Творцом теории статистических игр принято считать А. Вальда. Согласно его учению – теория принятия решений в статистических играх является основным подходом, в условиях частичной неопределенности.

Игрока в статистических играх принято называть статистиком. При выборе своей стратегии, статистик не полностью уведомлен о состоянии природы (ее стратегии). Несомненно, платой за стремление принятия решения в условиях неполной информации – есть возможность принятия статистиком (игроком) решения не всегда верных (не оптимальных) решений. Благоприятной является такая стратегия статистика, при которой минимизируются негативные последствия. Под «природой» мы будем понимать целостность неизвестных нам факторов, влияющих на выгодность принимаемых решений. Почти любую деятельность человека можно представить в виде игры с природой.

Аспекты принятия благоприятных управленческих решений в статистических играх обычно определяют на основе здравого смысла, практической благоразумности и интуиции. Они позволяют судить о рациональности решения с различных позиций и избежать погрешностей в экономической ситуации. Имеется две группы критериев – использующие и не использующие предшествующие вероятности состояний природы. Если вероятности условий природы известны, то для нахождения наилучшего управленческого решения лицо принимающие решение применяет различные критерии, такие как Байеса и Лапласа, которые применяют понятие среднего значения риска статистика и среднего значения выигрыша. Применяют нижеприведенные варианты выбора оптимальных решений:

1. Известны вероятности состояния внешней среды. Лучшее решение то, при котором среднее ожидаемое значение выигрыша наибольшее. Оно определяется как интегральное произведение выигрышей на соответствующие вероятности всевозможных вариантов.

2. Вероятности допустимых поведений внешней среды неопределенны, но имеются информация об их относительных величинах. В таком случае делается предположение об одинаковой вероятности наступления различных событий, и поступают, как в предыдущем варианте, либо вероятности наступления событий принимаются на основе оценок экспертов.

Игра ведется по согласованным правилам, то есть система условий, описывающая все возможные варианты действий игроков; количество информации каждой стороны о поведении другой; результат игры, к которому приводит каждая данная цепочка ходов.

Выигрыш показывает, какую прибыль получит конкретный игрок при выборе стратегий другими игроками. Единственная цель каждого игрока – максимизация своего выигрыша.

Задача. Предприятие может выпускать 3 вида продукции: A₁, A₂, A₃. Прибыль от продаж товара каждого из вида определяется состоянием спроса, на который значительное влияние оказывает условия внешней среды, которые могут принимать следующие 3 формы: П₁, П₂ и П₃. Зависимость дохода предприятия от вида продукции и условий внешней среды представлена в таблице в (рублях):

Статистиком в игре является предприятие, имеющие 3 стратегии – различные варианты продукций.
Природа – внешняя среда.

Таблица 1 – Платежная матрица игры

Необходимо выбрать благоприятнейшую стратегию, которая обеспечит наибольший выигрыш в условиях статистической неопределенности. Положения состояния природы равновероятные.

Критерий Байеса использует в допущении, что вероятности P_j состояний природы П_j известны. В качестве показателя эффективности чистой стратегии a_i используется средневзвешенный выигрыш при стратегии a_i с весами P1,…,Pn, т.е. величина

, (i=),
Т.е. =max
Если статистику представляются в равной мере правдоподобными все состояния П_j природы, то полагают:
 

В этом случае средний риск следует минимизировать. Однако, заметим, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш, схож со стратегией, минимизирующей средний риск.
Таблица 2 – Критерий Байеса

Состояния природы	Состояние
Стратегии игрока	П1	П2	П3		min	max
А1	7	9	5	7,4	7	9
А2	12	21	18	18,3	12	21
А3	10	13	6	10,3	6	13
Pj	0,2	0,5	0,3	*	*	*
max	12	21	18	*	*	*

Выбираем =max=(7,4;18,3;10,3)=18,3
В качестве оптимальной стратегии выбираем стратегию А2.

Критерий Лапласа учитывает, что наступление всех состояний природы равновозможные, то есть:
 
Учитывая это ищем оптимальную стратегию, то есть такую, что=max. В соответствии с критерием:
A1= = 
A2= = 
A3= = 
Выбираем максимум.
В качестве оптимального выбираем стратегию А2.

Критерий Вальда для смешанной стратегии формулируется так:

оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой минимальный средний выигрыш статистика  будет максимальным,  =  (5,12,6) = 12 (из минимального выбираем максимальное).
Следовательно, по критерию Вальда следует выбрать стратегию А2.

По критерию Севиджа оптимальной считается та чистая стратегия
Составим матрицу рисков для исходной матрицы:

Таблица 3 – Матрица рисков игры

По критерию выбираем min_i     max_j a_ij = min_i    (13,0,12)=0 
(из максимального выбираем минимальное). 
По данному критерию выбираем стратегию А2.

Критерий Гурвица позволяет задать степень оптимистичности/пессимистичности при поиске оптимальной стратегии. Эта степень задается коэффициентом λ. Так как вероятность успеха достаточно велика, будем оптимистически настроены и примем коэффициент λ = 0,8. 
В соответствии с критерием:
, 0=λ=1
A1= 0,8 *5+(1- 0,8 )*9 =5,8
A2= 0,8 *12+(1- 0,8 )*21=13,8
A3= 0,8*6+(1- 0,8 )*13=7,4
Оптимальной по критерию является стратегия А2.
Из проделанной работы можно сделать следующий вывод, при данных условиях оптимальным вариантом выбора игрока А следует считать альтернативу А₂. Так как по основным критериям теории игр данная альтернатива оказалась оптимальной.

1. Беляевский И.К., Ряузов Н.Н., Ряузов Д.Н. Статистика торговли. Учебник. М.: Финансы и статистика. 2013. – 224 с.
2. Дубров А.М., Лагоша Б.А, Хрусталев Е.Ю.;  Лагоши Б.А.  Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе: Учебное пособие – М.: Финансы и статистика, 2000.— 176 с.
3. Зольникова С.Н., Малютина Т.В, Глухова М.Г, Бузмакова Э.Н. Бизнес-статистика: макро и микроуровень (в схемах и таблицах): Учебно-практическое пособие  - Тюмень: ТюмГНГУ, 2006.-192 с.
4. Иванов Ю.Н. Экономическая статистика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям и направлениям. – 2-е изд., доп.. – М.: Инфра-М, 2004. – 479 с.
5. Малютина Т.В., Зольникова С.Н. Статистика коммерческой деятельности: Конспект лекций.: – Тюмень: ТюмГНГУ, 2004. – 200 с.
6. Пленкина В.В., Малютина Т.В., Зольникова С.Н. Статистика коммерческих предприятий: Учебное пособие. – Тюмень: ТюмГНГУ, 2005. – 206 с.

Все статьи автора «agent2520»