Применение классических методов исследования и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается недостаточно эффективным для решения ряда современных прикладных проблем: задач моделирования, численного аналитического интегрирования уравнений, имеющих неединственное решение и других исследований.
В теории уравнений с частными производными хорошо зарекомендовали себя групповые методы, основанные на теории Ли-Бэклунда. Однако в случае обыкновенных дифференциальных уравнений классический групповой анализ практически не дает ощутимого преимущества перед традиционными методами, особенно для уравнений низших порядков.
Дискретно-групповой метод оперирует с конкретным классом дифференциальных уравнений. При этом если весь класс не интегрируется в квадратурах, группа преобразований является дискретной [1].
Множество обыкновенных дифференциальных уравнений называется классом уравнений D, если каждый элемент D(a)D однозначно определяется вектором параметров a этого элемента. Множество допустимых значений вектора a образует пространство параметров R(D).
Параметр уравнения , не изменяющийся под действием операций растяжения и сдвига (х и у – независимая и зависимая переменные соответственно), называется существенным.
Множество D преобразований G, замкнутое на выбранном классе обыкновенных дифференциальных уравнений D, называется дискретной группой преобразований G, допускаемой классом D.
Каждый элемент группы gi G переводит любой элемент класса D(a) в некоторый элемент того же класса D(a), что порождает алгебраическое представление действия этого элемента
gi : D(a) D( i ) bi =F(a)
Знание дискретной группы преобразований, допускаемой классом, позволяет установить дискретную симметрию класса D в пространстве параметров R(D) и описать ее на основе алгебраических соотношений; разбить класс D на непересекающиеся подклассы эквивалентности – орбиты точек, т.е. множества всех уравнений данного класса, связанных между собой преобразованиями, являющимися элементами группы – по группе G и ее расширениям; найти точные решения всех элементов некоторой орбиты группы, если эта орбита содержит хотя бы одно обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого известно.
Многие прикладные задачи теории групп решаются значительно быстрее и эффективнее при использовании систем компьютерной математики. К системам такого класса относится система компьютерной математики GAP.
Так с помощью системы существенно проще, чем путем ручных расчетов, можно найти минимальную систему порождающих соотношений для конечной группы преобразований гипергеометрического уравнения Гаусса и все элементы группы, используя следующий алгоритм:
1) задать свободную группу F соответствующего ранга (ранга определяется количеством порождающих элементов группы);
2) указать, что под a и b будут пониматься порождающие элементы свободной группы F;
3) указать список тривиальных слов;
4) тогда группа будет получена как фактор-группа;
5) найти элементы полученной с помощью стандартной функции группы.
Приведем программу для системы Gap
gap> F:=FreeGroup(“a”,”b”);
gap> a:=F.1;b:=F.2;
gap>G:=F/rels;
gap>l:=AsList(G);
Таким образом, применение системы Gap позволит частично автоматизировать процесс получения дискретных групп преобразований обыкновенных дифференциальных уравнений.
Библиографический список
- Зайцев, В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. Ч. 2. / В. Ф. Зайцев, Т.В. Кормилицына. – Л., 1985, ВИНИТИ N3720-85. Деп. 29 мая1985 г. – 150 с.