Рассмотрим гетерогенную систему, динамическая модель которой имеет вид

. (1)

Изменение контролируемого параметра системы описывается решением  задачи Коши при начальных условиях , которое определяется корнями характеристического уравнения

 .

Уравнение (1) эквивалентно

.

Справедливо

;

n _o - корни действительные ( - корни кратные);

 .
.

Увеличение  ведёт к уменьшению абсциссы  точки перегиба процесса . При  процесс  определяется значением . Таким образом, значение  должно находиться в некотором интервале: большие значения  могут привести к чрезмерно быстрому увеличению контролируемого параметра в начале процесса; малые значения  - к чрезмерно длительному времени его выхода на эксплуатационное значение. Отметим, что увеличение  (уменьшение ) соответствует увеличению _o . Отсюда следует, что увеличение  ведёт к постепенному переходу гетерогенной системы в гомогенную (), возможно и с потерей необходимых свойств. Так что, как и следовало ожидать, гомогенная система является предельной для гетерогенной при  →0.
Качество композиционного материала определяется и значением  (или ), которое также должно лежать в определённом диапазоне.
Приходим к возможности использования для оценки качества композиционного материала функционала

 ,

где  - весовые константы.
Без ограничения общности рассуждений можно принять  (это равносильно масштабированию ).
Подставляя и , получим:
.
Границы областей  равных оценок качества композиционного материала определятся как линии уровня функции , а области – двойными неравенствами

,

где N - балльность шкалы, k - класс (оценка качества) композиционного материала в баллах в выбранной шкале.
Границы областей равных оценок определятся функциями

,

где

,
, .

Заметим, везде предполагается 1. Случай комплексно-сопряжённых корней не рассматривается. В этом случае выход изучаемой характеристики материала на эксплуатационное значение носит колебательный характер.
Методика уточнения весовых констант  изложена в [1, с.220].
Идентификация областей равных оценок легко осуществляется по числовым значениям , определенных на основе сравнения расчётных границ областей с экспериментальными.
Если требуется улучшить класс системы (качество материала), имеющей параметры  (им соответствует ), то можно воспользоваться вектором-градиентом ; класс системы улучшается при движении в антиградиентном направлении.
Предложенная методика использовалась при синтезе материала на основе Вольского ПЦ 400 Д-20 с суперпластификатором С-3 (товарного, лёгкой и тяжёлой фракций), исходя из обеспечения требуемой кинетики набора прочности.
Параметрическая идентификация рассматриваемого процесса сводится к определению одной из совокупностей , , , . Значения  определяются по экспериментальным зависимостям . 
В результате уточнения значений параметров из условий обеспечения адекватности модели и процесса  были получены значения: x_m = 85; t_n = 2,8; ₂ = 0,07; ₁ = 0,77; = 1,81; _o = 0,232; n = 0,42; балльная оценка (с точки зрения кинетики набора прочности) 
Улучшение класса системы производилось с использованием направления ; является направляющим вектором нормали к линии уровня, проходящей через точку M_o (1,81; 0,232):

или

.

Как следует из расположения линий уровня, для улучшения класса системы следует уменьшить . Тогда, задав шаг , найдём соответствующее изменение _o из условия, чтобы точка лежала на нормали со стороны вектора .
Таким образом, для улучшения класса системы требуется на указанные величины уменьшить и увеличить _o .
Как показали эксперименты по определению влияния молекулярных фракций суперпластификатора С-3 на кинетику набора прочности цемента, можно считать .
Из

 ,

следует , что в окрестности , то есть для уменьшения  следует увеличить ₁ .
В частности, при  получим точку , лежащую на линии уровня  (качество материала в точке  лучше, чем в ). В этой точке (соответствует использованию лёгкой фракции).
Предложенная методика синтеза, исходя их оптимальных параметров кинетических процессов и по областям равных оценок функционала качества, эффективно использовалась при решении и ряда других задач [2…6].

1. Данилов А.М., Гарькина И.А. Сложные системы: идентификация, синтез, управление: монография. – Пенза: ПГУАС. – 2011. – 308 с.
2. Данилов А.М., Гарькина И.А. Современная общая методология идентификации систем: моделирование свойств материалов / Региональная архитектура и строительство.  – 2010. – №1 (8). –  С.11-14.
3. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М. Декомпозиция динамических систем в приложениях / Региональная архитектура и строительство. – 2013. – № 3. – С. 95-100.
4. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М., Махонин А.С. Основные принципы проектирования сложных технических систем в приложениях / Молодой ученый. – 2013. – № 5. – С. 42-45.
5. Гарькина И.А., Данилов А.М., Ермолаева Е.И., Зарецкий А.М. Сложные системы модульной структуры: композиты, автономные исследования сепаратных подсистем / Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. – 2011. – № 1 (15). – С. 152-156.
6. Гарькина И.А., Данилов А.М., Королев Е.В. Математическое и компьютерное моделирование при синтезе строительных композитов: состояние и перспективы / Региональная архитектура и строительство. – 2010. – № 2. – С. 9-13.

Все статьи автора «fmatem»