ТОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГО­УГОЛЬНИКОВ В КЛАССИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Задача точного построения по правилам классической геомет­рии правильных многоугольников с нечетным числом сторон путем деления данной окруж­ности на заданное число равных частей до сих пор считалась принципиально неразрешимой. Все применяемые в настоящее время способы такого построения правильных многоугольников, начиная с пятиугольника, являются приближенными. Точное постро­ение правильных многоуголь­ников по таблице хорд выходит за рамки классической геометрии.

Здесь предлагаются способы точного деления данной окруж­ности с центром в точке О на заданное число равных частей по правилам классической геометрии, то есть с помощью простой линейки, не имеющей шкалы, и циркуля, и последующего построения соответствующих правильных многоугольников. При решении задачи разделения данной окружности на заданное число частей вполне допустимо выполнение вспомогательных постро­ений вне этой окружности; этот принцип здесь применяется.
При описании построения правильных многоугольников и приведении доказательств здесь используются аксиомы и теоремы классической геометрии в формулировках и в нумерации, принятых в книге автора [1].
1. Точное построение правильного треугольника
Построение: На окружности берем некоторую точку А₀. Проводим вспомогательную окружность с центром в точке А₀ и радиусом А₀О, то есть радиусом, равным радиусу данной окружности; вспомогательная окружность пересекает данную в точках А₁ и А₂. Проводим дугу окружности с центром в точке А₂ и радиусом А₁А₂, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₃. Соединяем отрезками точки А₁, А₂ и А₃, получается равносторонний треугольник А₁А₂А₃ (Рис. 1).

Доказательство: По теореме 5.2.3. о перпендикулярности линии центров общей хорде, отрезок А₀О перпен­дикулярен отрезку А₁А₂, точку их пересечения обозначим через Р. Значит, отрезок ОР является высотой треугольника А₁ОА₂, отрезок А₀Р является высотой треугольника А₁А₀А₂. Радиус вспомо­гатель­ной окружности равен радиусу данной: , , следовательно,  по трем сторонам (Ах. 8.5.3.). Тогда высоты этих треугольников равны по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.): . Следовательно, . По теореме 8.12.5. о равенстве p/3 в прямоугольном треугольнике угла, прилежащего катету, в два раза меньшему гипотенузы, в прямоугольном треугольнике А₁ОР (Def. 8.3.3.): .  по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно,  по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). Значит центральный угол (Def. 5.6.) А₁ОА₂ равен .
 по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно,  по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). По определению дополнительных углов (Def. 4.15.): . , тогда  по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.), следовательно, . Треугольник А₁А₂А₃ является равно­сто­ронним (Def. 8.4.3.), что и требовалось доказать.

2. Точное построение правильного четырехугольника
Построение: Проводим диаметр окружности А₁А₃. Проводим диаметр А₂А₄, перпендикулярный диаметру А₁А₃ (Рис. 2). Соединяем отрезками четыре точки, получается квадрат А₁А₂А₃А₄.

Доказательство: По теореме 5.7.5.: углы А₁А₂А₃ и А₁А₄А₃, опирающиеся на диаметр окружности А₁А₃, являются прямыми; углы А₂А₃А₄ и А₂А₁А₄, опирающиеся на диаметр А₂А₄, являются прямыми. Значит, четырехугольник А₁А₂А₃А₄ является прямоугольником (Def. 9.2.). По теореме 9.5.2. о равенстве и перпендикулярности диагоналей в параллелограмме, четырехугольник А₁А₂А₃А₄ является квадратом (Def. 9.3.), что и требовалось доказать.

3. Точное построение правильного пятиугольника
Построение: Проводим диаметр окружности А₀А₄ (Рис. 3). Осущест­вляем золотое сечение отрезка А₀А₄. На луче с от точки С₁ откладываем отрезок, равный отрезку А₀А₄, конец отрезка обозначаем через С₂ (Рис. 4). Из точки С₂ восставляем перпендикуляр п к лучу с. На прямой п от точки С₂ откладываем отрезок, равный половине отрезка С₁С₂, конец отрезка обозначаем через С₃. Соединяем отрезком точки С₁ и С₃. На отрезке С₁С₃ от точки С₃ откладываем отрезок, равный половине отрезка С₁С₂, конец отрезка обозначаем через С₄. На луче с от точки С₁ откладываем отрезок, равный отрезку С₁С₄, конец отрезка обозначаем через С₅ (Рис. 4). Точка С₅ делит отрезок С₁С₂ в пропорции золотого сечения: . Строим середин­ный перпендикуляр р к отрезку С₁С₅, точку их пересечения обозначаем через С₆ (Рис. 4).
Проводим касательную а к окружности в точке А₀ (Рис. 3). Проводим окружность с центром в точке А₀ и радиусом С₁С₆, точки ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₁ и А₂, точки ее пересечения с касательной а обозначим через В₁ и В₂. Отрезок А₁А₂ является стороной пятиугольника. От точки А₂ откладываем отрезок А₁А₂, точку его пересечения с окружностью обозначим через А₃. От точки А₃ откладываем отрезок А₁А₂, точку его пересечения с окружностью обозначим через А₄. От точки А₄ откладываем отрезок А₁А₂, точку его пересечения с окружностью обозначим через А₅. Соединяем отрезками точки А₁, А₂, А₃, А₄ и А₅, получается соответствующий правильный пятиугольник (Рис. 3).

Доказательство: Для правильного пятиугольника (Рис. 3) и для пентаграммы характерны пропорции золотого сечения: , которые и нужно осуществить. , тогда, по свойству пропорции: , что и требовалось доказать.

4. Точное построение правильного шестиуголника
Построение: Проводим диаметр окружности А₁А₄. Проводим вспомогательную окружность с центром в точке А₁ и радиусом А₁О, то есть радиусом, равным радиусу данной окружности; вспомогательная окружность пересекает данную в точках А₂ и А₃. Проводим окружность с центром в точке А₄ и радиусом А₁О, точки ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₅ и А₆. Соединяем отрезками точки А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ и А₆, получается правильный шестиугольник (Рис. 5).

Доказательство: По теореме 5.2.3. о перпендикулярности линии центров общей хорде, отрезок А₁О перпен­дикулярен отрезку А₃А₂, точку их пересечения обозначим через Р. Значит, отрезок ОР является высотой равнобедренного треугольника А₃ОА₂. По теореме 8.2.1., высота равнобедренного треугольника совпадает с биссектрисой угла, образованного равными сторонами, значит, отрезок ОА₁ является биссектрисой угла А₃ОА₂. Согласно п. 1., угол А₃ОА₂ равен . Следо­вательно, угол А₁ОА₂ равен , то есть 1/6 полного угла, значит, отрезок А₁А₂ является стороной правильного шестиугольника (Def. 9.8.), что и требовалось доказать.

5. Точное построение правильного семиугольника
Построение: Чтобы окружность была разделена на семь рав­ных частей, нужно, чтобы полный угол с вершиной в точке О был разделен на семь равных центральных углов. Тогда прямой угол, являющийся четвертью полного, должен быть разделен на дробное число частей: . В [2] разработан способ точного деления прямого угла на дробное число частей, состоящий в следующем.
Рассмотрим прямой угол с вершиной в точке Х, образованный лучами а и с. Проводим дугу окружности с центром в точке Х и радиусом r, равным радиусу данной окружности; точки ее пересе­че­ния с лучами а и с обозначаем через Е и С соответственно. Проводим дугу окружности с центром в точке Х и радиусом 1,5r; точку ее пересечения с лучом а обозначаем через В (Рис. 6).
На дуге окружности с центром в точке Х и радиусом 1,5r от точки В откладываем некоторое расстояние п: раствором циркуля откладывается хорда длиной п, конец отло­женного отрезка обозначается через В₁. От точки В₁ откладывается расстояние , конец отрезка обозначается через В₂; расстояние п подбирается так, чтобы отложенные на этой дуге отрезки не достигали луча с (Рис. 6).

Через точки С и В₂ проводим прямую; луч а продолжаем по прямой до пересечения его с прямой СВ₂, точку пересечения обозначаем через Р. Проводим прямую через точки Р и В₁, точку ее пересечения с дугой ЕС обозначаем через Е₁. Через точку Е₁ проводим луч с началом в точке Х, разбивающий угол ЕХС на дробные части (Рис. 6). Угол ЕХЕ₁ равен одной седьмой полного угла.

На окружности с центром в точке О берем некоторую точку А₁. Проводим дугу окружности с центром в точке А₁ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₂. Проводим дугу окружности с центром в точке А₂ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₃. Проводим дугу окружности с центром в точке А₃ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₄. Проводим дугу окружности с центром в точке А₁ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₅. Проводим дугу окружности с центром в точке А₅ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₆. Проводим дугу окружности с центром в точке А₆ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₇. Соединяем отрезками получив­шиеся точки, образуется правильный семиугольник (Рис. 7).

Доказательство: Доказательство точности деления прямого угла на дробное число частей основано на доказательстве точности деления прямого угла на несколько равных частей [3]. Равенство угла А₁ОА₂ одной седьмой полного угла следует из:  по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно,  по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). , что и требовалось доказать.

6. Точное построение правильного восьмиугольника
Построение: Чтобы окружность была разделена на восемь рав­ных частей, нужно, чтобы полный угол с вершиной в точке О был разделен на восемь равных центральных углов. Для этого нужно, чтобы каждый из четырех равных центральных углов, образованных диагоналями правильного четырехугольника, был разделен на два равных угла. Для этого строим биссектрису ОА₅ угла А₁ОА₂, точку пересечения прямой ОА₅ с окружностью обозна­чим через А₆ (Рис. 8). По теореме 5.1.4. о биссектрисах вертикальных углов, отрезок ОА₆, лежащий на луче, дополнительном лучу ОА₅, является биссектрисой угла А₃ОА₄, вертикального по отношению к углу А₁ОА₂. Строим бис­сектрису ОА₇ угла А₂ОА₃, точку пересечения прямой ОА₇ с окружностью обозначим через А₈. По теореме 5.1.4., отрезок ОА₈, лежащий на луче, дополнительном лучу ОА₇, является биссектрисой угла А₄ОА₁, вертикального по отношению к углу А₂ОА₃ (Рис. 8).

Таким образом полный угол разделен на восемь равных центральных углов, следовательно, все хорды, на которые опираются эти углы, равны. Соединяем отрезками все точки, получается правильный восьмиуголник (Рис. 8).

Доказательство:

7. Точное построение правильного девятиугольника
I вариант построения: Чтобы окружность была разделена на девять рав­ных частей, нужно, чтобы полный угол с вершиной в точке О был разделен на девять равных центральных углов. Тогда прямой угол, являющийся четвертью полного, должен быть разделен на дробное число частей: . Используем способ точного деления прямого угла на дробное число частей, разработанный в [2].
Пускай прямой угол с вершиной в точке Х образован лучами а и с. Проводим дугу окружности с центром в точке Х и радиусом r, равным радиусу данной окружности; точки ее пересечения с лучами а и с обозначаем через Е и С соответственно (Рис. 9).
Проводим дугу окружности с центром в точке Х и радиусом 1,5r; точку ее пересечения с лучом а обозначаем через В. На дуге окружности с центром в точке Х и радиусом 1,5r от точки В последовательно откладываем два раза некоторое расстояние п: раствором циркуля последовательно откладываются хорды длиной п; концы отложенных отрезков обозначаются через В₁ и В₂. От точки В₂ откладываем расстояние ј п, конец отрезка обозначаем через В₃ (Рис. 9); расстояние п подбирается так, чтобы точка В₃ не лежала на луче с.
Через точки С и В₃ проводим прямую; луч а продолжаем по прямой до пересечения его с прямой СВ₃, точку пересечения обозначаем через Р. Проводим прямую через точки Р и В₁, точку ее пересечения с дугой ХС обозначаем через Е₁; проводим прямую через точки Р и В₂, точку ее пересечения с дугой ХС обозначаем через Е₂ (Рис. 9).
Через точку Е₁ проводим луч с началом в точке Х; через точку Е₂ проводим луч с началом в точке Х. Угол ЕХЕ₁ равен одной девятой полного угла.

На окружности с центром в точке О берем некоторую точку А₁. Проводим дугу окружности с центром в точке А₁ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₂. Проводим дугу окружности с центром в точке А₂ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₃. Проводим дугу окружности с центром в точке А₃ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₄. Проводим дугу окружности с центром в точке А₄ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₅. Проводим дугу окружности с центром в точке А₁ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₆. Проводим дугу окружности с центром в точке А₆ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₇. Проводим дугу окружности с центром в точке А₇ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₈. Проводим дугу окружности с центром в точке А₈ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₉. Соединяем отрезками получив­шиеся точки, образуется правильный девятиугольник (Рис. 10).

Доказательство: Доказательство точности деления прямого угла на дробное число частей основано на доказательстве точности деления прямого угла на несколько равных частей [3]. Равенство угла А₁ОА₂ одной девятой полного угла доказывается так:  по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно,  по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). , что и требовалось доказать.
II вариант построения: Чтобы окружность была разделена на девять рав­ных частей, нужно, чтобы полный угол с вершиной в точке О был разделен на девять равных центральных углов. Согласно п. 1., при построении равностороннего треугольника центральный угол А₁ОА₂ (Рис. 1) получается равным  и составляет одну треть полного угла. Для разбиения полного угла на девять нужно разделить угол А₁ОА₂ на три равных угла. Способ деления тупого угла на три равные части разработан в [2], [3].
Пускай прямой угол с вершиной в точке Х образован лучами а и с. Проводим дугу окружности с центром в точке Х и радиусом r, равным радиусу данной окружности; точки ее пересечения с лучами а и с обозначаем через Е и С соответственно (Рис. 11).
Проводим дугу окружности с центром в точке Х и радиусом 2r; точку ее пересечения с лучом а обозначаем через В. На дуге окружности с центром в точке Х и радиусом 2r от точки В последовательно откладываем три раза некоторое расстояние п: раствором циркуля последовательно откладываются хорды длиной п; концы отложенных отрезков обозначаются через В₁, В₂ и В₃; расстояние п подбирается так, чтобы точка В₃ не достигала луча с.
Через точки С и В₃ проводим прямую; луч а продолжаем по прямой до пересечения его с прямой СВ₃, точку пересечения обозначаем через Р. Проводим прямую через точки Р и В₁, точку ее пересечения с дугой ХС обозначаем через Е₁; проводим прямую через точки Р и В₂, точку ее пересечения с дугой ХС обозначаем через Е₂ (Рис. 11). Через точку Е₁ и точку Е₂ проводим лучи с началом в точке Х. Угол ЕХЕ₁ равен одной трети угла .

На данной окружности берем некоторую точку А₀. Проводим вспомогательную окружность с центром в точке А₀ и радиусом А₀О, то есть радиусом, равным радиусу данной окружности; вспомогательная окружность пересекает данную в точках А₁ и А₂ (Рис. 12). Проводим дугу окружности с центром в точке А₁ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₃. Проводим дугу окружности с центром в точке А₃ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₄. Проводим дугу окружности с центром в точке А₂ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₅. Проводим дугу окружности с центром в точке А₅ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₆. Проводим дугу окружности с центром в точке А₆ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₇. Проводим дугу окружности с центром в точке А₇ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₈. Проводим дугу окружности с центром в точке А₈ и радиусом, равным отрезку ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₉. Соеди­няем отрезками получив­шиеся точки, образуется пра­вильный девятиугольник (Рис. 12).

Доказательство: Доказательство точности деления тупого угла на три равные части приведено в [3]. Равенство угла А₁ОА₂  доказано в п. 1. Равенство угла А₁ОА₃ одной девятой полного угла доказывается так:  по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно,  по ак­си­оме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). , что и требовалось доказать.

8. Точное построение правильного десятиугольника
Построение: Чтобы окружность была разделена на десять рав­ных частей, нужно, чтобы полный угол с вершиной в точке О был разделен на десять равных центральных углов. Для этого нужно, чтобы каждый центральный угол, образующийся при построении правильного пятиугольника (п. 3.), был разделен на два равных угла.
Проводим диаметр А₄А₀, диаметр А₅А₆, диаметр А₁А₇, диаметр А₂А₈, диаметр А₃А₉ (Рис. 13). Соединяем отрезками точки А₀А₂, А₂А₆, А₆А₃, А₃А₇, А₇А₄, А₄А₈, А₈А₅, А₅А₉, А₉А₁, А₁А₀, получается правильный десятиугольник.

Доказательство: Обозначим точку пересечения диаметра А₄А₀ со стороной А₁А₂ правильного пятиугольника (Рис. 3) через Р.  по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно,  по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). Эти углы – смежные (Def. 4.14.), следовательно, они – прямые: . По теореме 8.2.1., в равнобедренном треугольнике А₁ОА₂ высота совпадает с биссектрисой угла А₁ОА₂, следовательно, диаметр А₄А₀ является биссектрисой угла А₁ОА₂. Аналогично: диаметр А₅А₆ является биссектрисой угла А₂ОА₃; диа­метр А₁А₇ – биссектрисой угла А₃ОА₄; диаметр А₂А₈ – биссектрисой угла А₄ОА₅; диаметр А₃А₉ – биссектрисой угла А₅ОА₁. Согласно п. 3., угол А₁ОА₂ равен одной пятой полного угла. Следо­ва­тельно, угол А₀ОА₂ и все равные ему углы составляют одну десятую полного угла, что и требовалось доказать.

9. Точное построение правильного одиннадцати­угольника
Построение: Чтобы окружность была разделена на одиннадцать рав­ных частей, нужно, чтобы полный угол с вершиной в точке О был разделен на одиннадцать равных центральных углов. Тогда прямой угол, являющийся четвертью полного, должен быть разделен на дробное число частей: . Используем способ точного деления прямого угла на дробное число частей, разработанный в [2].
Пускай прямой угол с вершиной в точке Х образован лучами а и с. Проводим дугу окружности с центром в точке Х и радиусом r, равным радиусу данной окружности; точки ее пересечения с лучами а и с обозначаем через Е и С соответственно (Рис. 14).

Проводим дугу окружности с центром в точке Х и радиусом 1,5r; точку ее пересечения с лучом а обозначаем через В. На дуге окружности с центром в точке Х и радиусом 1,5r от точки В последовательно откладываем два раза некоторое расстояние п: раствором циркуля последовательно откладываются хорды длиной п; концы отложенных отрезков обозначаются через В₁ и В₂. От точки В₂ откладываем расстояние 3/4 п, конец отрезка обозначаем через В₃; точка В₃ не лежит на луче с (Рис. 14). Через точки С и В₃ проводим прямую; луч а продолжаем по прямой до пересе­чения его с прямой СВ₃, точку пересечения обозначаем через Р. Проводим прямую через точки Р и В₁, точку ее пересечения с дугой ХС обозначаем через Е₁; проводим прямую через точки Р и В₂, точку ее пересечения с дугой ХС обозначаем че­­рез Е₂ (Рис. 14). Через точки Е₁ и Е₂ проводим лучи с на­ча­лом в точке Х. Угол ЕХЕ₁ равен одной одиннадцатой полного угла.

На данной окружности с центром в точке О берем некоторую точку А₁. Проводим дугу окружности с центром в точке А₁ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₂. Проводим дугу окружности с центром в точке А₂ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₃. Проводим дугу окружности с центром в точке А₃ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₄. Проводим дугу окружности с центром в точке А₄ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₅. Проводим дугу окружности с центром в точке А₅ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₆. Проводим дугу окружности с центром в точке А₁ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₇. Проводим дугу окружности с центром в точке А₇ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₈. Проводим дугу окружности с центром в точке А₈ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с данной окружностью обозначим через А₉. Проводим дугу окружности с центром в точке А₉ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с окружностью обозна­чим через А₁₀. Проводим дугу окружности с центром в точ­ке А₁₀ и радиусом ЕЕ₁, точку ее пересечения с дан­ной окруж­ностью обозначим через А₁₁. Соединяем отрезками полу­чив­шиеся точки, образуется правильный одиннадца­ти­угольник (Рис. 15).

Доказательство: Доказательство точности деления прямого угла на дробное число частей основано на доказательстве точности деления прямого угла на несколько равных частей [3]. Равенство угла А₁ОА₂ одной одиннадцатой полного угла доказывается так:  по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно,  по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.). , что и требовалось доказать.

Правильные многоугольники с большим четно-четным числом сторон строятся тем же способом, что и восьмиугольник. Правильные многоугольники с большим четно-нечетным числом сторон строятся тем же способом, что и десятиугольник. Правильные многоугольники с большим нечетным числом сторон строятся тем же способом, что и семи-, девяти-, одиннад­цатиугольник.

Выводы. Осуществлено считавшееся до сих пор невозможным точное построение правильных многоугольников с нечетным числом сторон по правилам классической геометрии, то есть с помощью простой линейки и циркуля. Построение правильных многоугольников осуществляется путем точного деления данной окруж­ности на заданное число равных частей. Деление окружности производится путем деления полного угла на соответствующее равное число центральных углов. Для точного деления полного угла на заданное число равных частей применяется разработанный автором способ точного деления любого угла на дробное число частей. При решении задачи разделения данной окружности на заданное число равных частей выполняются вспомогательные постро­ения вне этой окружности, что вполне допустимо.

1. Плисова Н.Н. Основания геометрии. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Эдитус, 2026. – 400 с.
2. Плисова Н.Н. Решение «неразрешимых» задач классической геометрии. – М: Эдитус, 2026. – 60 с.
3. Плисова Н.Н. Точное деление угла и дуги окружности на три равные части и на большее число равных частей в классической геометрии // Современные научные исследования и инновации, 2022, № 11 [Электронный ресурс]. URL:https://web.snauka.ru/issues/2022/11/98969

Все статьи автора «Плисова Ника Николаевна»