СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КРИВЫХ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К САПР

Введение

В практике судостроения, авиастроения, автомобилестроения широко распространен способ построения плавных обводов тел, таких как корпус корабля, кузов автомобиля, при помощи поверхностей. Компьютерное моделирование в системах автоматизированного проектирования позволяет получать информацию о геометрических параметрах поверхностной модели, которая может использоваться не только для графической визуализации модели, но также и для получения различных расчетов и подготовки программ с числовым программным управлением. Инструментом для геометрического моделирования служат математические методы, которые описывают геометрические свойства и базируются на аналитической и дифференциальной геометрии, а также вычислительной математике.
При проектировании судовой поверхности в теории и практике судостроения важное значение имеет адекватное моделирование кривых теоретического чертежа, называемых шпангоутами, ватерлиниями и батоксами. В своей совокупности они в дальнейшем будут образовывать судовую поверхность корпуса корабля. Для вычерчивания таких кривых традиционным способом в проектировании применяется метод построения по таблице ординат, в которой заданы расстояния между шпангоутами (поперечными сечениями корпуса), ватерлиниями, также значения ординат  для соответствующих шпангоутов и ватерлиний. Представляя таким образом корпус судна в виде набора точек с координатами , можно по ним построить как вручную с карандашом на бумаге, так и в системе автоматизированного проектирования различные двумерные проекции. Так в статье [1] был подробно описан разработанный автором алгоритм построения проекций корпуса судна в системе САПР КОМПАС 3D (рис. 1).

Для осуществления визуализации трехмерной модели судна таблицы ординат является недостаточным, поэтому требуется выполнять численные расчеты промежуточных точек на базовых кривых, что приводит к необходимости разработки методов интерполяции пространственных кривых по заданному набору точек. В качестве примера такой разработки можно привести работу [2], в которой осуществляется нахождение минимального отклонения рассчитанных значений от исходных методами ближайшего соседа, треугольной, билинейной интерполяции и биквадратной сплайн-интерполяции. Данный пример показывает, что исследование интерполяции, разработка алгоритмов и программ, построение на основе полученных числовых результатов моделей является современной и актуальной научно-практической задачей.

Интерполяция кривых на основе точек

Как известно из теории численных вычислений, интерполяция точечно заданных кривых подразделяется на двумерную и трехмерную [3]. Для двумерной интерполяции можно использовать сплайн-функцию одной переменной, если в качестве исходных данных задать набор значений  при условии  . Интерполяционным кубическим сплайном будет является функция, обладающая свойствами прохождения кривой через каждую точку набора и заданная многочленом третьей степени:

Более сложная задача по заданному набору точек в трехмерном пространстве  решается при помощи бикубического сплайна. К условию  добавляется . Интерполяционный бикубический сплайн проходит через каждую точку набора 
Функция представляет собой многочлен третьей степени по каждой переменной.

Определение коэффициентов  сплайн-функции выполняется из решения системы линейных уравнений.
Поскольку построение решения для сплайн-функций представляет собой достаточно трудоемкий процесс, для интерполяции можно использовать и другие, более простые способы.
Часто для построения пространственной кривой удобнее воспользоваться параметрическими уравнениями, задаваемыми в виде
 (1)
Функции непрерывны на отрезке  При этом можно добиться, чтобы 
Для интерполяции точечно заданного массива координат в параметрическом виде можно воспользоваться следующими зависимостями [3]:

кривой Безье,
кубической кривой Безье,
рациональным и кубическим В-сплайнами,
NURBS-кривой.Кривая Безье является гладкой кривой, начинается в начальной точке набора координат и заканчивается в конечной точке, через все точки она не проходит, а только приближается к ним. Для кривой Безье характерно параметрическое уравнение

где  – заданный векторный массив координат,  – коэффициенты в разложении бинома Ньютона.
Кубическая кривая Безье определяется простым уравнением при ограничении количества заданных точек числом 4, т.е. 
 (2)
где .
, – это векторы:
, .

Элементарная кубическая кривая В-сплайна также определяется при помощи векторного параметрического уравнения с ограничением количества заданных точек числом 4, т.е.  (3)
Последние две формулы (2), (3) интерполяции с помощью кубических кривых Безье и В-сплайна были основой для построения интерполяционных значений при количестве заданных исходных точек, равным 4, т.е. . Результаты расчетов показаны на рис. 2 – 5 для различных наборов исходных точек, которые были заданы либо произвольно (рис. 4), либо по формулам, которые имитируют обводы шпангоутов (рис. 2, 3).

Как видно из этих рисунков, начальная и конечная точки интерполяционной кривой Безье точно совпадают с заданными точками  Однако, кривая В-сплайна существенно отклоняется от данных точек, она как бы усредняет заданные точки координат. Поэтому использовать данную интерполяции по формуле (3) для адекватного построения кривой нельзя.

Улучшенный метод решения задачи интерполяции

Цель дальнейшего научного исследования состояла в создании улучшенной модели интерполяции В-сплайновой кривой, которая бы позволяла выполнять построение более качественно. Таким способом является внесение поправочных коэффициентов, называемых весами, в формулу (3). Однако, отсутствуют научные исследования, показывающие, по какому алгоритму должны определяться веса для получения качественного результата интерполяции.
По заданному набору точек  рациональная кубическая В-сплайновая кривая может быть задана аналогичным уравнением с весовыми коэффициентами

 (4)где 
 Величины  – веса или параметры формы. Они являются поправочными весовыми коэффициентами и влияют на степень приближения интерполяционной кривой к заданным исходным точкам. Их определение и являлось в дальнейшем инновационной научной задачей.
Поэтому для улучшения результатов интерполяции автором был разработан оригинальный метод получения весовых коэффициентов. В качестве исходных наборов точек координат были взяты точки, имитирующие обводы шпангоутов и имеющие увеличивающиеся значения ординат при увеличении абсцисс.
Алгоритм данного метода заключается в определении весов в начальной и конечной точках, а затем в остальных промежуточных точках с учетом рассчитанных начальных значений.
,. (5)

, (6)
где К – количество промежутков между расчетными интерполяционными точками.
Формула (4) с весами (5), (6) хорошо работает при аппроксимации кривых, увеличивающихся монотонно при увеличении абсцисс, что подтверждается многочисленными экспериментальными расчетами. Некоторые из этих расчетов показаны на рис. 2 – 4, значения В-сплайна (вес). Причем в некоторых случаях В-сплайн практически совпадает с кривой Безье (см. рис. 3, 4), а иногда дает более качественный результат интерполяции (см. рис. 2).
Однако, нельзя с достоверностью утверждать, что формулы с весовыми коэффициентами (4), (5), (6) будут годиться для любых наборов исходных точек, что подтверждается расчетом, показанным на рис. 5.
Однако, и для данного случая можно ввести весовой коэффициент, который улучшит интерполяцию (рис. 6).

Сравнительный анализ кривых в САПР КОМПАС 3D

Эффективность и точность разработанного оригинального метода с целью сравнительного анализа интерполяционных результатов продемонстрированы также путем моделирования пространственных кривых с использованием САПР КОМПАС 3D.
В КОМПАС 3D возможно создание пространственных кривых аналитического характера (отрезок, дуга окружности, спираль цилиндрическая, спираль коническая, кривая по закону в параметрическом виде) и точечно заданных кривых – ломаной и сплайна [4]. Ломаные и сплайны более подходят для построения поверхностей с использованием шпангоутов и ватерлиний корпуса судна, процесс моделирования которых рассмотрен в статье автора [1] (см. рис. 1). Теоретические рекомендации и практические задания по построению пространственных кривых представлены также в учебных пособиях автора [5].
Построение ломаной заключается в последовательном задании ее вершин способами по точкам, по осям и по объектам. Параметры вершин пространственной ломаной могут быть изменены. Например, может быть добавлен радиус скругления углов при соответствующей вершине или расстояние смещения.
Можно также вставить координаты вершин из заранее созданного и сохраненного файла, в котором имеются 4 столбца (3 столбца координат , 4-й столбец – радиус скругления). Формат файла – текстовый с расширением txt или электронных таблиц EXCEL с расширением xls (формат программы EXCEL 1997-2003).
Используя значения координат , полученные ранее ( на рис. 2 – 4), были построены пространственные кривые в САПР КОМПАС 3D (рис. 7), где верхняя зеленая кривая – Безье, средняя красного цвета – В-сплайн с весами, нижняя синяя – кривая по исходным точкам.

В программе КОМПАС 3D можно также использовать для моделирования пространственных кривых команды Сплайн по точкам и Сплайн по полюсам. В сплайне по точкам кривая проходит через вершины, координаты которых заданы в таблице, а вес не задается. В сплайне по полюсам кривая не проходит через вершины, а расстояние до вершин зависит от значения параметра Вес. Также доступен параметр Порядок, определяющий степень полинома интерполяции участков NURBS-кривой. Поэтому получается, что при порядке, равном 4, данная кривая строится, как кубическая рациональная В-сплайновая кривая с весовыми коэффициентами.
Используя значения координат , полученные ранее ( на рис. 2 – 4), были также для сравнения построены пространственные сплайны (рис. 8), где верхняя зеленая кривая – сплайн по полюсам, средняя синяя – кривая по исходным точкам, нижняя красного цвета – сплайн по точкам.

Как видно из рис. 7 и 8, В-сплайн с весами и сплайн по полюсам качественно соответствуют друг другу. Наилучший результат дает сплайн по точкам, построенный в КОМПАС 3D.

Заключение

Цель данного исследования – решение задачи теоретического построения интерполяционных пространственных кривых путем выполнения сравнительного анализа методов интерполяции применительно к кривым судовой формы и применения инновационного оригинального алгоритма улучшения полученных результатов. Разработаны методики расчета кубической интерполяции по методам Безье, В-сплайна, рационального В-сплайна с поправочными коэффициентами. Построены графики для сравнительного анализа, показывающие применимость расчетных методов. Предложен оригинальный математический алгоритм, улучшающий использование интерполяции B-сплайном.
Эффективность и точность разработанного оригинального метода продемонстрированы также в примерах моделирования пространственных кривых в автоматизированной системе КОМПАС 3D.
Теоретические и практические результаты исследования, в том числе по оригинальным инновационным формулам интерполяции, показали возможность моделирования пространственных кривых судовой формы для построения электронной модели судна.

1. Горавнева Т.С., Семенова-Тян-Шанская В.А. Моделирование корпуса судна в САПР КОМПАС 3D // САПР и графика. М «Компьютер Пресс»: 2019 – №4 – 72 с.
2. Ратнер Е.А. Анализ точности методов интерполяции при нанесении рельефа дна на навигационные карты внутренних водных путей // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. – 2021. – Т. 13. № 5. – С. 685-693.
3. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование // М.: «Академия»: 2011. 272 с.
4. Азбука КОМПАС-3D // М. «АСКОН – Системы проектирования» – 2020. URL: https://kompas.ru/source/info_materials/2020/Азбука КОМПАС-3D.pdf (дата обращения 01.03.2022).
5. Горавнева Т.С. Практические задания по САПР КОМПАС 3D. Часть 2. Трехмерное моделирование // СПб. «СПБГМТУ»: 2017. – 95 с.

Все статьи автора «Горавнева Татьяна Сергеевна»