НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ КРИТЕРИЯ КАЛМАНА

Введение

Критерий Калмана используется в теории линейных динамических систем для оценки управляемости системы, представленной своими уравнениями в пространстве состояний [1]. Приняв ниже обозначения: x  – вектор состояния системы, y  – вектор выхода, u  – вектор управляющего воздействия, A  – матрица системы, B – матрица управления, C – матрица выхода и D – так называемая, сквозная матрица; уравнения состояния линейной динамической системы можно записать в виде:

ẋ (t) = A x(t) + B u(t)                                                                                    (1)

y(t) = C x(t) + D u(t)                                                                                    (2)

где:

x (t) ∈ ℝⁿ ,  y (t) ∈ ℝ^q , u (t) ∈ ℝ^q

dim [A] = (n × n), dim [B] = (n × q), dim [C] = (q × n),  dim [D] = (q × q),

Далее, на основании (1) может быть составлена матрица управляемости:

U = [B, AB, A²B, … Aⁿ⁻¹B]                                                                        (3)

Согласно критерию Калмана, система является полностью управляемой в том,  и только в том случае, если rang [U] = n, или она может быть либо частично управляемой, либо неуправляемой. В последнем случае rang [U] = 0 [1].

Квадратная матрица управляемости

Рассмотрим случай q = 1, то есть когда матрица U является квадратной (U_squ). Тогда при rang [U_squ] = n определитель det [U_squ] ≠ 0 [2]. В то же время, определитель матрицы U_squ может быть равен нулю, если, к примеру, какие-либо два столбца матрицы линейно зависимы [2]. В соответствии с (3) это условие линейной зависимости можно представить в виде равенства:

A^kB = r AⁱB                                                                                                  (4)

где k < i и r > 0.

Из (4) следует, что

r A^i-k= I                                                                                                         (5)

где  I – единичная матрица.

В этом случае матрица А должна быть диагональной, с диагональными элементами, равными:

a_mm = r ^1/k-i                                                                                                    (6)

Таким образом, в случае линейной зависимости хотя бы двух столбцов квадратной матрицы U_squ линейная динамическая система в соответствии с критерием Калмана может быть либо полностью управляемой, либо неуправляемой, но не может быть частично управляемой, поскольку при выполнении равенства (4) ранг любого минора матрицы U_squ равен нулю. Это же справедливо и в отношении строк матрицы, если рассматривать транспонированную матрицу U^T_squ.

Прямоугольная матрица управляемости

В общем случае линейной динамической системы количество управляющих воздействий q > 1. Тогда матрица U прямоугольная (U_rec) и ее размерность определяется как:

dim U_rec = (n × n·q)                                                                                    (7)

В то же время, ранг прямоугольной матрицы определяется размерностью наибольшего минора матрицы U_rec, определитель которого отличен от нуля [2]. Поскольку в невырожденной матрице такой минор всегда существует, то в соответствии с критерием Калмана линейная динамическая система с прямоугольной матрицей управляемости всегда будет, по крайней мере, частично управляемой.

Вычислительный аспект критерия Калмана

Использование критерия Калмана представляет интерес, прежде всего, для линейных динамических систем высокого порядка (поскольку в случае простой системы ее управляемость, как правило, достаточно очевидна). При этом, однако, объем вычислительных операций, связанный с вычислением определителей высоких порядков, даже на современном этапе компьютерной техники, может оказаться весьма большим и, соответственно, требует значительных вычислительных ресурсов.

Так при оценке управляемости на основе прямоугольной матрицы U_rec количество миноров, для которых требуется вычисление определителя, следует из комбинаторной формулы [3]:

                                     (8)

где:

p = n·q

C_p^kи C_n^k – число сочетаний из p по k и из n по k, соответственно.

К примеру, уже при n = 3 и q = 2 количество миноров матрицы N = 72 и с увеличением n и q (в соответствии с формулой (8)) возрастает квазиэкспоненциально [3].

Выводы

Выше было показано, что в случае квадратной матрицы управляемости линейная динамическая система может быть полностью управляемой или неуправляемой, но не может быть частично управляемой. В то же время система с невырожденной прямоугольной матрицей управляемости всегда будет, по крайней мере, частично управляемой. Объем вычислений при использовании критерия Калмана возрастает квазиэкспоненциально с увеличением порядка линейной динамической системы.

1. Kalman R. E., Ho Y. C., Narendra K. S. Controllability of linear  dynamical  systems.  //  Contributions  to  the  Theory  of Differential Equations. 1963. Vol. I, No. 2. P. 189 – 213.
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Физматлит, 2004. – 560 с.
3. Виленкин Н Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. – 328 с.

Все статьи автора «Сучилин Владимир Александрович»