Изучение геометрии касательных расслоений начинается с основополагающей работы [1] Сасаки, опубликованной в 1958 году. Сасаки, используя риманову метрику g, заданную на гладком многообразии X, определяет риманову метрику G на касательном расслоении TX многообразия X. Конструкция Сасаки основана на естественном расщеплении (имеющему место благодаря существованием на римановом многообразии связности Леви-Чивиты) касательного расслоения TTX многообразия TX в прямую сумму вертикального и горизонтального распределений, слои которых изоморфны слоям расслоения TX. Нечетным аналогом касательного расслоения является распределение D почти контактной метрической структуры (, , , g). Также как и расслоение TTX, касательное расслоение TD, благодаря заданию связности над распределением [2] (а затем, и N-продолженной связности – связности в векторном расслоении (X,D)), расщепляется в прямую сумму вертикального и горизонтального распределений. Как показано в [2, 3], на многообразии D, тем самым, естественным образом определяется почти контактная метрическая структура, позволяющая, например, придать инвариантный характер аналитическому описанию механики со связями. В работе [3] на многообразии D определяется геодезическая пульверизация связности над распределением, являющаяся аналогом геодезической пульверизации, заданной на пространстве касательного расслоения TX и имеющая ясную физическую интерпретацию: проекции интегральных кривых геодезической пульверизации связности над распределением совпадают с допустимыми геодезическими (траекториями движения механической системы со связями). Предлагаемая работа посвящена развитию идеи обобщения конструкции Сасаки [1] на случай нечетной размерности.
Кручение внутренней линейной связности [4] S по определению полагается равным

S,  =  -  - p[, ].

Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем

 =  - .

Так же как и связность в объемлющем пространстве, внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством некоторого векторного расслоения. В случае внутренней связности в качестве такого расслоения выступает распределение D. Говорят, что над распределением D задана связность, если распределение ), где разбивается в прямую сумму вида , где  – вертикальное распределение на тотальном пространстве D. 
В работе [2] было введено понятие продолженной связности. Продолженная связность всегда рассматривается относительно некоторой связности над распределением и определяется разложением TD =  VD, где HD  . Как следует из определения продолженной связности, для ее задания достаточно задать векторное поле  на многообразии D, имеющее следующее координатное представление  где эндоморфизм  может быть выбран произвольно. Будем называть кручением продолженной связности кручение исходной внутренней связности. В дальнейшем продолженную связность будем называть N-продолженной связностью.
Теорема. Существует N-продолженная метрическая связность, однозначно определяемая следующими условиями:
1.  (свойство метричности),
2.  -  - p[, ]= (отсутствие кручения),
3. N – симметрический оператор, такой, что

, (8)

где  - сечения распределения D, : - проектор.
Доказательство. Первые два условия теоремы однозначно определяют внутреннюю метрическую связность [7]. Альтернируя вторую ковариантную производную, получаем: .
Сравнивая полученный результат с (8), находим явное выражение для эндоморфизма N:
. Если , то полагаем N=0. Тем самым теорема доказана.

1. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. Vol. 10. P. 338-354.
2. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 3. С. 17-22.
3. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 1-9.
4. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 1. С. 16-22.

Все статьи автора «Галаев Сергей Васильевич»