ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА НА КОРНИ КВАДРАТНЫЕ ИЗ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ ВЕЕРНОГО ПОСТРОЕНИЯ

В дополнение к построениям, выполненным в статье [1], в настоящей статье предлагается веерное построение прямоугольных треугольников, нужных для нахождения искомых длин, при котором каждый последующий прямоугольный треугольник пристраивается к последнему построенному прямоугольному треугольнику. При таком построении обнаруживаются некоторые интересные закономерности.
В классической геометрии все построения выполняются простой линейкой, не имеющей шкалы, и циркулем. Расстояния измеряются раствором циркуля.
Дано: расстояние а, заданное геометрически (Рис. 1).

1. Умножение длины отрезка на корень квадратный из двух.

Задача: построить по правилам классической геометрии отрезок, длина которого равна длине а исходного отрезка, умноженной на корень квадратный из двух.
Сначала строим прямоугольный треугольник с равными катетами длиной а. Берем на плоскости некоторую точку, которую обозначаем через А₀; от нее строим отрезок, длина которого равна а, конечную точку обозначаем через А₁; расстояние а откладывается циркулем. Из точки А₁ восставляем перпендикуляр к отрезку А₀А₁; порядок построения по правилам классической геометрии перпендикуляра приведен в статье автора [1], поэтому в настоящей работе он не приводится. На перпендикуляре к отрезку А₀А₁ от точки А₁ откладываем расстояние а, конец отрезка обозначаем через А₂. Соединяем отрезком точки А₀ и А₂; этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника  (Рис. 1).
По теореме Пифагора (по теореме 8.3. – по нумерации, принятой в [2]), гипотенуза треугольника  равна , то есть отрезок А₀А₂ является искомым:
, ,  (Т.8.3.).

2. Умножение длины отрезка на корень квадратный из трех.

Задача: построить по правилам классической геометрии отрезок, длина которого равна длине а исходного отрезка, умноженной на корень квадратный из трех.
Для решения этой задачи нужно построить прямоугольный треугольник с катетами, равными а и , гипотенуза которого будет равна . Этот треугольник будем пристраивать к уже построенному треугольнику .
Из точки А₂ восставляем перпендикуляр к отрезку А₀А₂ (Рис. 1). На перпендикуляре к отрезку А₀А₂ от точки А₂ откладываем расстояние а, конец отрезка обозначаем через А₃. Соединяем отрезком точки А₀ и А₃; этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника  (Рис. 1).
По теореме Пифагора (по теореме 8.3. – по нумерации, принятой в [2]), гипотенуза треугольника  равна , то есть отрезок А₀А₃ является искомым:
, ,  (Т.8.3.).

3. Умножение длины отрезка на корень квадратный из четырех.

Задача: построить по правилам классической геометрии отрезок, длина которого равна длине а исходного отрезка, умноженной на корень квадратный из четырех.
Для решения этой задачи в рамках последовательного построения прямоугольных треугольников (вместо простого удвоения исходной длины) нужно построить прямоугольный треугольник с катетами, равными а и , гипотенуза которого будет равна . Этот треугольник будем пристраивать к уже построенному треугольнику .
Из точки А₃ восставляем перпендикуляр к отрезку А₀А₃ (Рис. 1). На перпендикуляре к отрезку А₀А₃ от точки А₃ откладываем расстояние а, конец отрезка обозначаем через А₄. Соединяем отрезком точки А₀ и А₄; этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника  (Рис. 1).
По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника  равна , то есть отрезок А₀А₄ является искомым:
, ,  (Т.8.3.).

4. Умножение длины отрезка на корень квадратный из п.

Задача обобщенная: построить по правилам классической геометрии отрезок, длина которого равна длине а исходного отрезка, умноженной на корень квадратный из некоторого числа п, не меньшего 2 и не большего 17.
Прямоугольный треугольник с катетами, равными а и , гипотенуза которого будет равна , будем пристраивать к уже построенному веерным способом треугольнику , где . Гипотенуза А₀А_п-1 треугольника , равная , будет являться катетом строящегося треугольника ; второй его катет А_п-1А_п, равный а, строится как перпендикуляр к отрезку А₀А_п-1. Соединяем отрезком точки А₀ и А_п; отрезок А₀А_п является гипотенузой прямоугольного треугольника  (Рис. 1).
По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника  равна , то есть отрезок А₀А_п является искомым:
, ,  (Т.8.3.), .

5. Некоторые закономерности, касающиеся углов с вершиной в точке А₀.

При веерном построении отрезки А₀А_п-1 и А₀А_п образуют углы с вершиной в точке А₀ (Рис. 1); обозначим эти углы через : , при этом п не может быть меньше 2 (иначе при принятой нумерации угол не образуется). Величины углов  различны, так как зависят от числа п, и определяются следующим образом:
, .
Максимальное число углов и одновременно прямоугольных треугольников в веерном построении, при котором первый и последний треугольники не имеют пересечений (не перекрываются), равно 16; при этом в принятой нумерации последняя точка А_п является 17-ой: . Сумма всех 16-ти углов  немного меньше 2π.
Выводы. Задача построения по правилам классической геометрии отрезка, длина которого равна длине заданного геометрически отрезка, умноженной на корень квадратный из некоторого целого числа, решена с помощью веерного построения прямоугольных треугольников, по гипотенузам которых определяются искомые длины. При веерном построении каждый последующий прямоугольный треугольник пристраивается к последнему построенному прямоугольному треугольнику. Треугольников и соответственно углов с общей вершиной без их пересечения при веерном построении может быть не больше 16, что является эмпирическим фактом. Веерное построение необходимых для определения искомых длин прямоугольных треугольников, является более экономичным способом нахождения искомых длин, чем отдельное построение каждого прямоугольного треугольника.

1. Плисова Н.Н. Умножение и деление длины отрезка на корни квадратные в классической геометрии // Современные научные исследования и инновации. 2022, № 10 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2022/10/98923
2. Плисова Н.Н. Основания геометрии с дополнениями. – М.: Эдитус, 2023. – 356 с.

Все статьи автора «Плисова Ника Николаевна»