НЕПРЕРЫВНЫЕ АНАЛОГИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ТИПА ДЛЯ ВЫБОРОЧНЫХ СОЦИАЛЬНО – ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОБСЛЕДОВАНИЙ

Основоположник теории полезности и потребительского спроса У. Джевонс считал экономику наукой стохастической: «Такие сложные законы, как законы экономики… невозможно точно определить в каждом конкретном случае. Их действие можно обнаружить только для совокупностей и методом средних» [1]. На современном языке это значит: «Законы экономики носят вероятностный характер и должны изучаться статистическими методами». В этой ситуации основным аналитическим инструментарием обработки результатов социально-экономических обследований служит выборочный метод [2]. Ранее автор рассмотрел проблему стохастического описания случайной выборки из неоднородных совокупностей, основанного на обобщениях распределений гипергеометрического типа [3].

В тех случаях, когда объем выборки составляет менее 10% от мощности генеральной совокупности, что практически всегда выполняется в маркетинговых и социальных работах, гипергеометрическое распределение без заметной потери в точности может быть заменено биномиальным распределением [4, с.104]. Но в ряде случаев при изучении социально-экономических объектов, например, потребительских рынков, приходится иметь дело с непрерывными распределениями, представленными таблицей значений компонент непрерывного случайного вектора (показателей, измеренных в сильных шкалах). В этой связи важно разобраться с видом соответствующих непрерывных распределений, что позволит не только построить выборочные оценки для обработки данных маркетинговых исследований, но и работать непосредственно со статистической отчетной информацией.

Первая конечная разность для биномиального [4, п. 2.2.1] распределения (БР)

,

где θ – априорная вероятность «успеха» в каждом отдельном опыте, приближенно имеет вид

(1)

В формуле (1) использовано, что при больших объемах выборочного ансамбля можно считать, что   .

При распределение bi(m|n) становится непрерывным: . Конечные разности являются прямыми аналогами производных соответствующих порядков, в силу чего из соотношения (1) мы приходим к уравнению вида

,

где m – «непрерывное количество успехов», а обозначает функцию плотности вероятностей (ФПВ) непрерывного БР. Но, в силу симметрии «успехов» и «неуспехов» в схеме испытаний Бернулли можно записать: .

Это позволяет записать выражение для ФПВ непрерывного БР в виде

Многомерный случай схемы Бернулли, когда есть r вариантов исхода опыта, описывается [4, п. 6.4.1] полиномиальным распределением (ПР) вида

где подразумевается, что .

По аналогии с двумерным случаем (описываемым БР), r- мерное «непрерывное полиномиальное распределение» (НПР) должно иметь вид

. (2)

Значение параметра найдем из условия нормировки функции распределения к 1:

. (3)

Используя [5, п.2.2.5.1] соотношение вида

,       (4)

где В(…,…) – бета-функция, которая определена в виде [6, п.V.А.3.3]

,

путем последовательного интегрирования выражения (3) получаем:

Тогда ФПВ непрерывного ПР (НПР), учитывая (1-2), запишется в виде

. (5)

Для соответствующей функции распределения (ФР) можно записать:

 ,

где случайный вектор определен в виде

.

В правой части этого выражения стоит ФР распределения Дирихле [7]. Его ФПВ имеет вид .

Отметим, что в популярном справочнике [4, п.6.4.5] в описание распределения Дирихле вкрались ошибки. Заметим также, что распределение
Дирихле, служит, как и непрерывное полиномиальное распределение (5), многомерным аналогом бета- распределения [4, п.6.2.7].

Если в серии n испытаний Бернулли с r
непрерывными исходами рассматривается распределение абсолютного числа различных исходов опытов, то мы имеем дело с НПР (5). Если же рассматривается распределение долей различных исходов опытов, то его описывает распределение Дирихле. В частности, непрерывное БР имеет вид

,

а двумерное распределение Дирихле имеет вид

Первые центральные моменты компонент случайного вектора , подчиненного распределению Дирихле, вычисляются в виде

Для определения вектора мод (наиболее вероятных значений) для вектора , подчиненного распределению Дирихле, запишем:

.

Откуда следует, в силу произвольности нумерации компонент вектора , что в точке глобального максимума правомерно записать .

Из выражений для параметров , в силу , тривиально следуют соотношения для соответствующих параметров НПР.

Пример. В данном сорте водки должно содержаться 100% воды, 100% – этилового спирта, а остальное – допустимый процент примесей. Взята проба объемом n литров этой водки. НПР определяет вероятность абсолютных значений
фактически обнаруженных в пробе составляющих водки, а распределение – вероятность фактически зарегистрированных и
долей этих составляющих в пробе.

На соотношение (2) можно взглянуть иначе, представив его в виде

. (6)

В этом случае случайными величинами будут n и . Иное значение приобретет и константа . Из условия нормировки

.

путем последовательного интегрирования с использованием выражения (4), находим: .

Таким образом, распределение (6) имеет вид

.

Назовем выражение (7) непрерывным структурированным полиномиальным распределением (НСПР). НСПР характеризует появление за фиксированный промежуток времени n независимых событий r типов, со структурой :

. (7)

Пример. На потребительском рынке представлено r  видов конкурентных товаров. За единицу времени продано n единиц товаров, причем по маркам товаров структура совокупной покупки имеет вид . Такая ситуация описывается НСПР вида (7).

Характеристики распределения (7) легко вычисляется в виде:

НСПР имеет ФР вида

где – неполная гамма-функция [6, п.V.С]: .

Представляет интерес распределение суммы r случайных величин . Из соотношения (7) находим:

(8)

Вид распределения (8) свидетельствует, что представляет собой частный случай гамма – распределения [4, п.6.2.6]. Мода равна , а его первые моменты равны .

ФР запишется в виде .

Легко видеть, что, как и должно быть: . (9)

1. Jevons W.S. Brief of a general mathematical theory of political economy. // Journal of the Statistical Society of London, 1866, XXIX, № 2, рp. 282-287.
2. Черепанов Е.В. Стохастическое описание выборочного метода // Социология: методология, методы, математическое моделирование. М.: ИС РАН, 2007, 25, с. 167-189.
3. Черепанов Е.В. Стохастические методы анализа данных выборочных маркетинговых и социальных обследований. // Прикладная эконометрика. М.: ЦЭМИ РАН, 2011, 2(22), с.48-61.
4. Королюк В.С. (ред.), Скороход А.В.  и др.  Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Киев: Наукова думка, 1978.
5. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.
6. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. / Пер. с нем. М.: Наука, 1977.
7. Dirichlet distribution (http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution).

Все статьи автора «Черепанов Евгений Васильевич»