Настоящая работа посвящена фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей с различными вязкостью и плотностью, жидкости разделены свободной границей.
Движение жидкости с постоянной плотностью 
в области 
описывается системой уравнений фильтрации Дарси
(1) 
(2) 
где 
давление в жидкости, 
в 
, 
в 
и 
- матрица проницаемости.
На свободной границе 
контакта жидкостей выполняются условия
(3) 
где 
есть нормальная скорость границы контакта в направлении нормали 
. Условие (3) означает, что граница 
есть материальная поверхность. Этот факт позволяет найти слабую формулировку проблемы Маскета: пусть
тогда неизвестные функции 
, 
, 
и 
удовлетворяют системе фильтрации Дарси, записанной в виде:
На границе 
выполняется условие:
(4) 
Хорошо известно, что система фильтрации Дарси есть асимптотический предел системы Стокса, когда размер поры стремится к нулю. Но система Стокса на микроскопическом уровне – специфический случай более общей системы
(5) 
(6) 
для перемещения 
и давления 
. Микроскопическая система (5), (6) описывает совместное движение жидкости в пористой среде и упругом твердом скелет и понята в смысле распределений. 
- симметричная часть 
, 
- характеристическая функция порового пространства, 
бесконечно малый размер поры,
- средний размер поры, 
характерный размер рассматриваемой области, 
и 
- соответствующие значения безразмерных плотностей жидкостей в порах и твердом скелете, 
- сила тяжести, 
есть вязкость жидкости, и 
- постоянная Ламе.
Так как
(7) 
то
(8) 
и предлагается продолжить функцию скорости в упругий скелет следующим образом:
(9) 
где 
есть временной шаг, 
- момент времени, 
- функция перемещения жидкости на границе упругого тела. Предложенное продолжение функция скорости в твердое тело приводит к тому, что возникает более гладкая свободная граница.
Библиографический список
- S. Antontsev , A. Meirmanov , B. V. Yurinsky, A Free Boundary Problem for Stokes Equations: Classical Solutions. Interfaces and Free Boundaries 2, (2000), 413-424
-
A.Meirmanov, The free boundary Muskat problem: some methods of mathematical modeling in porous media. Submitted to Mathematical Models and Methods in Applied Sciences.