Задача удвоения куба считается неразрешимой в классической геометрии [1]. Однако она может быть решена методами классической геометрии, то есть с помощью простой линейки, не имеющей шкалы, и циркуля.
Задача: По правилам классической геометрии построить куб, объём которого в два раза больше объёма данного куба.
Отрезок в этой задаче дан только один – это ребро исходного куба (формулировка задачи, данная Гиппократом Хиосским и ставшая общепринятой, искажает исходную задачу).
Решение: Примем длину ребра исходного куба равной 1 у.е.
Делим ребро исходного куба на 4 равные части. Для этого строим серединный перпендикуляр к отрезку длиной, равной длине ребра куба; серединный перпендикуляр делит этот отрезок на два равных отрезка. Далее делим каждый из полученных одинаковых отрезков на две равные части путём построения серединных перпендикуляров к этим отрезкам.
Получается, что в объёме исходного куба содержится 64 кубика с ребром, равным ¼ ребра исходного куба. В два раза большем объёме должно быть 128 таких кубиков. Но известно, что 125 = 5 · 5 · 5, следовательно, длина ребра удвоенного по объёму куба должна быть примерно равной 5/4=1¼ длины ребра исходного куба. Таким образом задача в принципе решена.
Теперь учтём 3 оставшихся кубика. Объём каждого из 3-х кубиков должен быть распределён по одной из 3-х смежных граней удвоенного куба. Площадь грани известна, объём кубика известен [2]; нужно найти толщину слоя, то есть величину, на которую увеличивается длина ребра удвоенного куба:
Таким образом, итоговая длина ребра удвоенного куба равна: 1,25+0,01=1,26 у.е., что является точным решением.
Возможность или невозможность практического учёта одной сотой (1/25 от ¼) зависит от длины ребра исходного куба.
Выводы. Задача удвоения куба решается в классической геометрии, причём точно.
Библиографический список
- Прасолов В.В. Три классические задачи на построение: удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. – М.: Наука, 1992. – 80 с.
- Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 509 с.