В работе исследованы две краевые задачи для уравнения смешанного типа

 (1)

где  – область ограниченная отрезками АВ, ВС, СО и ОА прямых , , ,  соответственно;  – характеристический треуголь­ник, ограниченный отрез­­ком ОА оси абсцисс и двумя характеристиками АD: , ОD:  уравнения (1), выходящими из точек А, О и пересекающимися в точке D;  и – заданные коэффициенты, ; .
Задача 1. Найти регулярное в , , решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее краевым условиям ,

, (2)
 (3)

и условиям сопряжения:

  (4)

где , , , , , причем .
Задача 2. Найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме условия (5), которое заменено условием

где , , , , причем .
На отрезке АО имеем функциональное соотношение принесенное из области 

. (5)

Соотношение же между  и , принесенное на отрезок АО из гиперболической части  смешанной области  легко получить выписав решение соответствующей задачи Коши, а затем удовлетворив его краевому условию (3). В результате этих преобразований, находим

, (6)

где

.

Подставляя  из первого уравнения условий (4) во второе, получим

или

,

где

, ,
.

Отсюда, с учетом (5), следует, что

. (7)

Теперь, подставляя  из первого уравнения условий (4) в соотношение (6), будем иметь

или

, (8)

где

, , .

Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (8) через резольвенту  ядра , получим

или

, (9)

где

, .

Подставляя равенство (9) в соотношение (7), будем иметь

.

Отсюда, в результате ряда элементарных преобразований, получим

.

Полагая здесь

, ,

приходим к равенству

.

Интегрируя полученное равенство, будем иметь

.

Меняя порядок интегрирования в третьем слагаемом последнего равенства, получим

или

, (10)

где

, .

Интегрируя равенство (10), будем иметь

.

Вновь меняя порядок интегрирования, но теперь, во втором слагаемом, приходим к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции :

, (10)

где

,


.

Заметим, что  зависит от двух неизвестных постоянных , , первая из которых легко находится из условия (2). В самом деле, из этого равенства, имеем .
Теперь, обращая интегральное уравнение (10), через резольвенту  ядра , будем иметь

. (11)

Очевидно, что функция  представима в виде

,

где

.

Отсюда, с учетом (11), будем иметь

.

Полагая в этом равенстве , получим

.

Таким образом, отсюда находим искомую постоянную , при условии, что . Тогда, функция  однозначно определяется равенством (11), функции же  находятся из соотношения (9), а  – из условий сопряжения (4). Теперь, очевидно, что решение задачи 1, легко найти как решение соответствующей задачи Коши в области  и первой краевой задачи в области , для уравнения (1).
В заключении отметим, что условие  в задаче 1 не является необходимым, так как при его нарушении, условия (4), как легко заметить, представляют собой частный случай условий сопряжения задачи 2, которая исследуется аналогично задаче 1.

1. Елеев В.А., Лесев В.Н. Задачи со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанных уравнений. Конспект лекций. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2003. – 109 с.
2. Желдашева А.О., Лесев В.Н. Краевая задача для смешанного уравнения в ограниченной области // Фундаментальные исследования. 2015. №9-3. С. 460-463.
3. Лесев В.Н. Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Нальчик, 2003.
4. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия Смоленского государственного университета. 2013. № 3 (23). – С. 379-386.
5. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 2012. – № 3 (106). – С. 52-56.
6. Лесев В.Н., Кодзоков А.Х., Бжеумихова О.И., Карова Ф.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа. Конспект лекций. Учебное пособие. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2014. – 110 с.

Все статьи автора «Желдашева Анна Олеговна»