ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ С ПОМОЩЬЮ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ

В данной работе ставится задача: определить сумму углов в произвольном треугольнике независимым способом, то есть без использования аксиомы о параллельных прямых; постановка этой задачи обоснована в работе автора [2]. Доказательство базируется на аксиоматике планиметрии, которая приведена в статье автора, опубликованной ранее в данном журнале [1], и которая не приводится заново в данной статье.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим длины его сторон следующим образом:  , , . Середину его стороны ВС обозначим через О; точка О находится как точка пересечения отрезка ВС и серединного перпендикуляра к нему. Применим к треугольнику АВС центральную симметрию с центром симметрии в точке О. Образом точки В относительно центра симметрии О является точка С; образом точки С относительно центра симметрии О является точка В. Образом точки А относительно центра симметрии О является точка Е (Рис. 1), при этом, по определению центрально симметричных точек (Def. 7.5.), точки А, О и Е лежат на одной прямой, а отрезки АО и ОЕ равны. Соединяем отрезками точку Е с точками В и С, образуются треугольники ВЕО и СЕО.

Из определения центрально симметричных точек (Def. 7.5.) следует, что отрезки АО и ОЕ равны; углы ВОЕ и СОА являются вертикальными (Def. 4.17.), следовательно, треугольники ВОЕ и АОС равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.). Из равенства треугольников по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.) следует, что сторона ВЕ равна стороне АС, равной с, угол ЕВО равен углу АСО; значит, угол ЕВС равен углу АСВ по аксиоме о независимости величины угла от длины его сторон (Ах. 4.3.2.) [2]. Треугольники АОВ и ЕОС равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.), следовательно: сторона СЕ равна стороне АВ=а, угол ЕСО равен углу АВО по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.); значит: угол ВСЕ равен углу АВС по аксиоме о независимости величины угла от длины его сторон (Ах. 4.3.2.), треугольник ВСЕ равен треугольнику АВС по трем сторонам (Ах. 8.5.3.).

Применим к треугольнику АВС центральную симметрию с центром симметрии в точке С. Образом точки В относительно центра симметрии С станет точка К; образом точки А относительно центра симметрии С станет точка Н (Рис. 2); при этом, по определению центрально симметричных точек (Def. 7.5.), точки А, С и Н лежат на одной прямой, точки В, С и К также лежат на одной прямой. Соединяем отрезком точки К и Н, при этом образуется треугольник СКН. Из определения центрально симметричных точек (Def. 7.5.) следует, что отрезки СК и ВС=b равны, отрезки СН и АС=с равны; углы АСВ и КСН равны, так как являются вертикальными (Def. 4.17.), следовательно, треугольники СКН и АВС равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.). Треугольник СКН является образом треугольника АВС при центральной симметрии относительно центра симметрии С. По аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.), из равенства треугольников следует, что сторона КН равна стороне АВ, равной а.

Обозначим через М середину отрезка СН; точка М будет точкой пересечения отрезка СН и серединного перпендикуляра к нему. Применим к треугольнику СКН центральную симметрию с центром симметрии в точке М. Точки С и Н центрально симметричны относительно центра симметрии М (Рис. 3). Образом точки К относительно центра симметрии М станет точка Е, как будет обосновано ниже; по определению центрально симметричных точек (Def. 7.5.), точки К, М и Е лежат на одной прямой. Соединяем отрезком точки Е и Н, при этом образуется треугольник СЕН. Из определения центрально симметричных точек (Def. 7.5.) следует, что отрезки ЕМ и МК равны, отрезок СМ=МН; углы ЕМН и СМК равны, так как являются вертикальными (Def. 4.17.), следовательно, треугольники МЕН и СМК равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.). По аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.), из равенства треугольников следует, что сторона ЕН равна стороне СК, равной b. Углы СМЕ и КМН равны, так как являются вертикальными (Def. 4.17.), при этом СМ=МН, ЕМ=МК, следовательно, треугольники СМЕ и КМН равны по двум сторонам и углу между ними (Ах. 8.5.1.). Тогда сторона СЕ равна стороне КН=АВ=а, при том, что АС=СН. Отсюда следует, что треугольник СЕН является образом треугольника СКН относительно центра симметрии М и равен ему.

Треугольники СЕН, СКН и ВСЕ равны треугольнику АВС, будучи его образами, причем эти треугольники имеют общие стороны и общую точку С. Предположим, что образом точки К относительно центра симметрии М будет некоторая точка D, отличная от точки Е. Тогда: CD≠CE=a, следовательно, треугольники СКН и СDН не равны, а это противоречит предположению, что образом треугольника СКН относительно центра симметрии М будет треугольник СDН. Предположение о том, что образом точки К относительно центра симметрии М является точка D, отличная от точки Е, приводит к противоречию, следовательно, оно неверно, следовательно, образом точки К относительно центра симметрии М является точка Е.

Треугольник СЕН равен треугольнику АВС по трем сторонам (Ах. 8.5.3.), следовательно, угол ЕСН равен углу ВАС по аксиоме о равенстве фигур (Ах. 6.8.).

Углы ВСА, ВСЕ и ЕСН в сумме образуют развернутый угол АСН (Рис. 3), следовательно, сумма величин углов треугольника АВС: ,  и  равна π.

На рисунках 1-3 представлен остроугольный треугольник. Для тупоугольного и прямоугольного треугольников построение выполняется таким же образом, вне зависимости от расположения тупого или прямого угла (по отношению к основанию).

Выводы. С помощью центральной симметрии, независимо от аксиомы о параллельных прямых, доказано, что сумма величин внутренних углов треугольника равна π.

1. Плисова Н.Н. Доказательство аксиомы о параллельных прямых, или пятого пос­тулата Евклида // Современные научные исследования и инновации, 2019, № 7 [Электронный ресурс].
2. Плисова Н.Н. Основания геометрии.  – 2-е изд. – М.: Эдитус, 2021. – 200 с.

Все статьи автора «Плисова Ника Николаевна»