Замкнутость неравновесной системы. Определим замкнутую модель как модель неравновесной системы, где учтены «внутри» модели все существенные для проводимого анализа величины и их взаимосвязи [1]. Классическими моделями такого рода являются модели Вальда, Вальраса и Эрроу-Дебре [2]. Одним из примеров такой модели могут являться модели межцеховых связей на предприятии, так называемая «модель чистых обменов» (модель Гейла [3]).Структура замкнутой неравновесной системы представлена на рис.1.

Рис.1

Формализация параметров замкнутой модели неравновесных систем. Пусть номенклатура всех изделий (продуктов) определена номерами i из множества  так, что . Набор изделий (продуктов) определим вектором , в котором ,  - нечетко задаваемое количествоi–го изделий (продукта). Компонента  задана в виде интервала [1,4].
Интервал – это выпуклая нечеткая величина, функция принадлежности которой задается следующим образом:

.

Интервалы задаются четверкой параметров , где  и  - соответственно нижнее и верхнее модальное значение интервала, а  и представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости.
При задании интервала компоненты , могут быть применены следующие варианты:
а) нижнее и верхнее модальное значение интервала совпадают, а  и  равны нулю, тогда количество i–го изделий (продукта) z_iн определяется с неопределенностью равной нулю. Формально определим =(z_imin=z_iн, z_imax=z_iн, 0 ,0), где z_imin - нижнее модальное значение , а z_imax- верхнее модальное значение . В этом случае существует четкое задание количества i–го изделий (продукта), как показано на рис.2, где _ziн - значение степени принадлежности интервалу;
б) количество i–го изделий (продукта) z_iн определяется с неопределенностью отличной от нуля (как показано на рис. 3), причем =(z_imin, z_imin, 0, ),т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают;

 
Рис. 2 Рис. 3

в) количество i–го изделий (продукта) z_iн может быть получено из интервала [А,В] (как показано на рис.4) с неопределенностью равной единице, причем =(А=z_imin,В=z_imax, 0, 0), где А – нижнее модальное значение (минимально возможное значение изделия (продукта)), В – верхнее модальное значение (максимально – возможное количество изделия (продукта);
г) количество i–го изделий (продукта) z_iн может быть получена из интервала значений [А,С], так что в интервале [А,В] неопределенность получения равна единице (). Формально определим =(А=z_imin, В=z_imax, 0, ) (как показано на рис.5), где =С-В.
д) количество i–го изделий (продукта) z_iн может быть получена из интервала значений [А,D], так что в интервале [В,C] неопределенность получения равна единице (). Формально определим =(B=z_imin, C=z_imax, , ) (как показано на рис.6), где =B-A, =D-C. 
Для дальнейшего исследования параметров замкнутой модели неравновесной системы определим операцию суммирования для интервалов, в виде которых задаются количества i–го изделий (продукта), а также ограничения-квоты.

 
Рис.4 Рис. 5

Рис.6

Если не существует ограничений на производство-потребление, будем считать, то компонента z_iн задается по варианту а), т.е. z_iн=(z_imin,z_imin,0,0).
Любое производство представляет собой преобразование исходных продуктов в выпускаемые изделия (продукты), как показано на рис. 7.

Рис.7

Исходные продукты назовем затратами [2], а выпускаемые изделия (продукты), которые гарантированно могут быть проданы – выпусками. При нечетком задании ограничений-квот на потребление и нечетких ограничения–квот на производство затраты и выпуска также будут описываться в виде интервалов.
Определим формально набор затрат в виде вектора , а выпуски – в виде вектора , где ,  и ,  - нечетко задаваемое количество i–го исходного и j-го выпускаемого изделия (продукта) соответственно. Как компонента , так и компонента  заданы в виде интервалов.
Способы задания интервалов компонент исходного ,  и выпускаемого продукта ,  аналогичны заданию интервала компоненты количества продуктов , .
Определение 1. Нечетким стационарным состоянием процесса производства изделия называется двойка .
Определение 2. Разность векторов  называется нечетким вектором чистых выпусков.
Производство представляет собой систему элементов производства неравновесной системы, занятых производством изделий (продуктов). Определим множество Р={Р₁,Р₂,…Р_m}, как множество элементов производства. Каждый элемент производства Р_k,  характеризуется технологическим множеством G_k={,,…,}, , т.е. вектором всех возможных для Р_k,  производственных процессов, где  - l–ый нечеткий производственный процесс (состояние) k-го элемента производства.
Определим состояние элемента производства Р_k,  в виде нечеткой двойки , где ={,,…,} – нечеткий вектор затрат (изделий продуктов, необходимых для производства), а ={,,…,} – нечеткий вектор выпусков k–го элемента производства.
Определение 3. Множество W={<,>,<,>, …,<,>} состояний всех элементов производства P_k, k=1,…,m называется состоянием производственной части неравновесной системы.
Определение 4. Технологически реализуемым назовем такое нечеткое состояние  элемента производства P_k, если выполняется условие

G_k, (1)

где  - операция включения нечеткого состояния  в k-ое технологическое множество. 
Результат операции нечеткого включения множества  в нечеткое множество  определится через степень включения :

,

где  - функции принадлежности нечетких переменных, «» - операция импликации нечетких переменных, а «» - операция конъюнкции, которая берется по всем хХ. Если степень нечеткого включения , то полагают, что нечеткое множество  нечетко включается в нечеткое множество . В противном случае считают, что нечеткое множество  нечетко не включается в нечеткое множество .
Очевидно, что если условие (1) выполняется для каждого нечеткого элемента из множества W, то нечеткое состояние элементов производства неравновесной системы технологически реализуемо.
Нечеткий вектор всех (полных) выпусков неравновесной системы определим, как:

, (2)

вектор всех (полных) затрат неравновесной системы определим, как:

, (3)

Тогда нечеткий вектор производимых изделий (продуктов) для потребления (нечеткий вектор чистых выпусков) неравновесной системы определится как:

, (4)

Нечеткую компоненту ,  вектора  следует рассматривать как чистый выпуск i–го продукта в неравновесной системе, например, как алгебраическое превышение полного выпуска i–го изделия (продукта) над величиной полных затрат этого изделия (продукта) по всем элементам производства неравновесной системы.
Для замкнутой неравновесной системы условие технологической реализуемости состояний (2) элементов производства дополняется условием неотрицательности нечеткого вектора (4) чистых выпусков, которое имеет вид

0, (5)

т.к. затрачиваемые изделия (продукты) производятся в этой же неравновесной системе. Причем проверка на положительность интервала производится при сравнении интервала  и действительного числа – 0.
Условие (5) отвечает требованию сбалансированности производственного процесса в неравновесной системе.

1. Финаева Е.В. Разработка моделей и методов исследования сложных неравновесных систем с применением нечетких оценок. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Таганрог, 2003
2. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономики. – М.: Мир, 1964.
3. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
4. Заргарян Ю.А. Разработка и исследование методов принятия решений в условиях неполноты данных при нечетком описании параметров моделей. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук / Южный федеральный университет. Таганрог, 2012
5. Заргарян Е.В., Заргарян Ю.А. Информационное обеспечение для задач многокритериальной оптимизации по методу парето. Информатизация и связь. 2013. № 2. С. 114-118.

Все статьи автора «Заргарян Елена Валерьевна»