УДК 681.5.075

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ КРИТЕРИЯ КАЛМАНА

Сучилин Владимир Александрович
Transoffice-Information GbR
Фильдерштадт (Германия), Технический директор

Аннотация
Представлены некоторые замечания по использованию критерия Калмана для оценки управляемости линейных динамических систем. Показано, что в случае квадратной матрицы управляемости линейная динамическая система может быть полностью управляемой или неуправляемой, но не может быть частично управляемой. В то же время система с невырожденной прямоугольной матрицей управляемости всегда будет, по крайней мере, частично управляемой. Объем вычислений при использовании критерия Калмана возрастает квазиэкспоненциально с увеличением порядка линейной динамической системы.

Ключевые слова: , , ,


Рубрика: 05.00.00 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Библиографическая ссылка на статью:
Сучилин В.А. Некоторые замечания по использованию критерия Калмана // Современные научные исследования и инновации. 2021. № 4 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2021/04/95078 (дата обращения: 24.11.2021).

Введение

Критерий Калмана используется в теории линейных динамических систем для оценки управляемости системы, представленной своими уравнениями в пространстве состояний [1]. Приняв ниже обозначения: x  – вектор состояния системы, y  – вектор выхода, u  – вектор управляющего воздействия, A  – матрица системы, B – матрица управления, C – матрица выхода и D – так называемая, сквозная матрица; уравнения состояния линейной динамической системы можно записать в виде:

ẋ (t) = A x(t) + B u(t)                                                                                    (1)

y(t) = C x(t) + D u(t)                                                                                    (2)

где:

x (t) n ,  y (t) q , u (t) q

dim [A] = (n × n), dim [B] = (n × q), dim [C] = (q × n),  dim [D] = (q × q),

Далее, на основании (1) может быть составлена матрица управляемости:

U = [B, AB, A2B, An−1B]                                                                        (3)

Согласно критерию Калмана, система является полностью управляемой в том,  и только в том случае, если rang [U] = n, или она может быть либо частично управляемой, либо неуправляемой. В последнем случае rang [U] = 0 [1].

Квадратная матрица управляемости

Рассмотрим случай q = 1, то есть когда матрица U является квадратной (Usqu). Тогда при rang [Usqu] = n определитель det [Usqu] ≠ 0 [2]. В то же время, определитель матрицы Usqu может быть равен нулю, если, к примеру, какие-либо два столбца матрицы линейно зависимы [2]. В соответствии с (3) это условие линейной зависимости можно представить в виде равенства:

AkB = r AiB                                                                                                  (4)

где k < i и r > 0.

Из (4) следует, что

r Ai-k= I                                                                                                         (5)

где  I – единичная матрица.

В этом случае матрица А должна быть диагональной, с диагональными элементами, равными:

amm = r 1/k-i                                                                                                    (6)

Таким образом, в случае линейной зависимости хотя бы двух столбцов квадратной матрицы Usqu линейная динамическая система в соответствии с критерием Калмана может быть либо полностью управляемой, либо неуправляемой, но не может быть частично управляемой, поскольку при выполнении равенства (4) ранг любого минора матрицы Usqu равен нулю. Это же справедливо и в отношении строк матрицы, если рассматривать транспонированную матрицу UTsqu.

Прямоугольная матрица управляемости

В общем случае линейной динамической системы количество управляющих воздействий q > 1. Тогда матрица U прямоугольная (Urec) и ее размерность определяется как:

dim Urec = (n × n·q)                                                                                    (7)

В то же время, ранг прямоугольной матрицы определяется размерностью наибольшего минора матрицы Urec, определитель которого отличен от нуля [2]. Поскольку в невырожденной матрице такой минор всегда существует, то в соответствии с критерием Калмана линейная динамическая система с прямоугольной матрицей управляемости всегда будет, по крайней мере, частично управляемой.

Вычислительный аспект критерия Калмана

Использование критерия Калмана представляет интерес, прежде всего, для линейных динамических систем высокого порядка (поскольку в случае простой системы ее управляемость, как правило, достаточно очевидна). При этом, однако, объем вычислительных операций, связанный с вычислением определителей высоких порядков, даже на современном этапе компьютерной техники, может оказаться весьма большим и, соответственно, требует значительных вычислительных ресурсов.

Так при оценке управляемости на основе прямоугольной матрицы Urec количество миноров, для которых требуется вычисление определителя, следует из комбинаторной формулы [3]:

                                     (8)

где:

p = n·q

Cpkи Cnk – число сочетаний из p по k и из n по k, соответственно.

К примеру, уже при n = 3 и q = 2 количество миноров матрицы N = 72 и с увеличением n и q (в соответствии с формулой (8)) возрастает квазиэкспоненциально [3].

Выводы

Выше было показано, что в случае квадратной матрицы управляемости линейная динамическая система может быть полностью управляемой или неуправляемой, но не может быть частично управляемой. В то же время система с невырожденной прямоугольной матрицей управляемости всегда будет, по крайней мере, частично управляемой. Объем вычислений при использовании критерия Калмана возрастает квазиэкспоненциально с увеличением порядка линейной динамической системы.


Библиографический список
  1. Kalman R. E., Ho Y. C., Narendra K. S. Controllability of linear  dynamical  systems.  //  Contributions  to  the  Theory  of Differential Equations. 1963. Vol. I, No. 2. P. 189 – 213.
  2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Физматлит, 2004. – 560 с.
  3. Виленкин Н Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. – 328 с.


Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Сучилин Владимир Александрович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация