Окружные целевые программы представляют собой увязанный по задачам, ресурсам и срокам осуществления комплекс
научно-исследовательских, опытно-конструкторских, производственных, социально-экономических,
организационно-хозяйственных и других мероприятий, обеспечивающих эффективное решение системных проблем в области государственного, экономического, экологического, социального и культурного развития Ханты-Мансийского
автономного округа – Югры.

Целевая программа может включать в себя несколько подпрограмм, направленных на решение конкретных задач в рамках
программы. Деление целевой программы на подпрограммы осуществляется исходя из масштабности и сложности решаемых проблем, а также необходимости рациональной организации их решения.

Более 70% от общего числа принятых целевых программ являются социальными, т.е. направленные на улучшение жизни
населения округа. К таким программам можно отнести, например программу улучшения жилищных условий населения Ханты-Мансийского автономного округа – Югры” на 2005-2015 годы, развитие и модернизация жилищно-коммунального комплекса Ханты-Мансийского автономного округа – Югры” на 2005-2012 годы и т.д.

Во всех программах, помимо увязанного комплекса определенных ресурсов и задач, также существует целостный механизм, позволяющий с течением времени вести учет, анализировать и предпринимать различные меры для возможного пересмотра хода реализации той или иной программы. Например, бездефицитный или профицитный бюджеты, в первом случае объем запланированных средств на финансирование целевых программ остается неизменным на всем протяжении действия программы или финансового года, в течение которого сверстан и принят бюджет, а в случае с профицитным бюджетом количество ассигнований увеличивается.

При разработке целевой программы, она
должна состоять из следующих разделов:

-  характеристика проблемы, на решение которой
направлена целевая программа;

- основные цели и задачи целевой программы с указанием сроков и этапов ее реализации,
а также целевых индикаторов и показателей;

- перечень программных мероприятий;

- обоснование ресурсного обеспечения целевой программы;

- механизм реализации целевой программы, включающий в себя механизм управления
программой и механизм взаимодействия государственных заказчиков;

- оценка социально-экономической и экологической эффективности целевой программы.

С точки зрения статистических методов, программы разрабатываемые в Ханты-Мансийском автономному округе содержать шесть основных этапов исследования и это в свою очередь отвечает научному подходу, формам и методам статистического анализа данных :

1. Определение проблемы

Первый этап любого статистического исследования заключается в выяснении пробле­мы. При ее определении руководство должно принимать во внимание цель исследования, соответствующую исходную информацию, какая информация необходима и как она будет использована при принятии решения. Определение проблемы включает в себя ее обсуждение с лицами, принимающими решения, интервью с экспертами в данной сфере, анализ вторичных данных и, возможно, проведение отдельных каче­ственных исследований. Как только проблема точно установлена, можно разрабатывать план статистического исследования и приступать к его проведению.

2. Разработка подхода к решению проблемы

Разработка подхода к решению проблемы включает в себя формулировку теорети­ческих рамок исследования, аналитических моделей, поисковых вопросов, гипотез, а также определение факторов, которые могут влиять на план исследования. Этот этап характеризуется следующими действиями: обсуждение с руководством и экспертами по данной сфере, изучение ситуаций и моделирование, анализ вторичных дан­ных, качественные исследования и прагматические соображения.

3. Разработка плана исследования

План статистического исследования детализирует ход выполнения процедур, необхо­димых для получения нужной информации. Он необходим для того, чтобы разработать план проверки гипотез, определить возможные ответы на
поисковые вопросы и выяс­нить, какая информация необходима для принятия решения. Проведение поискового исследования, точное определение переменных и определение соответствующих шкал для их измерения — все это тоже
входит в план статистического исследования. Необходимо опре­делить, каким образом должны быть получены данные от респондентов (например, проведе­ние опроса или эксперимента). Одновременно необходимо составить анкету и план выбо­рочного наблюдения. Более строго разработка плана статистического исследования состоит из следующих этапов.

1.  Анализ вторичной информации.

2.  Качественные исследования.

3.  Сбор количественных данных (опрос, наблюдение и проведение эксперимен­тов).

4.  Измерение и методы шкалирования.

5.  Разработка анкеты.

6.  Определение размера выборки и проведение выборочного наблюдения.

7.  План анализа данных.

4. Полевые работы или сбор данных

Сбор данных осуществляется персоналом по проведению полевых работ, которые ра­ботают либо в полевых условиях, как в случае личного интервьюирования (в домах по месту жительства или с помощью компьютера), либо из офиса с помощью теле­фона (телефонное или компьютерное интервьюирование), либо по почте (традиционная поч­та и почтовые панельные исследования с предварительно выбранными семьями), либо с по­мощью электронных средств (электронная почта или Internet). Надлежащий отбор, обучение, контроль и оценка сотрудников, принимающих участие в полевых работах, минимизирует ошибки при сборе данных.

5. Подготовка данных и их анализ

Подготовка данных включает в себя редактирование, кодирование, расшифровку и проверку данных. Каждая анкета или форма наблюдения проверяются или редактируются и, если необходимо, корректируются. Каждому ответу на вопрос анкеты присваиваются число­вые или буквенные коды. Данные анкет расшифровываются или набиваются на магнитной ленте или на диске или вводятся непосредственно в компьютер. Проверка дает возможность удостовериться, что данные с оригиналов анкет расшифрованы точно. Для анализа данных используются одномерные методы статистического анализа в том случае, если элементы вы­борки измеряются по одному показателю, или когда имеется несколько показателей, но каж­дая переменная анализируется отдельно. С другой стороны, если имеется два или более из­мерений каждого элемента выборки,
а переменные анализируются одновременно, то для анализа данных используются многомерные методы.

6. Подготовка отчета и его презентация

Ход и результаты статистических исследований должны быть изложены письменно в виде отчета, в котором четко обозначены конкретные вопросы исследования, описан метод и план исследования, процедуры сбора данных и их анализа, результаты и выводы. Получен­ные выводы должны быть представлены в виде, удобном для использования при принятии
управленческих решений. Кроме того, руководству должна быть сделана и устная презентация с использованием таблиц, цифр и диаграмм, чтобы повысить доходчи­вость и воздействие на аудиторию.

Статистические данные по своей природе делятся на два типа: количественные и кате­гориальные. Количественные
(метрические) данные являются непрерывными по своей природе. Эти данные либо измерены с помощью интервальной шкалы (определено расстоя­ние между любыми двумя данными), либо с помощью шкалы отношений (кроме расстояния, определен и порядок значений). Категориальные (неметрические) данные — это качест­венные данные с ограниченным числом уникальных значений или категорий. Два вида: но­минальные — используются для нумерации различных объектов; порядковые — данные, для которых существует естественный порядок категорий.

Основные задачи и методы
статистического анализа

Как одним из основных примеров, можно привести окружную целевую программу «Создание единой сети связи и передачи
данных в ХМАО-Югре», которая была разработана и реализована в 2007-2009 гг. При анализе и более подробном изучении социальной программы, мы можем увидеть полное соответствие ранее обозначенным требованиям, из которых должна состоять целевая программа, а также, мы можем увидеть шесть основных этапов исследования статистической модели обработки данных.

В данной статье мы рассмотрели, каким образом строятся и из чего состоят целевые окружные программы. Как мы можем
увидеть, по отношению к социальной политики в округе создан крепкий фундамент для развития существующих программ и построения новых моделей реализации статистического метода обработки данных.

Литература

1. Малхотра Нэреш К. Маркетинговые исследования. Практическое руководство. 3-е издание. —М.: Вильяме, 2002.

2. Наследов А.Д. SPSS: Компьютерный анализ данных в психологии и социальных науках. — СПб.: Питер, 2005.

3. Бююль А., Цёфель П. SPSS: искусство обработки информации. Анализ статистиче­ских данных и восстановление скрытых закономерностей. — М.: ДиасофтЮП, 2002.

4. Пациорковский В.В., Пациорковская В.В. SPSS для социологов. Учебное пособие. — М.: ИСЭПН РАН, 2005.

5. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. “Прикладная статистика; Основы эконометрики: В 2 т: Т. 1: Теория вероятностей и прикладная статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

6. Айвазян С.А. “Прикладная статистика; Основы эконометрики: В 2 т: Т. 2: Основы эконометрики: Учебник для вузов. — 2-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

7. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2004.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. — М.: Мир, 1989.

9. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы.

— М.: Финансы и статистика, 2003.

10. Перцев Н.В. Количественные методы анализа и обработки данных: Учебное посо­бие. — Омск: ОмГУ, 2002.

Методы задания базового плана перевозок

В любой сфере деятельности человек неизбежно сталкивается с задачами оптимизации. Экономическое планирование, управление, распределение ограниченных ресурсов, анализ производственных процессов, проектирование сложных объектов всегда должно быть направлено на поиск наилучшего варианта с точки зрения намеченной цели.

Одной из распространенных задач оптимизации является транспортная задача.

Определим термины задачи таким образом: требуется развезти товар, находящийся на складах, по магазинам. При этом А – массив наличия товара на складах (в условных единицах: кг, шт., ящики и т.п.), В – массив потребностей магазинов, С – матрица тарифов (стоимости, расстояний и т.п.) для перевозки товаров со складов в магазины, D – матрица перевозок, показывающая, сколько товаров перевозится со складов в магазины, i – индекс (счетчик) складов, j – индекс магазинов.

Для решения транспортной задачи разработано несколько методов задания базового плана перевозок, являющегося первым приближением для оптимизации. Рассмотрим наиболее распространенные из них:

1) Метод северо-западного угла. Просматривается матрица  перевозок D, начиная с левого верхнего угла (клетки). Находится незанятая клетка, в нее записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для левой верхней клетки оставшейся матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

2) Метод Двойного Предпочтения.  Просматривается  вся матрица тарифов перевозок и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij. И в строке и в столбце значение должно быть минимальным. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная. Обнулившаяся строка и столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

3) Метод минимального элемента. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij, При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

4) Метод Фогеля. Просматриваются все строки и столбцы матрицы тарифов, вычисляется разность между двумя наименьшими элементами в строке или в столбце. Затем из всех этих разностей максимальная. По индексу наименьшего элемента, соответствующего этой разности выбираются строка и столбец. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Различие этих методов заключается как в простоте или сложности реализации так и в “качестве” начального решения, т.е. насколько начальное решение ближе к оптимальному. В общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение, а метод северо-западного угла – наихудшее. Однако метод северо-западного угла проще реализуется и требует меньшего объема вычислений.

Но ни в одном из этих методов не рассматриваются такие параметры задачи, как величины запасов товаров на складах и потребности магазинов. А они подчас очень сильно влияют на оценку как оптимального так и базового планов перевозок. В данной статье предлагается расширение методов задания базового плана перевозок, учитывающее величины значений наличия и потребностей товаров на складах и в магазинах.

1) Метод Приоритета Больших перевозок. Основой для него является метод Минимального Элемента. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij, При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается та, в которой Dij=MIN(Ai, Bj) максимально (этот этап определяет различие методов). При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная.. Затем в данную клетку записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

2) Метод Размена Больших значений. Он заключается в том, что просматриваются значения параметров складов и магазинов. Из этих параметров выбирается наибольшее значение. При наличии нескольких одинаковых значений в соответствующих строках или столбцах выбирается минимальное значение тарифа в этих строках (столбцах). Если опять получилось несколько одинаковых значений, то выбирается максимальное Dij=MIN(Ai,Bj). При наличии нескольких одинаковых на этом этапе выбирается первое из имеющихся с приоритетом складов. Затем в выбранную клетку записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Сравнительное исследование известных методов и разработанных нами показало, что метод Приоритета Больших Перевозок практически равноценен методу минимальных значений, а метод Размена больших Значений не уступает методу Фогеля, а в ряде случаев превосходит его. В сравнительной таблице приводятся результаты решения задач, взятых из произвольных источников. Задачи с номерами от 15 до 35 приведены из книги Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. М. Физматлит, 2005, глава 2.

Из таблицы видно, что метод Приоритета Больших Перевозок в 7‑и задачах уступает методу Минимальных Значений, в 24-х дает одинаковую с ним оценку (отмечено жирным шрифтом) и в 6-и – превосходит этот метод (жирный наклонный шрифт).

Метод Размена Больших Значений определенно лучше метода Минимальных Значений, он в 18-х задачах дает лучшую оценку и в 7-и одинаковую. По сравнению с методом Фогеля в 12-и задачах оценка равна или лучше (жирный шрифт). Более того, В 7-и задачах метод дает сразу оптимальный план перевозок (шрифт жирный наклонный).

Выводы

Из рассмотренного видно, что метод Приоритета Больших Перевозок не дает больших преимуществ по сравнению с общепринятыми методами, в частности, методом Минимальных Значений.

Но, в свою очередь, метод Размена Больших Значений заслуживает внимания по нескольким причинам:

1) Оценка метода почти не уступает общепринятому методу Фогеля при более простой реализации;

2) Понятный физический смысл метода (перевозка больших объемов при прочих равных условиях предпочтительнее) делает его более привлекательным для реализации по сравнению с тем же методом Фогеля;

3) Реализация метода сама по себе не представляет больших сложностей.

Вырожденность транспортной задачи

и как с ней бороться

Как известно, транспортная задача бывает открытая и закрытая. Открытой называется задача, в которой баланс поставщиков и потребителей не равны между собой. Это явление обычно и встречается сплошь и рядом. Способ борьбы с этим единственен и прост: добавляем фиктивного поставщика, если баланс поставщиков меньше, чем баланс потребителей, и наоборот.

К сожалению, известно и то, что транспортная задача является вырожденной и невырожденной. Вырожденной является такая задача, в которой количество клеток в плане меньше m+n-1, где m - количество поставщиков, n – количество потребителей. Понятно, что это явление тоже часто встречается. Способ борьбы с ним у каждого свой: от случайно размещаемых нулевых клеток в плане до перебора по очереди всех пустых клеток. Ни то ни другое не дает гарантий в том, что вновь размещенная клетка не образует цикл с имеющимися клетками.

С первого взгляда кажется, что вырожденность задачи – явление случайное и никаким законам не подчиняется. Даже более того, базовые планы, созданные с помощью различных методов, например, Северо-западного угла и Минимальных значений, дают вырожденный и невырожденный планы для одной и той же задачи. Это, естественно, порождает мысли: скрыта вырожденность в задаче или метод создания плана создает ее. Но когда в другой задаче не срабатывает, наоборот, тот метод, который только что создал нормальный невырожденный план, остается одна мысль: вырожденность – явление потустороннее и не зависит от задачи и применяемого метода создания плана.

И все-таки существует способ не только избавиться от вырожденности, но и «уничтожить» ее насовсем. Каким образом? Какова природа вырожденности и откуда она возникает? Рассмотрим вопрос в таком порядке: природа вырожденности; откуда (и почему) возникает вырожденность; как с ней бороться.

Итак, природа вырожденности. Вырожденность – когда не хватает клеток-уравнений для определения потенциалов в плане. Это, когда необходимо для нормальной работы m+n-1 уравнение, а их, к сожалению, m+n-2. И еще хуже, если их получается только m, как в этой задаче (см. таблица 1) при использовании метода Северо-западного угла.

Таблица 1

Как видим, в таблице (см. таблица 2) заполнены только 3 клетки при необходимом количестве 5. Ну, очень вырожденный план. Какие 2 из 4-х пустых клеток ввести в план? Кстати, оценка этого плана равна 200, оценка оптимального плана, который получится при решении задачи, будет равна 100. Такие задачи можно придумать для любого метода составления базового плана, даже в этой задаче, где все другие методы сразу дают оптимальный план, у них в плане участвуют только по 4 клетки.

Таблица 2

Оптимальный план данной задачи имеет следующий вид (см. таблица 3) и в нем, как можно заметить, уже присутствуют m+n-1 клеток, из которых одна оказалась нулевой. Этот план у нас получится в процессе пошагового решения задачи.

Таблица 3

Далее, откуда возникает вырожденность. Рассмотрим по шагам составление базового плана нашей задачи. Распределяя первую строку, получаем клетку (1,1), обнуляем поставщика и получателя. То есть, добавляя одну клетку, мы избавились (к сожалению) от двух переменных сразу. Со второй строкой получается аналогичная картина. И к окончанию создания плана мы имеем «недостачу» трех

Как бороться с вырожденностью. Многие разработчики просто добавляют нулевые клетки, проверяют получившуюся конструкцию на циклы и, если таковые появляются, переставляют клетки случайным образом в другие места. В нашей задаче цикл появляется при включении в план клеток (1,2) и (2,1) (см. таблица 4).

Таблица 4

Таким образом, перебрав несколько (а в большой матрице много) вариантов, приходим к следующему плану (см. таблица 5).

Таблица 5

В дальнейшем будет показано и обосновано, как можно создать план, обладающий двумя очень важными достоинствами: количество клеток равно точно m+n-1, полное отсутствие циклов. Для этого необходимо в случае, когда обнуляются поставщик и получатель, добавлять клетку с нулевым значением в ЛЮБОЙ незанятый столбец (такая операция некоторыми, бывает, проводится интуитивно). Если незанятых столбцов нет, то никаких действий не производится. Просто это означает, что все столбцы обнулены, и план составлен. Естественно, возникают два вопроса: об образовании циклов с участием этой нулевой клетки и о вырожденности полученного плана. Для решения первого вопроса докажем теорему «О невозможном внедренном цикле». После этого посчитаем количество получившихся клеток и сравним с m+n-1.

Теорема: О невозможном внедренном цикле

Определения:

Занятый столбец – столбец, в котором находится клетка плана и значение получателя равно 0.

Незанятый столбец - столбец, в котором находится клетка плана и значение получателя не равно 0, либо в столбце нет ни одной клетки плана.

П-конструкция – вертикальный отрезок в столбце k (туловище) с концами на строках i и j и двумя горизонтальными «хвостами», направленными в одну сторону, например, вправо. Любые другие ориентации сводятся к данной путем поворотов или отражений.

Формулировка: В том случае, когда при создании плана одновременно обнуляются поставщик и получатель, и нулевая клетка помещается в любой незанятый столбец, цикл не образуется.

Доказательство: любой цикл содержит в себе П-образную конструкцию, обозначены номерами от 1 до 4 (см. рисунок 1).

1         2   2    3         1          2

4         3   1                   4     3

4

Рисунок 1. Различные виды циклов.

Эту конструкцию в нашей задаче можно представить так: (1,1), (1,2), (2,2), (2,1) или (2,1), (1,1), (1,2), (2,2) (см. таблица 6). Она появляется, когда нулевая клетка помещается в (1,1) при наличии занятых клеток  (1,2), (2,2), (2,1).

Таблица 6

Если мы докажем, что такая конструкция не может появиться в нашем случае, это и будет означать, что циклы в созданном по правилам плане невозможны.

Лемма: В правильно составляемом плане П-конструкции не появляются.

Доказательство: Проверим варианты ситуаций, когда данная конструкция может образоваться. Во всех случаях обрабатывается строка j.

1. Строка i имеет одну занятую клетку, и обработка ее закончена.

2. Строка i имеет одну занятую клетку, и обработка ее не закончена.

3. Строка i имеет более одной занятой клетки.

Чтобы не запутывать доказательство, условно примем, что в других строках нет ни одной занятой клетки. В противном случае в качестве строки i необходимо проверить все строки по очереди.

В первом случае в строке j в том столбце, где строка i имеет занятую клетку, можно разместить как клетку плана, так и нулевую клетку, поскольку в строке i нет «хвоста», как одного из элементов П-конструкции. В дальнейшем рассмотрении  будем рассматривать случай 3 для столбца, в который мы поместили две клетки.

Во втором случае в строке j в том же столбце нельзя ничего разместить, поскольку столбец уже занят (вспомним, как появляются клетки плана). Так что основы для П-конструкции нет.

Значит, «краеугольным» в доказательстве является случай 3. Очевидно, что все столбцы, в которых расположены занятые клетки строки i, заняты, кроме одного, в котором строка обнулилась (Естественно, два и более незанятых столбцов при наличии клеток плана означают, что строка i обнулялась несколько раз, чего быть не может). Но и он может быть занят, если обнулился вместе со строкой. Если все столбцы заняты, то как и в случае 2, основы для П-конструкции нет.

Остается одна возможность – единственный незанятый столбец. Помещаем в него клетку. Если строка j обнулилась, а столбец - нет, то хвост из данной клетки не появится. Если и столбец обнулился, то помещаем нулевую клетку в свободный столбец как часть плана. Эта клетка не замкнет цикл, поскольку из строки i не появится новых клеток плана (все столбцы обнулены), а уже имеющиеся, вместе с идущими из них путями, не касаются незанятого столбца.

Таким образом, П-конструкции в правильно составляемом плане не появляются. И, следовательно, циклы не образуются.  Что и требовалось доказать.

Вернемся к вопросу о вырожденности полученного плана. Вспомним, что каждая клетка плана есть по сути одно уравнение в методе потенциалов, связывающее две переменных v(i) и u(j). При расчетах одна переменная является определяемой, вторая определенной. Нам надо сосчитать, сколько определяемых переменных имеется во всех клетках-уравнениях.

Пусть в строке i находится m(i) клеток, не считая нулевой. Посмотрим, что определяют эти уравнения. Если строка i в процессе занесения в план клетки (i, j) обнуляется, а столбец j – нет, то  этим уравнением определяется переменная v(i) и (m(i) – 1) переменных u, кроме, естественно, переменной u(j), которая определится, когда обнулится столбец j. Если столбец обнуляется вместе со строкой, то определяется m(i) переменных u, а добавление нулевой ячейки определяется переменная  v(i) (не забываем, что в последней заполненной строке нет нулевой клетки). Теперь посчитаем уравнения и переменные. Поскольку все столбцы в процессе составления плана обнулены, то сумма m(i) равна общему количеству столбцов, то есть m. Поскольку при обнулении каждой строки (кроме последней) определяется одна переменная v(i), то при обнулении всех строк мы определили n‑1 переменных. Общее количество определенных переменных составляет m + (n‑1). Что и требовалось!

ВЫВОД: Применяя правило «Если при создании плана одновременно обнуляются поставщик и получатель, то нулевая клетка плана помещается в любой незанятый столбец» мы получаем невырожденный  и  незацикленный план, и без всяких ухищрений.

В завершение приводим базовый план, составленный с учетом правила, итерации и оптимальный план рассматриваемой задачи с разностями потенциалов и ценой (оценкой) плана.

Таблица 7

*   *   *

Дополнение к вышесказанному: При составлении плана некоторые строки и столбцы имеют по несколько клеток. В процессе расчета очередной итерации по методу потенциалов требуется найти цикл, содержащий вновь введенную в план клетку. Для этого достаточно стереть (временно – для данной итерации) клетки, которые находятся в строке или столбце в единственном числе. Этот факт означает, что войдя в клетку, выйти из нее невозможно. Проделать такую операцию необходимо рекурсивно до тех пор, пока одиночных клеток не останется. Не трудно понять, что оставшиеся клетки и будут тем самым циклом. И опять без всяких ухищрений (Не забывайте после пересчета вернуть все временно удаленные клетки на место).

Одной из распространенных задач оптимизации является транспортная задача.

Определим термины задачи таким образом: требуется развезти товар, находящийся на складах, по магазинам. При этом А – массив наличия товара на складах (в условных единицах: кг, шт., ящики и т.п.), В – массив потребностей магазинов, С – матрица тарифов (стоимости, расстояний и т.п.) для перевозки товаров со складов в магазины, D – матрица перевозок, показывающая, сколько товаров перевозится со складов в магазины, i – индекс (счетчик) складов, j – индекс магазинов.

Для решения транспортной задачи разработано несколько методов задания базового плана перевозок, являющегося первым приближением для оптимизации. Рассмотрим наиболее распространенные из них:

1) Метод северо-западного угла. Просматривается матрица  перевозок D, начиная с левого верхнего угла (клетки). Находится незанятая клетка, в нее записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для левой верхней клетки оставшейся матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

2) Метод Двойного Предпочтения.  Просматривается  вся матрица тарифов перевозок и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij. И в строке и в столбце значение должно быть минимальным. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная. Обнулившаяся строка и столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

3) Метод минимального элемента. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij, При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

4) Метод Фогеля. Просматриваются все строки и столбцы матрицы тарифов, вычисляется разность между двумя наименьшими элементами в строке или в столбце. Затем из всех этих разностей максимальная. По индексу наименьшего элемента, соответствующего этой разности выбираются строка и столбец. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Различие этих методов заключается как в простоте или сложности реализации так и в “качестве” начального решения, т.е. насколько начальное решение ближе к оптимальному. В общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение, а метод северо-западного угла – наихудшее. Однако метод северо-западного угла проще реализуется и требует меньшего объема вычислений.

Но ни в одном из этих методов не рассматриваются такие параметры задачи, как величины запасов товаров на складах и потребности магазинов. А они подчас очень сильно влияют на оценку как оптимального так и базового планов перевозок. В данной статье предлагается расширение методов задания базового плана перевозок, учитывающее величины значений наличия и потребностей товаров на складах и в магазинах.

1) Метод Приоритета Больших перевозок. Основой для него является метод Минимального Элемента. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij, При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается та, в которой Dij=MIN(Ai, Bj) максимально (этот этап определяет различие методов). При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная.. Затем в данную клетку записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

2) Метод Размена Больших значений. Он заключается в том, что просматриваются значения параметров складов и магазинов. Из этих параметров выбирается наибольшее значение. При наличии нескольких одинаковых значений в соответствующих строках или столбцах выбирается минимальное значение тарифа в этих строках (столбцах). Если опять получилось несколько одинаковых значений, то выбирается максимальное Dij=MIN(Ai,Bj). При наличии нескольких одинаковых на этом этапе выбирается первое из имеющихся с приоритетом складов. Затем в выбранную клетку записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Сравнительное исследование известных методов и разработанных нами показало, что метод Приоритета Больших Перевозок практически равноценен методу минимальных значений, а метод Размена больших Значений не уступает методу Фогеля, а в ряде случаев превосходит его. В сравнительной таблице приводятся результаты решения задач, взятых из произвольных источников. Задачи с номерами от 15 до 35 приведены из книги Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. М. Физматлит, 2005, глава 2.

Из таблицы видно, что метод Приоритета Больших Перевозок в 7‑и задачах уступает методу Минимальных Значений, в 24-х дает одинаковую с ним оценку (отмечено жирным шрифтом) и в 6-и – превосходит этот метод (жирный наклонный шрифт).

Метод Размена Больших Значений определенно лучше метода Минимальных Значений, он в 18-х задачах дает лучшую оценку и в 7-и одинаковую. По сравнению с методом Фогеля в 12-и задачах оценка равна или лучше (жирный шрифт). Более того, В 7-и задачах метод дает сразу оптимальный план перевозок (шрифт жирный наклонный).

Выводы

Из рассмотренного видно, что метод Приоритета Больших Перевозок не дает больших преимуществ по сравнению с общепринятыми методами, в частности, методом Минимальных Значений.

Но, в свою очередь, метод Размена Больших Значений заслуживает внимания по нескольким причинам:

1) Оценка метода почти не уступает общепринятому методу Фогеля при более простой реализации;

2) Понятный физический смысл метода (перевозка больших объемов при прочих равных условиях предпочтительнее) делает его более привлекательным для реализации по сравнению с тем же методом Фогеля;

3) Реализация метода сама по себе не представляет больших сложностей.

К сожалению, известно и то, что транспортная задача является вырожденной и невырожденной. Вырожденной является такая задача, в которой количество клеток в плане меньше m+n-1, где m - количество поставщиков, n – количество потребителей. Понятно, что это явление тоже часто встречается. Способ борьбы с ним у каждого свой: от случайно размещаемых нулевых клеток в плане до перебора по очереди всех пустых клеток. Ни то ни другое не дает гарантий в том, что вновь размещенная клетка не образует цикл с имеющимися клетками.

С первого взгляда кажется, что вырожденность задачи – явление случайное и никаким законам не подчиняется. Даже более того, базовые планы, созданные с помощью различных методов, например, Северо-западного угла и Минимальных значений, дают вырожденный и невырожденный планы для одной и той же задачи. Это, естественно, порождает мысли: скрыта вырожденность в задаче или метод создания плана создает ее. Но когда в другой задаче не срабатывает, наоборот, тот метод, который только что создал нормальный невырожденный план, остается одна мысль: вырожденность – явление потустороннее и не зависит от задачи и применяемого метода создания плана.

И все-таки существует способ не только избавиться от вырожденности, но и «уничтожить» ее насовсем. Каким образом? Какова природа вырожденности и откуда она возникает? Рассмотрим вопрос в таком порядке: природа вырожденности; откуда (и почему) возникает вырожденность; как с ней бороться.

Итак, природа вырожденности. Вырожденность – когда не хватает клеток-уравнений для определения потенциалов в плане. Это, когда необходимо для нормальной работы m+n-1 уравнение, а их, к сожалению, m+n-2. И еще хуже, если их получается только m, как в этой задаче (см. таблица 1) при использовании метода Северо-западного угла.

Таблица 1

Как видим, в таблице (см. таблица 2) заполнены только 3 клетки при необходимом количестве 5. Ну, очень вырожденный план. Какие 2 из 4-х пустых клеток ввести в план? Кстати, оценка этого плана равна 200, оценка оптимального плана, который получится при решении задачи, будет равна 100. Такие задачи можно придумать для любого метода составления базового плана, даже в этой задаче, где все другие методы сразу дают оптимальный план, у них в плане участвуют только по 4 клетки.

Таблица 2

Оптимальный план данной задачи имеет следующий вид (см. таблица 3) и в нем, как можно заметить, уже присутствуют m+n-1 клеток, из которых одна оказалась нулевой. Этот план у нас получится в процессе пошагового решения задачи.

Таблица 3

Далее, откуда возникает вырожденность. Рассмотрим по шагам составление базового плана нашей задачи. Распределяя первую строку, получаем клетку (1,1), обнуляем поставщика и получателя. То есть, добавляя одну клетку, мы избавились (к сожалению) от двух переменных сразу. Со второй строкой получается аналогичная картина. И к окончанию создания плана мы имеем «недостачу» трех

Как бороться с вырожденностью. Многие разработчики просто добавляют нулевые клетки, проверяют получившуюся конструкцию на циклы и, если таковые появляются, переставляют клетки случайным образом в другие места. В нашей задаче цикл появляется при включении в план клеток (1,2) и (2,1) (см. таблица 4).

Таблица 4

Таким образом, перебрав несколько (а в большой матрице много) вариантов, приходим к следующему плану (см. таблица 5).

Таблица 5

В дальнейшем будет показано и обосновано, как можно создать план, обладающий двумя очень важными достоинствами: количество клеток равно точно m+n-1, полное отсутствие циклов. Для этого необходимо в случае, когда обнуляются поставщик и получатель, добавлять клетку с нулевым значением в ЛЮБОЙ незанятый столбец (такая операция некоторыми, бывает, проводится интуитивно). Если незанятых столбцов нет, то никаких действий не производится. Просто это означает, что все столбцы обнулены, и план составлен. Естественно, возникают два вопроса: об образовании циклов с участием этой нулевой клетки и о вырожденности полученного плана. Для решения первого вопроса докажем теорему «О невозможном внедренном цикле». После этого посчитаем количество получившихся клеток и сравним с m+n-1.

Теорема: О невозможном внедренном цикле

Определения:

Занятый столбец – столбец, в котором находится клетка плана и значение получателя равно 0.

Незанятый столбец - столбец, в котором находится клетка плана и значение получателя не равно 0, либо в столбце нет ни одной клетки плана.

П-конструкция – вертикальный отрезок в столбце k (туловище) с концами на строках i и j и двумя горизонтальными «хвостами», направленными в одну сторону, например, вправо. Любые другие ориентации сводятся к данной путем поворотов или отражений.

Формулировка: В том случае, когда при создании плана одновременно обнуляются поставщик и получатель, и нулевая клетка помещается в любой незанятый столбец, цикл не образуется.

Доказательство: любой цикл содержит в себе П-образную конструкцию, обозначены номерами от 1 до 4 (см. рисунок 1).

Рисунок 1

Рисунок 1. Различные виды циклов.

Эту конструкцию в нашей задаче можно представить так: (1,1), (1,2), (2,2), (2,1) или (2,1), (1,1), (1,2), (2,2) (см. таблица 6). Она появляется, когда нулевая клетка помещается в (1,1) при наличии занятых клеток  (1,2), (2,2), (2,1).

Таблица 6

Если мы докажем, что такая конструкция не может появиться в нашем случае, это и будет означать, что циклы в созданном по правилам плане невозможны.

Лемма: В правильно составляемом плане П-конструкции не появляются.

Доказательство: Проверим варианты ситуаций, когда данная конструкция может образоваться. Во всех случаях обрабатывается строка j.

1. Строка i имеет одну занятую клетку, и обработка ее закончена.

2. Строка i имеет одну занятую клетку, и обработка ее не закончена.

3. Строка i имеет более одной занятой клетки.

Чтобы не запутывать доказательство, условно примем, что в других строках нет ни одной занятой клетки. В противном случае в качестве строки i необходимо проверить все строки по очереди.

В первом случае в строке j в том столбце, где строка i имеет занятую клетку, можно разместить как клетку плана, так и нулевую клетку, поскольку в строке i нет «хвоста», как одного из элементов П-конструкции. В дальнейшем рассмотрении  будем рассматривать случай 3 для столбца, в который мы поместили две клетки.

Во втором случае в строке j в том же столбце нельзя ничего разместить, поскольку столбец уже занят (вспомним, как появляются клетки плана). Так что основы для П-конструкции нет.

Значит, «краеугольным» в доказательстве является случай 3. Очевидно, что все столбцы, в которых расположены занятые клетки строки i, заняты, кроме одного, в котором строка обнулилась (Естественно, два и более незанятых столбцов при наличии клеток плана означают, что строка i обнулялась несколько раз, чего быть не может). Но и он может быть занят, если обнулился вместе со строкой. Если все столбцы заняты, то как и в случае 2, основы для П-конструкции нет.

Остается одна возможность – единственный незанятый столбец. Помещаем в него клетку. Если строка j обнулилась, а столбец - нет, то хвост из данной клетки не появится. Если и столбец обнулился, то помещаем нулевую клетку в свободный столбец как часть плана. Эта клетка не замкнет цикл, поскольку из строки i не появится новых клеток плана (все столбцы обнулены), а уже имеющиеся, вместе с идущими из них путями, не касаются незанятого столбца.

Таким образом, П-конструкции в правильно составляемом плане не появляются. И, следовательно, циклы не образуются.  Что и требовалось доказать.

Вернемся к вопросу о вырожденности полученного плана. Вспомним, что каждая клетка плана есть по сути одно уравнение в методе потенциалов, связывающее две переменных v(i) и u(j). При расчетах одна переменная является определяемой, вторая определенной. Нам надо сосчитать, сколько определяемых переменных имеется во всех клетках-уравнениях.

Пусть в строке i находится m(i) клеток, не считая нулевой. Посмотрим, что определяют эти уравнения. Если строка i в процессе занесения в план клетки (i, j) обнуляется, а столбец j – нет, то  этим уравнением определяется переменная v(i) и (m(i) – 1) переменных u, кроме, естественно, переменной u(j), которая определится, когда обнулится столбец j. Если столбец обнуляется вместе со строкой, то определяется m(i) переменных u, а добавление нулевой ячейки определяется переменная  v(i) (не забываем, что в последней заполненной строке нет нулевой клетки). Теперь посчитаем уравнения и переменные. Поскольку все столбцы в процессе составления плана обнулены, то сумма m(i) равна общему количеству столбцов, то есть m. Поскольку при обнулении каждой строки (кроме последней) определяется одна переменная v(i), то при обнулении всех строк мы определили n‑1 переменных. Общее количество определенных переменных составляет m + (n‑1). Что и требовалось!

ВЫВОД: Применяя правило «Если при создании плана одновременно обнуляются поставщик и получатель, то нулевая клетка плана помещается в любой незанятый столбец» мы получаем невырожденный  и  незацикленный план, и без всяких ухищрений.

В завершение приводим базовый план, составленный с учетом правила, итерации и оптимальный план рассматриваемой задачи с разностями потенциалов и ценой (оценкой) плана.

Таблица 7

*   *   *

Дополнение к вышесказанному: При составлении плана некоторые строки и столбцы имеют по несколько клеток. В процессе расчета очередной итерации по методу потенциалов требуется найти цикл, содержащий вновь введенную в план клетку. Для этого достаточно стереть (временно – для данной итерации) клетки, которые находятся в строке или столбце в единственном числе. Этот факт означает, что войдя в клетку, выйти из нее невозможно. Проделать такую операцию необходимо рекурсивно до тех пор, пока одиночных клеток не останется. Не трудно понять, что оставшиеся клетки и будут тем самым циклом. И опять без всяких ухищрений (Не забывайте после пересчета вернуть все временно удаленные клетки на место).

Устранение вырожденности в имеющемся плане

Если базовый план уже составлен и обнаружено, что он вырожденный, то предлагается формализованное правило для исправления таких планов.

Он состоит в определении несвязных групп клеток плана (уравнений вычислений потенциалов). Для этого берется клетка с минимальным номером строки и столбца, не вошедшая ни в одну группу. Образуется группа с очередным номером, если  группы еще не образовывались, то номер будет равен  1(единице). Остальные клетки, содержащиеся в данной строке, помечаются тем же номером (в правом нижнем углу). Клетки, содержащиеся в данном столбце помечаются в левом нижнем углу.  Если оказалась помеченной клетка плана, то она берется за основу для новых пометок, до тех пор пока не будут помечены все связанные клетки. Если оказывается, что не все клетки плана помечены, то весь процесс повторяется. В конце работы подчитывается число групп. Если оно равно 1, то все клетки плана входят в одну группу, это означает, что план невырожденный.

Действительно: одна клетка базового плана, если она первая в группе, отмечает одну строку плюс один столбец, не первая- одну строку или один столбец. Таким образом K клеток группы отмечают K +1 строк или столбцов. Поскольку всего N+ M строк или столбцов, N- количество строк, M -количество столбцов. Для одной группы получаем:

K +1= N+ M                  или              K = N+ M-1

что и требовалось доказать.

Предположим, что в конце процесса получилось  L групп. В каждой группе количество строк и столбцов на единицу больше количества клеток плана.   Таким образом для всех групп получаем, что количество отмеченных строк или столбцов на L  больше количества клеток плана, что означает:

K + L = N+ M                  или              K = N+ M- L

То есть для получения невырожденного плана нужно добавить L -1 клетку в план. Определим места для этих клеток. Если новая клетка плана попадет в пустую клетку с  двумя одинаковыми номерами, то она замкнет цикл, что для плана нежелательно. При распределение новых клеток плана таким образом, чтобы один из номеров был равен 1, не допуская повторов номеров, мы связываем разные группы и получаем L -1 новую клетку. Утверждение таким образом доказано.

Результат вышеописанного алгоритма приведен в таблице

С- существующие клетки плана (7)

Н- новые (или добавляемые) клетки плана (2)

П- плохие клетки (замыкающие цикл)

K=7 (количество клеток существующего плана);

L=3 (количество образовавшихся групп);

N=5 (количество строк);

M=5 (количество столбцов).

Вывод: необходимо определить группы связных клеток, если эта группа не одна, то новые клетки плана ставить в местах связанных с разными группами.

Велиховский О.В., инженер, бакалавр кафедры

электрические системы и сети, КПИ, г. Киев

Исходные данные

Предположим, что задано некоторое конечное множество вершин в трёхмерном Евклидовом пространстве и множество неупорядоченных пар из этих вершин

|E |= n , |V |= m , ( n,m ) =1,2,3,… (1)

Таким образом задан неориентированный симметричный граф:

G ( V , E )

На заданном графе требуется построить минимальный элементарный цикл или цикл Гамильтона.

Метод построения

Для решения задачи построения будем применять некоторый предикат :

R ( V , E )

Такой предикат будем называть предикатом выбора по наиболее удалённой паре вершин или по диаметру графа

R ( V, E ) = R ( diam(G) ) (2)

В связи с их простотой совместим первый и второй этапы построения. Для этого выберем ребро максимальной величины по наибольшему расстоянию между парами заданных вершин

(v₁ ,v₂) T | V | (3)

E_max=E_n=diam(G) (4)

Затем выберем следующую вершину v₃
из | V | , которая находится на максимальном расстоянии от одной из вершин диаметра или одного из полюсов
Вершины образующие диаметр графа будем называть полюсами графа и обозначать (V ,U )

E_n = {V, U }
(5)

Каждую последующую по очереди вершину или новую верщину будем так же определять, как вершину которая наиболее удалена от одной из пары вершин образующих диаметр графа diam(G) и которая будет определять следующее по порядку наибольшее ребро графа последовательно меньшее диаметра графа .

Соединим вершины ребра Е_n= diam(G) c вершиной v₃ по кратчайшему пути, то есть минимальному расстоянию между ними , соответственно.

Для наглядного представления предположим , что множество всех вершин | V |
расположено внутри некоторой мнимой сферы, и такая сфера сжимается равномерно по всем направлениям. Тогда поверхность этой сферы будет последовательно касаться всех вершин, начиная от самых удалённых друг от друга и заканчивая менее удалёнными соответственно, до тех пор пока поверхность этой сферы коснётся (соединит) всех вершин |V| в порядке уменьшения расстояния между ними .

Далее выберем следующую новую вершину v₄ , которая будет так же максимально удалена от одного из полюсов графа. Соединим вершину v₄ с вершинами ближайшего к ней ребра из предыдущего цикла, одна из вершин такого ближайшего ребра будет находиться на минимальном расстоянии от новой вершины v₄ , а другая вершина такого ребра будет находиться на максимальном расстоянии от вершины или полюса диаметра графа, которая является ближайшей к новой вершине v₄ .

Рисунок 1.                                                    Рисунок 2.

Из рисунка 2 видно, что на первом и втором этапах построения из цикла исключается ребро E_n= diam(G). В результате был построен цикл Гамильтона, состоящий из четырёх вершин .

На следующих двух этапах определяем новую вершину v₅ следующую за вершиной v₄ по максимальной удалённости от одного из полюсов графа и новую вершину v₆ следующую за вершиной v₅ по максимальной удалённости от одного из полюсов графа. Затем соединяем новые вершины аналогично предыдущему этапу построения с ближайшими к ним рёбрами соответственно. Сначала с ближайшей вершиной из предыдущего цикла, а затем с вершиной того же ребра максимально удалённой от полюса графа ближайшего к новой вершине соответственно .

Рисунок 3.                                               Рисунок 4.

Из рисунка 4 видно, что на втором и третьем этапах построения из цикла исключаются ребра ближайшие к новым вершинам v₅ и v₆ . В результате был построен цикл Гамильтона состоящий из шести вершин .

На следующих этапах построения проводятся аналогично предыдущим этапам для любого количества новых вершин v_m из | V | . В результате будет построен цикл Гамильтона для всех заданных вершин | V | и по величине состоящий из множества рёбер | E_k | .

 Рисунок 5.                                                                                  Рисунок 6.

На рисунке 6 построен цикл Гамильтона состоящий из восьми вершин .

Для построения минимального цикла Гамильтона входные данные должны определять все минимальные значения расстояний между заданными вершинами и все значения расстояний между вершинами и полюсами графа.

Таким же методом можно построить все последующие циклы, начиная от минимального цикла Гамильтона и далее следующие с увеличением по величине друг за другом. Для этого на каждом новом этапе построения необходимо каждую новую вершину соединять с вершиной из предыдущего цикла следующей по величине за ближайшей по отношению к новой вершине, то есть с ребром из предыдущего цикла следующего сразу за ближайшим к новой вершине ребром из предыдущего цикла.

Рисунок 7.                                                                  Рисунок 8.

На рисунках 7 и 8 построены два очередных элементарных цикла, следующих сразу за минимальным циклом Гамильтона по увеличению | E |

| E_k |< | E_k-1|< | E_k-2| (6)

Построение максимального цикла Гамильтона

Аналогичным методом можно построить так же и максимальный цикл Гамильтона. Для этого выбираем каждую новую вершину, как максимально удалённую от одного из полюсов графа, аналогично предыдущему методу. Далее необходимо каждую новую вершину соединять с наиболее удалённым от неё ребром. Одна из вершин такого, максимально удалённого ребра будет находиться на максимальном расстоянии от очередной новой вершины, а вторая вершина того же ребра будет ближайшей к полюсу графа максимально удалённого от очередной новой вершины.

Рисунок 9.                                                                             Рисунок 10.

На рисунке10 изображён цикл Гамильтона максимальной величины, состоящий из восьми вершин .

Упрощение построений

Построение элементарного цикла можно упростить, если вместо диаметра графа использовать параметр радиуса графа radius(G). Тогда вместо расстояний между вершинами и полюсами графа в построении будут принимать участие расстояния от вершин до мнимого центра диаметра графа и минимальные расстояния между вершинами графа | V |.

Количество шагов для построения описанного элементарного цикла равняется количеству заданных вершин, уменьшенное на две единицы

| R( V, E )| = (| V_m| - 2) (8)

(|V|,|E |) >2 (9)

Таким образом задача построения минимального цикла Гамильтона разрешима при помощи предиката выбора R(V,
E) за полиномиальное время и принадлежит классу P.

Дополнение

Допустим, что будут справедливы следующие соответствия между представлениями множества слов  x  из языка L на алфавите 


V = 


E  =  x (11)

G (V ,E ) = L (12)

Предикат выбора R( V, E ) обозначим как D – (define), а задачу построения некоторого элементарного цикла как C  (cycle), тогда будем говорить, что некоторое высказывание C из языка L на алфавите  разрешимо при помощи предиката выбора D ( V ,E ) за полиномиальное время 

C ( V, E ) T P (13)

Свойство селективности цикла Гамильтона определяет существование диаметра графа diam(G), по которому определён предикат выбора R(V, E).

Если существует некоторый предикат выбора D для языка L на алфавите  , тогда некоторое высказывание C из языка L разрешимо алгоритмически в классе P.

Список литературы:

1. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи., М.: Мир, 1982.
   
2. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта., М.: Мир, 1991.

1. Показатель эффективности [Электронный ресурс] – Режим доступа: \WWW/ URL http://delo-do.com.ua/step3/step3-9.html – 17.02.12 г. Заглавие с экрана.

В Унитарной квантовой теории (УКТ) индивидуальность частицы представляется волновым пакетом парциальных волн с линейной дисперсией ). При этом дисперсия выбрана так, чтобы пакет волн периодически расплывался и собирался на длине волны де Бройля, а огибающая этого процесса совпадала с волновой функцией.

Такой подход, позволил вычислить в скалярном поле безразмерный электрический заряд и постоянную тонкой структуры с точностью 0,3%, ввести понятие квантования электрического заряда как баланс между дисперсией и нелинейностью. Найденное уравнение для одиночной частицы со сложно осциллирующим зарядом устранило противоречие по расплыванию волнового пакета как конечного решения волнового уравнения.

Оценим возможный электромагнитный вклад флуктуаций вакуумной энергии структурированных в пакет парциальных волн на примере электрона.

Эффект накладывает только ограничения на расстояние по взаимодействию- менее 1 мкм, линейные размеры, геометрию и топологию пространства, ограниченного идеально проводящей поверхностью – стенками. Специфика электромагнитного поля состоит в его поперечности и так называемых естественных граничных условиях на стенках – обращение в нуль тангенциальных составляющих электрического поля E_Ƭ=0.

В литературе приведены многочисленные расчеты эффекта Казимира с положительно и отрицательной энергией вакуума для различных конфигураций резонаторов: параллелепипеда и тел с поверхностями вращения: цилиндра, тора, эллипсоида, сфероида и т.д. с непроницаемыми и полупроницаемыми стенками. Трёхмерные задачи дают несколько вариантов с разными эквивалентными топологиями путем формальной замены одного или нескольких отрезков в параллелепипеде на окружность или вариаций главных полуосей эллипсоидов вращения, и в основном приведены в обзоре .

При решении задач в вышеперечисленных конфигурациях показана возможность перехода казимировской энергии через нуль и изменения знака при вытягивании «резонатора», то есть изменении соотношения сторон или осей.

Первоначально, с целью использования минимальных предположений физического характера в принятый процесс трансформации частицы в рамках УКТ: расплывание-перенос-собирание волнового пакета и учитывая per se электрона в в качестве модели оценки была принята сферическая оболочка, которая не меняет положительного знака вакуумной энергии, что соответствует силе казимировского отталкивания и предположительно отвечает за этап переноса.

Эффект Казимира наблюдается для материальных оболочек с физическими стенками различных конфигураций, что подтверждено многочисленными экспериментами с точностью до 1%.

Замена в данной работе физической стенки на виртуальную оболочку пакета волн электрона, как «сгустка» электромагнитных полей со сложной внутренней структурой, вполне корректно с точки зрения замены рассмотрения поля внутри частицы некоторыми эффективными граничными условиями.

В.Дубовик в органично демонстрирует связь формализма квантовой механики с теорией упругости и электромагнитизма, при этом постоянная тонкой структуры имеет чисто геометрический и кинематический характер. Там же продуктивно апробирована эта связь на примере модели электрона как упругой однослойной оболочки, заключенной между радиусами λ_с и R₀ , связанных постоянной тонкой структуры. Кроме того, показана совместимость нелинейного уравнения Л.Сапогина УКТ в интерпретации терминов упругости и электромагнитизма.

«Сердцевина» внутренней структуру электрона В.Дубовика имеет магнитотороидальную топологию, объем(внешняя оболочка) – 4-сферы трехмерного электрона.

Учтем вышеперечисленные пограничные условия и приступим к оценке.

Сила Казимира F (вакуумная энергия E_caz) для электромагнитного поля при граничных условий электропроводящей сферы радиуса «а» впервые получена T. Boyer в 1968 году расчетным путем с моделированием на компьютере

В рассматриваемой оценке приняты следующие значения по T. Boyer (Физическая энциклопедия. Эффект Казимира):

E_caz = +0,09235 ħc/2a , (1)

где ħ – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме, a – радиус сферы.

В аналитически подтвержден результат T. Boyer и получен численный коэффициент для плотности электромагнитной энергии вакуума в сферической полости диаметром D: E = 0,0924/D.

Для сферы E_caz ˃ 0, что соответствует отталкиванию противоположных участков сферы.

Кроме того, в приведены результаты расчетов для полной вакуумной энергии с учетом поправок с применением компонента вакуумного тензора энергии-импульса для кубического объёма E= +0,0916 ħc/a и для электромагнитной энергии вакуума в E_EM = 0,0932 ħc/a, где a – длина ребра куба. Авторы обращают внимание на «удивительную близость численных коэффициентов в кубическом объеме и в формуле для энергии для сферической полости» в при a=2R и в образно выразились, что различия значений энергии в том, что вакуумная энергия «не залезает» в углы куба.

Будем считать, что численные значения электромагнитной энергии нулевых колебаний вакуума для сферической полости согласно формулы (1) заслуживают доверия.

С одной стороны, эффект отталкивания можно просто объяснить кулоновскими силами отталкивания разных частей одноименно заряженной частицы. Кстати Х.Казимир пытался объяснить стабильность электрона действием отрицательных (сжимающих)вакуумных сил, но получил противоположный результат.

В проведен анализ полуклассических моделей Х.Казимира и показано, что в моделях с точечной массой силы отталкивания Кулона тождественны положительным силам Казимира, поэтому не дают вклада в массу покоя электрона.

В данной работе наивная модель электрона построена на следующих предположениях и отождествлении с понятиями УКТ.

Электрон ≡ пакет парциальных волн – замкнутое автономное эволюционирующее образование с обратной связью в виде следящей системой обеспечения резонанса нулевых колебаний физического вакуума.

Под эволюцией понимается прямая – обратная взаимосвязь между периодической инверсией знака энергии Казимира и изменение конфигурации оболочки резонатора.

Парциальные волны ≡ нулевым колебаниям.

Оболочка автономного образования отождествляется с огибающей пакета парциальных волн в УКТ ≡ с конфигурацией оболочки резонатора в эффекте Казимира ≡ с пограничной поверхностью между возмущенной на условиях резонанса и невозмущенной областью пространства среды вакуум-эфира(дань историческому названию) – зона близкодействия частиц среды ВЭ, с единственным условием – обращения в нуль тангенциальных составляющих электрического поля E_Ƭ=0 на стенках оболочки.

Ограниченная область пространства с повышенной плотностью внутренней энергии отождествляется с per se электрона.

Под основным динамическим решением УКТ расплывания-собирания пакета в предложенной модели подразумевается трансформация оболочки электрона с E_Ƭ=0 при изменении знака внутренней энергии нулевых колебаний среды ВЭ, ограниченной этой оболочкой: «раздуваемой» при положительной энергии и сжимаемой при отрицательной. Другими словами под расплыванием-собиранием пакета в УКТ подразумевается динамика изменения конфигурации стенок резонатора в эффекте Казимира.

Для устранения противоречивых понятий в модели сознательно отказались от определения «энергии(массы) покоя», а численное значение E₀= m_еc² определено как полная внутренняя энергия электрона.

Из анализа уровней симметрии резонансных оболочек и математического моделирования исходная структурная функция электрона была определена как оболочка высокой сферической симметрии.

Промежуточная задача оценки формировалась следующим образом:

На основе экспериментальных данных для электрона расшифровать численный коэффициент «k» в формуле (1) для сферической оболочки с E_Ƭ=0 на допущении: какую работу надо совершить против сил Казимира, с тем, чтобы положительная энергия нулевых колебаний физического вакуума была равна внутренней энергии электрона E₀= m_еc² (по аналогии с оценкой классического радиуса электрона R₀, основанном на допущении того, что энергия покоя электрона равна его электростатической энергии).

Приравняв E_caz = E₀ оценим радиус сферы a = k ħ/2m_e c = 1,78309(03) 10^-14 /м/, при расчетной величине k= 0,09235 в формуле (1).

Следуя, что формула вакуумной энергии должна содержать только фундаментальные константы и экспериментальные параметры электрона, преобразуем:

a= 4πα ħc/2m_e c² = α х 2πħ/m_еc = α λ_c , (2)

где λ_c = 2πħ/m_еc комптоновская длина волны (волна де-Бройля для электрона), при этом k₁= 4πα = +0,09170(12) с точностью 7,351 х10^-3 к расчетной величине k .

Минимальная область пространства в которой сосредоточена внутренняя энергия электрона ограничена радиусом 2πR₀ = 1, 770564130 10^-14 /м/ .

Тогда, сохраняя первоначальный вид выражения (1) при принятом допущении для электрона:

E₀ = E_caz = 4πα ħc/2(2πR₀ ) , (3)

где α – постоянная тонкой структуры, ħ – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме, R₀ – классический радиус электрона.

Анализируя формулу (3) отметим:

• Минимальную область повышенной плотности энергии в которой сосредоточена E₀ , ограниченную радиусом а=2πR₀ , определим как область локализации ;
  
• Имеется сферическая симметрия относительно центра частицы(центра тяжести пакета), что не противоречит УКТ и принято при оценке постоянной тонкой структуры;
  
• Коэффициент k₁= 2(2πα) = 0,09170 – может характеризовать структурную функцию электрона. Например, как два равновероятных варианта пространственной ориентации зон деформации сферической оболочки вырезанных: двумя подобными растворными телесными углами 2πα в единицах стерадиан или кольцевой экваториальной зоной 4πα.
  

  Следовательно, поток положительной энергии нулевых колебаний вакуума, в понимании сила Казимира, не равномерно деформирует, как принято считать, сферическую оболочку, а деформирует площадку оболочки, вырезанную по одному из двух вышеперечисленных вариантов.
  

  Зону трансформации оболочки («раздувания») положительной энергией Казимира от а=2πR₀ до λ_c определим как область переноса внутренней энергии электрона нулевыми колебаниями вакуума до момента инверсии знака силы Казимира на комптоновской длине волны электрона.
  

  С учётом конечных линейных размеров области локализации с а=2πR₀ выражение (3) примет вид:
  

  E_{caz переноса} = 4π х ħc/2 (λ_c - α λ_c) = 4π/1-α х ħc/2λ_{c ,} (4¹)
  

  или E_{caz переноса} = 4π α/1-α х ħc/2(2πR₀ ) (4²)
  

  что можно трактовать как перенос части внутренней энергии электрона из области локализации на длине волны Комптона:
  

  E_{caz переноса} = E₀ (1-α) (5)
  

  Если доверять численным значениям коэффициента k в выражении (1) доля внутренней энергии электрона остаётся в области локализации («часть энергии покоя остается в покое») и не претерпевает переноса на длине волны Комптона, что составляет α E₀ = 5,974419(19) 10^-16 Дж или 0,73% от внутренней энергии электрона.
  

  В результате оценки вклада … обратим внимание, что формула (1) носит универсальный характер для сферических оболочек с E_Ƭ=0:
  

  
  E_caz = +4π α/1- α х ħc/2a, (6)
  

  где k= 0,092375 лежит в диапазоне расчетных 0,09235 ÷ 0,0940 соответственно.
  

  В рамках этой оценки выразим заряд электрона, численное значение которого не является проверочной функцией из-за тождественного пересечения с E₀ :
  

  e² = 4πα ħc Ɛ₀ , (7¹)
  

  где Ɛ₀ – (ди)электрическая постоянная вакуума,
  

  или e² = 2πα h/c 10⁷  (7²)
  

  Выражение (7¹) не содержит ни одного персонального параметра электрона, а только фундаментальные параметры среды, скорость реализации акта взаимодействия частиц в среде и условие Планка их взаимодействия.
  

  Преобразованное через Ɛ₀ выражение (7²) содержит единую константу локализации K₀ = h/c для фотона, электрона, протона и нейтрона – всего «строительного материала» атомов.
  

  Обсуждение.
  

1. Данная оценка носит прикладной характер с целью разработки основ конструирования электровакуумных источников энергии типа швейцарской установки «Тестатик» .
   
2. В УКТ не определена/отсутствует структурная функция в описании электрона, что привело к «размазыванию» его внутренней энергии с периодическим возникновением и исчезновением пакета – локальной повышенной плотности энергии в пространстве. Теория нулевых колебаний, эффект Казимира, прямо указывает на возможность изменения знака внутренней энергии при трансформации сферической симметрии оболочки электрона, то есть при изменении геометрии и топологии резонансной полости . Кроме того, в общем виде аналитически доказано , что сила Казимира в полости состоящей из двух разнесенных в пространстве полусфер энергия отрицательная – противоположности притягиваются, в том числе с зеркальной симметрией. Поэтому на расстоянии переноса – комптоновской длины волны λ_c, возможна инверсия знака силы Казимира и процесс трансформации пакета волн будет носить циклический характер в ограниченной области пространства.
   
3. Если быть до конца последовательным в оценке и доверять численным значениям коэффициентов в выражении (1), то спектр масс в электроне присутствует и часть «энергии покоя остаётся в покое» в центральной части трансформируемой сферической оболочки, ограниченной радиусом а=2πR₀ и равна α E₀ = 5,974419(19) 10^-16 Дж.
   
4. Исходя из позиций данной оценки, пока можно сделать следующий вывод прикладного характера:
   

   огибающая пакета волн в электроне в УКТ ≡ граница поверхности оболочки с E_Ƭ=0 в эффекте Казимира ≡ граница возмущенной и невозмущенной области среды – и есть активная зона проявления генерации вакуумной энергии.
   

   В установке «Тестатика» эту роль выполняет цилиндрическая перфорация металлизации на виниловой диэлектрической подложке, причем необходимо чтобы диаметр был намного больше толщины цилиндра. Каждое отверстие – это анодный блок генератора. Этот вариант соотношения геометрических размеров цилиндрического резонатора на тонких металлических плёнках рассматривается в литературе. Это необходимое, но не достаточное условие для создания условий генерации энергии путём структурирования флуктуаций вакуума в электроны. Процесс быстро затухает за счет экранирования электронами генерации. Чисто электростатический эффект. Электротехническая часть установки предназначена для разделения («сдувания») избыточных электронов генерации и электронов металлизации на магнитронном принципе – искривлении траектории движения электронов генерации при наличии двух полей электрического и магнитного.
   

   По существу роль катодного блока выполняет пакет волн электрона – структурированные флуктуации среды ВЭ.
   

   Заключение.
   

5. В настоящей оценке использована модель электрона как замкнутого автономного эволюционирующего образования с обратной связью в виде следящей системы обеспечения нулевых колебаний физического вакуума на условиях резонанса.
   

   Под эволюцией понимается взаимосвязь между периодической инверсией знака энергии Казимира и изменение конфигурации оболочки резонатора.
   

   Исходная структурная функция электрона была задана как оболочка высокой сферической симметрии которая периодически трансформируется с изменением её конфигурации.
   

6. Расшифровка численного коэффициента в выражении энергии Казимира для сферической оболочки на условии обращения на её стенках в нуль тангенциальных составляющих электрического поля E_Ƭ
   =0 была проведена через параметры электрона на допущении:
   какую работу надо совершить против сил Казимира, с тем, чтобы положительная энергия нулевых колебаний физического вакуума была равна внутренней энергии электрона E₀= m_еc² :
   

   E_caz = +4π α/1- α х ħc/2a,
   

   где а – радиус сферы, k = 4π α/1- α = 0,092375, где α – постоянная тонкой структуры. k – структурный элемент, характеризующий не равномерное «раздувание» сферы, как это принято считать, а только её малую часть.
   

7. Внутренняя энергия электрона эволюционирует через процесс периодического изменения положительной энергии нулевых колебаний вакуума на отрицательную от границы области локализации а=2πR₀ на комптоновской длине волны λ_c по формуле: E_{caz переноса} = 4π/1-α х ħc/2λ_c
   
8. Численное значение коэффициента и логика рассуждений в рамках предложенной модели электрона позволяет высказать следующую гипотезу: часть энергии нулевых колебаний вакуума, заключенной в оболочку со сферической симметрией, локализуется в центральной зоне и не участвует в процессе резонансного давления на стенки оболочки; для электрона эта доля в спектре масс равна: α E₀ = 5,97 10^-16 Дж.
   
9. Первоначальная задача об оценке вклада нулевых колебаний вакуума в расплывание – собирание (исчезновение-появление) пакета парциальных волн в рамках УКТ сформулирована в данной работе не корректно, как то с подменой понятий «часть-целое».
   

   Здесь рассматривается пакет как пульсирующее автономное образование на условиях резонанса в собственной системе координат электрона – «как часть».
   

   В УКТ рассматривается движение пакета (частицы) «как целое» в системе координат наблюдателя. Поэтому «в часть» вошла волна Комптона(персональная волна де Бройля электрона), а в УКТ, «в целом», волна де Бройля, порождаемая пакетом, как частица обладающая массой. Но физическая природа описания этих процессов едина и объединяет их свойства среды.
   

   Так, тождественное выражение заряда электрона e² = 4πα ħc Ɛ₀ и e² = 2πα h/c 10⁷ не содержит ни одного персонального параметра электрона, а только фундаментальные параметры среды
   

10. Выражение (1) энергии Казимира получено для гармонического синусоидального осциллятора на условии резонанса и условии Планка.
    

    Расшифровка численного коэффициента даёт элемент структурной функции пропорциональный α как 2πR₀ α^-1 или λ_c α, что свойственно гармоническому осциллятору циклоидного типа, период колебаний которого не зависит от амплитуды и по определению, без всяких дополнительных требований со стороны принципа наименьшего действия Гамильтона, гармонизирован с процессом группового резонанса флюктуаций физического вакуума.
    

11. В данной работе прослеживается необходимость продолжить оценку предложенной модели электрона, не только через нулевые колебания вакуума, но и с точки зрения действующих принципов в механике среды ВЭ.
    

    Анонсируем следующую оценку:
    

    применение принципа взаимодействия частиц для несжимаемой среды ВЭ механики Г. Зверевас привлечением постулатов причинной механики Н. Козырева позволяют прийти к выводу: все наборы движений взаимодействующих частиц возбужденной локальной области среды ВЭ, ответственных за трансформацию внутренней структуры электрона, представляют собой взаимосвязанные циклы осцилляторов циклоидного типа на условиях резонанса и Планка.
    

    Автор выражает благодарность Л.Г. Сапогину за внимание и потраченное время на частные сообщения.
    

    Литература.
    

    . В.М. Мостепаненко, Н.Я. Трунов. Эффект Казимира и его приложения. УФН, т.156, вып.3, с.385, 1988.
    

    . H.B.G. Casimir. Proc. Nederl. Acad. Wttenschap, vol.60, p.793, 1948.
    

    . Л.Г. Сапогин, Ю.А. Рябов, В.А. Бойченко. Унитарная квантовая теория и новые источники энергии. Пер. с англ. Л.С. Сапогина (Под ред. Ю.И. Сазонова), М.: «САЙНС-ПРЕСС»,280с., 2008.
    

    . В.М. Дубовик, Е.Н. Дубовик. Квантовая механика как эффективная теория фиктивных (математических) объектов. ОИЯН. «Академия Тринитаризма», М., Эл.№77-6567, публ. 16166, 20.11.2010.
    

    . T.H. Boyer. Quantum Electromagnetic Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell and the Casimir Model for a Charged Particle. Phys.Rev., v.174, num.5, p.174, 1968.
    

    .B. Davies. Quantum Electromagnetic Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell. J. Math. Phys., v.13, p.1324, 1972.
    

    . С.Г. Мамаев, Н.Н. Трунов. О зависимости вакуумных средних тензора энергии-импульса от геометрии и топологии многообразия. ТМФ, т.38, вып.3, с.345, 1979.
    

    . H.B.G. Casimir. Introductory Remarks on Quantum Electrodynamiks, J. Physica, v.19, p.846, 1953.
    

    . H.E. Puthoff. Casimir vacuum energy and the semiclassical electron. ETI.
    

    http://earthtech.org/reports.
    

    Posted to Cornell archives, http://arxiv.org/pdf/physics/0610042.
    

    I.Klich. Phys.Rev.L. 2006 (источник из обзора).
    

    Г.Я. Зверев. Физика без механики Ньютона, без теории Эйнштейна, без принципов наименьшего действия и без пси-функции Шредингера. Изд.5-е, испр.и доп. М. КД «ЛИБРОКОМ», 144с.,2011.
    

    Н.А.Козырев. Избранные труды. Л. Изд-во Ленинградского ун-та, 447с.,1991.
    

Фотоэлектрохимический преобразователь создается простым погружением полупроводникового фотоэлектрода – катализатора в паре с вспомогательным противоэлектродом (платиновым) в водный электролит. При освещении фотоэлектрода фотонами с энергией, превышающей ширину запрещенной зоны полупроводника, в нем генерируются электронно-дырочные пары. Образующееся на межфазной границе раздела в результате установления термодинамического равновесия электрическое поле обеспечивает разделение фотогенерированных в полупроводнике носителей заряда. Для n-типа полупроводника неосновные носители заряда (дырки) передвигаются к межфазной границе раздела и вступают на поверхности полупроводникового фотоанода в реакцию окисления воды, а основные носители (электроны) — перемещаются в объем полупроводника, далее через внешнюю цепь поступают на противоэлектрод и вступают в реакцию восстановления водорода. Фотоэлектрохимические преобразователи имеют ряд преимуществ по сравнению с твердотельными солнечными фотоэлементами: они просты в изготовлении, решают проблемы аккумулирования и хранения энергии, полученной от Солнца, могут снизить стоимость единицы произведенной энергии из-за возможности применения дешевых поликристаллических фотоэлектродов и отсутствия необходимости в проведений ряда технологических операций и создании p-n перехода. Процесс преобразования солнечной энергии методом фотоэлектролиза воды является экологически чистым, безотходным, возобновляемым — продуктом сгорания водорода является вода.

После опубликования работы Фудзншнмы и Хонды [1]. в которой авторы впервые показали возможность расщепления воды в фотоэлектрохимическом элементе с фотоанодом из TiO, многие ученые во всем мире начали поиск и исследования полупроводниковых материалов, способных обеспечить поглощение солнечной энергии и протекание окислительно-восстановительных реакций выделения кислорода и водорода [2-5]. Главная трудность на пути реализации фотоэлектролиза воды обусловлена тем, что к полупроводниковому фотоэлектроду, свойствами которого в основном и определяется эффективность процесса фоторазложения воды, предъявляется ряд одновременно трудно выполнимых требований: стабильность в водных растворах электролитов, фоточувствительность в видимой области спектра, большая квантовая эффективность, достаточная отрицательность потенциала плоских зон, оптимальное значение электропроводности и т. д. Ни один из исследованных к настоящему времени полупроводниковых фотоэлектродов не обладает одновременно всем набором параметров, необходимых для эффективного прохождения фотоэлектролиза.

В последние годы возрос интерес к тонкопленочным наноструктурным фотоанодам [7-9]. Применение тонкопленочных фотоэлектродов с нанопористой структурой перспективно для фотоэлектрохимического преобразования солнечной энергии. Как показывают оценки, активно работающей, по сути, является лишь приповерхностная область (толщиной -10^-6 см) объемного полупроводникового фотоэлектрода. Поэтому использование тонкопленочных фотоэлектродов позволит избежать нежелательных омических потерь в системе и в тоже время обеспечить большую рабочую поверхность и высокую каталитическую активность фотоэлектродов.

Нами использована технология получения тонких пленок диоксида титана методом анодирования пластин титана в водных растворах серной кислоты с добавлением фторид ионов с последующим модифицированием ионами d-элемнтов.

Анодное или электрохимическое окисление — процесс получения оксидных пленок на поверхности металлов или полупроводников при анодной поляризации в кислород содержащих средах (например, в растворах электролитов). Механизм анодного окисления связан с переносом металла и кислорода через растущий оксидный слой под действием электрического поля, возникающего в пленке при приложении напряжения и реакциями фазообразования на внутренних и внешних границах оксида. Сущность процесса анодирования заключается в том, что окисел осаждается на поверхности титановой пластины не из раствора, а является продуктом окисления анода. Преимущество этого метода заключается в низкой энергоемкости процесса анодирования и его экологической чистоте, простоте используемых приборов, возможности получения пленок с разной морфологической структурой и сложных геометрических форм, высокой степени управляемости процессом роста пленок, позволяющей получать пленки с воспроизводимыми и стабильными характеристиками.

Исследовано влияние изменения условий роста пленки (концентрации, состава электролита, напряжения, режима и длительности процесса анодирования, изменение режимов отжига) на вольтамперные характеристики фотоанодов диоксида титана и фототок. Установлено, что изменение всех этих факторов слабо влияет на фотокаталитическую активность фотоанодов. Значительно существеннее оказалось влияние последующего отжига на воздухе, который приводит к изменению, как состава, так и структуры тонкопленочных фотоанодов. Уже одночасовой отжиг при 400-500°С приводит к значительному увеличению фототока, что, вероятно, обусловлено переходом пленок из неупорядоченной аморфной модификации в кристаллическую структуру, характеризующуюся сравнительно высокой подвижностью носителей заряда и фоточувствительностью. Найдено, что для получения пористой пленки с наиболее развитой поверхностью длительность процесса анодирования должна составлять 40 минут, и 60 секунд для беспористого режима.

Отрабатывалась методика нанесения сульфида кадмия методом молекулярного наслаивания из растворов с целью определения влияния ультратонкого верхнего поглощающего слоя на фотоэлектрохимические свойства титаноксидного электрода.

Пленка CdS осаждалась из двух растворов: 0,01М CdSO₄ и 0,01М Na₂S. Сначала пластина погружалась на 5 минут в раствор CdSO₄, затем вынималась, промывалась и высушивалась на воздухе. После этого пластина опускалась на 5 минут в раствор Na₂S, после чего промывалась и высушивалась также. Таким образом, считалось, что один цикл молекулярного наслаивания из растворов осуществился.

Обнаружено, что реакции молекулярного наслаивания ведут к потере оптической чувствительности диоксида титана. Можно сказать, что оптическая чувствительность полностью нивелируется. Это можно объяснить условиями синтеза пленок. Между циклами молекулярного наслаивания происходила гидратация слоя хемосорбированного кадмия, что препятствовало полному осаждению сульфида кадмия. Было принято решение, что реакции молекулярного наслаивания их водных растворов на поверхности анодного оксида не приводят к формированию оптически чувствительного в электролите слоя сульфида кадмия из-за снижения фотоэлектрохимических характеристик.

Помимо молекулярного наслаивания осаждение пленок сульфида кадмия на пластины оксида титана вели из раствора содержащего – 0,1 М CdSO₄*2H₂O, 0,1 М тиосульфат натрия, 0,2М аммиачную воду. Приготовленный раствор наносился на поверхность диоксида титана следующими способами:

1. Раствор нагревался до 83°С на водяной бане, куда затем опускались пластины анодированного титана на определенное время – от 10 до 30 минут. После осаждения пленок CdS пластины отжигались на воздухе при температуре 500 °С в течение 1 часа, затем проводились измерения фотоэлектрохимических характеристик по стандартной трехэлектродной схеме, где электродом сравнения был насыщенный хлорсеребряный электрод сравнения.

2. Пластина анодированного титана подогревалась до 150-200°С на воздухе, затем на короткое время (0,5 секунды) окуналась в вышеприведенный раствор. Операция повторялась до 10 раз.

3. Капля раствора наносилась на поверхность анодированного титана, таким способом, чтобы она могла растечься по все поверхности. Затем пластины высушивались. Операция повторялась до 10 раз.

4. На анодированный титан осаждался слой кадмия из раствора 20% CdSO₄ в течение 180 секунд при 12 В. После чего пластина подогревалась до 150-200°С на воздухе, затем окуналась в вышеприведенный раствор. Операция повторялась до 15 раз.

Во всех случаях модифицирования пленки диоксида титана на ее поверхности формировался слой сульфида кадмия, что идентифицировано на рентгенограммах образцов по основным рефлексам CdS.

На рисунке 1 приведены значения анодных фототоков модифицированных такими способами пластин анодированного титана.

Рисунок 1. Анодные фототоки анодной пленки оксида титана при различных способах модифицирования их сульфидом кадмия в 1 М растворе сульфата натрия при освещении ксеноновой лампой

Из данных рисунка 1 можно видеть, что модифицирование поверхности диоксида титана сульфидом кадмия во всех случаях дает положительный эффект, причем нарастание фототока наблюдается при освещении видимым светом. Значения фототока достигают максимально возможных, которые наблюдаются лишь при УФ освещении диоксида титана. Следует отметить лишь незначительное увеличение фототоков при модификации поверхности диоксида титана способами 1 и 2. Более существенные изменения наблюдаются при модификации способами 3 и 4. В случае способа 4 положительную роль сыграло наличие подслоя из кадмия, посаженного электрохимически на поверхность диоксида титана, тогда как последующее использование способа 2 при нанесении сульфида кадмия, возможно, свело к минимуму положительное действие этого подслоя. Вторым мощным фактором в формировании фотоэлектрохимических свойств такой двухслойной полупроводниковой структуры является совершенство структуры наносимого слоя сульфида кадмия (рисунок 2).

Образец, показавший максимальный фототок имеет и более мелкозернистую структуру слоя CdS, а также однородность на поверхности диоксида титана – способ 1. Например снимок А показывает, что по способу 4 получается очень рыхлый слой CdS на поверхности TiO₂, соответственно и более низкие значения фототока. По данным рисунка 2 следует признать, что лучше всего на поверхности  TiO₂ формировать слой CdS старым, хорошо описанным методом 1 – «chemical bath deposition process».

Рисунок 2. СЕМ –изображения поверхности фотоэлектродов

Несмотря на то, что достигаемые значения фототока на модифицированных электродах при освещении видимым светом, у данного покрытия, т.е. верхнего модифицирующего слоя есть существенный недостаток: это его коррозионная устойчивость.

Отмечаемая в литературе фотокоррозия сульфида кадмия проявляется в данном случае очевидным образом на образцах полученных нами электродов. Тем не менее, следует направить усилия на поиски усовершенствованных методов нанесения слоя СdS на TiO₂, поскольку совершенно очевидно, что ресурсы системы TiO₂/CdS далеко не исчерпаны и могут быть еще многократно повышены, а коррозионный ток существенно снижен за счет изменения состава электролита.

Список использованных источников

1. Fujishima A., Honda К. Electrochemical photolysis of water at a semiconductor electrode. //Nature. 1972. Vol. 238, P. 37-38.

2. Pleskov Yu. V. Solar Energy Conversion: a Photoelectrochemical Approach. Berlin: SpringerVerlag, 1990.

3. Nozik A. J., Memming R. Physical chemistry of semiconductor – liquid interfaces // J. Phys. Chem. 1996. Vol. 100, P. 13061-13078.

4. Bak Т., NowotnyJ., Rekas M., Sorrell С. C. Photo-electrochemical hydrogen generation from water using solar energy. Materials-related aspects. // Int. J. Hydrogen Energy 2002. Vol. 27, P. 991-1022.

5. Aroutiounian Y. M., Arakelyan V. M., Shahnazaryan G. E. Metal oxide photoelectrodes for hydrogen generation using solar radiation-driven water splitting // Solar Energy 2005. Vol. 78, P.581-592.

6. Sarkissyan A. G. Solar energy conversion at semiconductor — electrolyte junction // J. Contemp.Phys. 1995. Vol. 30, P. 21-33.

7. Aroutiounian V. M., Arakelyan V. M., Shahnazaryan G. E. Investigations of metal-oxide semiconductors promising for photoelectrochemical conversion of solar energy // Solar Energy Materials and Solar Cells 2005. Vol. 89. P. 153-163.

8. Gong D., Grimes C. A., Varghese О. K. et al. Titanium oxide nanotube arrays prepared by anodic oxidation // J. Mater. Res. 2001. Vol. 12. P.3331-3334.

9. Li Y., Lee N. H., Lee E.G., Song J. S., Kim S. J. The characterization and photocatalytic properties of mesoporous rutile TiO, powder synthesized through self-assembly of nano crystals // Chem. Phys. Letter. 2004. Vol. 389, P.124-128.

10. Аракелян В. М, Арутюнян В. М., Шахназарян Г. Э., Степанян Г. М., Оганесян А. Р. Фотоэлектрохимическое получение водорода с использованием металлоксидных полупроводниковых фотоэлектродов. // Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» 2006. № 11(43), С. 78-84.

11. А.А. Сейтмагзимов, И.В. Киященко Фотоэлектрохимические свойства титаноксидных пленок, модифицированных сульфидом кадмия. // Наука и образование Южного Казахстана, №1, 2011, С.92-96.

12. А.А. Сейтмагзимов, Г.Н. Журавлев, Т.Б. Ногаев, И.В. Киященко, Г.М. Сейтмагзимова Оптимизация толщины сверхтонких пленок диоксида титана, используемых при фотолизе воды. // Труды VIII международной научной конференции «Перспективные технологии, оборудование и аналитические системы для материаловедения и наноматериалов». 9-10 июня 2011г.-Алматы: Қазақ университеті, 2011. – С.22-225.