Абелевы группы без кручения ранга 2, представимые в виде подпрямой суммы абелевых групп без кручения ранга 1 образуют важный для изучения подкласс класса абелевых групп без кручения конечного ранга, а описание таких групп достаточно актуально в теории абелевых групп. В работах автора [1] – [4] ранее изучались группы из данного подкласса.
Определение 1. Пусть  прямое произведение абелевых групп. Подгруппа G группы А называется подпрямой суммой групп А_i, если отображение  для каждого номера i, где – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель А_iявляется эпиморфизмом [5].
Группа G является подпрямой суммой групп А и В тогда и только тогда, когда существует группа F и такие эпиморфизмы  и , что  для любых элементов  и [5]. 
Группу F назовем порождающей группой, а эпиморфизмы  и  – определяющими эпиморфизмами для группы G – подпрямой суммы групп А и В. 
Необходимые термины и обозначения приведены в работах [1-10].
Также будем использовать стандартные обозначения:  – наибольший общий делитель целых чисел х и у,  – соответственно, их наименьшее общее кратное.
В данной статье продолжено изучение строения одного подкласса класса абелевых групп – так называемых специальных или s-групп (определение дается ниже) – в зависимости от основного элемента.
Далее, всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В – рациональные делимые, G – подпрямая сумма групп А и В, порождающую группу которой обозначаем через F, а также введем обозначения:  и .
Символом  обозначаем циклическую абелеву группу, порожденную элементом , символом  множество всех подпрямых сумм групп А и B с порождающей группой .
Определение 2. Абелева группа называется рациональной если она изоморфна группе Q рациональных чисел или ее подгруппе [5].
Определение 3. Абелева группа А называется делимой, если для любого натурального числа п: пА = А [5].
Пусть Т – некоторое числовое множество, х – некоторый элемент произвольной группы, тогда  будем обозначать множество . 
Определение 4. Пусть группа , , . Будем говорить, что группа G обладает основным элементом , если ,. Такую группу мы будем называть специальной или s-группой.
Пусть G – s-группа с основным элементом . Введем следующие обозначения:

где n – натуральное число , p простое число, т, т’ – целые числа, взаимно простые с числом р. 
Предложение 1. Для любого натурального числа п множество  с операцией сложения является группой.
Доказательство. Пусть п – произвольное натуральное число. Покажем сначала, что  (*) для любого целого числа k. 
Пусть . Условие (*) очевидно для взаимно простых чисел k и d, так как  и, следовательно, по определению, принадлежит . 
Пусть , и пусть , . Поскольку, очевидно, , а также, как известно, числа  и  взаимно просты, то получаем: 

Далее рассмотрим два произвольных элемента

 и 

из множества  и покажем, что их сумма также принадлежит .
Пусть , причем , . Тогда
 , 
Поскольку, как нетрудно видеть, , то, следовательно,  . Откуда вытекает, что  есть группа.
Докажем аналогичное утверждение для множества .
Предложение 2. Пусть G – s-группа. Для любого простого числа р множество  образует группу подгруппу группы G.
Доказательство. Покажем также сначала, что произведение ru содержится в  для любого целого числа r и любого элемента .
Пусть для некоторых простого числа р и натурального числа i элемент . Тогда для взаимно простых чисел k и p, очевидно, . 
Пусть , где , и пусть . Тогда

Установим теперь замкнутость множества  относительно операции сложения. Рассмотрим два произвольных элемента

 и 

из множества  и покажем, что их сумма также принадлежит .
Пусть . Тогда
. 
Поскольку, как нетрудно видеть,

,

то, следовательно, . Откуда вытекает, что  есть группа. 
Предложение 3.  для любого натурального числа i и для любого простого числа p.
Доказательство непосредственно следует из определения множества 
Определение 5. Пусть группы А и В изоморфны рациональной группе  для некоторого простого числа р. И пусть для некоторой группы G* выполняются следующие условия:
1) группа G* является подпрямой суммой групп А и В, с порождающей группой ;
2) группа G* обладает основным элементом.
Тогда группу G* будем называть р-специальной (или ps-группой).
Теорема 1. Пусть G – s-группа с основным элементом . Тогда, для любого простого числа р, выполняются условия: 
подгруппа  группы G является рs-группой;
группа может быть получена как объединение своих подгрупп, образующих бесконечную возрастающую цепь:

где .
Доказательство. Рассмотрим группу для некоторого простого числа p. Тогда по определению, для некоторых рациональных групп  и . Покажем, что группа  образует подпрямую сумму групп  и , порожденную группой , с основным элементом . 

Пусть элемент , причем числа т и рⁱ взаимно просты. Тогда найдется такое целое число m‘ взаимно простое с числом рⁱ, что элемент  принадлежит группе  – подгруппе группы . Но, по предложению 2 [5], если m” также целое число, причем числа m” и m‘ не сравнимы по модулю рⁱ в кольце целых чисел, то элемент  и, следовательно, . 
Таким образом, доказано, что проекция  является эпиморфизмом. Аналогично доказывается, что эпиморфизмом также является проекция . 
Следовательно, можем сделать вывод, что во-первых группа  есть подпрямая сумма групп  и , а, во-вторых, порождающей группой является группа .
Из определения групп и  для каждого целого положительного числа i, непосредственно следует условие 2.
Теорема 2. Пусть G – s-группа с основным элементом  и с порождающей группой , и пусть элемент , причем . Тогда существуют и причем, с точностью до нумерации, единственные простые числа р₁, р₂, …, р_r такие, что

,

где

, , , …, .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть п – целое положительное число, . И пусть для некоторых целых чисел k и т взаимно простых с числом п элемент . Тогда, очевидно, имеет место следующее равенство:

,

где s, t, k’ и m’ – целые числа, причем k’ и m’ – наименьшие положительные, что , . Кроме того,  и  (см. [4]), следовательно, . 
Пусть  каноническое разложение числа п на простые множители. Как известно, такие простые числа р₁, р₂, …, р_rсуществуют и единственны с точностью до нумерации. Нетрудно видеть, что найдутся целые числа х₁, у₁, х₂, у₂, …, х_r, y_r такие, что

.

Введя обозначения:

, , …, ,

а также , мы докажем требуемое утверждение.

1. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп //
   Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С. 15-19.
2. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп //
   Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С. 45-50.
3. Трухманов В.Б. О некоторых специальных и р-специальных группах // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 (30). С. 5.
4. Трухманов В.Б. O подпрямой сумме делимых рациональных групп и ее основных элементах // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1(48). С. 6-10.
5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.
6. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
7. Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
8. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.
9. Широков Л.В. Современные проблемы радиоэлектроники с позиций теории конформных отображений / Ямпурин Н.П., Широков Л.В., Садков В.Д., Потехин В.А. Монография / Арзамасский филиал ННГУ, АПИ филиал НГТУ. Арзамас: Изд-во Арзамасского филиала ННГУ , 2014. 209 с.
10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Т. 42. № 2. С. 297-298.

Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»