонент. При этом кинетики спада ТППФР снижаются гораздо быстрее, чем в случае простого упорядочения, а ведь это – наиболее близкая к истине зависимость. При анализе данных изменений, мы пришли к выводу, что получается это по следующей причине. На рис. 1 видно, что упорядоченная по рангу зависимость представляет собой монотонную, но не совсем гладкую кривую: наблюдаются резкие ступеньки. При упорядочении значений 1-й производной все эти резкие ступеньки перемещаются влево, смещая в целом всю кривую влево. Таким образом, происходит видимое ускорение спада. По этой причине, несмотря на кажущееся уменьшение R², мы пришли к выводу о том, что этот подход неверен. Другой подход Кукинова [6,с.102-106], порядковое приближение с использованием рангов, улучшения не принесло. В результате происходило сильное понижение левой части зависимости, выпрямление экспоненциального спада, приближение к прямому спаду.
Таким образом, в результате мы пришли к выводу, что при анализе зависимости ТППФР от величины интервала ожидания следует осуществлять следующие операции с данными: 1- упорядочение величин времени реакции и времен ожидания, 2- фиксация значений времени реакции в диапазоне больших величин ожидания в точке нового увеличения снижения кривой (повышения 1-й производной спада), 3- сглаживания зависимости для уменьшения ступенек в спаде, 4- использование модели ТППФР как многокомпонентного экспоненциального спада с постоянной составляющей.
Величина ошибки R², равная 519,3, дает среднеквадратичное отклонение  = 3,2, что по сравнению с изменениями времени реакции (150-600) достаточно небольшая величина. В результате мы можем говорить, что предлагаемый подход позволяет проводить различные сравнительные исследования достаточно нового явления, ТППФР, поскольку выясняется, что у этого явления есть достаточно сложная структура. 

В настоящий момент подобные формы используется для изучения окружающей нас среды, а когда требуется изучить какую-либо из ее областей, то применяют математическое моделирование. [5, с. 19] Данная модель дает возможность спрогнозировать влияние тех или иных факторов на объект изучения. В свое время был предложен тип «хищник – жертва» такими учеными как: Т. Мальтусом (Malthus 1798, Мальтус 1905), Ферхюльстом (Verhulst 1838), Пирлом (Pearl 1927, 1930), а также А. Лотки (Lotka 1925, 1927) и В. Вольтерры (Volterra 1926).Эти модели воспроизводят периодический колебательный режим, возникающий в результате межвидовых взаимодействий в природе.[1, с. 9]

Одним из основных методов познания является моделировка. Помимо того, что в нем можно спрогнозировать изменения, происходящие в окружающей среде, к тому же помогает найти оптимальный способ решения проблемы. Уже давно в экологии используют математические модели, для того чтобы установить закономерности, тенденции развития популяций, помогают выделить суть наблюдений. Макет может служить образцом поведения, объекта.

При воссоздании объектов в математической биологии используются прогнозирования различных систем, предусматриваются специальные индивидуальности биосистем: внутренне строение особи, условия жизнеобеспечения, постоянство экологических систем, благодаря которым сберегается жизнедеятельность систем. [2, с. 34]
Появление компьютерного моделирования значительно раздвинуло рубеж способностей исследования. Возникло вероятность многосторонней реализации трудных форм, не допускающих аналитического изучения, появились новейшие направления, а еще имитационное моделирование.

Рассмотрим, что же такое объект моделирования. «Объектом является замкнутая среда обитания, где происходит взаимодействие двух биологических популяций: хищников и жертв. Процесс роста, вымирания и размножения происходит непосредственно на поверхности среды обитания. Питание жертв происходит за счет тех ресурсов, которые присутствуют в данной среде, а питание хищников происходит за счет жертв. [14, с. 32] При этом питательные ресурсы могут быть как возобновляемые, так и не возобновляемые.

В 1931 году Вито Вольтеррой были выведены следующие законы отношения хищник-жертва. [12, с. 14]

Закон периодического цикла – процесс уничтожения жертвы хищником нередко приводит к периодическим колебаниям численности популяций обоих видов, зависящим только от скорости роста плотоядных и растительноядных, и от исходного соотношения их численности.

Закон сохранения средних величин – средняя численность каждого вида постоянна, независимо от начального уровня, при условии, что специфические скорости увеличения численности популяций, а также эффективность хищничества постоянны.

Закон нарушения средних величин – при сокращении обоих видов пропорционально их числу, средняя численность популяции жертвы растет, а хищников – падает.

Модель хищник-жертва – это особая взаимосвязь хищника с жертвой, в результате которой выигрывают оба. Выживают наиболее здоровые и приспособленные особи к условиям среды обитания, т.е. все это происходит благодаря естественному отбору. В той среде где нет возможности для размножения, хищник рано или поздно уничтожит популяцию жертвы, в последствии чего вымрет и сам» [3, с. 14].

На земле существует множество живых организмов, которые при благоприятных условиях увеличивают численность сородичей до огромных масштабов. Такая способность называется: биотический потенциал вида, т.е. увеличение численности вида за определенный промежуток времени. Каждый вид имеет свой биотический потенциал, к примеру крупные виды организмов за год могут возрасти всего в 1,1 раза, в свою очередь организмы более мелких видов, таких как рачки и т.д. могут увеличить свой вид до 1030 раз, ну а бактерии еще в большем количестве. В любом из этих случаев популяция будет расти в геометрической прогрессии. [4, с. 44]

Экспоненциальным ростом численности называется геометрическая прогрессия роста численности популяции. Такую способность можно наблюдать в лаборатории у бактерий, дрожжей. В не лабораторных условиях экспоненциальный рост возможно увидеть на примере саранчи или же на примере других видов насекомых. Такой рост численности вида можно наблюдать в тех местах где у него практически нет врагов, а продуктов питания более чем достаточно. В конце концов увеличение вида, после того как численность возросла в течении непродолжительного времени, рост популяции начинал снижаться.

Рассмотрим компьютерную модель размножения млекопитающих на примере модели Лотки-Вольтерры. Пусть на некоторой территории обитают два вида животных: олени и волки. Математическая модель изменения численности популяций в модели Лотки-Вольтерры:

Начальное число жертв - xn, число хищников - yn.

Параметры модели:

P1– вероятность встречи с хищником,

P2– коэффициент роста хищников за счет жертв,

d – коэффициент смертности хищников,

a – коэффициент прироста численности жертв. [8, с. 23]

В учебной задаче были заданы такие значения: численность оленей равнялось 500, численности волков равна 10, коэффициент прироста оленей равен 0,02, коэффициент прироста численности волков равен 0,1, вероятность встречи с хищником 0,0026, коэффициент роста хищников за счет жертв 0,000056. Данные рассчитаны на 203 года.

Исследуем влияние коэффициент прироста жертв на развитие двух популяций, остальные параметры оставим без изменений. На схеме 1 наблюдается увеличение численности жертвы и затем, с некоторым опозданием наблюдается прирост хищников. Затем хищники выбивают жертв, число жертв резко падает и вслед за ним уменьшается число хищников (рис. 1).

Рисунок 1. Численность популяций при низкой рождаемости у жертв

Проанализируем изменение модели, увеличив коэффициент рождаемости жертвы а=0,06. На схеме 2 мы видим циклический колебательный процесс, приводящий к увеличению численности обоих популяций со временем (рис. 2).

Рисунок 2.Численность популяций при средней рождаемости у жертв

Рассмотрим как изменится динамика популяций при высоком значении коэффициента рождаемости жертвы а=1,13. На рис. 3 наблюдается резкое увеличение численности обеих популяций с последующим вымиранием, как жертвы, так и хищника. Это происходит за счет того, что численность популяции жертв увеличилось до такого количества, что стали заканчиваться ресурсы, вследствие чего происходит вымирание жертвы. Вымирание хищников происходит из-за того, что сократилось количество жертв и у хищников закончились ресурсы для существования.

Рисунок 3.Численность популяций при высокой рождаемости у жертв

Исходя из анализа данных компьютерного эксперимента, можно сделать выводы о том, что компьютерное моделирование позволяет нам прогнозировать численность популяций, изучать влияние различных факторов на популяционную динамику. В приведенном примере мы исследовали модель «хищник-жертва», влияние коэффициента рождаемости жертв на численность оленей и волков. Небольшой прирост популяции жертв приводит к небольшому увеличению жертв, которую через некоторый период уничтожают хищники. Умеренный прирост популяции жертв приводит к увеличению численности обеих популяций. Высокий прирост популяции жертв приводит сначала к быстрому росту популяции жертв, это влияет на увеличение роста хищников, но затем расплодившиеся хищники быстро уничтожают популяцию оленей. В итоге оба вида вымирают.

Но, как показывает детальный анализ проблемы, существуют и минусы данного подхода: формализация существенно упрощает исследуемые объекты и явления, заменяя их символьными моделями, то есть, искажая исследуемые объекты.

Эта проблема и раньше вызывала обоснованные, хоть и неясные опасения у думающих людей. От поэтов, например, Тютчева, утверждавшего, что «мысль изречённая есть ложь», до философов, таких как Фридрих Ницше, сделавший вывод «…без допущения значимости логических фикций, без измерения действительности по меркам чисто вымышленного мира безусловного, самотождественного, без постоянного фальсифицирования мира посредством числа человек не мог бы жить…» [4].

Но, до поры до времени, проблема рассматривалась, преимущественно, в философском смысле. До и во время техногенного периода развития общества, в то время, когда человек исследовал окружающий мир самостоятельно, используя собственные органы чувств, последствия влияния формализации на познание были практически незаметны. Даже использование технических средств усиления сенсорных возможностей, человека не усложняло ситуацию до критической – деформализацию и аналитическую обработку результатов всё равно производил человек. Да и сами приборы, фиксирующие события, были в основном аналоговыми, отображающими свойства процессов и явлений без формального преобразования.

Наступила эпоха информационной революции, человечество из индустриального этапа шагнуло в эру информационного общества, и ситуация изменилась.  Устройства, усиливающие самые разные, в том числе аналитические, возможности человека, стали цифровыми, формализующими фиксируемые параметры не аналоговыми зависимостями, а наборами чисел или их диапазонов. Посредником между человеком и средствами сбора информации об окружающем мире всё чаще становится компьютерная программа, в том числе наделённая функциями обработки данных и аналитическими функциями. Теперь все погрешности описания, порождённые формализацией, стали человеку не видны и ситуация по восприятию окружающего мира им изменилась, иногда до опасного уровня.

Для пояснения сложности сложившейся ситуации  обратимся к одному из примеров формализации окружающей действительности для обеспечения её исследования – построение формальных моделей явлений, служащих основой такого метода научного познания как моделирование. И не потому, что в нём автор имеет определённый практический опыт [5,6,7]. Просто математическое моделирование, которое в настоящее время осуществляется  с использованием специализированных компьютерных программ, являет собой наиболее наглядный пример преобразования аналогового по своей сути окружающего нас мира в формальную модель [8,9,10].

В настоящее время для исследования процессов и явлений используются натурные, полунатурные и математические модели. В связи с развитием электронно-вычислительной техники, наибольшее применение в процессе исследования окружающей действительности приобрели математические модели, являющиеся приближённым описанием какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженным с помощью математической символики.  Именно математические модели в последнее время чаще всего используются для прогнозирования поведения сложных технических и социальных систем. И проблема формализации исследуемых объектов и систем при их использовании оказывает существенное влияние на результат.

Известно, что математические модели за время своего существования прошли достаточно большой путь развития: от простых моделей несложных явлений, до систем и комплексов моделирования сложных социально-технических систем. И если при применении несложных моделей результаты моделирования могут логически контролироваться человеком, то крупные модели, а тем более полимодельные комплексы являются для простого пользователя «чёрным ящиком», принципы обработки информации внутри которого он понять не в состоянии. В дальнейшем, с ростом масштабов моделируемых явлений, оператор модели отстраняется не только от процесса моделирования, но и от операций обработки входной, а иногда и выходной информации. Исходя из этого, именно использование крупных моделей и полимодельных комплексов, описывающих сложные социально-технические системы, являет собой наиболее наглядный пример формализации исследуемых объектов и явлений.

Но их применение, с одной стороны упрощая деятельность по анализу ситуации, с другой − всё больше удаляет человека от работы с реальной информацией, подменяя картину окружающего мира формализованной моделью, формируемой компьютерной программой. И любые искажения данных, в том числе обусловленные погрешностями формализации, пользователю уже не видны. Более того, он об их влиянии на результат может даже не догадываться.

В итоге информационная ситуация, складывающая при проведении исследований с применением сложных распределённых математических моделей напоминает процесс, часто происходящий в медийном пространстве: намеренная или случайная модификация и фильтрация информации формирует у пользователей определённую картину мира, отличающуюся от реальной. Конечно, причины искажения при моделировании и использовании технологий информационного воздействия разные, а вот последствия и в том, и в другом случае могут быть одинаково опасны.

Отдаление пользователя от реальной действительности при использовании сетевых технологий, средств «виртуальной» и «дополненной» реальности является частным, но очень показательным случаем. Этот случай показывает тенденцию. И пример с моделированием далеко не единственный, подобная тенденция наблюдается уже не только в научных исследованиях, но и на бытовом уровне. С углублением уровня информатизации общества указанная тенденция только нарастает.

И проблема даже не в использовании принципов и технологий формализации. В этом, как раз, нет ничего порочного, до тех пор, пока пользователь понимает границы возможного применения. Проблема в том, что с нарастанием уровня информатизации общества сложными информационными продуктами начинают пользоваться всё большее количество неспециалистов. А вот они, как раз, опасности формализации не видят и не понимают.

А наиболее полно проблема проявляется на уровне социума, общества в целом. Наличие механизма формализации, промежуточных уровней между человеком и реальностью, порождает возможность манипулирования его поведением. В итоге – проблема переходит их чисто философской плоскости в социальную область.

Объясняется это просто: при случайных искажениях в ходе формализации, в соответствии с законом больших чисел, конечный результат всё равно нормализуется вблизи усреднённого значения. При случайных ошибках формализации, матожиданием результата будет реальное состояние формализуемой системы. Совсем другая ситуация, если искажения намеренные. Например, задаваемые при описании распределённой информационной модели современно общества [11,12].

Используя вводимые намеренно искажения, можно управлять поведением отдельных индивидуумов и социальных групп, вынуждая их принимать и реализовывать правильные с их точки зрения решения для достижения заранее задаваемых результатов. Методы достижения этой цели не так сложны, как кажется на первый взгляд – достаточно определить величину и направление вносимых в модель действительности искажений, используя существующий математический аппарат для оценки ожидаемого результата действий. Задача манипулирования обществом упрощается тем, что  ростом его коммуникативности не просто растёт доля информации, получаемой через электронные устройства, но и снижается уровень критичности её восприятия  [13]. А математический аппарат, который в перспективе может быть использован для манипулирования отображением действительности, давно существует [14,15,16]. В связи с этим, проблемы использования методов формализации крайне актуальны при использовании информационных технологий в современном мире, в условиях роста влияния невоенных методов межгосударственного противоборства [17,18.19].

Таким образом, анализ применения парадигмы формализации в современном информационном обществе показывает, что всё более широкое внедрение средств информатизации во все аспекты человеческой деятельности упрощает жизнь каждого человека и общества в целом, но одновременно удаляет их от реальности, ставя между человеком и окружающим миром всё больше технических и программных средств, оперирующих формальными данными. Парадигма формализации, ставшая двигателем прогресса в техногенном обществе, начинает по-другому работать в обществе информационном. Не обращать внимания на социальные аспекты её применения становится просто опасно. И пора уже дать объективную оценку: куда приведёт дальнейшее следование этой парадигме − в управляемый извне виртуальный мир или к гармоничному распределению функций между информационными системами и человеком? И что человечество получит в итоге: мир «гармонии чисел», обещанный ещё пифагорейцами ещё в V веке до нашей эры и развивающийся в «неопифагорейском» обществе на базе адекватной системы формализации, или далекий от реальности виртуальный мир формализованного представления об окружающей действительности, да ещё и управляемый в чьих-то интересах? Ответ лежит в отношении к дальнейшему использованию созданной на заре развития человечества парадигмы формализации в информационном мире.

Приобретение нового жилья во все времена являлось важным и затратным приобретением. На этапе выбора объекта покупки возникает масса сомнений по поводу выбора предпочтительного критерия. В первую очередь у покупателя возникает вопрос, на каком рынке лучше приобрести недвижимость? На первичном или вторичном? Как купить квартиру с максимальной выгодой, по минимальной цене? На что следует обратить внимание в первую очередь? Какие факторы влияют на формирование цены? Для ответа на все эти вопросы необходимо учесть ряд параметров таких как: количество комнат, общая площадь, площадь кухни, наличие балкона или лоджии, этаж расположения квартиры, тип дома, срок сдачи в эксплуатацию и т. д.

Вследствие того, что вопрос стоимости и доступности жилья имеет крайне важное социально-экономическое значение, рынок недвижимости является объектом многочисленных исследований. При анализе цен на жилую недвижимость широко используется экономико-математическое моделирование [1-4]. Модели, которые рассматриваются в данных работах, позволяют делать прогноз стоимости жилья [1, 2], а также анализировать факторы, влияющие на ценообразование на рынке жилой недвижимости [3, 4].

Цель данной работы – выявить основные факторы, влияющие на формирование стоимости квартир на первичном рынке жилой недвижимости города Волгограда.

1. Статистические данные и методы исследования

На основе данных интернет ресурсов «ТК-Недвижимость» (URL: http://new34.ru/) и «Новостройки Волгограда» (http://новостройки-в-волгограде.рф) была осуществлена механическая выборка данных. В ходе исследования были отобраны новостройки, сдающиеся под серый ключ в Ворошиловском, Дзержинском, Советском, Кировском, Краснооктябрьском, Красноармейском и Центральном районах города Волгограда. Объем выборки составил 429 квартир. Изучались квартиры, которые пользуются наибольшим спросом – однокомнатные, двух- и трехкомнатные. Отбор данных проводился в течение III квартала 2016 года. В выборку попали квартиры в различном ценовом диапазоне: от эконом-класса до элитных квартир. В таблице 1 приведены данные о распределении квартир по районам города, которые попали в выборку.

Таблица 1. Распределение квартир по районам города Волгограда

Существует несколько вариантов реализации реакторного блока процесса изомеризации:

1. реактор с неподвижным слоем катализатора; традиционный вариант реакторного блока;
2. реакционная дистилляция; в этом случае катализатор находится внутри колонны выделения изопарафинов.

В работе [2] разработана статическая математическая модель изомеризации легкой нафты по данным ООО «Кинеф». Модель состоит из рекуперативных подогревателей сырья, каскада из двух реакторов с неподвижным слоем катализатора и колонны стабилизации реакционной массы (см. рис. 1). Авторами предложена оптимизация блока подготовки сырья, а именно выделения фракции НК-62^оС, которая поступает в реакторы изомеризации.

Рис. 1. Технологическая схема блока изомеризации

В результате оптимизации колонн выделения фракции НК-62^оС концентрация целевых компонентов в сырьевом потоке блока изомеризации увеличилась, что позволяет повысить октановое число продукта на 1,6 пункта по исследовательскому методу (ИОЧ) (см. рис. 2).

Рис. 2. Повышение октан-тонны продукта после оптимизации

В работе [3] разработана кинетическая модель реакции изомеризации (см. рис. 3) в трубчатом реакторе с неподвижным слоем катализатора, протекающая по следующему механизму:

,

где К1 и К2 – константы скорости реакций, ч^-1.

Рис. 3. Кинетические уравнения модели изомеризации

C_A0 – концентрация компонента, входящего в сырьевой поток, моль/м³

C_A – концентрация н-парафина в момент времени t, моль/м³

С_N – концентрация олефина, моль/м³

C_ISO – концентрация изопарафина, моль/м³

t – время пребывания, ч

F_A0 – мольный поток компонента, моль/ч

x – конверсия

Т и Т₀ –текущая и начальная температуры, К

e – порозность

V – объем реактора, м³

По этой модели авторы проводили исследования зависимости констант скоростей реакций К1 и К2 от температуры. Полученные результаты представлены на рис. 4.

Рис. 4 Зависимость lnK1 и lnK2 от 1/Т соответственно

В работе [4] рассматривается узел изомеризации с неподвижным слоем катализатора в реакторе, промышленно реализованный на нефтеперерабатывающем заводе ООО «Кинеф». В исследовании сравниваются два типа катализатора, сульфатированная платина на оксиде циркония Pt/SO₄^2-/ZrO₂ и хлорированная платина на оксиде алюминия Pt/Cl^-/Al₂O_3. Исследовано влияние катализатора на скорости протекающих реакций (см. табл.1), а также показано, то рецикл непрореагировавших углеводородов позволяет повысить октановое число продукта на 9-11 пунктов
ИОЧ (см. рис. 5).

Таблица 1. Сравнение констант скорости основных реакций изомеризации

Рис. 5. Изменение ИОЧ изомеризата на разных катализаторах и реализации рецикловых потоков

Таким образом, существует множество статических моделей процесса изомеризации с каскадом реакторов с неподвижным слоем катализатора, адекватно описывающих экспериментальные и промышленные данные. Сделаны кинетические модели реакций на некоторых типах промышленно применяемых катализаторов. Однако, отсутствуют модели, описывающие дезактивацию катализатора, как, например, в работе [5] по изомеризации
1-пентена на феррьеритах. Разработка математической модели по дезактивации катализатора процесса изомеризации позволит, например, точнее подбирать управляющие воздействия, что снизит экономические затраты на эксплуатацию установки. А потому математические модели процесса изомеризации требуют дальнейшей проработки.