Рассмотрим методы идентификации и обработки экспериментальных данных, связанные с разработкой композиционных материалов со специальными свойствами. Неизвестные параметры оцениваются на основе сравнения значений их функциональных и структурных характеристик (устанавливаются экспериментально и/или  по результатам моделирования), что дает возможность определять поправки к первоначальным значениям параметров и добиться требуемой точности оценки неизвестных параметров методом последовательных приближений [2,3].
С математической точки зрения кинетические процессы во многих дисперсных системах могут быть описаны диф­ферен­циальным уравне­нием второго порядка
(). При анализе таких кинетических процессов необходимо учитывать не только скорость изменения контролируемого параметра, но как минимум и ускорение.
В отклонениях от равновесного состояния x = x_m  здесь будем иметь:
.        (1)
Пусть  – корни характеристического уравнения .
При  имеем

,

При  с учетом  
будем иметь

 .

Откуда

Тогда

 (2)

Имеем

Из  = 0 следует

.

Откуда

,

или

.

Так что точке перегиба соответствует значение t = t_n, оп­ределяемое из условия

(3)

 (при t = t_n вогнутость сменяется на выпуклость).
Займемся определением ₁ и ₂ по эксперимен­тально полученному виду . Так как ₂ < ₁ , то в (2) составляющая  затухает быстрее, чем аналогичная составляющая, со­ответствующая корню ₂. Поэтому значение ₂ можно определить по концу экспериментально полученного процесса .
Без ограничения общности рассуждений можно принять x_m = 1 (равносильно масштабированию).
В силу предыдущего

.(4)

Определим значение t₁ такое, чтобы при t > t₁ выпол­ня­лось

.

Должны иметь

, , .

Откуда

, .

Таким образом,

, t>>t_n.

Введем

.

Тогда

.

Откуда

; , .

Из  следует

,  ;
 

Откуда

.(5)

Введем

.

Имеем

,, ; при .

Справедливо

Так что в интервале (1, )  не превышает e. Поэтому уравнение (5) имеет решение  лишь при .
Откуда следует , и ₂  должно удовлетворять условию .         При этом  (тогда ).
Из (3) следует

; .

Из

<0

следует, что  с ростом r уменьшается.
Отметим,

.

График функции , полученный аппроксимацией таблич­ных значений решений уравнения (5) при различных  методом наименьших квадратов, приводится на рис. 1.

Рис.1. Вид функции r = r(ν)

Найдем зависимость корней ₁, ₂ (определяют вид кинети­ческого процесса) от параметров модели ₀ и n (определяют упру­гие и демпфирующие свойства материала).
Из

следует

.

При этом  при .
Справедливо

        
        
        
        

Вид зависимостей  и  приводится на рис.2.

Рис.2. Вид функций  и 

Введем безразмерный коэффициент демпфирования , . Его величина определяется структурой и фи­зи­­ко-химическими свойствами материала.
Имеем

         

Справедливо

=

Откуда следует

.

Как видим, с ростом  значение  растет.
Предложенный подход эффективно использовался при разработке композиционных материалов специального назначения и анализе других сложных систем [1,4…6].

1. Данилов А.М., Гарькина И.А. Сложные системы: идентификация, синтез, управление: монография. – Пенза: ПГУАС. – 2011. – 308 с.
2. Данилов А.М., Гарькина И.А. Современная общая методология идентификации систем: моделирование свойств материалов / Региональная архитектура и строительство.  – 2010. – №1 (8). –  С.11-14.
3. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М. Декомпозиция динамических систем в приложениях / Региональная архитектура и строительство. – 2013. – № 3. – С. 95-100.
4. Гарькина И.А., Данилов А.М., Королев Е.В. Математическое и компьютерное моделирование при синтезе строительных композитов: состояние и перспективы / Региональная архитектура и строительство. – 2010. – № 2. – С. 9-13.
5. Сорокин Д.С., Данилов А.М. Методика оптимизации структуры и свойств композиционных материалов // Современные научные исследования и инновации. –  Май 2014. - № 5[Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/05/34828
6. Будылина Е.А., Мурачев Е.Г., Гарькина И.А., Данилов А.М. Решения уравнения клейна ‒ гордона типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 5 (часть 5). – С. 1000-1005.

Все статьи автора «fmatem»