Приведенные ниже утверждения возникли под влиянием результатов работ  и . 
Определение всех используемых понятий можно найти в работах. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства . Всякое отображение  называется топологическим оператором.
Определение 1. Пусть . Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства , если для любого открытого множества  выполняется .
Определение 2. Пусть . Топологический оператор  продолжения топологии пространства  называется регулярным оператором, если выполняются условия:
1) , ,
2) если , то  для любых .
Определение 3. Вложение  называется регулярным, если существует регулярный оператор  продолжения топологии пространства . 
Напомним, что функция  называется полунепрерывной снизу, если для любого  множество  является открытым подмножеством пространства . Далее  - множество полунепрерывных снизу функций на пространстве ,  - множество непрерывных функций на пространстве ,  - множество неотрицательных полунепрерывных снизу функций на пространстве ,  - множество неотрицательных непрерывных функций на пространстве,  - функция, определенная на множестве , тождественно равная  на  . 
Пусть  - совокупность всех функций на множестве ,  и . Всякое отображение  называется функциональным оператором. 
Определение 4. Если  и для любой функции  выполняется , то функциональный оператор  называется оператором продолжения функций.
Далее  - суперрасширение пространства  . 
Система  замкнутых подмножеств топологического пространства  называется сцепленной, если любые два элемента системы  пересекаются. Всякая сцепленная система замкнутых подмножеств содержится в некоторой максимальной сцепленной системе. Суперрасширением пространства  называется множество максимальных сцепленных систем замкнутых подмножеств , наделенное волмэновской топологией, т. е. замкнутую предбазу в  образуют множества вида , где  замкнуто в . 
Теорема 1. Для всякого компакта  существует функциональный оператор продолжения функций , удовлетворяющий условиям:
1) ,
2)  для любых ,
3)  для любых ,
4)  для любых , таких, что выполняется .
Доказательство. В основу построения оператора  положим несколько видоизмененную идею, изложенную в работе  (теорема 3.). Для всякой функции  и каждого замкнутого подмножества  положим . Пусть  и . Ясно, что система замкнутых подмножеств является сцепленной и, следовательно, центрированной, причем  - отрезок. Положим  и покажем, что . Допустим, что и зафиксируем произвольный элемент  такой, что . Так как выполняется , то или , или  - противоречие. Положим  для каждой функции  и всякого . Докажем непрерывность функции  для каждой функции . Пусть  и  - произвольная окрестность элемента . Так как семейство  является центрированным, то найдется набор  такой, что . Выберем интервалы  прямой , удовлетворяющие условиям , где  и . Далее для каждого  положим . Нетрудно заметить, что для любого элемента  такого, что для каждого  существует  такое, что , выполняется . Итак, непрерывность функции  для каждой функции  доказана. Таким образом, построен оператор продолжений функций .
Покажем, что выполняются условия 1) – 4) теоремы 1.
Очевидно, выполнение условия 1).
Покажем, что выполняется условие 2) теоремы 1, то есть, что справедливо неравенство  для любых .
Пусть ,  и  такие, что выполняются условия ,  и . Таким образом выполняется равенство . Очевидно, что выполняются следующие неравенства  и . Если , то имеем , если , то . Следовательно, выполняется хотя бы одно из неравенств

или

.

Таким образом, для любого  выполняется хотя бы одно из неравенств

или

и, следовательно, выполняться хотя бы одно из неравенств

или

.

Учитывая определение оператора  получаем, что выполняется хотя бы одно из неравенств

или

.

Таким образом, для любого , выполняется

.

Итак, неравенство  доказано.
Покажем, что выполняется условие 3) теоремы 1, то есть, что выполняется неравенство  для любых . 
Пусть ,  и  такие, что ,  и . Ясно, что . Очевидно, что  и . Заметим, что нетрудно проверить выполнение условий  и . Отсюда следует, что справедливо неравенство , то есть справедливо неравенство

.

Таким образом,

для каждого . Это означает, что  и, следовательно,

,

и

для каждого .
Отсюда получаем

и

и, следовательно,

.

Последнее означает, что выполняется неравенство  для любых .
Докажем выполнение условия 4) теоремы 1. Пусть  и выполняется условие . Покажем, что . Положим  и . Так как , то . Допустим, что для некоторого  выполняется . Тогда существует  такое, что . Так как для любого  выполняется условие , то , то есть . Теорема доказана.
Определение 5. Пусть . Функциональный оператор продолжения функций , удовлетворяющий условиям:
1) ,
2)  для любых , таких, что  называется регулярным.
Теорема 2. Пусть  и  - компакты,  и существует регулярный оператор продолжения функций . Тогда вложение  в  является регулярным. 
Доказательство. Определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является регулярным оператором. Проверка выполнения условия 1) определения 2 осуществляется тривиальным образом. Пусть , причем . Допустим, что . Тогда существуют  такие, что выполняются условия ,  и выполняется условие . Рассмотрим произвольный элемент x такой, что . Ясно, что . Так как , то приходим к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 3. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
1) компакт  является каппа-метризуемым пространством; 
2) для любого (некоторого) вложения  в тихоновский куб  существует регулярным функциональный оператор продолжения функций .
Доказательство. Докажем импликацию . Рассмотрим произвольное вложение . В силу теоремы 1 существует регулярный оператор продолжения функций . Так как  является пространством Дугунджи, то существует -регулярный функциональный оператор продолжения функций . Оператор  является искомым.
Докажем импликацию . Пусть  и  - регулярный оператор продолжения функций. В силу теоремы 2 вложение  в  является регулярным. Остается сослаться на результаты работ . Теорема доказана.
Определение 6. Пусть . Топологический оператор  продолжения топологии пространства называется -регулярным оператором, если отображение удовлетворяет условиям:
1) , ,
2) если , то  для любых ,
3) если , то  для любых .
Теорема 4. Пусть  - компакты,  и пусть существует функциональный оператор продолжения функций , удовлетворяющий условиям:
1) ,
2)  для любых ,
3)  для любых ,
4)  для любых , таких, что выполняется .
Тогда существует -регулярный оператор  продолжения топологии пространства .
Доказательство. Определим топологический оператор  правилом:

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -регулярным оператором.
Выполнение условия 1) определения 4 следует из того, что , .
Пусть . Допустим, что  и пусть . Тогда найдутся функции  такие, что   и выполняется условие . Ясно, что выполняется . Так , то  - противоречие.
Покажем, что если , то  для любых ,
Положим , . Ясно, что . Выберем функции  и  такие, что , , причем выполняется условие. Покажем, что . Допустим противное, то есть, что существует . Тогда . Положим . По построению, для любого  выполняется . Пусть . Ясно, что . Тогда, очевидно, выполняются следующие условия  и . Так как выполняется , то . Последнее означает, что для любого элемента  выполняется , то есть выполняется неравенство для любого - противоречие. Теорема доказана.
Определение 7. Пусть . Топологический оператор  продолжения топологии пространства называется -регулярным оператором ( - натуральное число, отличное от нуля), если отображение  удовлетворяет условиям:
1) , ,
2) если , то  для любых ,
3) для любого покрытия ,  пространства  открытыми множествами,  является покрытием пространства .
Определение 8. Пусть . Функциональный оператор продолжения функций , удовлетворяющий условиям:
1) ,
2)  для любых функций  таких, что ,
4)  для любых , таких, что выполняется 
называется -регулярным.
Справедливо следующее утверждение .
Теорема 5. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
 является абсолютным ретрактом (в классе компактов);
всякое (некоторое) вложение  в тихоновский куб  является 3-регулярным.
Теорема 6. Пусть  - компакт и . Следующие условия равносильны:
компакт  является ретрактом ,
существует -регулярным функциональный оператор продолжения функций .
Доказательство. Доказательство импликации  тривиально.
Докажем импликацию . Пусть  - -регулярный функциональный оператор продолжения функций . Покажем, что существует 3-регулярный оператор  продолжения топологии пространства . Также как и при доказательстве теоремы 4 оператор  определим правилом

для каждого открытого множества . Покажем, что топологический оператор  является -регулярным оператором.
Выполнение условия 1) определения 7 следует из того, что , .
Пусть . Допустим, что  и пусть . Тогда найдутся функции  такие, что   и выполняется . Ясно, что . Так , то  - противоречие.
Покажем, что для любого покрытия , пространства  открытыми множествами,  является покрытием пространства . Положим , , . Ясно, что . Выберем функции  таким образом, что

, , ,

причем выполняется условие . Покажем, что выполняется равенство . Если существует точка

,

то , и, следовательно, выполняется равенство . Последнее противоречит тому, что . Завершение доказательства данной теоремы достигается посредством использования рассуждений, приведенных при доказательстве теоремы 1 из работы . Теорема доказана. 
Из теоремы 6 вытекает
Теорема 7. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
 является абсолютным ретрактом (в классе компактов);
для всякого (некоторого) вложения  в тихоновский куб  существует 3-регулярный функциональный оператор  продолжения функций пространства .

1. Шапиро Л. Б. Об операторах продолжения функции и нормальных функторах // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 1992. № 1. С. 35–42.
2. Вълов В.М. Экстендеры и -метризуемые компакты //  Матем. Заметки. 2011. Т. 89. Вып. 3. С. 331-341.
3. Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения. М.: Мир, 1970. 144 с.
4. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
5. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
6. de Groot J. Superextension and supercompactness. //In: Proc. I Intern. Symp. On extension theory of topological  structures and  its applications. Berlin: VEB Deutsher Verlag Wiss. 1969. S. 89-90.
7. Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // Тенденции и перспективы развития математического образования: Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100‑летию ВятГГУ. Киров. 2014. С. 283-285.
8. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С. 15-19.
9. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7(31). С.45-50.
10. Трухманов В.Б. О некоторых специальных и р-специальных группах // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 (30). С. 5.
11. Широков Л.В. Современные проблемы радиоэлектроники с позиций теории конформных отображений / Ямпурин Н.П., Широков Л.В., Садков В.Д., Потехин В.А. Монография / Арзамасский филиал ННГУ, АПИ филиал НГТУ. Арзамас: Изд-во Арзамасского филиала ННГУ, 2014. 209 с.
12. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
13. Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
14. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.
15. Широков Л.В. Функциональные операторы, ретракты и пространства Дугунджи // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 3-1 (47). С. 41-48.
16. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Т.42. №  2. 297-298.

Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»