Результаты, приведенные в данной статье, возникли под влиянием вопросов теории топологических операторов, изученных в работах , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через обозначается топология пространства .
Определение 1. Пусть и - топологические пространства. Всякое отображение называется топологическим оператором. Топологический оператор - называется -регулярным оператором ( - натуральное число, отличное от нуля), если отображение инъективно и удовлетворяет условиям:
1) ,
2) если , то для любых ,
3) для любого покрытия , пространства открытыми множествами, является покрытием пространства .
Лемма 1. Если - нормальное пространство, - -регулярный оператор и , то является -регулярным оператором для любого .
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Начало индукции суть условие леммы. Допустим, что то является -регулярным оператором и докажем его -регулярность. Предположим противное. Тогда существует покрытие пространства открытыми множествами такое, что не является покрытием пространства . Положим . Рассмотрим два семейства и открытых подмножеств пространства . В силу предположения противного ни одно из них не является покрытием пространства . Следовательно, подмножества и замкнутые непересекающиеся непустые подмножества пространства . Так как - нормальное пространство, то существуют открытые в множества и такие, что и , причем . В силу предположения индукции семейства открытых множеств и пространства являются покрытиями . Тогда и , а это противоречит тому, что . Лемма доказана.
Определение 2. Пусть и - сюръективное отображение. Топологический оператор называется оператором продолжения топологии пространства относительно отображения , если выполняется условие для любого .
Лемма 2. Если существует -регулярное вложение компакта в тихоновский куб , то и всякое вложение в произвольный компакт является -регулярным.
Доказательство леммы не сложно и основано на классических свойствах тихоновских кубов.
Из лемм 1 и 2 и результатов работы вытекает
Теорема 1. Для компакта следующие условия эквивалентны:
1) является абсолютным ретрактом (в классе компактов);
2) всякое вложение в тихоновский куб является 3-регулярным.
Доказательство. Доказательство импликации тривиально и основано на леммах 1 и 2 и результатах работы .
Докажем импликацию . Пусть - произвольный компакт, и - 3-регулярный оператор продолжения топологии пространства . Двойственный оператор продолжения замкнутых подмножеств пространства обозначим через . Для любого замкнутого подмножества пространства выполняется . Для каждой точки через обозначим семейство всех замкнутых подмножеств пространства таких, что . Ясно, что для любого семейство является центрированным и, следовательно, для любого множество не пусто. Покажем, что для любого выполняется . Допустим противное, т. е. существует и такие, что . Выберем непересекающиеся открытые множества соответственно содержащие и . Тогда точка содержится или в , или в . Последнее противоречит правилу построения множеств . Отображение определим правилом для любого .
Докажем непрерывность отображения . Пусть – произвольное открытое подмножество бикомпакта и – произвольная точка множества . Выберем окрестность точки в такую, что . Положим . Ясно, что . Покажем, что для любого выполняется . Достаточно показать, что . Допустим, что . Выберем открытое подмножество такое, что и . Выполнение условия и приводит к противоречию.
Таким образом, - искомая ретракция. Теорема доказана.
Пространство называется совершенно каппа-нормальным, если всякое каноническое замкнутое в множество является множеством нулей некоторой непрерывной на вещественной функции . Ясно, что если является компактным, то это равносильно тому, чтобы каждое каноническое замкнутое подмножество имело тип в .
Лемма 3. Пусть - совершенно каппа-нормальный компакт, - всюду плотное в подпространство и точка такая, что для любого замкнутого подмножества типа в , содержащего эту точку, пересечение множества с не пусто. Тогда , где - стандартное отображение стоун-чеховской компактификации пространства на .
Доказательство. Допустим, что . Обозначим через семейство всех замкнутых типа подмножеств пространства , содержащих точку . Ясно, что для любого элемента . Так как отображение замкнуто, то для любого . Заметим, что для любого счетного подсемейства выполнено , т. е. семейство является центрированным. Так как - компакт, то множество не пусто. Выберем в точки и такие, что и . Рассмотрим непересекающиеся окрестности и этих точек в . Так как отображение неприводимо, то множества и являются каноническими замкнутыми подмножествами , причем . Так как для любого элемента , то для любого . Отсюда следует, что замкнутое типа в множество не может принадлежать семейству . Это означает, что точка содержится в . Так как точка принадлежит множеству , то - противоречие. Лемма доказана.
Предложение 1. Для того, чтобы множество было всюду плотным псевдокомпактным подмножеством совершенно каппа-нормального компакта необходимо и достаточно, чтобы любое замкнутое подмножество типа в имело непустое пересечение с .
Доказательство. Необходимость. Пусть - всюду плотное псевдокомпактное подпространствосовершенно каппа-нормального компакта и - замкнутое типа подмножество . Так как для каждого центрированного счетного семейства открытых в множеств имеет место , то .
Достаточность. Пусть - произвольная счетная центрированная система открытых подмножеств пространства . Тогда семейство является центрированным в , т. е. множество не пусто. Так как компакт совершенно каппа-нормален, то множество имеет тип в и, следовательно, . Пусть . Ясно, что , т. е. пространство является псевдокомпактным. Предложение доказано.
Теорема 2. Стоун-чеховская компактификация всюду плотного и псевдокомпактного подмножества совершенно каппа-нормального компакта совпадает с .
Доказательство. Пусть - стандартное отображение на . Из предложения 1 следует, что любое замкнутое подмножество типа в имеет не пустое пересечение с множеством . В силу леммы 3 выполняется для любой точки , т. е. - гомеоморфизм. Теорема доказана.
Так как всякий каппа-метризуемый компакт совершенно -нормален, то из теоремы 2 вытекает
Следствие 1. Стоун-чеховская компактификация всюду плотного и псевдокомпактного подмножества каппа-метризуемого компакта совпадает с .
Лемма 4. Если - 1-регулярное вложение псевдокомпактного пространства в тихоновский куб , то является стоун-чеховским расширением пространства .
Доказательство. Так как является совершенно каппа-нормальным компактом, то справедливость данного утверждения обосновывается теоремой 2. Лемма доказана.
Теорема 3. Для псевдокомпактного пространства следующие условия эквивалентны:
1) является каппа-метризуемым пространством;
2) существует 1-регулярное вложение в тихоновский куб .
Доказательство. Докажем импликацию . Так как пространство каппа-метризуемо и псевдокомпактно, то стоун-чеховское расширение является каппа-метризуемым компактом . Для завершения доказательства данной импликации остается воспользоваться результатами работ .
Докажем импликацию . Пусть - 1-регулярное вложение псевдокомпактного пространства в тихоновский куб . В силу лемма 4 является стоун-чеховским расширением пространства . Кроме того, 1-регулярно вложено в тихоновский куб и, следовательно, является каппа-метризуемым пространством . Для завершения данной импликации остается воспользоваться теоремой 2 . Теорема доказана.
Следствие 2 . Каждое псевдокомпактное каппа-метризуемое пространство удовлетворяет условию Суслина.
Пример. Полученные результаты позволяют построить пример псевдокомпактного каппа-метризуемого пространства , для которого существует вложение в тихоновский куб, не являющееся 1-регулярным. Для построения этого вложения достаточно взять такое псевдокомпатное каппа-метризуемое пространство, у которого существует компактное расширение , не являющееся стоун-чеховским, и рассмотреть произвольное вложение его в некоторой тихоновский куб . Сужение этого вложения на пространство является искомым.
Библиографический список
- Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
- Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
- Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
- Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
- Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 283-285.
- Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
- Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
- Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
- Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. 176 с.
- Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys 42 (2). 297-298.
- Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976. т. 31. вып. 5. С. 191-226.
- Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
- Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.
- Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки. 2013. № 9. С. 3-9.
- Чигогидзе А.Ч. О -метризуемых пространствах // Успехи математических наук. 1982. Т. 37. Вып. 2 (224). С. 241–242.
Количество просмотров публикации: Please wait