Рассмотрим стационарную краевую задачу на области 
, представленную разрешающими уравнениями в перемещениях [1, c.75]:
в 
, (1)
на 
. (2)
Вариационная постановка задача (1), (2):
в 
(3)
на 
(4)
Случай прямоугольной области
Проведем триангуляцию прямоугольной области на сетке 
, 
и пронумеруем треугольники конечных элементов:
Рисунок 1. Триангуляция области 
.
Для перехода от непрерывной задачи к дискретной в качестве приближенного решения 
берем:
, (5)
где 
базисная функция, заданная на области 
. Конечный элемент, соответствующий внутреннему узлу сетки с координатами 
и с заданными на нем функциями 
, имеет вид:
Рисунок 2. Конечный элемент с координатами 
.
В таблице 1 приведено соответствие областей 
, базисных функций 
и их частных производных в узлах сетки 
[2, с.184].
Таблица 1. Вид базисных функций и их частных производных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (5) в (4), получаем:
.
Пусть
,
,
,
тогда
. (6)
Учитывая необходимое и достаточное условие минимума функционала (6), приходим к системе:
,
или
(7)
где 
, 
.
Прямоугольная область состоит из одного основного конечного элемента (рис. 3г) и из восьми видов конечных элементов на границе (рис. 3).
а б в
г д е ж з и
Рисунок 3. Виды конечных элементов.
Вычисление элементов 
, 
и 
для внутренних узлов
Основные конечные элементы (рис. 3г)
Рассмотрим конечный элемент, соответствующий узлу с координатами 
. Он имеет пересечения с конечными элементами, координаты которых 
, 
, 
, 
, 
, 
. Следовательно, интегрирование может проводиться только по этим пересечениям. Например, для узлов 
и 
интегрирование проводится по областям 
и 
(рис. 4).
Рисунок 4. Пересечение конечных элементов для узлов 
и 
.
При этом области 
соответствует функция 
узла 
и функция 
узла 
. Для области 
от узла 
берется функция 
, а от узла 
– функция 
. Таким образом, например, элемент матрицы 
на данном пересечении будет вычисляться следующим образом:
.
Учитывая это, элементы 
, 
и 
для внутренних узлов вычисляются следующим образом:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Введем обозначения:
, 
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
,
,
.
Тогда система (7) в развернутом виде:
(8)
Вычисление элементов 
, 
и 
для угловых узлов
Угол А
Конечный элемент (рис. 3в)
,
,
,
,
, 
, 
, 
,
,
,
,
.
Система (7) имеет вид:
(9)
Угол В
Конечный элемент (рис. 3а)
,
,
,
, 
, 
,
,
,
.
Система (7) в развернутом виде:
(10)
Угол C
Конечный элемент (рис. 3з)
,
,
,
,
, 
, 
, 
,
,
,
,
.
Система (7) имеет вид:
(11)
Угол D
Конечный элемент (рис. 3и)
,
,
,
, 
, 
,
,
,
.
Система (7) в развернутом виде:
(12)
Вычисление элементов 
, 
и 
для граничных узлов
Сторона AВ
Конечный элемент (рис. 3д)
,
,
,
,
,
, 
, 
, 
,
,
,
,
,
,
.
Система (7) приобретает вид:
(13)
Сторона ВС
Конечный элемент (рис. 3б)
,
,
,
,
,
, 
, 
, 
,
,
,
,
,
,
.
Система (7) в развернутом виде:
(14)
Сторона СD
Конечный элемент (рис. 3е)
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Система (7) имеет вид:
(15)
Сторона АD
Конечный элемент (рис. 3ж)
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Система (7) в развернутом виде:
(16)
Случай трапециевидной области
Рассмотрим аппроксимацию поставленной задачи методом конечных элементов, где 
трапеция 
, а 
. Проведем триангуляцию области с шагами 
, 
, 
(рис. 5).
Вычисление коэффициентов 
, 
и 
, соответствующих конечным элементам 8 – 13 было рассмотрено в случае прямоугольной области. Остановимся подробнее на каждом из элементов 1 – 7.
Рис. 5. Триангуляция трапециевидной области.
Вычисление элементов 
, 
и 
для внутренних узлов
треугольной области
Основные конечные элементы 3 (рис.5)
На сетке 
, 
базисные функции и их частные производные представлены в таблице 2.
Таблица 2. Вид базисных функций и их частных производных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
Элементы 
не изменятся. Тогда система (7) приобретает вид:
(17)
Вычисление элементов 
, 
и 
для внутренних узлов
границы изменения области AD
Конечные элементы 6 (рис.5)
Базисные функции и их частные производные представлены в таблице 3.
Таблица 3. Вид базисных функций и их частных производных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы 
, 
и 
для внутренних узлов границы изменения области вычисляются следующим образом:
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
Элементы 
не изменятся и система (7) в развернутом виде:
(18)
Вычисление элементов 
, 
и 
для угловых узлов
Угол Е
Конечный элемент 1 (рис.5)
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Таким образом, система (7) принимает вид:
(19)
Угол D
Конечный элемент 7 (рис.5)
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Система (7) в развернутом виде:
(20)
Вычисление элементов 
, 
и 
для граничных узлов
треугольной области
Сторона АЕ
Конечные элементы 2 (рис.5)
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Система (7) принимает вид:
(21)
Вычисление элементов 
, 
и 
для граничных узлов
треугольной области
Сторона ЕD
Конечные элементы 4 (рис.5)
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Следовательно, система (7) примет вид:
(22)
Вычисление элементов 
, 
и 
для граничного узла А
Конечный элемент 5 (рис.5)
, 
, 
, 
,
,
, 
, 
, 
,
,
, 
, 
, 
.
Система (7) в развернутом виде:
(23)
Библиографический список
- Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высш. шк., 1990. 400 с.
- Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 416 с.