Метод конечных элементов в различных своих вариациях широко применяется во многих областях знаний. Ниже представлена подборка материалов, которые могут быть интересны студентам и выпускникам строительных ВУЗов, а так же практикующим инженерам-проектировщикам.

Книга J. N. Reddy «An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis» [1] может быть использована в качестве начального руководства по анализу нелинейных конечных элементов. Она включает в себя подробные формулировки основных понятий, компьютерное выполнение изложенных алгоритмов, примеры и упражнения. Следует выделить обучающий, ориентированный на пользователя стиль и систематизированное, пошаговое введение в предмет.

Книга P.I. Kattan и G.Z. Voyiadjis «Damage Mechanics With Finite Elements. Practical Application With Computer Tools» [2] описывает исследования в механике разрушений с применением конечных элементов. Акцент сделан на программирование метода конечных элементов для применения в этой области знаний. Книга содержит исследования по разложению на части пустот и трещин применительно к механике разрушений. Обучающая версия программы метода конечных элементов содержится на CD-ROM, прилагаемом к книге. Это руководство направлено на выпускников ВУЗов и исследователей в строительстве, аэрокосмическом машиностроении и изучении материалов.

В книге «Finite Element Design of Concrete Structures» [3] G.A. Rombach предлагает пересмотреть слепую веру в компьютерные вычисления. Автор считает, что в связи с наплывом информации в них упускаются важные детали. Ошибки в числовых моделях в чрезвычайных обстоятельствах могут приводить к строительным провалам, как показало обрушение так называемой платформы Слейпнера. Книга представляет практические проблемы конкретных сооружений и решение их основных моментов, в которых сложные числовые вычисления не следует использовать для компенсации отсутствия практических знаний о структурном поведении строения. Такая подача материала будет интересна и для практикующих инженеров-строителей, и для студентов, которые используют программное обеспечение для проектирования конкретного сооружения.

В книге G. R. Liu и S. S. Quek «Finite Element Method: A Practical Course» [4] представлена методика для проектирования и анализа инженерных систем, включая микроструктурные системы, в которых может быть применен метод конечных элементов. Изучение основ используется для демонстрации теорий, методов, техники и практических приложений, используются численные диаграммы и таблицы. Примечательно, что в теории и примерах используется коммерческое программное обеспечение ABAQUS, хотя авторы отмечают, что читатель может использовать и другие программные обеспечения, такие как NASTRAN, ANSYS, MARC и т.д. Еще одной особенностью этого издания является то, что авторы сделали доступным для свободного скачивания в интернете полный набор слайдов PowerPoint, представленный в их курсе по МКЭ. Таким образом, цель этой книги – снабдить необходимыми теоретическими и практическими знаниями метода конечных элементов читателей, которые могут использовать коммерческое программное обеспечение для решения линейных проблем в машиностроении и строительстве с упором на строительную механику и термодинамику. Издания подобного рода можно считать удачным симбиозом маркетинговой программы новой вычислительной системы и обучающего курса по расчету и проектированию объектов.

Издательство Oxford University Press (г. Окфорд, Великобритания) долгие годы выпускало учебную литературу промежуточного уровня в области прикладной математики в рамках серии «Oxford Applied Mathematics And Computing Science Series». В настоящее время эта серия возобновлена как «Oxford Texts In Applied And Engineering Mathematics» и расширена за счет включения ряда текстов, основанных на учебных курсах, которые объясняют математические и вычислительные методы, необходимые для решения фундаментальных и прикладных задач. Одним из изданий в рамках этой серии стал справочник I. Elishakoff и Y. Ren «Finite Element Methods for Structures With Large Stochastic Variations» [5]. Авторы впервые исследовали применение метода конечных элементов для структур с большим количеством стохастических вариаций. Книга ориентирована на выпускников ВУЗов, лекторов и исследователей в инженерных приложениях и науке, интересующихся методом конечных элементов.

В книге F. Hartmann и C. Katz « Structural Analysis With Finite Elements» [6] представлены теоретические основы и практическое применение метода конечных элементов в структурном анализе на языке, который близок инженерам-строителям. Издание посвящено строительной механике в целом, а не только методу конечных элементов, в нем исследуются и объясняются многие вопросы, связанные с точностью расчетов, различными допущениями и гипотезами. В дополнительном разделе обсуждается метод граничных элементов. Отдельно стоит отметить доступность приведенного в книге в качестве примера программного обеспечения. Книга знакомит с новыми основами для метода конечных элементов, которые дают возможность инженерам-строителям обратиться с ключевыми вопросами, возникающими при компьютерном моделировании сооружения с конечными элементами.

В книге A. Ern и J. L. Guermond «Theory and Practice of Finite Elements» [7] представлена математическая теория конечных элементов, начиная с простых вычислений в теории приближений и интерполяции конечных элементов и вплоть до новейших исследовательских тем. Учебник состоит из трех основных разделов. Первая часть развивает теоретические основы метода конечных элементов, тогда как вторая и третья части посвящены различным применениям и практическим выполнениям метода. Написанная для выпускников университета, книга содержит числовые примеры и упражнения и может также быть полезной и для студентов, и для исследователей.

Книга P. Solin «Partial Differential Equations and the Finite Element Method» [8] является очень доступным и систематизированным введением в современную теорию дифференциальных уравнений в частных производных и метода конечных элементов для их эффективного решения. Автор учел растущую сложность и многоуровневую природу современных научных и инженерных проблем. Введение в дифференциальные уравнения в частных производных и метод конечных элементов, содержащееся в главах 1-4, является сутью и основой публикации. Пятая глава книги посвящена современным методам высшего порядка для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые создаются методом линий в полудискретных зависящих от времени дифференциальных уравнениях. В шестой главе обсуждаются дифференциальные уравнения четвертого порядка, описывающие изгиб упругих балок и пластин, и приближение их к решению с помощью полиномов Эрмита и Аргириса высших порядков. Наконец, седьмая глава представляет читателю различные дифференциальные уравнения и описывает их приближения конечными элементами.

Говоря о методе конечных элементов, нельзя не упомянуть одну из основополагающих книг в этой области – O. C. Zienkiewicz и L. R. Taylor «The Finite Element Method (vol. 1, The Basis)» [9]. Впервые опубликованная в 1967 г., она постоянно дорабатывалась и переиздавалась, оставаясь актуальной для нескольких поколений инженеров. В 2000 году в свет вышло 5-е издание. Написанное блестящим в своей области профессором, это новое издание о методе конечных элементов сохраняет общий стиль прежних книг и авторитетно объединяет последующие события в этой динамично развивающейся области. Книга состоит из трех томов, содержащих базу метода и его применение для развития механики твердого тела и динамики жидкости. Том 1 содержит широкий обзор метода конечных элементов; направленный на студентов последних курсов, выпускников университетов и профессиональных инженеров, он является полным введением в метод. Том 2 и том 3 представляют нелинейную механику твердого тела, строительную механику и динамику жидкости соответственно. Все три части важны для прочтения выпускниками ВУЗов и профессиональными инженерами, работающими в этой области.

Этой авторской команде принадлежит еще одна ключевая для инженеров и исследователей, занимающихся анализом и моделированием структур, от больших строительных проектов до малых инженерных компонентов, книга – «The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics» [10]. В ней описано применение метода конечных элементов к механике твердого тела и строительной механике. Рассмотрены особенности решения при малых и больших деформациях в линейном и нелинейном приближениях. Вышедшее в 2013 году уже 7-ое издание этого проекта характеризуется полным обновлением и перестройкой содержания книги, включением новых глав, посвященных использованию репрезентативных объемных элементов, дифференциальной геометрии, фоновой математике и теории линейной оболочки.

Книга Thomas J. R. Hughes «The Finite Element Method» [11] основана на курсе, который автор преподавал в Калифорнийском Технологическом Институте и в Стенфордском Университете более 10 лет.

Вопросы, рассмотренные в главах 1-6, дают возможность справиться с проблемами собственных и начальных значений. Формулировки этих проблем – предмет седьмой главы. Главы 8-10 представляют основные алгоритмические стратегии для решения систем дифференциальных уравнений, соответствующих различным начальным условиям. В одиннадцатой главе представлена компьютерная программа линейного статического и динамического анализов. Программа названа DLEARN и содержит очень полную библиотеку инструментов метода конечных элементов. Дополнительные разделы касаются тем научных исследований, что делает книгу полезной и для аналитических работ в области конечных элементов. Книга предназначена в основном для людей, окончивших университет с ученой степенью, и студентов последнего курса технических специальностей, хотя и не предполагает глубокой математической подготовки. Наличие вводного материала в математическую теорию конечных элементов и важных математических выводов делают её идеальным начальным учебником для работ по этому предмету. Однако, следует отметить абсолютно математическую подачу материала, что в свою очередь требует определенной подготовки и навыков.

Приведенный в данной статье список, конечно, не является полным, это лишь подборка наиболее значимых и полных книг, посвященных методу конечных элементов. Раздел современной научной литературы стремительно пополняется новыми работами, дополненными и переработанными переизданиями, переводами зарубежных книг. Многие из них доступны для скачивания в интернете. Такой огромный объем информации часто вызывает необходимость структурирования и выборки. Надеемся, что наша статья будет полезна в этом аспекте.

1. Reddy J.N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Оксфорд: Oxford University Press, 2004. 488 с.
2. Kattan P.I., Voyiadjis G.Z. Damage Mechanics with Finite Elements: Practical Application with Computer Tools. Берлин: Springer, 2002. 113 с.
3. Rombach G.A. Finite element design of concrete structures: Practical problems and their solutions. Лондон: Thomas Telford Publishing, 2004. 300 с.
4. Liu G.R., Quek S.S. The Finite Element Method: A Practical Course. Оксфорд: Butterworth-Heinemann, 2003. 384 с.
5. Elishakoff I., Ren Y. Finite Element Methods for Structures with Large Stochastic Variations. Оксфорд: Oxford University Press, 2003. 272 с.
6. Hartmann F., Katz C. Structural Analysis with Finite Elements. Берлин: Springer, 2004. 484 с.
7. Ern A., Guermond J. L. Theory and Practice of Finite Elements (Applied Mathematical Sciences). Берлин: Springer, 2004. 526 с.
8. Solin P. Partial Differential Equations and the Finite Element Method. Нью-Джерси: Wiley-Interscience, 2005. 504 с.
9. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method: Vol. 1, The basis. Оксфорд: Butterworth-Heinemann, 2000. 707 с.
10. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Fox D.D. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Оксфорд: Butterworth-Heinemann, 2013. 672 с.
11. Thomas J. R. Hughes. The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Нью-Йорк: Dover Publications, 2000. 704 с.

Все статьи автора «Земцова Ольга Григорьевна»