Результаты, приведенные в данной статье, возникли под влиянием вопросов теории топологических операторов, изученных в работах , там же можно найти определение всех используемых понятий, терминов и обозначений. Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства .
Определение 1. Пусть  и  - топологические пространства. Всякое отображение  называется топологическим оператором. Топологический оператор  - называется -регулярным оператором ( - натуральное число, отличное от нуля), если отображение  инъективно и удовлетворяет условиям:
1) , 
2) если , то  для любых ,
3) для любого покрытия ,  пространства  открытыми множествами,  является покрытием пространства . 
Лемма 1. Если  - нормальное пространство,  - -регулярный оператор и , то  является -регулярным оператором для любого .
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Начало индукции суть условие леммы. Допустим, что то  является -регулярным оператором и докажем его -регулярность. Предположим противное. Тогда существует покрытие  пространства  открытыми множествами такое, что  не является покрытием пространства . Положим . Рассмотрим два семейства  и  открытых подмножеств пространства . В силу предположения противного ни одно из них не является покрытием пространства . Следовательно, подмножества  и  замкнутые непересекающиеся непустые подмножества пространства . Так как  - нормальное пространство, то существуют открытые в  множества  и  такие, что  и , причем . В силу предположения индукции семейства открытых множеств  и  пространства являются покрытиями . Тогда  и , а это противоречит тому, что . Лемма доказана.
Определение 2. Пусть  и  - сюръективное отображение. Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства  относительно отображения , если выполняется условие  для любого .
Лемма 2. Если существует -регулярное вложение компакта  в тихоновский куб , то и всякое вложение  в произвольный компакт является -регулярным.
Доказательство леммы не сложно и основано на классических свойствах тихоновских кубов.
Из лемм 1 и 2 и результатов работы  вытекает
Теорема 1. Для компакта  следующие условия эквивалентны:
1) является абсолютным ретрактом (в классе компактов);
2) всякое вложение  в тихоновский куб  является 3-регулярным.
Доказательство. Доказательство импликации  тривиально и основано на леммах 1 и 2 и результатах работы .
Докажем импликацию . Пусть  - произвольный компакт,  и  - 3-регулярный оператор продолжения топологии пространства . Двойственный оператор продолжения замкнутых подмножеств пространства  обозначим через . Для любого замкнутого подмножества  пространства  выполняется . Для каждой точки  через  обозначим семейство всех замкнутых подмножеств  пространства  таких, что . Ясно, что для любого  семейство  является центрированным и, следовательно, для любого  множество  не пусто. Покажем, что для любого  выполняется . Допустим противное, т. е. существует  и  такие, что . Выберем непересекающиеся открытые множества  соответственно содержащие  и . Тогда точка  содержится или в , или в . Последнее противоречит правилу построения множеств . Отображение  определим правилом  для любого . 
Докажем непрерывность отображения . Пусть  – произвольное открытое подмножество бикомпакта  и  – произвольная точка множества . Выберем окрестность  точки  в такую, что . Положим . Ясно, что . Покажем, что для любого  выполняется . Достаточно показать, что . Допустим, что . Выберем открытое подмножество  такое, что  и . Выполнение условия  и приводит к противоречию. 
Таким образом,  - искомая ретракция. Теорема доказана.
Пространство  называется совершенно каппа-нормальным, если всякое каноническое замкнутое в  множество является множеством нулей некоторой непрерывной на  вещественной функции . Ясно, что если  является компактным, то это равносильно тому, чтобы каждое каноническое замкнутое подмножество  имело тип  в .
Лемма 3. Пусть  - совершенно каппа-нормальный компакт,  - всюду плотное в  подпространство и точка  такая, что для любого замкнутого подмножества  типа  в , содержащего эту точку, пересечение множества  с  не пусто. Тогда , где  - стандартное отображение стоун-чеховской компактификации  пространства  на .
Доказательство. Допустим, что . Обозначим через  семейство всех замкнутых типа  подмножеств пространства , содержащих точку . Ясно, что  для любого элемента . Так как отображение  замкнуто, то  для любого . Заметим, что для любого счетного подсемейства  выполнено , т. е. семейство  является центрированным. Так как  - компакт, то множество  не пусто. Выберем в  точки  и  такие, что  и . Рассмотрим непересекающиеся окрестности  и  этих точек в . Так как отображение  неприводимо, то множества  и  являются каноническими замкнутыми подмножествами , причем . Так как  для любого элемента , то  для любого . Отсюда следует, что замкнутое типа  в  множество  не может принадлежать семейству . Это означает, что точка  содержится в . Так как точка  принадлежит множеству , то  - противоречие. Лемма доказана.
Предложение 1. Для того, чтобы множество  было всюду плотным псевдокомпактным подмножеством совершенно каппа-нормального компакта  необходимо и достаточно, чтобы любое замкнутое подмножество  типа  в  имело непустое пересечение с .
Доказательство. Необходимость. Пусть  - всюду плотное псевдокомпактное подпространствосовершенно каппа-нормального компакта  и  - замкнутое типа  подмножество . Так как для каждого центрированного счетного семейства  открытых в  множеств имеет место , то .
Достаточность. Пусть  - произвольная счетная центрированная система открытых подмножеств пространства . Тогда семейство  является центрированным в , т. е. множество  не пусто. Так как компакт  совершенно каппа-нормален, то множество  имеет тип  в  и, следовательно, . Пусть . Ясно, что , т. е. пространство  является псевдокомпактным. Предложение доказано.
Теорема 2. Стоун-чеховская компактификация  всюду плотного и псевдокомпактного подмножества  совершенно каппа-нормального компакта  совпадает с .
Доказательство. Пусть  - стандартное отображение  на . Из предложения 1 следует, что любое замкнутое подмножество  типа  в  имеет не пустое пересечение с множеством . В силу леммы 3 выполняется  для любой точки , т. е.  - гомеоморфизм. Теорема доказана.
Так как всякий каппа-метризуемый компакт  совершенно -нормален, то из теоремы 2 вытекает
Следствие 1. Стоун-чеховская компактификация  всюду плотного и псевдокомпактного подмножества  каппа-метризуемого компакта  совпадает с .
Лемма 4. Если  - 1-регулярное вложение псевдокомпактного пространства  в тихоновский куб , то  является стоун-чеховским расширением пространства . 
Доказательство. Так как  является совершенно каппа-нормальным компактом, то справедливость данного утверждения обосновывается теоремой 2. Лемма доказана. 
Теорема 3. Для псевдокомпактного пространства  следующие условия эквивалентны:
1) является каппа-метризуемым пространством;
2) существует 1-регулярное вложение  в тихоновский куб .
Доказательство. Докажем импликацию . Так как пространство  каппа-метризуемо и псевдокомпактно, то стоун-чеховское расширение  является каппа-метризуемым компактом . Для завершения доказательства данной импликации остается воспользоваться результатами работ .
Докажем импликацию . Пусть  - 1-регулярное вложение псевдокомпактного пространства  в тихоновский куб . В силу лемма 4  является стоун-чеховским расширением пространства . Кроме того,  1-регулярно вложено в тихоновский куб  и, следовательно, является каппа-метризуемым пространством . Для завершения данной импликации остается воспользоваться теоремой 2 . Теорема доказана.
Следствие 2 . Каждое псевдокомпактное каппа-метризуемое пространство удовлетворяет условию Суслина. 
Пример. Полученные результаты позволяют построить пример псевдокомпактного каппа-метризуемого пространства , для которого существует вложение в тихоновский куб, не являющееся 1-регулярным. Для построения этого вложения достаточно взять такое псевдокомпатное каппа-метризуемое пространство, у которого существует компактное расширение , не являющееся стоун-чеховским, и рассмотреть произвольное вложение его в некоторой тихоновский куб . Сужение этого вложения на пространство  является искомым.

1. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.
2. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.
3. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.
4. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.
5. Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 283-285.
6. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.
7. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.
8. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.
9. Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. 176 с.
10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys 42 (2). 297-298.
11. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976. т. 31. вып. 5.  С. 191-226.
12. Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.
13. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.
14. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки. 2013. № 9. С. 3-9.
15. Чигогидзе А.Ч. О -метризуемых пространствах //  Успехи математических наук. 1982. Т. 37. Вып. 2 (224). С. 241–242.

Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»