Введение

Одним из существенных факторов, влияющих на состояние межзвездной среды (МЗС), являются вспышки сверхновых (СН), которые представляют собой финальную стадию эволюции массивных звезд с массами более 4 масс Солнца. Это процесс взрывного характера, сопровождающийся высвобождением как механической энергии, уносимой веществом, так и энергии в виде излучения. По современным оценкам суммарная энергия выброса составляет 10⁵¹ эрг. Такой выброс энергии возможен при взрыве массивных звезд (более 8 масс Солнца).

Вспышки сверхновых могут играть ключевую роль в динамике отдельных компонентов МЗС в самом широком диапазоне пространственных масштабов и оказывают комплексное влияние на состояние МЗС в целом. Среди наиболее существенных – 1) образование оболочки при уплотнении газа расширяющимся остатком сверхновой (ОСН), с последующей ее фрагментацией на отдельные облака, 2) металлизация вещества МЗС как следствие обогащения тяжёлыми элементами, синтезирующимися в конце эволюции звезд, 3) уплотнение гигантских молекулярных облаков с последующим процессом звездообразования, за которым может последовать новая серия вспышек СН, 4) турбулизация межзвездного газа движущимся со сверхзвуковыми скоростями веществом ОСН при его взаимодействии с неоднородностями МЗС или при возникновении разного рода неустойчивостей. Наблюдения ОСН [1], [2], [3] как в нашей Галактике, так и в других галактиках (Магеллановых облаках, например), во многом подтверждают эти предположения.

Целью данной работы является исследование процессов турбулизации МЗС под влиянием ОСН и получение спектральных характеристик формирующейся турбулентности. Анализируя спектральные зависимости, можно установить масштабы генерации турбулентности и характер механизмов, ее поддерживающих. В случае астрофизических задач, касающихся процессов в МЗС, такой анализ позволяет сопоставить данные наблюдений о реальных распределениях скоростей газа с различными теоретическими моделями.

Постановка математической задачи

Спектры турбулизации МЗС в настоящей работе были построены с использованием расчетных данных из работы [4]. Поскольку в рассматриваемой работе решение имело осевую симметрию (характеристики газа описывались функциями вида f = f(r, z, t)), вычисление спектров кинетической энергии течения газа производится с помощью дискретных преобразований Фурье (z-координата):

(1)

и Фурье-Бесселя (r-координата):

(2)

где  – функция Бесселя,  - положительные нули функции , расположенные в порядке возрастания. При этом обратное преобразование Фу­рье-Бесселя имеет следующий вид:

(3)

Однако для исследования турбулентного движения необходимо предварительно выделить составляющую кинетической энергии, отвечающей вихревым движениям. Это можно сделать, представив скорость газа в виде акустической (сжимаемой) и вихревой (несжимаемой) составляющих [5]:

(4)

где ,  – акустическая и вихревая компоненты соответственно, φ – потенциал скорости, удовлетворяющий уравнению:

(5)

Следовательно, необходимо вначале определить потенциал скорости, по которому далее рассчитать акустическую и вихревую компоненты скорости, а затем и кинетические энергии, отвечающие этим компонентам:

	(6)
	(7)

Далее для полученных величин вычисляются спектры  и  по формулам (1), (2). После замены переменных  и усреднения по θ:

(8)

Получаем окончательно искомые зависимости  и 

Первый этап расчета – определение потенциала скорости газа согласно (5). Численное решение уравнения Пуассона в цилиндрических координатах сводится к процедуре сеточной дискретизации частных производных:

	(9)
	(10)

После подстановки в (5) и упрощений получается следующая система алгебраических линейных уравнений:

(11)

или в матричном виде:

(12)

Точные численные методы решения СЛАУ (например, метод Гаусса, используемый MatLab, или метод матричной прогонки) в данном случае применить затруднительно в виду большой размерности системы (число неизвестных 1024 х 2048). Более эффективными оказываются итерационные методы, не столь требовательные к вычислительным ресурсам. В этой работе был использован циклический метод Чебышева, обладающей хорошей скоростью сходимости.

Итерационные процедуры решения СЛАУ сводятся [6] к решению эволюционного уравнения вида:

(13)

где t – итерационный параметр, играющий роль «времени». Если при , , т.е. итерации сходятся, то получаемое решение будет удовлетворять исходной СЛАУ. Частная производная по t дискретизируется следующим образом:

(14)

где n – номер итерации, τ - шаг псевдовремени (параметр релаксации). В уравнении тогда для процесса итераций  должно выполняться условие для невязки:

(15)

В расчетах невязка была принята равной 10^-5. В циклическом методе Чебышева сходимость на ранней стадии итерационного процесса значительно улучшена за счет того, что параметр релаксации меняется от шага к шагу. Это идея возникла в связи с использованием полиномов Чебышева для ускорения сходимости метода последовательной верхней релаксации. Метод Чебышева использует те же формулы, что и метод последовательной верхней релаксации:

	(16)
	(17)
	(18)

где τ_b- оптимальный параметр релаксации, μ_i - наибольшее по модулю характеристическое число блочной матрицы системы. В методе Чебышева используется переменный параметр релаксации, т.е.

(19)

Следует отметить, что первый шаг соответствует методу Гаусса-Зейделя (τ₀ = 1), после чего параметр релаксации τ постепенно увеличивается в соответствии с (19). В асимптотическом пределе параметр релаксации стремится к оптимальному для метода последовательной верхней релаксации значению τ_b=τ_∞, и поэтому асимптотические свойства метода Чебышева совпадают со свойствами метода последовательной верхней релаксации. Однако на ранних этапах процесса сходимость заметно улучшена.

Полученный потенциал скорости позволяет вычислить акустическую и вихревую компоненты скорости, а затем и соответствующие составляющие кинетической энергии газа по формулам (6), (7). Далее производится разложение этих величин в спектры  и  с помощью последовательного применения дискретных преобразований Фурье и Фурье-Бесселя. Окончательный вид спектров получается согласно (8) путем численного интегрирования по θ методом трапеций.

Результаты моделирования

Расчет спектров турбулентной энергии позволил получить зависимости ε_s(k) для различных моментов времени (см. рисунок 1-2). Видно, что турбулентность формируется уже на ранних стадиях расширения остатка – на временах ~ 4-5·10³ лет. При этом инерционный интервал начинается на масштабах ~ 1-3 пк, соответствующих размерам сжатых облаков, оказавшихся внутри остатка. Это свидетельствует о том, что генерация вихрей связана именно с неоднородностями МЗС. Тем не менее, нельзя утверждать, что турбулентность имеет стационарный характер, поскольку с течением времени как уменьшается амплитуда спектра, так и изменяется его характер. Это связано с потерями энергии вещества остатка как при радиативном охлаждении, так и в следствие общего торможения расширения.

Зависимость величины n = dlg(ε_s(k))/dlg(k), определяющей характер турбулентности, от времени t показана на рисунке 3 и в таблице 1. Видно, что турбулентность на начальных этапах эволюции ОСН имеет транзитный, непостоянный характер. Однако на поздних стадиях, когда вихревые движения внутри остатка связаны с течением вещества по межоблачным каналам и переотражениями слабых ударных волн на облаках и оболочке остатка, спектр турбулентности приобретает наклон – 5/3 (см. рисунок 3), характерный для изотропной турбулентности модели Колмогорова. На временах ~ 1,4·10⁵лет (~2 безразмерных единиц) инерционный интервал начинается на масштабах 1-0,75 пк. Это свидетельствует о том, что механизм генерации турбулентного каскада вихрей имеет соответствующий масштаб – ему отвечают мелкомасштабные филаментные структуры в слое облаков, занимающие до половины объема остатка. В этом имеется сходство с результатами наблюдений, например, работами [7], [8], которые обнаруживают в МЗС мелкомасштабные волокнистые структуры размерами ~1 пк необычно высокой плотности ~10⁴-10⁵ см^-3 и хаотическим распределением скоростей. Вполне вероятно, что своим происхождением они могут быть обязаны древним ОСН, чья эволюция уже перешла на стадию диссипации в МЗС.

Таблица 1: Зависимость величины наклона спектра от времени n(t).

Заключение

В результате данной работы написана программа для анализа турбулентных течений газа. С ее помощью вычислены спектры турбулентности, возникающей при расширении ОСН. Расчеты показали, что облачная среда выступает в качестве первичного генератора турбулентности на масштабах ~ 1 пк. На ранних временах эволюции ОСН характер турбулентности нестационарный с нерегулярным наклоном спектра. Однако на поздних этапах эволюции, на временах ~1,4·10⁵ лет турбулентность становится близкой к изотропной с наклоном спектра ~ -5/3.

1. Heiles C. H I shells, supershells, shell-like objects, and “worms”. // Astrophys. J. Suppl. Series – 1984. – V. 55. – P. 585-595.
2. Georgelin Y. M., Georgelin Y. P., Laval, A., Monnet, G., Rosado M. Observations of giant bubbles in the Large Magellanic Cloud // Astrophys. J. Supply Series – 1984. – V. 54. – P. 459-469.
3. Williams R.M., Chu Y., Dickel J.R., etal. Supernova remnants in the Magellanic Clouds. II. Supernova remnant breakouts from N11L and N86. // Astrophys. J. – 1999. – V.514. – P. 798-817.
4. Барышников А.Н. Моделирование динамики остатка сверхновой в многофазной среде с градиентом плотности // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 5
5. Passot T., Pouquet A., Woodward P. The plausibility of Kolmogorov-type spectra in molecular clouds. // Astron. Astrophys. – 1988. – V.197. – P. 228-234.
6. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.
7. Faison M. D., Goss W. M. The structure of the cold neutral interstellar medium on 10-100 AU scales. // Astropys. J. – 2001. – V.121. – P.2706-2722.
8. Deshpande A. A. The small-scale structure in interstellar HI: a resolvable puzzle. // MNRAS – 2000. – V. 317. – P. 199-204.

Все статьи автора «Барышников Андрей Николаевич»