1. Статья подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (Грант 08-09-00857-а)

2. Статья подготовлена при финансовой поддержке Конкурса грантов для студентов, аспирантов вузов и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга

В данной работе рассматривается алгоритм управления пьезодвигателем, обеспечивающий апериодический характер переходного процесса и полную компенсацию колебаний.

На рисунке 1 представлена схема моделирования пьезодвигателя, который представляет собой пьезокерамический стержень со следующими параметрами:

Таблица 1 – Параметры пьезодвигателя

Длина
Площадь поперечного сечения
Коэффициент усиления
Внутреннее сопротивление
Емкость пьезоэлемента
Пьезомодуль
Модуль Юнга
Коэффициент упругости
Коэффициенты прямогои обратного пьезоэффекта
Масса пьезоэлемента
Масса стола
Суммарная масса

На рисунке 2 – переходной процесс. При подаче постоянного напряжения равного 10В на вход системы, перемещение  на выходе составит 0.7 мкм. Переходный процесс – апериодический с наложеннымина него затухающими колебаниямис максимальной амплитудой составляющей 8% от установившегося значения.

Упрощенная модель пьезодвигателя. Если пренебречь внутренней обратной связью по скорости ( ), влиянием жесткости конструкции, так как ее влияние мало по сравнению с упругостью( ) Тогда можно представить модель пьезопривода в виде 2 звеньев – колебательного и апериодического, последнее соответствует высоковольтному усилителю на входе, модель представлена на рисунке 3.

Для синтеза алгоритма управления перейдем к описанию привода с учетом его характеристик  в пространстве состояний:

Проверим пару А,С на полную наблюдаемость

Определитель не равен нулю, то есть система полностью наблюдаема. Ее переходной процесс на рисунке 4.

Разработка алгоритма управления.

Допустим мы хотим нулевое перерегулирование и время переходного процесса менее 1секунды.

Расчет: нулевое перерегулирование системе 2 порядка может обеспечить только полином Ньютона :

(3)

Время переходного процесса связано с корнями соотношением : ;или чтотоже самое

;                                                                             (4)

Для проектируемой системы выберем , тогда ХП примет вид :

Построим эталонную модель    

где

соответственно векторы состояния и выхода  ,

соответственно матрицы состояния и выхода.

Алгебраическим спектром собственных значений

матрицы

является ==–48, сообщение которого матрице состояния

проектируемой системы может доставить последней желаемые динамические свойства
в переходном и установившемся режимах. Совпадающие собственные значения матриц Ги   отсутствуют, то есть выполняется условие

;

Матрица примет вид :

= (5)

Выберем матрицуиз условия полной наблюдаемости матриц

= (6)

Матрица векторного преобразования подобия удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра :

(7)

= (8)

=  (9)

Вычислим матрицу прямой связи по  экзогенному задающему воздействию  из условия равенства выхода входу в неподвижном положении  , таким образом   имеет представление:

=1000                                                          (10)

На рисунке 5 – схема управления с Kxи Kgрегулятором. На рисунке 6 – переходной процесс.

Вывод: таким образом, в результате моделирования установлено, что разработанный регулятор для управления пьезоэлектрическим исполнительным устройством на базе многослойной тонкопленочной пьезокерамики, обеспечивает полную компенсацию колебаний в переходном процессе, при его апериодическом характере и заданном времени переходного процесса. Использование такого алгоритма управления пьезоэлектрическим исполнительным устройством в системах позиционирования позволит повысить их точностные характеристики.

Рис. 1 – Математическая модель пьезодвигателя

Рис. 2 – График переходного процесса для модели, представленной на рисунке 1

Рис. 3 –Упрощенная математическая модель пьезодвигателя в пространстве состояний

Рис. 4– График переходного процесса для модели, представленой на рисунке 3

Рис. 5– Схема управления пьезоприводом с Кх и Кg регулятором

Рисунок 6– Переходной процесс в системе, представленной на рисунке 5

Теоретические проблемы, связанные с вопросами здоровьесбережения в образовательных системах относятся к числу инновационных проблем педагогики. Вопросы моделирования здоровьесберегающих образовательных систем являются мало разработанными. Данные о разработке математического алгоритма анализа эффективности здоровьесберегающей образовательной модели в литературе не найдены.

Научная и практическая ценность работы связана с актуальностью проблемы развития технологий здоровьесбережения в образовательной среде, отнесенной президентом РФ Д.А. Медведевым к числу основных национальных приоритетов (национальная образовательная стратегия–инициатива «Наша новая школа», Приказ № 271 от 04 февраля 2010г.).

Целью данного исследования является математическое моделирование процесса мониторинга ОУ любого профиля и режима обучения применительно к педагогической модели здоровьесберегающего образовательного процесса.

Представим систему мониторинга здоровьесберегающей деятельности школы . Система включает секторы , . В свою очередь, -ый сектор представляет набор критериев , . Для каждого сектора количество критериев может быть различным. В разработанной системе мониторинга присутствуют квалиметрические и качественные критерии. По каждому критерию исследуемый объект должен получить оценку , значение которой зависит от вида критерия:

– если критерий квалиметрический, то с ним связаны варианты ответов , , и соответствующие им значения баллов . В процессе мониторинга исследуемому объекту присваивается один вариант ответа , тогда значение оценки будет равно ;

– если критерий качественный, то необходимо сформулировать ответ , описывающий качественное состояние исследуемого объекта. Соответствующее ответу количество баллов определяется специалистом по вопросам здоровьесберегающей педагогики, причем не может быть больше заранее определенного максимального значения балла для критерия .

Таким образом, для мониторинга здоровьесберегающей деятельности школы необходимо провести исследование по каждому -ому сектору и получить оценку по каждому критерию.

Анализ предложенной модели предполагает необходимость рассмотрения как квалиметрической оценки эффективности разных критериев здоровьесберегающей деятельности, сгруппированных в сектора здоровьесберегающей образовательной модели, так и совокупную эффективность здоровьесберегающей деятельности ОУ по комплексу показателей (по группе секторов или по всем секторам).

В нашей модели мы предлагаем методику представления данных отдельную для каждого мониторируемого сектора (психологического, педагогического и др.) и способ определения итоговой оценки совокупной эффективности здоровьесберегающей деятельности ОУ по комплексу секторов. Для этого необходимо вычисление абсолютных величин в баллах, набранных ОУ по каждому из мониторируемых секторов здоровьесберегающей модели,

.

При этом необходимо указывать количество критериев, по которым проводился мониторинг, поскольку, если мониторинг по какой-то причине проводился не по всему набору критериев, квалиметрическая оценка будет не полной и эта информация должна быть представлена в сопровождающих систему мониторинга документах. Представление данных в абсолютных величинах является начальным этапом накопления данных по состоянию здоровьесберегающей работы в мониторируемом ОУ.

Поскольку в пределах каждого сектора здоровьесберегающей модели ОУ имеется различное количество критериев здоровьесберегающей деятельности, для возможности сопоставления реализации различных секторов необходимо вычисление %-ных оценок по каждому из секторов. Для получения %-ной оценки по -ому сектору требуется предварительно вычислить максимальное количество баллов в абсолютных величинах, которое может быть получено в результате исследования по -ому сектору,

а затем отыскать %-ную оценку

.

В данном случае мы получаем представление данных в относительных величинах.

Общая сумма, характеризующая продуктивность здоровьесберегающей деятельности ОУ, равна арифметической сумме всех полученных баллов
по каждому -ому сектору. Для перевода данных в %-ную оценку необходимо рассчитать %-ный коэффициент

.

Уровень эффективности здоровьесберегающей деятельности школы оценивается по схеме:

— высший уровень, соответствующий высшему уровню здоровьесберегающей деятельности школы;

— высокий уровень, соответствующий высокому уровню здоровьесберегающей деятельности школы;

— средний уровень, соответствующий среднему уровню здоровьесберегающей деятельности школы;

— репродуктивный уровень соответствует достаточному уровню здоровьесберегающей деятельности школы;

— непродуктивный уровень, соответствущий низкому уровню здоровьесберегающей деятельности школы;

— несоответствие деятельности школы стандартам здоровьесберегающего образования.

В проекте визуализация значений эффективности здоровьесберегающей модели проводится в форме таблиц, содержащих числовые данные, а также в графической форме
—
в виде гистограмм и лепестковых диаграмм [1, 2]. При этом табличные данные приводятся как в абсолютных, так и в относительных показателях, которые следует рассматривать отдельно.

Опишем структуру таблицы, представляющей результаты мониторинга. В таблице определены шесть столбцов: номер сектора ; количество критериев в секторе ; максимальное количество баллов в секторе ; количество критериев, по которым получена оценка в секторе; абсолютные показатели по сектору ; относительные показатели по сектору в %. В каждой строке такой таблицы приводятся данные по каждому исследуемому сектору. В последней строке указываются итоговые показатели по секторам здоровьесберегающей модели.

Рассмотрим способы представления результатов в графической форме.

Столбчатые гистограммы удобны для представления относительных данных, демонстрирующих статическое состояние – уровень здоровьесберегающей деятельности ОУ, достигнутый на момент прохождения мониторинга. Столбчатые диаграммы строятся на осях координат в соответствии с набранными %-ными коэффициентами . При этом число столбцов гистограммы в графическом представлении равно числу секторов, по которым ОУ проходило систему мониторинга, а их высота покажет эффективность здоровьесберегающей работы в рамках данного сектора.

Другой графической формой представления данных, демонстрирующих итоговый результат здоровьесберегающей эффективности ОУ в целом, являются лепестковые диаграммы, которые удобны для визуального представления динамики изменения здоровьесберегающей эффективности ОУ во времени, выявленного в ходе ступенчатого мониторинга (проведенного по всем секторам в трех точках исследования: до прохождения школой системы повышения квалификации по организации здоровьесберегающего образовательного процесса, в ходе прохождения системы повышения квалификации и по истечении определенного времени после прохождения системы повышения квалификации). Такие диаграммы удобны также в случае сравнительного анализа эффективности здоровьесберегающей деятельности разных ОУ в случае прохождения школами поперечного срезового исследования в рамках одной временной точки (на момент исследования).

В случае лепестковых диаграмм результаты представляются в виде звезд, число лучей в которых равно числу секторов системы мониторинга здоровьесберегающей деятельности ОУ. Угол между лучами равен . Откладывая по лучам значения переменных по шкале от 0 до 100 и соединяя полученные отрезки, можно построить многоугольники, при этом форма многоугольника отражает степень сбалансированности вклада всех показателей в итоговый результат, а размер фигуры условно характеризует интегральную «мощность» объекта исследования по выбранному набору секторов.

В случае необходимости более дробной (внутрисекторальной) оценки возможно выделение групп критериев в пределах каждого сектора с последующим анализом абсолютных и относительных величин в динамике развития здоровьесберегающей модели ОУ.

Т.о., в предлагаемой модели представлены два типа показателей — абсолютные и относительные. Абсолютные показатели характеризуют количественную сторону процесса, масштаб здоровьесберегающей деятельности ОУ, но они не позволяют проводить сравнительный анализ разных секторов в пределах разрабатываемой здоровьесберегающей модели. Относительные показатели представляют собой сравниваемые
итоговые показатели по разным секторам, позволяющие сравнивать разные характеристики ЗОУ между собой, при этом качественные различия сравниваемых объектов становятся более четко выраженными.

Рассмотренная модель позволяет получить количественную информацию о здоровьесберегающем потенциале школы, результативности здоровьесберегающей деятельности, и обеспечивает возможность сравнительного анализа деятельности разных ОУ. Предложенная модель может также послужить основой для построения рейтинга программ ЗОУ, что потребует введения весовой дифференциации используемых индикаторов.

В рамках предлагаемой нами здоровьесберегающей модели предполагается отдельная квалиметрическая оценка каждого мониторируемого сектора, составляющего здоровьесберегающую образовательную систему (психологического, педагогического и др.), и итоговая оценка совокупной эффективности здоровьесберегающей деятельности ОУ по комплексу секторов.

Важность определения сродства к электрону и потенциалов ионизации в аренах элементарных нанотекстурных фрагментов трудно переоценить. Они определяют основные свойства молекул и веществ – реакционную способность в реакциях окисления и восстановления. Эти же свойства определяют электронно-обменные взаимодействия твёрдой матрицы и адсорбированных на поверхности молекул, электронно-обменные взаимодействия в кристаллической матрице, электрофизические и оптические свойства материала.

В настоящее время доступным и наиболее перспективным методом оценки электронно-обменных свойств в углеродных материалах является метод компьютерного квантово-химического расчёта.

Целью работы был выбор квантово-химических методов компьютерного моделирования, оптимальных для расчётов электронно-обменных свойств ароматических молекул.

В доступных программах Hyperchem и Chemoffice в одинаковых условиях (Т=300К, твёрдое тело) рассчитывали энергии образования ароматических молекул – нейтральных и их ионов (антрацен, тетрацен, нафталин, пицен, пирен, коронен и др.). Из их сравнения определяли потенциал ионизации и сродство к электрону. Полученные расчетные значения сопоставляли со справочными, экспериментальными данными [1].

Выяснили, что полуэмпирический метод расчёта РМ3 (Hyperchem) и Gamess (в Chemoffice) позволяет достаточно точно оценивать значения потенциалов ионизации ароматических молекул (пирен, трифенилен, пицен, антрацен, нафталин и т.д.).

Определили, что методом полуэмпирического расчёта TNDO можно рассчитывать сродство к электрону для большинства ароматических молекул. Значения потенциалов ионизации и сродства к электрону молекул – стенок пор углеродных молекулярных сит, полученных из углеродного волокна, активированного при 500, 600, 700 и 750C, оценивали с помощью квантово-химического моделирования в полуэмпирической программе PM-3 в пакете MOPAC. В методе молекулярной механики и программном комплексе Gamess (Chemoffice), а также в полуэмпирических методах (PM-3, АМ3, ММ1, INDO, ZNDO, TNDO в Hyperchem), производили поиск энергетически и геометрически выгодного пространственного строения молекул, проводили оптимизацию структур нанофрагментов.

В методах Монте-Карло, молекулярной и Ланжевеновской динамики вычисляли значения энергий образования катионов, анионов, нейтральных молекул коронена, аренов с 19, 37, 61 циклами. Коронен является моделью стенок пор восстановленного углеродного молекулярного сита, полученного при 500C (C24H12), арены с 19, 37, 61 ароматическими циклами – моделями стенок пор углеродных молекулярных сит, полученных при 600, 650, 700C (C54H18, C96H24, C150H30) [2].

Выяснено, что значения энергии образования модельных молекул и их ионов, рассчитанные методами INDO, АМ1 и РМ3, близки. Разница значений, полученных методами молекулярной и Ланжевеновской динамики, незначительна. И чуть больше она отличается для метода Монте-Карло.

Самая высокая общая энергия образования из всех исследуемых молекул получена для коронена. Полученные методами квантово-химических рассчетов данные позволяют судить не только о возможности применения эмпирических и полуэмпирических методов рассчета электронно-обменных свойств вместо или в дополнение к экспериментальным методам исследования, но и сравнивать модели аренов между собой.

Достижения современной электроники поистине фантастичны. Я помню времена, когда оборудование, необходимое для хранения информации, помещающейся теперь в одной «флэшке», занимало несколько шкафов. Все эти достижения связаны с использованием удивительных свойств магнитного поля. Но что представляет собой магнитное поле? Вследствие чего возникает и куда исчезает? До сих пор наука не даёт определённого ответа на эти тривиальные вопросы. В учебнике, выпущенном в 1964 г. мы находим, что вокруг проводника с током возникает магнитное поле и магнитное поле является носителем ряда физических свойств [1, с. 182]. Учёбник, выпущенный в 2006 г. лишь констатирует, что взаимодействие токов осуществляется через поле, называемое магнитным [2, с. 116].

Одним свойств магнитного поля является наличие так называемых «силовых линий». Экспериментально эти силовые линии детектируются с помощью железных опилок (см. рис. 1).

Но магнитное поле создаётся не только проводниками с током, но и специфическими веществами – магнетиками, которые приобретают это свойство под действием внешнего магнитного поля. Согласно классической теории принцип намагничивания заключается в том, что во всех веществах существуют мельчайшие электрические токи, замыкающиеся в пределах каждого атома (молекулярные токи). Если магнетик не намагничен, то он не создаёт магнитного поля. Это значит, что молекулярные токи в нём расположены беспорядочно, так что суммарное их действие равно нулю. При намагничивании магнетика расположение молекулярных токов становится частично или полностью упорядоченным [1, с. 240].

Представления о молекулярных токах были введены в теорию магнетизма ёще Ампером [3]. Ныне они имеют базу в виде модели атома по Бору-Резерфорду, в которой электрон движется вокруг ядра по круговой орбите [4]. Это движение может создавать электрический ток, так что электронную орбиту можно рассматривать как круговой проводник или виток соленоида. Собственно, на этой основе вводится понятие магнитного момента электрона [1, с. 273]. Тогда электрический ток в проводнике можно представить как последовательность подобных электронных колец (см. рис. 2).

Но если магнитное поле проводника представить как суперпозицию магнитных полей электронов, оно будет аналогично магнитному полю соленоида и направлено вдоль проводника, что противоречит эксперименту.

1. Магнитное поле электрона

Соответствие опытным данным требует, чтобы силовые линии магнитного поля электрона были коаксиальны его орбите. Специалисты в области гидромеханики давно отметили аналогию между уравнением для нахождения скорости циркуляции, создаваемой вихревой нитью, и уравнением Био-Савара для магнитного поля, создаваемого вокруг замкнутого проводника с постоянным током [5, c. 130]. Действительно, скорость циркуляции, создаваемой бесконечной вихревой нитью на расстоянии σ определяется уравнением (см. рис. 3):

             ,             (1)

где χ – интенсивность вращения вихревой нити.

Аналогично, напряжённость магнитного поля, создаваемого бесконечным проводником с током, определяется уравнением [1, с. 183]:

, (2)

где: i – сила тока.

На аналогию между силовыми линиями магнитного поля и линиями тока гидродинамических течений указывал и Пуанкаре [6, с. 46].

Это согласуется с представлениями о вихревом характере магнитного поля и электрического поля, создаваемого электромагнитным излучением. В работах классиков теории электромагнетизма – Фарадея и Максвелла – использовалось представление о том, что пространство заполнено некой субстанцией – эфиром. В.А. Ацюковский использовал для описания ядерных взаимодействий модель газовых торроидальных вихрей [7]. Но газоподобная среда, так же как и среда со свойствами жидкости не обладает жёсткостью, необходимой для фиксации силовых линий в пространстве. И.П. Верменчук считал [8], что все взаимодействия: и гравитационные, и электрические, и магнитные можно описать через взаимодействия вихрей в сплошной среде – эфире. Причиной образования вихрей является движение материальных тел. А.М. Куминым в качестве структурных элементов эфира были предложены «вращающиеся материальные объекты», подобные шарикам [9].

В данном случае мы ограничимся только образованием магнитного поля. Итак, движущийся электрон, который представляет собой стоячую волну, распределённую по окружности орбиты, подобно диску, вращающемуся в жидкости, создаёт вокруг себя циркуляцию эфира. Тогда линии тока эфира будут совпадать по направлению с силовыми линиями магнитного поля проводника.

Чтобы уточнить характер этих циркуляций, рассмотрим ещё два эффекта.

Сила dF₁₂, с которой элемент проводника dl₁ действует на элемент проводника dl₂, направлена перпендикулярно к последнему и лежит в плоскости, содержащей dl₁ и r₁₂
(см. рис. 4). При этом направление силы dF₁₂ подчиняется правилу правого буравчика: т.е. направлению движения винта с правой нарезкой при вращении его головки от элемента dl₂ к нормали dl_2n. Направление нормали также определяется правилом правого буравчика: т.е. совпадает с направлением движения винта с правой нарезкой при вращении его головки от dl₁ к r₁₂. Модуль силы dF₁₂
определяется уравнением
[1, с. 175]:

,     (3)

где: i₁ и i₂ – сила тока в элементах проводников; J₁ – угол между dl₁ и r₁₂, J₂ – угол между dl₂ и нормалью к плоскости, содержащей dl₁ и r₁₂.

Во-первых, необходимо обратить внимание на то, что сила магнитного взаимодействия направлена под углом к радиус-вектору, соединяющему проводники. Т.е. она стремится не притянуть или оттолкнуть, а повернуть проводники таким образом, что бы величина силы стала равной нулю. Во-вторых, если расположить проводники на одной линии, то sinJ₁ будет равен нулю, а, следовательно, будет равна нулю и сила магнитного взаимодействия. Если представить, что электроны это и есть элементы тока, то это означает, что они создают циркуляцию только в плоскости орбиты. В этом есть глубокий философский смысл. В противном случае электрон замыкал бы своим магнитным полем на себя всю Вселенную. Можно считать, что толщина орбиты электрона и циркуляции эфира, им создаваемая, величины бесконечно малые. Магнитные взаимодействия между электронами заставляют их выстраиваться в параллельных плоскостях, что создаёт условия для формирования электронных структур атомов и молекул.

Традиционно принято считать направлением электрического тока, направление, противоположное движению электронов [1, с. 124]. Тогда для электронов будет действовать правило левого буравчика: направление движения электрона по орбите и направление движения создаваемых электроном циркуляций эфира совпадает с движением головки винта с левой нарезкой при его поступательном движении вперёд.

С учётом всего вышесказанного рис. 2 преобразуется в рис. 5 и мы получаем качественное соответствие между суммарным магнитными полем электронов и магнитным полем проводника.

2. Напряжённость магнитного поля электрона.

Величина напряжённости магнитного поля элемента проводника выводится из уравнения для силы магнитного взаимодействия между элементами тока, подобно тому, как вводится величина напряжённости электростатического поля для электростатического взаимодействия. В системе СГСМ величина напряжённости поля элемента тока равна [1, с. 183]:

,                                     (4)

где: J – угол между направлением тока и радиус-вектором пробной точки.

Такое определение напряжённости магнитного поля, однако, неудобно для рассмотрения свойств электрона. Мы уже установили, что магнитное поле электрона существует только в плоскости орбиты, поэтому исключим угол J. Поскольку речь пойдёт о единичном электроне, мы исключим элемент длины и введём новую величину – напряжённость циркуляции – H_C. Сила тока в единицах СГСМ получается делением силы тока в системе СГСЭ на скорость света. Если принять, что dq = e (заряду электрона), то dt – это время между двумя последовательными электронами, а – расстояние, на которое за это время распространится циркуляция от предыдущего электрона. Чем больше r_F, тем меньше будет остаточная циркуляция в пробной точке:

.                             (5)

Для неподвижного электрона, т.е. для электрона, положение которого в пространстве зафиксировано, например, в постоянном магните, член 1/r_F исключается. Таким образом, напряжённость магнитного поля электрона оказывается формально равной напряжённости его электростатического поля:

.                                         (6)

Но магнитное поле действует только в плоскости орбиты электрона и направлено тангенциально к линиям тока эфира, коаксиальным орбите электрона.

3. Взаимодействие магнитных полей электронов

Что бы перейти от гипотезы к теории необходимо смоделировать процессы взаимодействия между собой магнитных полей электронов в различных условиях и оценить связанные с этим эффекты. Здесь перед нами открывается широкое поле для творчества.

Влияние вещества проводника на напряжённость магнитного поля. Уравнение (4) справедливо для нахождения напряжённости магнитного поля в вакууме. Если пространство вокруг проводника заполнено каким-либо веществом, то магнитное поле будет отличаться от магнитного поля в вакууме, пропорционально некоторой величине, называемой магнитной проницаемостью вещества. Но данные о влиянии на напряжённость магнитного поля состава проводника отсутствуют. Это свидетельствует о том, что, по крайней мере, в первом приближении, напряжённость магнитного поля не зависит от свойств вещества проводника, а зависит только от силы тока в проводнике. В то же время мы знаем, что радиусы орбит электронов в различных металлах существенного различаются. Следовательно, должны существенно различаться и существующие в них «молекулярные токи».

Это свойство магнитного поля вполне объяснимо с позиций циркуляционной модели. Дело в том, циркуляция, определяемая как произведение радиуса на круговую скорость, есть величина постоянная [10, с. 47]:

, где u – круговая скорость линии тока.                     (7)

Величину константы мы можем найти из величины момента количества движения электрона, который равен [4]:

, где h – постоянная Планка.                  (8)

Отсюда следует:

.                                      (9)

В работе [11] было показано, что в модели бора n=1 для всех электронов в основном состоянии, независимо от номера так называемого «электронного слоя». В теории строения атома принято, что электроны располагаются вокруг ядра так называемыми «слоями» [12, с. 93]. На электрон верхнего слоя действует эффективный заряд, складывающийся из заряда ядра и экранирующих заряд электронов. Вычисляя радиус орбиты внешнего электрона в основном состоянии по модели Бора мы для любого слоя, будь то 2s или 5s, должны принимать n=1, потому что значения n>1 соответствуют возбуждённым состояниям электрона, в которые он переходит под воздействием внешнего излучения. И время нахождения электрона в возбуждённом состоянии ничтожно мало.

Таким образом, скорость циркуляции, с которой может быть связана напряжённость магнитного поля, не зависит от радиуса орбиты электрона, а зависит лишь от расстояния между ядром атома и пробной точкой.

Тепловое излучение. Целесообразно выделить особый вид движения электронов – вращение плоскостей орбит вокруг ядра. В этом случае в окружающем пространстве будет всё время меняться магнитное поле, причём с определённой частотой – с частотой вращения плоскостей орбит. Представляется, что подобное вращение является одним из основных видом теплового движения, с которым связана теплоёмкость и теплопроводность.

Вращение плоскости орбиты электрона связано с изменением момента количества его движения. Производимая при этом работа определяется соотношением:

,                                      (10)

где ΔК_e – изменение момента количества движения электрона, а Δφ – угол поворота плоскости орбиты.

Закон сохранения энергии требует, что бы эквивалентное количество энергии выделилось в окружающую среду. Мы можем предположить, что это будет энергия циркуляции эфира.

Величина момента количества движения электрона равна h/2π. Следовательно, при повороте плоскости орбиты на 360 градусов величина работы будет равна:

,                                     (11)

где ν_Rot – частота вращения плоскости орбиты.

Взаимодействие циркуляций. Каким образом, циркуляции, создаваемые отдельными электронами взаимодействуют между собой?
Это важнейший вопрос, от ответа на который зависит, станет ли рассматриваемая гипотеза теорией или нет. Качественная оценка показывает (см. рис. 6), что однонаправленные циркуляции взаимно уничтожаются во внутренней области и должны усиливать друг друга во внешней области. Циркуляции, имеющие противоположное направление, будут взаимно усиливаться во внутренней области и отталкиваться во внешней. Но является ли это взаимодействие аддитивным или имеет место более сложная зависимость?

Нам еще предстоит дать ответ на это и многие другие вопросы, связанные с использованием циркуляционной модели для описания явлений магнетизма.

]]> https://web.snauka.ru/issues/2011/11/5321/feed 0 https://web.snauka.ru/issues/2012/01/6230 https://web.snauka.ru/issues/2012/01/6230#comments Fri, 06 Jan 2012 11:11:54 +0000 Файн Марина Борисовна https://web.snauka.ru/?p=6230 В представлении материала придерживались следующих аспектов:
- дискретизация процессов;
- выделение элементов информации;
- акцентирование внимания на конкретных элементах;
- развитие творческих способностей обучающихся;
- умение анализировать, моделировать, прогнозировать, творчески мыслить;
- формирование умения получать знания самостоятельно, работая с обучающими программами на компьютере;
- повысить интерес к изучению физики.
Глобальной задачей являлась разработка современного учебно-методического комплекса с использованием мультимедийных технологий. Пособие создано в одном из приложений Microsoft Office – Power Point с использованием Flash технологий и включает в себя:
1. Содержание, в котором представлены теоретические аспекты к таким темам, как «Атомная физика», «Ядерная физика», «Элементарные частицы» и т.д.
2. Пять анимаций, разработанных в Macromedia Flash
3. Контрольно- измерительные материалы с выделенными траекториями обучения, а именно представлен минимум заданий, необходимых для получения оценки 3, 4, 5.
Использование презентаций на уроках способствует лучшему усвоению учебного материала, повышает активность обучающихся на занятиях. Демонстрация опытов развивает внимание и память учащихся на стадии эмпирического познания изучаемых явлений и закономерностей. Однако, не всегда имеющееся оборудование позволяет провести демонстрацию «живого» опыта. С появлением компьютерных технологий появилась возможность описать и продемонстрировать физические процессы, в особенности те, которые нельзя «потрогать руками». Именно по этой причине в данном пособии имеются ролики, которые помогают глубже проникнуть в суть процесса.
Один из роликов в пособии позволяет наглядно продемонстрировать опыт Резерфорда. В данном ролике указаны основные выводы, которые были сделаны Резерфордом из проведенного им опыта.
Для объяснения устройства и схемы работы ядерного реактора служит еще один ролик. Все детали подписаны.
Также в пособии представлены задачи по данному разделу физики разного уровня сложности и даны подробные примеры решения некоторых задач.
Разработанное электронное пособие по курсу «Ядерная физика», предназначенное для:
- одновременного использования нескольких каналов восприятия учащегося в процессе обучения, за счет чего достигается интеграция информации, доставляемой несколькими различными органами чувств;
- возможности продемонстрировать сложные реальные эксперименты, проведение которых затруднительно или невозможно;
- визуализации абстрактной информации за счет динамического представления процессов.

Окружные целевые программы представляют собой увязанный по задачам, ресурсам и срокам осуществления комплекс
научно-исследовательских, опытно-конструкторских, производственных, социально-экономических,
организационно-хозяйственных и других мероприятий, обеспечивающих эффективное решение системных проблем в области государственного, экономического, экологического, социального и культурного развития Ханты-Мансийского
автономного округа – Югры.

Целевая программа может включать в себя несколько подпрограмм, направленных на решение конкретных задач в рамках
программы. Деление целевой программы на подпрограммы осуществляется исходя из масштабности и сложности решаемых проблем, а также необходимости рациональной организации их решения.

Более 70% от общего числа принятых целевых программ являются социальными, т.е. направленные на улучшение жизни
населения округа. К таким программам можно отнести, например программу улучшения жилищных условий населения Ханты-Мансийского автономного округа – Югры” на 2005-2015 годы, развитие и модернизация жилищно-коммунального комплекса Ханты-Мансийского автономного округа – Югры” на 2005-2012 годы и т.д.

Во всех программах, помимо увязанного комплекса определенных ресурсов и задач, также существует целостный механизм, позволяющий с течением времени вести учет, анализировать и предпринимать различные меры для возможного пересмотра хода реализации той или иной программы. Например, бездефицитный или профицитный бюджеты, в первом случае объем запланированных средств на финансирование целевых программ остается неизменным на всем протяжении действия программы или финансового года, в течение которого сверстан и принят бюджет, а в случае с профицитным бюджетом количество ассигнований увеличивается.

При разработке целевой программы, она
должна состоять из следующих разделов:

-  характеристика проблемы, на решение которой
направлена целевая программа;

- основные цели и задачи целевой программы с указанием сроков и этапов ее реализации,
а также целевых индикаторов и показателей;

- перечень программных мероприятий;

- обоснование ресурсного обеспечения целевой программы;

- механизм реализации целевой программы, включающий в себя механизм управления
программой и механизм взаимодействия государственных заказчиков;

- оценка социально-экономической и экологической эффективности целевой программы.

С точки зрения статистических методов, программы разрабатываемые в Ханты-Мансийском автономному округе содержать шесть основных этапов исследования и это в свою очередь отвечает научному подходу, формам и методам статистического анализа данных :

1. Определение проблемы

Первый этап любого статистического исследования заключается в выяснении пробле­мы. При ее определении руководство должно принимать во внимание цель исследования, соответствующую исходную информацию, какая информация необходима и как она будет использована при принятии решения. Определение проблемы включает в себя ее обсуждение с лицами, принимающими решения, интервью с экспертами в данной сфере, анализ вторичных данных и, возможно, проведение отдельных каче­ственных исследований. Как только проблема точно установлена, можно разрабатывать план статистического исследования и приступать к его проведению.

2. Разработка подхода к решению проблемы

Разработка подхода к решению проблемы включает в себя формулировку теорети­ческих рамок исследования, аналитических моделей, поисковых вопросов, гипотез, а также определение факторов, которые могут влиять на план исследования. Этот этап характеризуется следующими действиями: обсуждение с руководством и экспертами по данной сфере, изучение ситуаций и моделирование, анализ вторичных дан­ных, качественные исследования и прагматические соображения.

3. Разработка плана исследования

План статистического исследования детализирует ход выполнения процедур, необхо­димых для получения нужной информации. Он необходим для того, чтобы разработать план проверки гипотез, определить возможные ответы на
поисковые вопросы и выяс­нить, какая информация необходима для принятия решения. Проведение поискового исследования, точное определение переменных и определение соответствующих шкал для их измерения — все это тоже
входит в план статистического исследования. Необходимо опре­делить, каким образом должны быть получены данные от респондентов (например, проведе­ние опроса или эксперимента). Одновременно необходимо составить анкету и план выбо­рочного наблюдения. Более строго разработка плана статистического исследования состоит из следующих этапов.

1.  Анализ вторичной информации.

2.  Качественные исследования.

3.  Сбор количественных данных (опрос, наблюдение и проведение эксперимен­тов).

4.  Измерение и методы шкалирования.

5.  Разработка анкеты.

6.  Определение размера выборки и проведение выборочного наблюдения.

7.  План анализа данных.

4. Полевые работы или сбор данных

Сбор данных осуществляется персоналом по проведению полевых работ, которые ра­ботают либо в полевых условиях, как в случае личного интервьюирования (в домах по месту жительства или с помощью компьютера), либо из офиса с помощью теле­фона (телефонное или компьютерное интервьюирование), либо по почте (традиционная поч­та и почтовые панельные исследования с предварительно выбранными семьями), либо с по­мощью электронных средств (электронная почта или Internet). Надлежащий отбор, обучение, контроль и оценка сотрудников, принимающих участие в полевых работах, минимизирует ошибки при сборе данных.

5. Подготовка данных и их анализ

Подготовка данных включает в себя редактирование, кодирование, расшифровку и проверку данных. Каждая анкета или форма наблюдения проверяются или редактируются и, если необходимо, корректируются. Каждому ответу на вопрос анкеты присваиваются число­вые или буквенные коды. Данные анкет расшифровываются или набиваются на магнитной ленте или на диске или вводятся непосредственно в компьютер. Проверка дает возможность удостовериться, что данные с оригиналов анкет расшифрованы точно. Для анализа данных используются одномерные методы статистического анализа в том случае, если элементы вы­борки измеряются по одному показателю, или когда имеется несколько показателей, но каж­дая переменная анализируется отдельно. С другой стороны, если имеется два или более из­мерений каждого элемента выборки,
а переменные анализируются одновременно, то для анализа данных используются многомерные методы.

6. Подготовка отчета и его презентация

Ход и результаты статистических исследований должны быть изложены письменно в виде отчета, в котором четко обозначены конкретные вопросы исследования, описан метод и план исследования, процедуры сбора данных и их анализа, результаты и выводы. Получен­ные выводы должны быть представлены в виде, удобном для использования при принятии
управленческих решений. Кроме того, руководству должна быть сделана и устная презентация с использованием таблиц, цифр и диаграмм, чтобы повысить доходчи­вость и воздействие на аудиторию.

Статистические данные по своей природе делятся на два типа: количественные и кате­гориальные. Количественные
(метрические) данные являются непрерывными по своей природе. Эти данные либо измерены с помощью интервальной шкалы (определено расстоя­ние между любыми двумя данными), либо с помощью шкалы отношений (кроме расстояния, определен и порядок значений). Категориальные (неметрические) данные — это качест­венные данные с ограниченным числом уникальных значений или категорий. Два вида: но­минальные — используются для нумерации различных объектов; порядковые — данные, для которых существует естественный порядок категорий.

Основные задачи и методы
статистического анализа

Как одним из основных примеров, можно привести окружную целевую программу «Создание единой сети связи и передачи
данных в ХМАО-Югре», которая была разработана и реализована в 2007-2009 гг. При анализе и более подробном изучении социальной программы, мы можем увидеть полное соответствие ранее обозначенным требованиям, из которых должна состоять целевая программа, а также, мы можем увидеть шесть основных этапов исследования статистической модели обработки данных.

В данной статье мы рассмотрели, каким образом строятся и из чего состоят целевые окружные программы. Как мы можем
увидеть, по отношению к социальной политики в округе создан крепкий фундамент для развития существующих программ и построения новых моделей реализации статистического метода обработки данных.

Литература

1. Малхотра Нэреш К. Маркетинговые исследования. Практическое руководство. 3-е издание. —М.: Вильяме, 2002.

2. Наследов А.Д. SPSS: Компьютерный анализ данных в психологии и социальных науках. — СПб.: Питер, 2005.

3. Бююль А., Цёфель П. SPSS: искусство обработки информации. Анализ статистиче­ских данных и восстановление скрытых закономерностей. — М.: ДиасофтЮП, 2002.

4. Пациорковский В.В., Пациорковская В.В. SPSS для социологов. Учебное пособие. — М.: ИСЭПН РАН, 2005.

5. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. “Прикладная статистика; Основы эконометрики: В 2 т: Т. 1: Теория вероятностей и прикладная статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

6. Айвазян С.А. “Прикладная статистика; Основы эконометрики: В 2 т: Т. 2: Основы эконометрики: Учебник для вузов. — 2-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

7. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2004.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. — М.: Мир, 1989.

9. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы.

— М.: Финансы и статистика, 2003.

10. Перцев Н.В. Количественные методы анализа и обработки данных: Учебное посо­бие. — Омск: ОмГУ, 2002.

Методы задания базового плана перевозок

В любой сфере деятельности человек неизбежно сталкивается с задачами оптимизации. Экономическое планирование, управление, распределение ограниченных ресурсов, анализ производственных процессов, проектирование сложных объектов всегда должно быть направлено на поиск наилучшего варианта с точки зрения намеченной цели.

Одной из распространенных задач оптимизации является транспортная задача.

Определим термины задачи таким образом: требуется развезти товар, находящийся на складах, по магазинам. При этом А – массив наличия товара на складах (в условных единицах: кг, шт., ящики и т.п.), В – массив потребностей магазинов, С – матрица тарифов (стоимости, расстояний и т.п.) для перевозки товаров со складов в магазины, D – матрица перевозок, показывающая, сколько товаров перевозится со складов в магазины, i – индекс (счетчик) складов, j – индекс магазинов.

Для решения транспортной задачи разработано несколько методов задания базового плана перевозок, являющегося первым приближением для оптимизации. Рассмотрим наиболее распространенные из них:

1) Метод северо-западного угла. Просматривается матрица  перевозок D, начиная с левого верхнего угла (клетки). Находится незанятая клетка, в нее записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для левой верхней клетки оставшейся матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

2) Метод Двойного Предпочтения.  Просматривается  вся матрица тарифов перевозок и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij. И в строке и в столбце значение должно быть минимальным. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная. Обнулившаяся строка и столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

3) Метод минимального элемента. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij, При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

4) Метод Фогеля. Просматриваются все строки и столбцы матрицы тарифов, вычисляется разность между двумя наименьшими элементами в строке или в столбце. Затем из всех этих разностей максимальная. По индексу наименьшего элемента, соответствующего этой разности выбираются строка и столбец. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Различие этих методов заключается как в простоте или сложности реализации так и в “качестве” начального решения, т.е. насколько начальное решение ближе к оптимальному. В общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение, а метод северо-западного угла – наихудшее. Однако метод северо-западного угла проще реализуется и требует меньшего объема вычислений.

Но ни в одном из этих методов не рассматриваются такие параметры задачи, как величины запасов товаров на складах и потребности магазинов. А они подчас очень сильно влияют на оценку как оптимального так и базового планов перевозок. В данной статье предлагается расширение методов задания базового плана перевозок, учитывающее величины значений наличия и потребностей товаров на складах и в магазинах.

1) Метод Приоритета Больших перевозок. Основой для него является метод Минимального Элемента. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij, При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается та, в которой Dij=MIN(Ai, Bj) максимально (этот этап определяет различие методов). При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная.. Затем в данную клетку записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

2) Метод Размена Больших значений. Он заключается в том, что просматриваются значения параметров складов и магазинов. Из этих параметров выбирается наибольшее значение. При наличии нескольких одинаковых значений в соответствующих строках или столбцах выбирается минимальное значение тарифа в этих строках (столбцах). Если опять получилось несколько одинаковых значений, то выбирается максимальное Dij=MIN(Ai,Bj). При наличии нескольких одинаковых на этом этапе выбирается первое из имеющихся с приоритетом складов. Затем в выбранную клетку записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Сравнительное исследование известных методов и разработанных нами показало, что метод Приоритета Больших Перевозок практически равноценен методу минимальных значений, а метод Размена больших Значений не уступает методу Фогеля, а в ряде случаев превосходит его. В сравнительной таблице приводятся результаты решения задач, взятых из произвольных источников. Задачи с номерами от 15 до 35 приведены из книги Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. М. Физматлит, 2005, глава 2.

Из таблицы видно, что метод Приоритета Больших Перевозок в 7‑и задачах уступает методу Минимальных Значений, в 24-х дает одинаковую с ним оценку (отмечено жирным шрифтом) и в 6-и – превосходит этот метод (жирный наклонный шрифт).

Метод Размена Больших Значений определенно лучше метода Минимальных Значений, он в 18-х задачах дает лучшую оценку и в 7-и одинаковую. По сравнению с методом Фогеля в 12-и задачах оценка равна или лучше (жирный шрифт). Более того, В 7-и задачах метод дает сразу оптимальный план перевозок (шрифт жирный наклонный).

Выводы

Из рассмотренного видно, что метод Приоритета Больших Перевозок не дает больших преимуществ по сравнению с общепринятыми методами, в частности, методом Минимальных Значений.

Но, в свою очередь, метод Размена Больших Значений заслуживает внимания по нескольким причинам:

1) Оценка метода почти не уступает общепринятому методу Фогеля при более простой реализации;

2) Понятный физический смысл метода (перевозка больших объемов при прочих равных условиях предпочтительнее) делает его более привлекательным для реализации по сравнению с тем же методом Фогеля;

3) Реализация метода сама по себе не представляет больших сложностей.

Вырожденность транспортной задачи

и как с ней бороться

Как известно, транспортная задача бывает открытая и закрытая. Открытой называется задача, в которой баланс поставщиков и потребителей не равны между собой. Это явление обычно и встречается сплошь и рядом. Способ борьбы с этим единственен и прост: добавляем фиктивного поставщика, если баланс поставщиков меньше, чем баланс потребителей, и наоборот.

К сожалению, известно и то, что транспортная задача является вырожденной и невырожденной. Вырожденной является такая задача, в которой количество клеток в плане меньше m+n-1, где m - количество поставщиков, n – количество потребителей. Понятно, что это явление тоже часто встречается. Способ борьбы с ним у каждого свой: от случайно размещаемых нулевых клеток в плане до перебора по очереди всех пустых клеток. Ни то ни другое не дает гарантий в том, что вновь размещенная клетка не образует цикл с имеющимися клетками.

С первого взгляда кажется, что вырожденность задачи – явление случайное и никаким законам не подчиняется. Даже более того, базовые планы, созданные с помощью различных методов, например, Северо-западного угла и Минимальных значений, дают вырожденный и невырожденный планы для одной и той же задачи. Это, естественно, порождает мысли: скрыта вырожденность в задаче или метод создания плана создает ее. Но когда в другой задаче не срабатывает, наоборот, тот метод, который только что создал нормальный невырожденный план, остается одна мысль: вырожденность – явление потустороннее и не зависит от задачи и применяемого метода создания плана.

И все-таки существует способ не только избавиться от вырожденности, но и «уничтожить» ее насовсем. Каким образом? Какова природа вырожденности и откуда она возникает? Рассмотрим вопрос в таком порядке: природа вырожденности; откуда (и почему) возникает вырожденность; как с ней бороться.

Итак, природа вырожденности. Вырожденность – когда не хватает клеток-уравнений для определения потенциалов в плане. Это, когда необходимо для нормальной работы m+n-1 уравнение, а их, к сожалению, m+n-2. И еще хуже, если их получается только m, как в этой задаче (см. таблица 1) при использовании метода Северо-западного угла.

Таблица 1

Как видим, в таблице (см. таблица 2) заполнены только 3 клетки при необходимом количестве 5. Ну, очень вырожденный план. Какие 2 из 4-х пустых клеток ввести в план? Кстати, оценка этого плана равна 200, оценка оптимального плана, который получится при решении задачи, будет равна 100. Такие задачи можно придумать для любого метода составления базового плана, даже в этой задаче, где все другие методы сразу дают оптимальный план, у них в плане участвуют только по 4 клетки.

Таблица 2

Оптимальный план данной задачи имеет следующий вид (см. таблица 3) и в нем, как можно заметить, уже присутствуют m+n-1 клеток, из которых одна оказалась нулевой. Этот план у нас получится в процессе пошагового решения задачи.

Таблица 3

Далее, откуда возникает вырожденность. Рассмотрим по шагам составление базового плана нашей задачи. Распределяя первую строку, получаем клетку (1,1), обнуляем поставщика и получателя. То есть, добавляя одну клетку, мы избавились (к сожалению) от двух переменных сразу. Со второй строкой получается аналогичная картина. И к окончанию создания плана мы имеем «недостачу» трех

Как бороться с вырожденностью. Многие разработчики просто добавляют нулевые клетки, проверяют получившуюся конструкцию на циклы и, если таковые появляются, переставляют клетки случайным образом в другие места. В нашей задаче цикл появляется при включении в план клеток (1,2) и (2,1) (см. таблица 4).

Таблица 4

Таким образом, перебрав несколько (а в большой матрице много) вариантов, приходим к следующему плану (см. таблица 5).

Таблица 5

В дальнейшем будет показано и обосновано, как можно создать план, обладающий двумя очень важными достоинствами: количество клеток равно точно m+n-1, полное отсутствие циклов. Для этого необходимо в случае, когда обнуляются поставщик и получатель, добавлять клетку с нулевым значением в ЛЮБОЙ незанятый столбец (такая операция некоторыми, бывает, проводится интуитивно). Если незанятых столбцов нет, то никаких действий не производится. Просто это означает, что все столбцы обнулены, и план составлен. Естественно, возникают два вопроса: об образовании циклов с участием этой нулевой клетки и о вырожденности полученного плана. Для решения первого вопроса докажем теорему «О невозможном внедренном цикле». После этого посчитаем количество получившихся клеток и сравним с m+n-1.

Теорема: О невозможном внедренном цикле

Определения:

Занятый столбец – столбец, в котором находится клетка плана и значение получателя равно 0.

Незанятый столбец - столбец, в котором находится клетка плана и значение получателя не равно 0, либо в столбце нет ни одной клетки плана.

П-конструкция – вертикальный отрезок в столбце k (туловище) с концами на строках i и j и двумя горизонтальными «хвостами», направленными в одну сторону, например, вправо. Любые другие ориентации сводятся к данной путем поворотов или отражений.

Формулировка: В том случае, когда при создании плана одновременно обнуляются поставщик и получатель, и нулевая клетка помещается в любой незанятый столбец, цикл не образуется.

Доказательство: любой цикл содержит в себе П-образную конструкцию, обозначены номерами от 1 до 4 (см. рисунок 1).

1         2   2    3         1          2

4         3   1                   4     3

4

Рисунок 1. Различные виды циклов.

Эту конструкцию в нашей задаче можно представить так: (1,1), (1,2), (2,2), (2,1) или (2,1), (1,1), (1,2), (2,2) (см. таблица 6). Она появляется, когда нулевая клетка помещается в (1,1) при наличии занятых клеток  (1,2), (2,2), (2,1).

Таблица 6

Если мы докажем, что такая конструкция не может появиться в нашем случае, это и будет означать, что циклы в созданном по правилам плане невозможны.

Лемма: В правильно составляемом плане П-конструкции не появляются.

Доказательство: Проверим варианты ситуаций, когда данная конструкция может образоваться. Во всех случаях обрабатывается строка j.

1. Строка i имеет одну занятую клетку, и обработка ее закончена.

2. Строка i имеет одну занятую клетку, и обработка ее не закончена.

3. Строка i имеет более одной занятой клетки.

Чтобы не запутывать доказательство, условно примем, что в других строках нет ни одной занятой клетки. В противном случае в качестве строки i необходимо проверить все строки по очереди.

В первом случае в строке j в том столбце, где строка i имеет занятую клетку, можно разместить как клетку плана, так и нулевую клетку, поскольку в строке i нет «хвоста», как одного из элементов П-конструкции. В дальнейшем рассмотрении  будем рассматривать случай 3 для столбца, в который мы поместили две клетки.

Во втором случае в строке j в том же столбце нельзя ничего разместить, поскольку столбец уже занят (вспомним, как появляются клетки плана). Так что основы для П-конструкции нет.

Значит, «краеугольным» в доказательстве является случай 3. Очевидно, что все столбцы, в которых расположены занятые клетки строки i, заняты, кроме одного, в котором строка обнулилась (Естественно, два и более незанятых столбцов при наличии клеток плана означают, что строка i обнулялась несколько раз, чего быть не может). Но и он может быть занят, если обнулился вместе со строкой. Если все столбцы заняты, то как и в случае 2, основы для П-конструкции нет.

Остается одна возможность – единственный незанятый столбец. Помещаем в него клетку. Если строка j обнулилась, а столбец - нет, то хвост из данной клетки не появится. Если и столбец обнулился, то помещаем нулевую клетку в свободный столбец как часть плана. Эта клетка не замкнет цикл, поскольку из строки i не появится новых клеток плана (все столбцы обнулены), а уже имеющиеся, вместе с идущими из них путями, не касаются незанятого столбца.

Таким образом, П-конструкции в правильно составляемом плане не появляются. И, следовательно, циклы не образуются.  Что и требовалось доказать.

Вернемся к вопросу о вырожденности полученного плана. Вспомним, что каждая клетка плана есть по сути одно уравнение в методе потенциалов, связывающее две переменных v(i) и u(j). При расчетах одна переменная является определяемой, вторая определенной. Нам надо сосчитать, сколько определяемых переменных имеется во всех клетках-уравнениях.

Пусть в строке i находится m(i) клеток, не считая нулевой. Посмотрим, что определяют эти уравнения. Если строка i в процессе занесения в план клетки (i, j) обнуляется, а столбец j – нет, то  этим уравнением определяется переменная v(i) и (m(i) – 1) переменных u, кроме, естественно, переменной u(j), которая определится, когда обнулится столбец j. Если столбец обнуляется вместе со строкой, то определяется m(i) переменных u, а добавление нулевой ячейки определяется переменная  v(i) (не забываем, что в последней заполненной строке нет нулевой клетки). Теперь посчитаем уравнения и переменные. Поскольку все столбцы в процессе составления плана обнулены, то сумма m(i) равна общему количеству столбцов, то есть m. Поскольку при обнулении каждой строки (кроме последней) определяется одна переменная v(i), то при обнулении всех строк мы определили n‑1 переменных. Общее количество определенных переменных составляет m + (n‑1). Что и требовалось!

ВЫВОД: Применяя правило «Если при создании плана одновременно обнуляются поставщик и получатель, то нулевая клетка плана помещается в любой незанятый столбец» мы получаем невырожденный  и  незацикленный план, и без всяких ухищрений.

В завершение приводим базовый план, составленный с учетом правила, итерации и оптимальный план рассматриваемой задачи с разностями потенциалов и ценой (оценкой) плана.

Таблица 7

*   *   *

Дополнение к вышесказанному: При составлении плана некоторые строки и столбцы имеют по несколько клеток. В процессе расчета очередной итерации по методу потенциалов требуется найти цикл, содержащий вновь введенную в план клетку. Для этого достаточно стереть (временно – для данной итерации) клетки, которые находятся в строке или столбце в единственном числе. Этот факт означает, что войдя в клетку, выйти из нее невозможно. Проделать такую операцию необходимо рекурсивно до тех пор, пока одиночных клеток не останется. Не трудно понять, что оставшиеся клетки и будут тем самым циклом. И опять без всяких ухищрений (Не забывайте после пересчета вернуть все временно удаленные клетки на место).

Одной из распространенных задач оптимизации является транспортная задача.

Определим термины задачи таким образом: требуется развезти товар, находящийся на складах, по магазинам. При этом А – массив наличия товара на складах (в условных единицах: кг, шт., ящики и т.п.), В – массив потребностей магазинов, С – матрица тарифов (стоимости, расстояний и т.п.) для перевозки товаров со складов в магазины, D – матрица перевозок, показывающая, сколько товаров перевозится со складов в магазины, i – индекс (счетчик) складов, j – индекс магазинов.

Для решения транспортной задачи разработано несколько методов задания базового плана перевозок, являющегося первым приближением для оптимизации. Рассмотрим наиболее распространенные из них:

1) Метод северо-западного угла. Просматривается матрица  перевозок D, начиная с левого верхнего угла (клетки). Находится незанятая клетка, в нее записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для левой верхней клетки оставшейся матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

2) Метод Двойного Предпочтения.  Просматривается  вся матрица тарифов перевозок и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij. И в строке и в столбце значение должно быть минимальным. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная. Обнулившаяся строка и столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

3) Метод минимального элемента. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij, При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

4) Метод Фогеля. Просматриваются все строки и столбцы матрицы тарифов, вычисляется разность между двумя наименьшими элементами в строке или в столбце. Затем из всех этих разностей максимальная. По индексу наименьшего элемента, соответствующего этой разности выбираются строка и столбец. Затем в данную клетку записывается величина D=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Различие этих методов заключается как в простоте или сложности реализации так и в “качестве” начального решения, т.е. насколько начальное решение ближе к оптимальному. В общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение, а метод северо-западного угла – наихудшее. Однако метод северо-западного угла проще реализуется и требует меньшего объема вычислений.

Но ни в одном из этих методов не рассматриваются такие параметры задачи, как величины запасов товаров на складах и потребности магазинов. А они подчас очень сильно влияют на оценку как оптимального так и базового планов перевозок. В данной статье предлагается расширение методов задания базового плана перевозок, учитывающее величины значений наличия и потребностей товаров на складах и в магазинах.

1) Метод Приоритета Больших перевозок. Основой для него является метод Минимального Элемента. Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается клетка с наименьшим значением тарифа Cij, При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается та, в которой Dij=MIN(Ai, Bj) максимально (этот этап определяет различие методов). При наличии нескольких клеток с одинаковыми значениями выбирается произвольная.. Затем в данную клетку записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

2) Метод Размена Больших значений. Он заключается в том, что просматриваются значения параметров складов и магазинов. Из этих параметров выбирается наибольшее значение. При наличии нескольких одинаковых значений в соответствующих строках или столбцах выбирается минимальное значение тарифа в этих строках (столбцах). Если опять получилось несколько одинаковых значений, то выбирается максимальное Dij=MIN(Ai,Bj). При наличии нескольких одинаковых на этом этапе выбирается первое из имеющихся с приоритетом складов. Затем в выбранную клетку записывается величина Dij=MIN(Ai, Bj). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс повторяется для оставшейся части матрицы до тех пор, пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Сравнительное исследование известных методов и разработанных нами показало, что метод Приоритета Больших Перевозок практически равноценен методу минимальных значений, а метод Размена больших Значений не уступает методу Фогеля, а в ряде случаев превосходит его. В сравнительной таблице приводятся результаты решения задач, взятых из произвольных источников. Задачи с номерами от 15 до 35 приведены из книги Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. М. Физматлит, 2005, глава 2.

Из таблицы видно, что метод Приоритета Больших Перевозок в 7‑и задачах уступает методу Минимальных Значений, в 24-х дает одинаковую с ним оценку (отмечено жирным шрифтом) и в 6-и – превосходит этот метод (жирный наклонный шрифт).

Метод Размена Больших Значений определенно лучше метода Минимальных Значений, он в 18-х задачах дает лучшую оценку и в 7-и одинаковую. По сравнению с методом Фогеля в 12-и задачах оценка равна или лучше (жирный шрифт). Более того, В 7-и задачах метод дает сразу оптимальный план перевозок (шрифт жирный наклонный).

Выводы

Из рассмотренного видно, что метод Приоритета Больших Перевозок не дает больших преимуществ по сравнению с общепринятыми методами, в частности, методом Минимальных Значений.

Но, в свою очередь, метод Размена Больших Значений заслуживает внимания по нескольким причинам:

1) Оценка метода почти не уступает общепринятому методу Фогеля при более простой реализации;

2) Понятный физический смысл метода (перевозка больших объемов при прочих равных условиях предпочтительнее) делает его более привлекательным для реализации по сравнению с тем же методом Фогеля;

3) Реализация метода сама по себе не представляет больших сложностей.

К сожалению, известно и то, что транспортная задача является вырожденной и невырожденной. Вырожденной является такая задача, в которой количество клеток в плане меньше m+n-1, где m - количество поставщиков, n – количество потребителей. Понятно, что это явление тоже часто встречается. Способ борьбы с ним у каждого свой: от случайно размещаемых нулевых клеток в плане до перебора по очереди всех пустых клеток. Ни то ни другое не дает гарантий в том, что вновь размещенная клетка не образует цикл с имеющимися клетками.

С первого взгляда кажется, что вырожденность задачи – явление случайное и никаким законам не подчиняется. Даже более того, базовые планы, созданные с помощью различных методов, например, Северо-западного угла и Минимальных значений, дают вырожденный и невырожденный планы для одной и той же задачи. Это, естественно, порождает мысли: скрыта вырожденность в задаче или метод создания плана создает ее. Но когда в другой задаче не срабатывает, наоборот, тот метод, который только что создал нормальный невырожденный план, остается одна мысль: вырожденность – явление потустороннее и не зависит от задачи и применяемого метода создания плана.

И все-таки существует способ не только избавиться от вырожденности, но и «уничтожить» ее насовсем. Каким образом? Какова природа вырожденности и откуда она возникает? Рассмотрим вопрос в таком порядке: природа вырожденности; откуда (и почему) возникает вырожденность; как с ней бороться.

Итак, природа вырожденности. Вырожденность – когда не хватает клеток-уравнений для определения потенциалов в плане. Это, когда необходимо для нормальной работы m+n-1 уравнение, а их, к сожалению, m+n-2. И еще хуже, если их получается только m, как в этой задаче (см. таблица 1) при использовании метода Северо-западного угла.

Таблица 1

Как видим, в таблице (см. таблица 2) заполнены только 3 клетки при необходимом количестве 5. Ну, очень вырожденный план. Какие 2 из 4-х пустых клеток ввести в план? Кстати, оценка этого плана равна 200, оценка оптимального плана, который получится при решении задачи, будет равна 100. Такие задачи можно придумать для любого метода составления базового плана, даже в этой задаче, где все другие методы сразу дают оптимальный план, у них в плане участвуют только по 4 клетки.

Таблица 2

Оптимальный план данной задачи имеет следующий вид (см. таблица 3) и в нем, как можно заметить, уже присутствуют m+n-1 клеток, из которых одна оказалась нулевой. Этот план у нас получится в процессе пошагового решения задачи.

Таблица 3

Далее, откуда возникает вырожденность. Рассмотрим по шагам составление базового плана нашей задачи. Распределяя первую строку, получаем клетку (1,1), обнуляем поставщика и получателя. То есть, добавляя одну клетку, мы избавились (к сожалению) от двух переменных сразу. Со второй строкой получается аналогичная картина. И к окончанию создания плана мы имеем «недостачу» трех

Как бороться с вырожденностью. Многие разработчики просто добавляют нулевые клетки, проверяют получившуюся конструкцию на циклы и, если таковые появляются, переставляют клетки случайным образом в другие места. В нашей задаче цикл появляется при включении в план клеток (1,2) и (2,1) (см. таблица 4).

Таблица 4

Таким образом, перебрав несколько (а в большой матрице много) вариантов, приходим к следующему плану (см. таблица 5).

Таблица 5

В дальнейшем будет показано и обосновано, как можно создать план, обладающий двумя очень важными достоинствами: количество клеток равно точно m+n-1, полное отсутствие циклов. Для этого необходимо в случае, когда обнуляются поставщик и получатель, добавлять клетку с нулевым значением в ЛЮБОЙ незанятый столбец (такая операция некоторыми, бывает, проводится интуитивно). Если незанятых столбцов нет, то никаких действий не производится. Просто это означает, что все столбцы обнулены, и план составлен. Естественно, возникают два вопроса: об образовании циклов с участием этой нулевой клетки и о вырожденности полученного плана. Для решения первого вопроса докажем теорему «О невозможном внедренном цикле». После этого посчитаем количество получившихся клеток и сравним с m+n-1.

Теорема: О невозможном внедренном цикле

Определения:

Занятый столбец – столбец, в котором находится клетка плана и значение получателя равно 0.

Незанятый столбец - столбец, в котором находится клетка плана и значение получателя не равно 0, либо в столбце нет ни одной клетки плана.

П-конструкция – вертикальный отрезок в столбце k (туловище) с концами на строках i и j и двумя горизонтальными «хвостами», направленными в одну сторону, например, вправо. Любые другие ориентации сводятся к данной путем поворотов или отражений.

Формулировка: В том случае, когда при создании плана одновременно обнуляются поставщик и получатель, и нулевая клетка помещается в любой незанятый столбец, цикл не образуется.

Доказательство: любой цикл содержит в себе П-образную конструкцию, обозначены номерами от 1 до 4 (см. рисунок 1).

Рисунок 1

Рисунок 1. Различные виды циклов.

Эту конструкцию в нашей задаче можно представить так: (1,1), (1,2), (2,2), (2,1) или (2,1), (1,1), (1,2), (2,2) (см. таблица 6). Она появляется, когда нулевая клетка помещается в (1,1) при наличии занятых клеток  (1,2), (2,2), (2,1).

Таблица 6

Если мы докажем, что такая конструкция не может появиться в нашем случае, это и будет означать, что циклы в созданном по правилам плане невозможны.

Лемма: В правильно составляемом плане П-конструкции не появляются.

Доказательство: Проверим варианты ситуаций, когда данная конструкция может образоваться. Во всех случаях обрабатывается строка j.

1. Строка i имеет одну занятую клетку, и обработка ее закончена.

2. Строка i имеет одну занятую клетку, и обработка ее не закончена.

3. Строка i имеет более одной занятой клетки.

Чтобы не запутывать доказательство, условно примем, что в других строках нет ни одной занятой клетки. В противном случае в качестве строки i необходимо проверить все строки по очереди.

В первом случае в строке j в том столбце, где строка i имеет занятую клетку, можно разместить как клетку плана, так и нулевую клетку, поскольку в строке i нет «хвоста», как одного из элементов П-конструкции. В дальнейшем рассмотрении  будем рассматривать случай 3 для столбца, в который мы поместили две клетки.

Во втором случае в строке j в том же столбце нельзя ничего разместить, поскольку столбец уже занят (вспомним, как появляются клетки плана). Так что основы для П-конструкции нет.

Значит, «краеугольным» в доказательстве является случай 3. Очевидно, что все столбцы, в которых расположены занятые клетки строки i, заняты, кроме одного, в котором строка обнулилась (Естественно, два и более незанятых столбцов при наличии клеток плана означают, что строка i обнулялась несколько раз, чего быть не может). Но и он может быть занят, если обнулился вместе со строкой. Если все столбцы заняты, то как и в случае 2, основы для П-конструкции нет.

Остается одна возможность – единственный незанятый столбец. Помещаем в него клетку. Если строка j обнулилась, а столбец - нет, то хвост из данной клетки не появится. Если и столбец обнулился, то помещаем нулевую клетку в свободный столбец как часть плана. Эта клетка не замкнет цикл, поскольку из строки i не появится новых клеток плана (все столбцы обнулены), а уже имеющиеся, вместе с идущими из них путями, не касаются незанятого столбца.

Таким образом, П-конструкции в правильно составляемом плане не появляются. И, следовательно, циклы не образуются.  Что и требовалось доказать.

Вернемся к вопросу о вырожденности полученного плана. Вспомним, что каждая клетка плана есть по сути одно уравнение в методе потенциалов, связывающее две переменных v(i) и u(j). При расчетах одна переменная является определяемой, вторая определенной. Нам надо сосчитать, сколько определяемых переменных имеется во всех клетках-уравнениях.

Пусть в строке i находится m(i) клеток, не считая нулевой. Посмотрим, что определяют эти уравнения. Если строка i в процессе занесения в план клетки (i, j) обнуляется, а столбец j – нет, то  этим уравнением определяется переменная v(i) и (m(i) – 1) переменных u, кроме, естественно, переменной u(j), которая определится, когда обнулится столбец j. Если столбец обнуляется вместе со строкой, то определяется m(i) переменных u, а добавление нулевой ячейки определяется переменная  v(i) (не забываем, что в последней заполненной строке нет нулевой клетки). Теперь посчитаем уравнения и переменные. Поскольку все столбцы в процессе составления плана обнулены, то сумма m(i) равна общему количеству столбцов, то есть m. Поскольку при обнулении каждой строки (кроме последней) определяется одна переменная v(i), то при обнулении всех строк мы определили n‑1 переменных. Общее количество определенных переменных составляет m + (n‑1). Что и требовалось!

ВЫВОД: Применяя правило «Если при создании плана одновременно обнуляются поставщик и получатель, то нулевая клетка плана помещается в любой незанятый столбец» мы получаем невырожденный  и  незацикленный план, и без всяких ухищрений.

В завершение приводим базовый план, составленный с учетом правила, итерации и оптимальный план рассматриваемой задачи с разностями потенциалов и ценой (оценкой) плана.

Таблица 7

*   *   *

Дополнение к вышесказанному: При составлении плана некоторые строки и столбцы имеют по несколько клеток. В процессе расчета очередной итерации по методу потенциалов требуется найти цикл, содержащий вновь введенную в план клетку. Для этого достаточно стереть (временно – для данной итерации) клетки, которые находятся в строке или столбце в единственном числе. Этот факт означает, что войдя в клетку, выйти из нее невозможно. Проделать такую операцию необходимо рекурсивно до тех пор, пока одиночных клеток не останется. Не трудно понять, что оставшиеся клетки и будут тем самым циклом. И опять без всяких ухищрений (Не забывайте после пересчета вернуть все временно удаленные клетки на место).

Устранение вырожденности в имеющемся плане

Если базовый план уже составлен и обнаружено, что он вырожденный, то предлагается формализованное правило для исправления таких планов.

Он состоит в определении несвязных групп клеток плана (уравнений вычислений потенциалов). Для этого берется клетка с минимальным номером строки и столбца, не вошедшая ни в одну группу. Образуется группа с очередным номером, если  группы еще не образовывались, то номер будет равен  1(единице). Остальные клетки, содержащиеся в данной строке, помечаются тем же номером (в правом нижнем углу). Клетки, содержащиеся в данном столбце помечаются в левом нижнем углу.  Если оказалась помеченной клетка плана, то она берется за основу для новых пометок, до тех пор пока не будут помечены все связанные клетки. Если оказывается, что не все клетки плана помечены, то весь процесс повторяется. В конце работы подчитывается число групп. Если оно равно 1, то все клетки плана входят в одну группу, это означает, что план невырожденный.

Действительно: одна клетка базового плана, если она первая в группе, отмечает одну строку плюс один столбец, не первая- одну строку или один столбец. Таким образом K клеток группы отмечают K +1 строк или столбцов. Поскольку всего N+ M строк или столбцов, N- количество строк, M -количество столбцов. Для одной группы получаем:

K +1= N+ M                  или              K = N+ M-1

что и требовалось доказать.

Предположим, что в конце процесса получилось  L групп. В каждой группе количество строк и столбцов на единицу больше количества клеток плана.   Таким образом для всех групп получаем, что количество отмеченных строк или столбцов на L  больше количества клеток плана, что означает:

K + L = N+ M                  или              K = N+ M- L

То есть для получения невырожденного плана нужно добавить L -1 клетку в план. Определим места для этих клеток. Если новая клетка плана попадет в пустую клетку с  двумя одинаковыми номерами, то она замкнет цикл, что для плана нежелательно. При распределение новых клеток плана таким образом, чтобы один из номеров был равен 1, не допуская повторов номеров, мы связываем разные группы и получаем L -1 новую клетку. Утверждение таким образом доказано.

Результат вышеописанного алгоритма приведен в таблице

С- существующие клетки плана (7)

Н- новые (или добавляемые) клетки плана (2)

П- плохие клетки (замыкающие цикл)

K=7 (количество клеток существующего плана);

L=3 (количество образовавшихся групп);

N=5 (количество строк);

M=5 (количество столбцов).

Вывод: необходимо определить группы связных клеток, если эта группа не одна, то новые клетки плана ставить в местах связанных с разными группами.

Велиховский О.В., инженер, бакалавр кафедры

электрические системы и сети, КПИ, г. Киев

Исходные данные

Предположим, что задано некоторое конечное множество вершин в трёхмерном Евклидовом пространстве и множество неупорядоченных пар из этих вершин

|E |= n , |V |= m , ( n,m ) =1,2,3,… (1)

Таким образом задан неориентированный симметричный граф:

G ( V , E )

На заданном графе требуется построить минимальный элементарный цикл или цикл Гамильтона.

Метод построения

Для решения задачи построения будем применять некоторый предикат :

R ( V , E )

Такой предикат будем называть предикатом выбора по наиболее удалённой паре вершин или по диаметру графа

R ( V, E ) = R ( diam(G) ) (2)

В связи с их простотой совместим первый и второй этапы построения. Для этого выберем ребро максимальной величины по наибольшему расстоянию между парами заданных вершин

(v₁ ,v₂) T | V | (3)

E_max=E_n=diam(G) (4)

Затем выберем следующую вершину v₃
из | V | , которая находится на максимальном расстоянии от одной из вершин диаметра или одного из полюсов
Вершины образующие диаметр графа будем называть полюсами графа и обозначать (V ,U )

E_n = {V, U }
(5)

Каждую последующую по очереди вершину или новую верщину будем так же определять, как вершину которая наиболее удалена от одной из пары вершин образующих диаметр графа diam(G) и которая будет определять следующее по порядку наибольшее ребро графа последовательно меньшее диаметра графа .

Соединим вершины ребра Е_n= diam(G) c вершиной v₃ по кратчайшему пути, то есть минимальному расстоянию между ними , соответственно.

Для наглядного представления предположим , что множество всех вершин | V |
расположено внутри некоторой мнимой сферы, и такая сфера сжимается равномерно по всем направлениям. Тогда поверхность этой сферы будет последовательно касаться всех вершин, начиная от самых удалённых друг от друга и заканчивая менее удалёнными соответственно, до тех пор пока поверхность этой сферы коснётся (соединит) всех вершин |V| в порядке уменьшения расстояния между ними .

Далее выберем следующую новую вершину v₄ , которая будет так же максимально удалена от одного из полюсов графа. Соединим вершину v₄ с вершинами ближайшего к ней ребра из предыдущего цикла, одна из вершин такого ближайшего ребра будет находиться на минимальном расстоянии от новой вершины v₄ , а другая вершина такого ребра будет находиться на максимальном расстоянии от вершины или полюса диаметра графа, которая является ближайшей к новой вершине v₄ .

Рисунок 1.                                                    Рисунок 2.

Из рисунка 2 видно, что на первом и втором этапах построения из цикла исключается ребро E_n= diam(G). В результате был построен цикл Гамильтона, состоящий из четырёх вершин .

На следующих двух этапах определяем новую вершину v₅ следующую за вершиной v₄ по максимальной удалённости от одного из полюсов графа и новую вершину v₆ следующую за вершиной v₅ по максимальной удалённости от одного из полюсов графа. Затем соединяем новые вершины аналогично предыдущему этапу построения с ближайшими к ним рёбрами соответственно. Сначала с ближайшей вершиной из предыдущего цикла, а затем с вершиной того же ребра максимально удалённой от полюса графа ближайшего к новой вершине соответственно .

Рисунок 3.                                               Рисунок 4.

Из рисунка 4 видно, что на втором и третьем этапах построения из цикла исключаются ребра ближайшие к новым вершинам v₅ и v₆ . В результате был построен цикл Гамильтона состоящий из шести вершин .

На следующих этапах построения проводятся аналогично предыдущим этапам для любого количества новых вершин v_m из | V | . В результате будет построен цикл Гамильтона для всех заданных вершин | V | и по величине состоящий из множества рёбер | E_k | .

 Рисунок 5.                                                                                  Рисунок 6.

На рисунке 6 построен цикл Гамильтона состоящий из восьми вершин .

Для построения минимального цикла Гамильтона входные данные должны определять все минимальные значения расстояний между заданными вершинами и все значения расстояний между вершинами и полюсами графа.

Таким же методом можно построить все последующие циклы, начиная от минимального цикла Гамильтона и далее следующие с увеличением по величине друг за другом. Для этого на каждом новом этапе построения необходимо каждую новую вершину соединять с вершиной из предыдущего цикла следующей по величине за ближайшей по отношению к новой вершине, то есть с ребром из предыдущего цикла следующего сразу за ближайшим к новой вершине ребром из предыдущего цикла.

Рисунок 7.                                                                  Рисунок 8.

На рисунках 7 и 8 построены два очередных элементарных цикла, следующих сразу за минимальным циклом Гамильтона по увеличению | E |

| E_k |< | E_k-1|< | E_k-2| (6)

Построение максимального цикла Гамильтона

Аналогичным методом можно построить так же и максимальный цикл Гамильтона. Для этого выбираем каждую новую вершину, как максимально удалённую от одного из полюсов графа, аналогично предыдущему методу. Далее необходимо каждую новую вершину соединять с наиболее удалённым от неё ребром. Одна из вершин такого, максимально удалённого ребра будет находиться на максимальном расстоянии от очередной новой вершины, а вторая вершина того же ребра будет ближайшей к полюсу графа максимально удалённого от очередной новой вершины.

Рисунок 9.                                                                             Рисунок 10.

На рисунке10 изображён цикл Гамильтона максимальной величины, состоящий из восьми вершин .

Упрощение построений

Построение элементарного цикла можно упростить, если вместо диаметра графа использовать параметр радиуса графа radius(G). Тогда вместо расстояний между вершинами и полюсами графа в построении будут принимать участие расстояния от вершин до мнимого центра диаметра графа и минимальные расстояния между вершинами графа | V |.

Количество шагов для построения описанного элементарного цикла равняется количеству заданных вершин, уменьшенное на две единицы

| R( V, E )| = (| V_m| - 2) (8)

(|V|,|E |) >2 (9)

Таким образом задача построения минимального цикла Гамильтона разрешима при помощи предиката выбора R(V,
E) за полиномиальное время и принадлежит классу P.

Дополнение

Допустим, что будут справедливы следующие соответствия между представлениями множества слов  x  из языка L на алфавите 


V = 


E  =  x (11)

G (V ,E ) = L (12)

Предикат выбора R( V, E ) обозначим как D – (define), а задачу построения некоторого элементарного цикла как C  (cycle), тогда будем говорить, что некоторое высказывание C из языка L на алфавите  разрешимо при помощи предиката выбора D ( V ,E ) за полиномиальное время 

C ( V, E ) T P (13)

Свойство селективности цикла Гамильтона определяет существование диаметра графа diam(G), по которому определён предикат выбора R(V, E).

Если существует некоторый предикат выбора D для языка L на алфавите  , тогда некоторое высказывание C из языка L разрешимо алгоритмически в классе P.

Список литературы:

1. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи., М.: Мир, 1982.
   
2. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта., М.: Мир, 1991.

1. Показатель эффективности [Электронный ресурс] – Режим доступа: \WWW/ URL http://delo-do.com.ua/step3/step3-9.html – 17.02.12 г. Заглавие с экрана.

В Унитарной квантовой теории (УКТ) индивидуальность частицы представляется волновым пакетом парциальных волн с линейной дисперсией ). При этом дисперсия выбрана так, чтобы пакет волн периодически расплывался и собирался на длине волны де Бройля, а огибающая этого процесса совпадала с волновой функцией.

Такой подход, позволил вычислить в скалярном поле безразмерный электрический заряд и постоянную тонкой структуры с точностью 0,3%, ввести понятие квантования электрического заряда как баланс между дисперсией и нелинейностью. Найденное уравнение для одиночной частицы со сложно осциллирующим зарядом устранило противоречие по расплыванию волнового пакета как конечного решения волнового уравнения.

Оценим возможный электромагнитный вклад флуктуаций вакуумной энергии структурированных в пакет парциальных волн на примере электрона.

Эффект накладывает только ограничения на расстояние по взаимодействию- менее 1 мкм, линейные размеры, геометрию и топологию пространства, ограниченного идеально проводящей поверхностью – стенками. Специфика электромагнитного поля состоит в его поперечности и так называемых естественных граничных условиях на стенках – обращение в нуль тангенциальных составляющих электрического поля E_Ƭ=0.

В литературе приведены многочисленные расчеты эффекта Казимира с положительно и отрицательной энергией вакуума для различных конфигураций резонаторов: параллелепипеда и тел с поверхностями вращения: цилиндра, тора, эллипсоида, сфероида и т.д. с непроницаемыми и полупроницаемыми стенками. Трёхмерные задачи дают несколько вариантов с разными эквивалентными топологиями путем формальной замены одного или нескольких отрезков в параллелепипеде на окружность или вариаций главных полуосей эллипсоидов вращения, и в основном приведены в обзоре .

При решении задач в вышеперечисленных конфигурациях показана возможность перехода казимировской энергии через нуль и изменения знака при вытягивании «резонатора», то есть изменении соотношения сторон или осей.

Первоначально, с целью использования минимальных предположений физического характера в принятый процесс трансформации частицы в рамках УКТ: расплывание-перенос-собирание волнового пакета и учитывая per se электрона в в качестве модели оценки была принята сферическая оболочка, которая не меняет положительного знака вакуумной энергии, что соответствует силе казимировского отталкивания и предположительно отвечает за этап переноса.

Эффект Казимира наблюдается для материальных оболочек с физическими стенками различных конфигураций, что подтверждено многочисленными экспериментами с точностью до 1%.

Замена в данной работе физической стенки на виртуальную оболочку пакета волн электрона, как «сгустка» электромагнитных полей со сложной внутренней структурой, вполне корректно с точки зрения замены рассмотрения поля внутри частицы некоторыми эффективными граничными условиями.

В.Дубовик в органично демонстрирует связь формализма квантовой механики с теорией упругости и электромагнитизма, при этом постоянная тонкой структуры имеет чисто геометрический и кинематический характер. Там же продуктивно апробирована эта связь на примере модели электрона как упругой однослойной оболочки, заключенной между радиусами λ_с и R₀ , связанных постоянной тонкой структуры. Кроме того, показана совместимость нелинейного уравнения Л.Сапогина УКТ в интерпретации терминов упругости и электромагнитизма.

«Сердцевина» внутренней структуру электрона В.Дубовика имеет магнитотороидальную топологию, объем(внешняя оболочка) – 4-сферы трехмерного электрона.

Учтем вышеперечисленные пограничные условия и приступим к оценке.

Сила Казимира F (вакуумная энергия E_caz) для электромагнитного поля при граничных условий электропроводящей сферы радиуса «а» впервые получена T. Boyer в 1968 году расчетным путем с моделированием на компьютере

В рассматриваемой оценке приняты следующие значения по T. Boyer (Физическая энциклопедия. Эффект Казимира):

E_caz = +0,09235 ħc/2a , (1)

где ħ – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме, a – радиус сферы.

В аналитически подтвержден результат T. Boyer и получен численный коэффициент для плотности электромагнитной энергии вакуума в сферической полости диаметром D: E = 0,0924/D.

Для сферы E_caz ˃ 0, что соответствует отталкиванию противоположных участков сферы.

Кроме того, в приведены результаты расчетов для полной вакуумной энергии с учетом поправок с применением компонента вакуумного тензора энергии-импульса для кубического объёма E= +0,0916 ħc/a и для электромагнитной энергии вакуума в E_EM = 0,0932 ħc/a, где a – длина ребра куба. Авторы обращают внимание на «удивительную близость численных коэффициентов в кубическом объеме и в формуле для энергии для сферической полости» в при a=2R и в образно выразились, что различия значений энергии в том, что вакуумная энергия «не залезает» в углы куба.

Будем считать, что численные значения электромагнитной энергии нулевых колебаний вакуума для сферической полости согласно формулы (1) заслуживают доверия.

С одной стороны, эффект отталкивания можно просто объяснить кулоновскими силами отталкивания разных частей одноименно заряженной частицы. Кстати Х.Казимир пытался объяснить стабильность электрона действием отрицательных (сжимающих)вакуумных сил, но получил противоположный результат.

В проведен анализ полуклассических моделей Х.Казимира и показано, что в моделях с точечной массой силы отталкивания Кулона тождественны положительным силам Казимира, поэтому не дают вклада в массу покоя электрона.

В данной работе наивная модель электрона построена на следующих предположениях и отождествлении с понятиями УКТ.

Электрон ≡ пакет парциальных волн – замкнутое автономное эволюционирующее образование с обратной связью в виде следящей системой обеспечения резонанса нулевых колебаний физического вакуума.

Под эволюцией понимается прямая – обратная взаимосвязь между периодической инверсией знака энергии Казимира и изменение конфигурации оболочки резонатора.

Парциальные волны ≡ нулевым колебаниям.

Оболочка автономного образования отождествляется с огибающей пакета парциальных волн в УКТ ≡ с конфигурацией оболочки резонатора в эффекте Казимира ≡ с пограничной поверхностью между возмущенной на условиях резонанса и невозмущенной областью пространства среды вакуум-эфира(дань историческому названию) – зона близкодействия частиц среды ВЭ, с единственным условием – обращения в нуль тангенциальных составляющих электрического поля E_Ƭ=0 на стенках оболочки.

Ограниченная область пространства с повышенной плотностью внутренней энергии отождествляется с per se электрона.

Под основным динамическим решением УКТ расплывания-собирания пакета в предложенной модели подразумевается трансформация оболочки электрона с E_Ƭ=0 при изменении знака внутренней энергии нулевых колебаний среды ВЭ, ограниченной этой оболочкой: «раздуваемой» при положительной энергии и сжимаемой при отрицательной. Другими словами под расплыванием-собиранием пакета в УКТ подразумевается динамика изменения конфигурации стенок резонатора в эффекте Казимира.

Для устранения противоречивых понятий в модели сознательно отказались от определения «энергии(массы) покоя», а численное значение E₀= m_еc² определено как полная внутренняя энергия электрона.

Из анализа уровней симметрии резонансных оболочек и математического моделирования исходная структурная функция электрона была определена как оболочка высокой сферической симметрии.

Промежуточная задача оценки формировалась следующим образом:

На основе экспериментальных данных для электрона расшифровать численный коэффициент «k» в формуле (1) для сферической оболочки с E_Ƭ=0 на допущении: какую работу надо совершить против сил Казимира, с тем, чтобы положительная энергия нулевых колебаний физического вакуума была равна внутренней энергии электрона E₀= m_еc² (по аналогии с оценкой классического радиуса электрона R₀, основанном на допущении того, что энергия покоя электрона равна его электростатической энергии).

Приравняв E_caz = E₀ оценим радиус сферы a = k ħ/2m_e c = 1,78309(03) 10^-14 /м/, при расчетной величине k= 0,09235 в формуле (1).

Следуя, что формула вакуумной энергии должна содержать только фундаментальные константы и экспериментальные параметры электрона, преобразуем:

a= 4πα ħc/2m_e c² = α х 2πħ/m_еc = α λ_c , (2)

где λ_c = 2πħ/m_еc комптоновская длина волны (волна де-Бройля для электрона), при этом k₁= 4πα = +0,09170(12) с точностью 7,351 х10^-3 к расчетной величине k .

Минимальная область пространства в которой сосредоточена внутренняя энергия электрона ограничена радиусом 2πR₀ = 1, 770564130 10^-14 /м/ .

Тогда, сохраняя первоначальный вид выражения (1) при принятом допущении для электрона:

E₀ = E_caz = 4πα ħc/2(2πR₀ ) , (3)

где α – постоянная тонкой структуры, ħ – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме, R₀ – классический радиус электрона.

Анализируя формулу (3) отметим:

• Минимальную область повышенной плотности энергии в которой сосредоточена E₀ , ограниченную радиусом а=2πR₀ , определим как область локализации ;
  
• Имеется сферическая симметрия относительно центра частицы(центра тяжести пакета), что не противоречит УКТ и принято при оценке постоянной тонкой структуры;
  
• Коэффициент k₁= 2(2πα) = 0,09170 – может характеризовать структурную функцию электрона. Например, как два равновероятных варианта пространственной ориентации зон деформации сферической оболочки вырезанных: двумя подобными растворными телесными углами 2πα в единицах стерадиан или кольцевой экваториальной зоной 4πα.
  

  Следовательно, поток положительной энергии нулевых колебаний вакуума, в понимании сила Казимира, не равномерно деформирует, как принято считать, сферическую оболочку, а деформирует площадку оболочки, вырезанную по одному из двух вышеперечисленных вариантов.
  

  Зону трансформации оболочки («раздувания») положительной энергией Казимира от а=2πR₀ до λ_c определим как область переноса внутренней энергии электрона нулевыми колебаниями вакуума до момента инверсии знака силы Казимира на комптоновской длине волны электрона.
  

  С учётом конечных линейных размеров области локализации с а=2πR₀ выражение (3) примет вид:
  

  E_{caz переноса} = 4π х ħc/2 (λ_c - α λ_c) = 4π/1-α х ħc/2λ_{c ,} (4¹)
  

  или E_{caz переноса} = 4π α/1-α х ħc/2(2πR₀ ) (4²)
  

  что можно трактовать как перенос части внутренней энергии электрона из области локализации на длине волны Комптона:
  

  E_{caz переноса} = E₀ (1-α) (5)
  

  Если доверять численным значениям коэффициента k в выражении (1) доля внутренней энергии электрона остаётся в области локализации («часть энергии покоя остается в покое») и не претерпевает переноса на длине волны Комптона, что составляет α E₀ = 5,974419(19) 10^-16 Дж или 0,73% от внутренней энергии электрона.
  

  В результате оценки вклада … обратим внимание, что формула (1) носит универсальный характер для сферических оболочек с E_Ƭ=0:
  

  
  E_caz = +4π α/1- α х ħc/2a, (6)
  

  где k= 0,092375 лежит в диапазоне расчетных 0,09235 ÷ 0,0940 соответственно.
  

  В рамках этой оценки выразим заряд электрона, численное значение которого не является проверочной функцией из-за тождественного пересечения с E₀ :
  

  e² = 4πα ħc Ɛ₀ , (7¹)
  

  где Ɛ₀ – (ди)электрическая постоянная вакуума,
  

  или e² = 2πα h/c 10⁷  (7²)
  

  Выражение (7¹) не содержит ни одного персонального параметра электрона, а только фундаментальные параметры среды, скорость реализации акта взаимодействия частиц в среде и условие Планка их взаимодействия.
  

  Преобразованное через Ɛ₀ выражение (7²) содержит единую константу локализации K₀ = h/c для фотона, электрона, протона и нейтрона – всего «строительного материала» атомов.
  

  Обсуждение.
  

1. Данная оценка носит прикладной характер с целью разработки основ конструирования электровакуумных источников энергии типа швейцарской установки «Тестатик» .
   
2. В УКТ не определена/отсутствует структурная функция в описании электрона, что привело к «размазыванию» его внутренней энергии с периодическим возникновением и исчезновением пакета – локальной повышенной плотности энергии в пространстве. Теория нулевых колебаний, эффект Казимира, прямо указывает на возможность изменения знака внутренней энергии при трансформации сферической симметрии оболочки электрона, то есть при изменении геометрии и топологии резонансной полости . Кроме того, в общем виде аналитически доказано , что сила Казимира в полости состоящей из двух разнесенных в пространстве полусфер энергия отрицательная – противоположности притягиваются, в том числе с зеркальной симметрией. Поэтому на расстоянии переноса – комптоновской длины волны λ_c, возможна инверсия знака силы Казимира и процесс трансформации пакета волн будет носить циклический характер в ограниченной области пространства.
   
3. Если быть до конца последовательным в оценке и доверять численным значениям коэффициентов в выражении (1), то спектр масс в электроне присутствует и часть «энергии покоя остаётся в покое» в центральной части трансформируемой сферической оболочки, ограниченной радиусом а=2πR₀ и равна α E₀ = 5,974419(19) 10^-16 Дж.
   
4. Исходя из позиций данной оценки, пока можно сделать следующий вывод прикладного характера:
   

   огибающая пакета волн в электроне в УКТ ≡ граница поверхности оболочки с E_Ƭ=0 в эффекте Казимира ≡ граница возмущенной и невозмущенной области среды – и есть активная зона проявления генерации вакуумной энергии.
   

   В установке «Тестатика» эту роль выполняет цилиндрическая перфорация металлизации на виниловой диэлектрической подложке, причем необходимо чтобы диаметр был намного больше толщины цилиндра. Каждое отверстие – это анодный блок генератора. Этот вариант соотношения геометрических размеров цилиндрического резонатора на тонких металлических плёнках рассматривается в литературе. Это необходимое, но не достаточное условие для создания условий генерации энергии путём структурирования флуктуаций вакуума в электроны. Процесс быстро затухает за счет экранирования электронами генерации. Чисто электростатический эффект. Электротехническая часть установки предназначена для разделения («сдувания») избыточных электронов генерации и электронов металлизации на магнитронном принципе – искривлении траектории движения электронов генерации при наличии двух полей электрического и магнитного.
   

   По существу роль катодного блока выполняет пакет волн электрона – структурированные флуктуации среды ВЭ.
   

   Заключение.
   

5. В настоящей оценке использована модель электрона как замкнутого автономного эволюционирующего образования с обратной связью в виде следящей системы обеспечения нулевых колебаний физического вакуума на условиях резонанса.
   

   Под эволюцией понимается взаимосвязь между периодической инверсией знака энергии Казимира и изменение конфигурации оболочки резонатора.
   

   Исходная структурная функция электрона была задана как оболочка высокой сферической симметрии которая периодически трансформируется с изменением её конфигурации.
   

6. Расшифровка численного коэффициента в выражении энергии Казимира для сферической оболочки на условии обращения на её стенках в нуль тангенциальных составляющих электрического поля E_Ƭ
   =0 была проведена через параметры электрона на допущении:
   какую работу надо совершить против сил Казимира, с тем, чтобы положительная энергия нулевых колебаний физического вакуума была равна внутренней энергии электрона E₀= m_еc² :
   

   E_caz = +4π α/1- α х ħc/2a,
   

   где а – радиус сферы, k = 4π α/1- α = 0,092375, где α – постоянная тонкой структуры. k – структурный элемент, характеризующий не равномерное «раздувание» сферы, как это принято считать, а только её малую часть.
   

7. Внутренняя энергия электрона эволюционирует через процесс периодического изменения положительной энергии нулевых колебаний вакуума на отрицательную от границы области локализации а=2πR₀ на комптоновской длине волны λ_c по формуле: E_{caz переноса} = 4π/1-α х ħc/2λ_c
   
8. Численное значение коэффициента и логика рассуждений в рамках предложенной модели электрона позволяет высказать следующую гипотезу: часть энергии нулевых колебаний вакуума, заключенной в оболочку со сферической симметрией, локализуется в центральной зоне и не участвует в процессе резонансного давления на стенки оболочки; для электрона эта доля в спектре масс равна: α E₀ = 5,97 10^-16 Дж.
   
9. Первоначальная задача об оценке вклада нулевых колебаний вакуума в расплывание – собирание (исчезновение-появление) пакета парциальных волн в рамках УКТ сформулирована в данной работе не корректно, как то с подменой понятий «часть-целое».
   

   Здесь рассматривается пакет как пульсирующее автономное образование на условиях резонанса в собственной системе координат электрона – «как часть».
   

   В УКТ рассматривается движение пакета (частицы) «как целое» в системе координат наблюдателя. Поэтому «в часть» вошла волна Комптона(персональная волна де Бройля электрона), а в УКТ, «в целом», волна де Бройля, порождаемая пакетом, как частица обладающая массой. Но физическая природа описания этих процессов едина и объединяет их свойства среды.
   

   Так, тождественное выражение заряда электрона e² = 4πα ħc Ɛ₀ и e² = 2πα h/c 10⁷ не содержит ни одного персонального параметра электрона, а только фундаментальные параметры среды
   

10. Выражение (1) энергии Казимира получено для гармонического синусоидального осциллятора на условии резонанса и условии Планка.
    

    Расшифровка численного коэффициента даёт элемент структурной функции пропорциональный α как 2πR₀ α^-1 или λ_c α, что свойственно гармоническому осциллятору циклоидного типа, период колебаний которого не зависит от амплитуды и по определению, без всяких дополнительных требований со стороны принципа наименьшего действия Гамильтона, гармонизирован с процессом группового резонанса флюктуаций физического вакуума.
    

11. В данной работе прослеживается необходимость продолжить оценку предложенной модели электрона, не только через нулевые колебания вакуума, но и с точки зрения действующих принципов в механике среды ВЭ.
    

    Анонсируем следующую оценку:
    

    применение принципа взаимодействия частиц для несжимаемой среды ВЭ механики Г. Зверевас привлечением постулатов причинной механики Н. Козырева позволяют прийти к выводу: все наборы движений взаимодействующих частиц возбужденной локальной области среды ВЭ, ответственных за трансформацию внутренней структуры электрона, представляют собой взаимосвязанные циклы осцилляторов циклоидного типа на условиях резонанса и Планка.
    

    Автор выражает благодарность Л.Г. Сапогину за внимание и потраченное время на частные сообщения.
    

    Литература.
    

    . В.М. Мостепаненко, Н.Я. Трунов. Эффект Казимира и его приложения. УФН, т.156, вып.3, с.385, 1988.
    

    . H.B.G. Casimir. Proc. Nederl. Acad. Wttenschap, vol.60, p.793, 1948.
    

    . Л.Г. Сапогин, Ю.А. Рябов, В.А. Бойченко. Унитарная квантовая теория и новые источники энергии. Пер. с англ. Л.С. Сапогина (Под ред. Ю.И. Сазонова), М.: «САЙНС-ПРЕСС»,280с., 2008.
    

    . В.М. Дубовик, Е.Н. Дубовик. Квантовая механика как эффективная теория фиктивных (математических) объектов. ОИЯН. «Академия Тринитаризма», М., Эл.№77-6567, публ. 16166, 20.11.2010.
    

    . T.H. Boyer. Quantum Electromagnetic Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell and the Casimir Model for a Charged Particle. Phys.Rev., v.174, num.5, p.174, 1968.
    

    .B. Davies. Quantum Electromagnetic Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell. J. Math. Phys., v.13, p.1324, 1972.
    

    . С.Г. Мамаев, Н.Н. Трунов. О зависимости вакуумных средних тензора энергии-импульса от геометрии и топологии многообразия. ТМФ, т.38, вып.3, с.345, 1979.
    

    . H.B.G. Casimir. Introductory Remarks on Quantum Electrodynamiks, J. Physica, v.19, p.846, 1953.
    

    . H.E. Puthoff. Casimir vacuum energy and the semiclassical electron. ETI.
    

    http://earthtech.org/reports.
    

    Posted to Cornell archives, http://arxiv.org/pdf/physics/0610042.
    

    I.Klich. Phys.Rev.L. 2006 (источник из обзора).
    

    Г.Я. Зверев. Физика без механики Ньютона, без теории Эйнштейна, без принципов наименьшего действия и без пси-функции Шредингера. Изд.5-е, испр.и доп. М. КД «ЛИБРОКОМ», 144с.,2011.
    

    Н.А.Козырев. Избранные труды. Л. Изд-во Ленинградского ун-та, 447с.,1991.
    

Импровизация (итал. improvisazione, от лат. improvisus — неожиданный, внезапный) — исторически наиболее древний тип музицирования, при котором процесс сочинения музыки происходит непосредственно во время её исполнения.

Первоначально импровизация характеризуется канонизированным набором мелодических и ритмических элементов, варьированное сочетание которых не сковано канонами и обусловливаетархитектоническую незамкнутость формы.

Импровизация господствует в фольклоре, музыке неевропейских культур, она получила широкое распространение также на раннем этапе европейской профессиональной музыки, когда запись была приблизительной и неполной (невмы, крюки), а кодификация норм композиции, ведущая к замкнутой форме, затрагивала лишь коренные свойства музыки (церковные лады), оставляя их конкретное воплощение в напевах отчасти на долю импровизации. Дифференциация системы музыкальных жанров и соответствующих нормативов привела в XI веке к отделению исполнительства от композиции. Однако импровизация сохранилась в виде исполнительского искусства орнаментики, которое подразумевалось при неполной нотной фиксации опуса.

Возникновение индивидуальных, внутренне законченных, несводимых к жанровым нормам музыкальных произведений потребовало их точной и полной записи, устраняющей произвол исполнителя. Вместо импровизации кристаллизовалось искусство интерпретации. В творчестве композитора и интерпретатора импровизация существует в «снятом» виде: на подготовительном этапе формирования музыкальных образов; в нюансах исполнения авторского текста.

В XVII—XVIII вв. исполнительская импровизация сохранилась в традиции виртуозных фантазий, сольных каденций инструментальных концертов, в хоральных обработках (и даже фугах) у органистов. В конце XVIII — 1-й пол. XVIII вв. в аристократических салонах и на концертной эстраде импровизация была распространена в качестве специального номера программы у виртуозов.

В XX веке импровизация возродилась в фольклорном по генезису искусстве джаза, а также в некоторых прикладных областях музыкальной культуры (музыкальные иллюстрации к «немым» кинофильмам в нач. XX века, музыкально-воспитательных упражнения для детей Э. Жак-Далькроза, К. Орфа). С 1950-х гг. импровизация стала опорным принципом в т. н. открытых формах музыки авангарда и неоавангарда. Некоторые музыкальные жанры сохранили названия, указывающие на их генетическую связь с импровизацией (фантазия, прелюдия, импровизация). Современные композиторы продолжают использовать импровизацию в своих сочинениях.

1 Проблемы импровизации

При импровизации в музыке – получении нового в музыке  основная проблема-это сыграть ноты в необходимой тональности – то есть другими словами соблюдение определенной гармонии, хотя в музыке есть переходы между тональностями, допускается порой играть ноты не из своей тональности или сам вид гармонии начинает отличаться –
мелодический или еще какой – нибудь вид минора или мажора, при этом тональность одна, но отличаются повышением или понижением какой-либо ступени в гармонии. И при этом укладываясь в такт-то есть должна быть определенная длительность нот, чтобы соблюдалась определенная размерность в музыке. Также есть необходимость приходить в
определенные моменты к тонике – основной тон какой либо гармонии.

 2 Математическое описание проблемы. Выбор нежелательного эффекта, параметров катастрофы типа сборки

 V = x⁴ + ax² + bx (1)

Формулу (1) можно использовать как простейшую математическую модель описания некоторого явления, процесса, системы, в которых имеется минимум потенциальной функции E(x). Если удачно назначить потенциальную функцию и выбрать из множества факторов, описывающих сложное явление (процесс или систему), всего только три - x,a,b, то получим модель, описывающую суть явления В изобретательской задаче никаких проблем с удачным выбором нет.

Поэтому потенциальной функцией E(x) назначим нежелательный эффект, остальная тройка - x,a,b- характеризует изделие, инструмент и икс-элемент соответственно.

Пусть x - свойство изделия, которое может быть измерено какой-нибудь подходящей физической величиной,y=a/d - свойство инструмента, которое тоже может быть измерено какой-нибудь подходящей физической величиной,z=c/e - свойство икс-элемента, которое тоже может быть измерено какой-нибудь подходящей физической величиной,d и e - коэффициенты, выравнивающие физические размерности величин x,a,b. Тогда формулу (1) можно записать в виде

E(x) = (0,25 x⁴ - 0,5 d y x² - e z x)f  (2)

где f – коэффициент, выравнивающий физическую размерность величины E(x). Приведение формулы (1) к виду (2) называется масштабированием катастрофы.

Рассмотрим первую из трех проблем – соблюдение определенной гармонии.

Вообще в качестве решения проблемы можно было бы сделать инструмент с одной определенной гармонией-тональностью и импровизируй себе на здоровье, но с другой стороны этого ограничит количество и качество - разнообразие произведений, которых можно будет сыграть на данном инструменте. Порой музыкальные произведения не ограничиваются одной тональностью, такие произведения тогда вообще будет нельзя сыграть на таком инструменте.

Нежелательный эффект будем описывать катастрофой типа сборки :

E(x) = (0,25 x⁴ - 0,5 dyx² -ezx)                               (2)

В качестве изделия у нас выступает музыкальный инструмент- для конкретики пусть это будет какой-либо струнный инструмент-гитара, балалайка, домра, скрипка.

В качестве инструмента выступает, конечно, же  руки человека.

E(x)- нежелательный эффект, процент нот сыгранных не попадая в нужную тональность, то есть выпавших из гармонии.

x - свойство изделия, которое может быть измерено какой-нибудь подходящей физической величиной – а именно высота звука:

Высота звука, качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее в основном от его частоты, т. е. от числа колебаний в секунду. С ростом частоты В. з. повышается. В небольших пределах В. з. изменяется также в зависимости от громкости звука и от его тембра. Высота сложных звуков определяется частотой основного тона, вне зависимости от соотношения между его амплитудой и амплитудой более высоких слагающих.

Таким образом, высота звука будет характеризоваться определенной частотой в  Гц или с^-1

За свойство инструмента y  выберем либо площадь контакта руки человека с инструментом, либо скорость игры, либо силу, с которой действуют на инструмент.

Но с практической точки зрения – сложно импровизировать при больших темпах в музыке, так как человеческое восприятие и осознание того, что он делает, спадает по экспоненте от скорости игры. А следовательно возникают ошибки при игре, и получается нарушение гармонии.

Поэтому за свойство инструмента y  выбираем скорость игры – она характеризуется  количеством нот в секунду. Количество нот это безразмерная величина. Таким образом, размерность получается опять с^-1

Коэффициент d должен быть также с^-1 чтобы иметь возможность складывать первый и второй член в формуле 2.

Далее выберем коэффициент e  безразмерным, тогда свойство z икс- элемента должно иметь физическую размерность с^-3

3 Моделирование исходной системы

Таблица 2 – Частотные диапазоны музыкальных инструментов

Как видно из таблицы частотный диапазон большинства инструментов лежит в пределах 0 -4,2 кГц. Это даст нам числовые значения для x

3.1 Статическая модель технического противоречия

E(x) =(0,25x⁴ – 0,5 dyx² – ezx).                                    (3)

Если учесть:

· e=1 

· d=1 с^-1

· y=λ

· z=µ

 то перейдем к нашему удобному представлению статической модели технического противоречия:

E(x,λ) = 0.25x⁴ – 0.5 λx² - µx,

где  x – состояние инструмента,

 – мощность конфликта,

 – влияние Х-элемента.

Для данной задачи выберем следующие определения этих величин:

x – высота звука [ кГц] =[1000с^-1],

 – скорость игры –количество нот в секунду [1000с^-1],

 – влияние Х-элемента
[с^-3].

Потенциальная функция обозначает процент нот при импровизации, которые были сыграны не попадая в тональность. То есть процент ошибок от общего числа.

Тогда размерность E = [%]. Тогда в каноническую форму потенциальной функции необходимо ввести константу с, которая обозначает процент неработоспособности в прототипе. Допустим изначально с = 5 [%].

Также введем коэффициент пропорциональности t 

 для верности расчета.
Тогда потенциальная функция будет иметь вид:

E(x,λ) = (0.25x⁴ – 0.5 λx² - µx) t +c

Пусть         x_ср = 1 [1000с^-1],
x_м = 0.5[1000с^-1],
х_б =2,5 [1000с^-1], x_мм = 0 [1000с^-1],
х_бб = 4 [1000с^-1];

λ = (х_б – x_м)²/4 = 1[1000с^-1], с = 5 [%].

0.384[1000с^-3];

Сдвинем начало координат по ОХ на x_ср = 1  (высота звука  в прототипе) для исключения отрицательных значений .

Рассмотрим случай до конфликта(λ<0), когда λ=-1, µ = 0 , с=5, t=1000 тогда

Потенциальная функция системы до конфликта:

E(x,λ) = (0.25(x-1)⁴+ 0.5 (x-1)²)*1000+5

Рисунок 1 – Потенциальная функция системы до конфликта

Рисунок 2 – График зависимости ошибок при импровизации от высоты звука инструмента до катастрофы

Если λ<0, то она трактуется как запас устойчивости прототипа. Этот запас устойчивости характеризует психологическую инерцию изобретателя.

Потенциальная функция системы после конфликта :

E(x,λ) = (0.25(x-1)⁴–  λ (x-1)² -µ(x-1)) t+5

Промоделируем поведение прототипа после конфликта:

E(x,λ) = (0.25(x-1)⁴-0.5 (x-1)²- 0.384(x-1)) *1000+5

Рисунок 3 – Потенциальная функция прототипа после конфликта

Рисунок 4 –График зависимости ошибок при импровизации от высоты звука инструмента после катастрофы

Для усиления конфликта выбираем крайнее состояние инструмента – очень большое отверстие х_бб = 4 [1000с^-1]
и очень маленькое x_мм = 0 [1000с^-1],
λ = (х_бб – x_мм)²/4 = 4 [1000с^-1].

[ 1000с^{-3 ]};

[ 1000с^-3 ]

E(x,λ) = (0.25(x-2)⁴ – 2 (x-2)² -3.079(x-2)) t +5

Процент ошибок при импровизации в системе после преобразования в новое E(x,λ)=1%, теперь найдем константу t:

t=(1-5)/(0.25(4-2)⁴ – 2 (4-2)² -3.079(4-2))= 0.393778 тогда

E(x,λ) = (0.25(x-2)⁴ – 2 (x-2)² -3.079(x-2)) 0.393+5

Рисунок 5 – Потенциальная функция системы после конфликта

Рисунок 6 – Зависимость Е(х)  (при х=4, E(4)=1%)

3.2 Динамическая модель технического противоречия

Считаем, что система градиентная:

Рисунок 7 – Схема динамического моделирования технического противоречия

Рисунок 8 – График моделирования технического противоречия

Рисунок 8 – График моделирования технического противоречия

Экспериментальное исследование таких процессов требует использования высокоточной измерительной техники, больших затрат ресурсов и времени. В ряде случаев такие исследования вообще невозможны вследствие малых значений размеров зон воспламенения и времён задержки зажигания.

По этим причинам теоретическое исследование физико-химических процессов в жидких конденсированных веществах при воздействии концентрированных потоков светового излучения является актуальной, не решенной до настоящего времени задачей.

Рассмотрена математическая модель изменения фазового состояния и физико-химических превращений в системе «концентрированный поток светового излучения – жидкость – воздух» (Рис.1), которая подробно рассмотрена в работе [1].

Рис. 1. Схема области решения задачи: 1 – смесь паров жидкого топлива с воздухом; 2 – жидкость

Предполагается, что на поверхность жидкого конденсированного вещества непрерывно воздействует концентрированный поток светового излучения, имеющий радиус зоны действия r₁. За счёт подводимой энергии поверхностные слои жидкости прогреваются. Начинается процесс испарения. Пары горючего диффундируют от поверхности жидкости в воздух и начинают с ним взаимодействовать. При этом увеличивается доля энергии, поглощаемой в газовой фазе при прохождении потока светового излучения. Вследствие этого формирующаяся парогазовая смесь разогревается, а интенсивность испарения горючей жидкости снижается. При достижении пороговых значений концентрации паров горючего в воздухе и температуры парогазовой смеси происходит зажигание. Интервал времени с момента начала воздействия потока светового излучения на жидкость до её воспламенения считается временем задержки зажигания t_d.

Рассмотрена осесимметричная задача, которая решена в цилиндрических координатах.

В качестве воспламеняемых жидких веществ рассмотрены типичные пожароопасные жидкости: керосин и бензин.

Условиями воспламенения для рассматриваемой газофазной модели являлись следующие:

1) тепло, выделяемое в результате химической реакции паров горючего с окислителем, больше тепла, передаваемого от источника зажигания жидкому веществу;

2) температура смеси паров горючего с окислителем превышает температуру воспламенения горючей жидкости.

Для решения системы дифференциальных уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями использовался метод конечных разностей (МКР).

Проводилось численное решение следующих уравнений:

• Уравнения энергии (для газовой фазы)
  
• Уравнения теплопроводности (для жидкой фазы)
  
• Уравнение диффузии
  
• Уравнение Пуассона
  
• Уравнение завихрённости
  

Рассмотренные уравнения в безразмерном виде решаются по одной и той же схеме. При использовании локально-одномерного метода и аппроксимации Самарского выполнялся переход к разностной форме дифференциального уравнения. Затем разностные уравнения сводились к трехдиагональному виду и решались методом прогонки. [2,3] Причем каждое из уравнений рассчитывалось в двух областях: в зоне и вне зоны действия излучения.

Численное решение проводилось c помощью среды разработки Microsoft Visual C++, а графическое представление результатов с использованием пакета прикладных математических программ Scilab.

С помощью программной реализации построены контурные графики исследуемых величин, таким образом можно отследить как развивается процесс в визуальном представлении, что более наглядно. На Рис.2 представлены графики состояния массовой доли паров горючего вещества в парогазовой смеси в момент зажигания. Наибольших значений данная величина достигает в зоне действия излучения, что объясняется активным испарением горючего в этой области.

Рис. 2 Состояние массовой доли паров горючего вещества в парогазовой смеси в момент зажигания при радиусе зоны действия излучения r₁=0,1м и мощности потока p=100Вт

Также для исследования свойств рассматриваемого процесса были определены зависимости времён задержки зажигания горючей жидкости от радиуса зоны действия излучения r₁, мощности концентрированного потока светового излучения p и начальной температуры жидкого топлива .

Рис.3 иллюстрирует, что время задержки зажигания жидкого топлива сильно меняется при уменьшении радиуса зоны действия потока светового излучения в выбранном диапазоне. Это можно объяснить тем, что при меньшем радиусе зоны действия r₁ большая часть тепла подводится к небольшой площадке на поверхности жидкости. Благодаря этому происходит ускорение процесса испарения, возрастает концентрация паров горючего над поверхностью жидкого конденсированного вещества. Чем меньше r₁, тем быстрее температура парогазовой смеси и концентрации её компонентов достигают критических значений.

Рис.3 Зависимость безразмерного времени зажигания τ_d от радиуса зоны действия направленного светового излучения r₁.

При уменьшении мощности концентрированного потока излучения от 200Вт до 40Вт время задержки зажигания увеличилось на 12,8%.

Это объясняется тем, что уменьшается количество тепла, которое подводится к воспламеняемой жидкости от источника зажигания. Так как плотность энергии концентрированного потока светового излучения максимальна на оси симметрии, на этом участке с понижением мощности значительно уменьшается доля теплоты, расходуемой на прогрев и испарение жидкости.

При варьировании начальной температуры жидкого топлива в пределах от 311К до 259К время задержки зажигания увеличивается на 14 %. Это свидетельствует о довольно значительном воздействии изменения начальной температуры жидкого конденсированного вещества на исследуемый процесс, поскольку от этого параметра рассматриваемой системы зависит скорость испарения горючего.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что оптимальные условия зажигания реализуются при минимальных значениях радиуса и максимально возможных плотностях потока излучения.

Результаты численного моделирования изменения фазового состояния и физико-химических превращений в системе «концентрированный поток светового излучения – жидкость – воздух» показывают возможность реализации процесса в достаточно широком диапазоне внешних условий и внутренних параметров системы, что подтверждает высокую потенциальную опасность возникновения пожаров при воздействии потока светового излучения на жидкое конденсированное вещество.

Экспериментальное исследование таких процессов требует использования высокоточной измерительной техники, больших затрат ресурсов и времени. В ряде случаев такие исследования вообще невозможны вследствие малых значений размеров зон воспламенения и времён задержки зажигания. По этим причинам теоретическое исследование физико-химических процессов в жидких конденсированных веществах при воздействии концентрированных потоков светового излучения является актуальной, не решенной до настоящего времени задачей.

Рассмотрена математическая модель изменения фазового состояния и физико-химических превращений в системе «концентрированный поток светового излучения – жидкость – воздух» (Рис.1), которая подробно рассмотрена в работе [1,30].

Рис. 1. Схема области решения задачи: 1 – смесь паров жидкого топлива с воздухом; 2 – жидкость

Предполагается, что на поверхность жидкого конденсированного вещества непрерывно воздействует концентрированный поток светового излучения, имеющий радиус зоны действия r₁. За счёт подводимой энергии поверхностные слои жидкости прогреваются. Начинается процесс испарения. Пары горючего диффундируют от поверхности жидкости в воздух и начинают с ним взаимодействовать. При этом увеличивается доля энергии, поглощаемой в газовой фазе при прохождении потока светового излучения. Вследствие этого формирующаяся парогазовая смесь разогревается, а интенсивность испарения горючей жидкости снижается. При достижении пороговых значений концентрации паров горючего в воздухе и температуры парогазовой смеси происходит зажигание. Интервал времени с момента начала воздействия потока светового излучения на жидкость до её воспламенения считается временем задержки зажигания t_d.

Рассмотрена осесимметричная задача, которая решена в цилиндрических координатах.

В качестве воспламеняемых жидких веществ рассмотрены типичные пожароопасные жидкости: керосин и бензин.

Проводилось численное решение следующих уравнений в безразмерных переменных:

• Уравнения энергии (для газовой фазы)
  

В зоне действия светового излучения:

Вне зоны действия светового излучения:

• Уравнения теплопроводности (для жидкой фазы)
  

В зоне действия светового излучения:

Вне зоны действия светового излучения:

• Уравнение диффузии
  

• Уравнение Пуассона
  

• Уравнение завихрённости
  

Индексы «1», «2», «3» соответствуют парогазовой смеси, жидкому топливу и парам горючего соответственно. В представленной системе

– время;

– температура;

– массовая доля паров жидкого горючего вещества в парогазовой смеси;

– функция тока;

– вектор вихря;

– составляющие скорости конвекции в проекции на ось r и z соответственно;

– тепловой эффект реакции окисления паров горючего в воздухе, МДж/кг;

– массовая скорость окисления паров горючего в воздухе, кг/(м³·с);

– плотность энергии светового излучения, Вт/м²;

– плотность, кг/м³;

– удельная теплоёмкость, Дж/(кг·К);

– масштаб скорости конвекции в проекции на ось z;

, – масштаб температуры, – начальная температура;

Также использовались безразмерные комплексы число Рэлея , число Прандтля , число Шмидта .

Для решения системы дифференциальных уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями использовался метод «крупных частиц».

                                    Основная идея метода состоит в расщеплении исходной системы дифференциальных уравнений по физическим процессам. Весь процесс вычислений состоит из многократного повторения шагов по времени. Расчет каждого временного шага в свою очередь разбивается на три этапа:

1. Эйлеров этап. Пренебрегаем всеми эффектами, связанными с перемещением вещества (потока массы через границы ячеек нет). Решаем первую часть «разбитой» системы уравнений:
   

Для обобщения решаемых уравнений введем величину

. Решение проводится с помощью метода конечных разностей с использованием следующих разностных схем:

1. Лагранжев этап. Вычисляем плотность потока массы при движении вещества через границы эйлеровых ячеек, используя формулы второго порядка точности.
   

1. Заключительный этап. Определяются окончательные значения параметров потока. На этом этапе рассматриваем вторую часть исходной системы:
   

   
   

В общем виде уравнения принимают вид .

Его решение ищем следующим образом:

Это соотношение определяет новое состояние «крупных» частиц (эйлеровых ячеек) на (n+1)-м временном слое.

Затем ставятся граничные условия, и цикл из 3-х этапом повторяется.

Принцип метода «крупных частиц» можно описать следующим образом: вначале изучается изменение внутреннего состояния подсистем, находящихся в ячейках – крупных частицах, в предположении их замороженности или неподвижности (эйлеров этап), а затем рассматривается смещение всех частиц пропорционально их скорости и времени без изменения внутреннего состояния подсистемы с последующим пересчетом расчётной сетки в начальное состояние (лагранжев и заключительный этапы). Эволюция всей системы на время представлена на Рис.2

Рис.2 Графическое представление принципа работы метода «крупных частиц»

Численное решение проводилось c помощью среды разработки Microsoft Visual C++, а графическое представление результатов с использованием пакета прикладных математических программ Scilab.

С помощью программной реализации построены контурные графики исследуемых величин, таким образом можно отследить как развивается процесс в визуальном представлении, что более наглядно. На Рис.3 представлены графики состояния массовой доли паров горючего вещества в парогазовой смеси в момент зажигания. Наибольших значений данная величина достигает в зоне действия излучения, что объясняется активным испарением горючего в этой области.

Рис. 3 Состояние массовой доли паров горючего вещества в парогазовой смеси в момент зажигания при радиусе зоны действия излучения r₁=0,1м и мощности потока p=100Вт

Также для исследования свойств рассматриваемого процесса были определены зависимости времён задержки зажигания горючей жидкости от радиуса зоны действия излучения r₁, мощности концентрированного потока светового излучения p и начальной температуры жидкого топлива .

Рис.4 иллюстрирует, что время задержки зажигания жидкого топлива сильно меняется при уменьшении радиуса зоны действия потока светового излучения в выбранном диапазоне. Это можно объяснить тем, что при меньшем радиусе зоны действия r₁ большая часть тепла подводится к небольшой площадке на поверхности жидкости. Благодаря этому происходит ускорение процесса испарения, возрастает концентрация паров горючего над поверхностью жидкого конденсированного вещества. Чем меньше r₁, тем быстрее температура парогазовой смеси и концентрации её компонентов достигают критических значений.

Рис.4 Зависимость безразмерного времени зажигания τ_d от радиуса зоны действия направленного светового излучения r₁.

При уменьшении мощности концентрированного потока излучения от 200Вт до 40Вт время задержки зажигания увеличилось на 12,8%.

Это объясняется тем, что уменьшается количество тепла, которое подводится к воспламеняемой жидкости от источника зажигания. Так как плотность энергии концентрированного потока светового излучения максимальна на оси симметрии, на этом участке с понижением мощности значительно уменьшается доля теплоты, расходуемой на прогрев и испарение жидкости.

При варьировании начальной температуры жидкого топлива в пределах от 311К до 259К время задержки зажигания увеличивается на 14 %. Это свидетельствует о довольно значительном воздействии изменения начальной температуры жидкого конденсированного вещества на исследуемый процесс, поскольку от этого параметра рассматриваемой системы зависит скорость испарения горючего.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что оптимальные условия зажигания реализуются при минимальных значениях радиуса и максимально возможных плотностях потока излучения.

Результаты численного моделирования изменения фазового состояния и физико-химических превращений в системе «концентрированный поток светового излучения – жидкость – воздух» показывают возможность реализации процесса в достаточно широком диапазоне внешних условий и внутренних параметров системы, что подтверждает высокую потенциальную опасность возникновения пожаров при воздействии потока светового излучения на жидкое конденсированное вещество.

Фотоэлектрохимический преобразователь создается простым погружением полупроводникового фотоэлектрода – катализатора в паре с вспомогательным противоэлектродом (платиновым) в водный электролит. При освещении фотоэлектрода фотонами с энергией, превышающей ширину запрещенной зоны полупроводника, в нем генерируются электронно-дырочные пары. Образующееся на межфазной границе раздела в результате установления термодинамического равновесия электрическое поле обеспечивает разделение фотогенерированных в полупроводнике носителей заряда. Для n-типа полупроводника неосновные носители заряда (дырки) передвигаются к межфазной границе раздела и вступают на поверхности полупроводникового фотоанода в реакцию окисления воды, а основные носители (электроны) — перемещаются в объем полупроводника, далее через внешнюю цепь поступают на противоэлектрод и вступают в реакцию восстановления водорода. Фотоэлектрохимические преобразователи имеют ряд преимуществ по сравнению с твердотельными солнечными фотоэлементами: они просты в изготовлении, решают проблемы аккумулирования и хранения энергии, полученной от Солнца, могут снизить стоимость единицы произведенной энергии из-за возможности применения дешевых поликристаллических фотоэлектродов и отсутствия необходимости в проведений ряда технологических операций и создании p-n перехода. Процесс преобразования солнечной энергии методом фотоэлектролиза воды является экологически чистым, безотходным, возобновляемым — продуктом сгорания водорода является вода.

После опубликования работы Фудзншнмы и Хонды [1]. в которой авторы впервые показали возможность расщепления воды в фотоэлектрохимическом элементе с фотоанодом из TiO, многие ученые во всем мире начали поиск и исследования полупроводниковых материалов, способных обеспечить поглощение солнечной энергии и протекание окислительно-восстановительных реакций выделения кислорода и водорода [2-5]. Главная трудность на пути реализации фотоэлектролиза воды обусловлена тем, что к полупроводниковому фотоэлектроду, свойствами которого в основном и определяется эффективность процесса фоторазложения воды, предъявляется ряд одновременно трудно выполнимых требований: стабильность в водных растворах электролитов, фоточувствительность в видимой области спектра, большая квантовая эффективность, достаточная отрицательность потенциала плоских зон, оптимальное значение электропроводности и т. д. Ни один из исследованных к настоящему времени полупроводниковых фотоэлектродов не обладает одновременно всем набором параметров, необходимых для эффективного прохождения фотоэлектролиза.

В последние годы возрос интерес к тонкопленочным наноструктурным фотоанодам [7-9]. Применение тонкопленочных фотоэлектродов с нанопористой структурой перспективно для фотоэлектрохимического преобразования солнечной энергии. Как показывают оценки, активно работающей, по сути, является лишь приповерхностная область (толщиной -10^-6 см) объемного полупроводникового фотоэлектрода. Поэтому использование тонкопленочных фотоэлектродов позволит избежать нежелательных омических потерь в системе и в тоже время обеспечить большую рабочую поверхность и высокую каталитическую активность фотоэлектродов.

Нами использована технология получения тонких пленок диоксида титана методом анодирования пластин титана в водных растворах серной кислоты с добавлением фторид ионов с последующим модифицированием ионами d-элемнтов.

Анодное или электрохимическое окисление — процесс получения оксидных пленок на поверхности металлов или полупроводников при анодной поляризации в кислород содержащих средах (например, в растворах электролитов). Механизм анодного окисления связан с переносом металла и кислорода через растущий оксидный слой под действием электрического поля, возникающего в пленке при приложении напряжения и реакциями фазообразования на внутренних и внешних границах оксида. Сущность процесса анодирования заключается в том, что окисел осаждается на поверхности титановой пластины не из раствора, а является продуктом окисления анода. Преимущество этого метода заключается в низкой энергоемкости процесса анодирования и его экологической чистоте, простоте используемых приборов, возможности получения пленок с разной морфологической структурой и сложных геометрических форм, высокой степени управляемости процессом роста пленок, позволяющей получать пленки с воспроизводимыми и стабильными характеристиками.

Исследовано влияние изменения условий роста пленки (концентрации, состава электролита, напряжения, режима и длительности процесса анодирования, изменение режимов отжига) на вольтамперные характеристики фотоанодов диоксида титана и фототок. Установлено, что изменение всех этих факторов слабо влияет на фотокаталитическую активность фотоанодов. Значительно существеннее оказалось влияние последующего отжига на воздухе, который приводит к изменению, как состава, так и структуры тонкопленочных фотоанодов. Уже одночасовой отжиг при 400-500°С приводит к значительному увеличению фототока, что, вероятно, обусловлено переходом пленок из неупорядоченной аморфной модификации в кристаллическую структуру, характеризующуюся сравнительно высокой подвижностью носителей заряда и фоточувствительностью. Найдено, что для получения пористой пленки с наиболее развитой поверхностью длительность процесса анодирования должна составлять 40 минут, и 60 секунд для беспористого режима.

Отрабатывалась методика нанесения сульфида кадмия методом молекулярного наслаивания из растворов с целью определения влияния ультратонкого верхнего поглощающего слоя на фотоэлектрохимические свойства титаноксидного электрода.

Пленка CdS осаждалась из двух растворов: 0,01М CdSO₄ и 0,01М Na₂S. Сначала пластина погружалась на 5 минут в раствор CdSO₄, затем вынималась, промывалась и высушивалась на воздухе. После этого пластина опускалась на 5 минут в раствор Na₂S, после чего промывалась и высушивалась также. Таким образом, считалось, что один цикл молекулярного наслаивания из растворов осуществился.

Обнаружено, что реакции молекулярного наслаивания ведут к потере оптической чувствительности диоксида титана. Можно сказать, что оптическая чувствительность полностью нивелируется. Это можно объяснить условиями синтеза пленок. Между циклами молекулярного наслаивания происходила гидратация слоя хемосорбированного кадмия, что препятствовало полному осаждению сульфида кадмия. Было принято решение, что реакции молекулярного наслаивания их водных растворов на поверхности анодного оксида не приводят к формированию оптически чувствительного в электролите слоя сульфида кадмия из-за снижения фотоэлектрохимических характеристик.

Помимо молекулярного наслаивания осаждение пленок сульфида кадмия на пластины оксида титана вели из раствора содержащего – 0,1 М CdSO₄*2H₂O, 0,1 М тиосульфат натрия, 0,2М аммиачную воду. Приготовленный раствор наносился на поверхность диоксида титана следующими способами:

1. Раствор нагревался до 83°С на водяной бане, куда затем опускались пластины анодированного титана на определенное время – от 10 до 30 минут. После осаждения пленок CdS пластины отжигались на воздухе при температуре 500 °С в течение 1 часа, затем проводились измерения фотоэлектрохимических характеристик по стандартной трехэлектродной схеме, где электродом сравнения был насыщенный хлорсеребряный электрод сравнения.

2. Пластина анодированного титана подогревалась до 150-200°С на воздухе, затем на короткое время (0,5 секунды) окуналась в вышеприведенный раствор. Операция повторялась до 10 раз.

3. Капля раствора наносилась на поверхность анодированного титана, таким способом, чтобы она могла растечься по все поверхности. Затем пластины высушивались. Операция повторялась до 10 раз.

4. На анодированный титан осаждался слой кадмия из раствора 20% CdSO₄ в течение 180 секунд при 12 В. После чего пластина подогревалась до 150-200°С на воздухе, затем окуналась в вышеприведенный раствор. Операция повторялась до 15 раз.

Во всех случаях модифицирования пленки диоксида титана на ее поверхности формировался слой сульфида кадмия, что идентифицировано на рентгенограммах образцов по основным рефлексам CdS.

На рисунке 1 приведены значения анодных фототоков модифицированных такими способами пластин анодированного титана.

Рисунок 1. Анодные фототоки анодной пленки оксида титана при различных способах модифицирования их сульфидом кадмия в 1 М растворе сульфата натрия при освещении ксеноновой лампой

Из данных рисунка 1 можно видеть, что модифицирование поверхности диоксида титана сульфидом кадмия во всех случаях дает положительный эффект, причем нарастание фототока наблюдается при освещении видимым светом. Значения фототока достигают максимально возможных, которые наблюдаются лишь при УФ освещении диоксида титана. Следует отметить лишь незначительное увеличение фототоков при модификации поверхности диоксида титана способами 1 и 2. Более существенные изменения наблюдаются при модификации способами 3 и 4. В случае способа 4 положительную роль сыграло наличие подслоя из кадмия, посаженного электрохимически на поверхность диоксида титана, тогда как последующее использование способа 2 при нанесении сульфида кадмия, возможно, свело к минимуму положительное действие этого подслоя. Вторым мощным фактором в формировании фотоэлектрохимических свойств такой двухслойной полупроводниковой структуры является совершенство структуры наносимого слоя сульфида кадмия (рисунок 2).

Образец, показавший максимальный фототок имеет и более мелкозернистую структуру слоя CdS, а также однородность на поверхности диоксида титана – способ 1. Например снимок А показывает, что по способу 4 получается очень рыхлый слой CdS на поверхности TiO₂, соответственно и более низкие значения фототока. По данным рисунка 2 следует признать, что лучше всего на поверхности  TiO₂ формировать слой CdS старым, хорошо описанным методом 1 – «chemical bath deposition process».

Рисунок 2. СЕМ –изображения поверхности фотоэлектродов

Несмотря на то, что достигаемые значения фототока на модифицированных электродах при освещении видимым светом, у данного покрытия, т.е. верхнего модифицирующего слоя есть существенный недостаток: это его коррозионная устойчивость.

Отмечаемая в литературе фотокоррозия сульфида кадмия проявляется в данном случае очевидным образом на образцах полученных нами электродов. Тем не менее, следует направить усилия на поиски усовершенствованных методов нанесения слоя СdS на TiO₂, поскольку совершенно очевидно, что ресурсы системы TiO₂/CdS далеко не исчерпаны и могут быть еще многократно повышены, а коррозионный ток существенно снижен за счет изменения состава электролита.

Список использованных источников

1. Fujishima A., Honda К. Electrochemical photolysis of water at a semiconductor electrode. //Nature. 1972. Vol. 238, P. 37-38.

2. Pleskov Yu. V. Solar Energy Conversion: a Photoelectrochemical Approach. Berlin: SpringerVerlag, 1990.

3. Nozik A. J., Memming R. Physical chemistry of semiconductor – liquid interfaces // J. Phys. Chem. 1996. Vol. 100, P. 13061-13078.

4. Bak Т., NowotnyJ., Rekas M., Sorrell С. C. Photo-electrochemical hydrogen generation from water using solar energy. Materials-related aspects. // Int. J. Hydrogen Energy 2002. Vol. 27, P. 991-1022.

5. Aroutiounian Y. M., Arakelyan V. M., Shahnazaryan G. E. Metal oxide photoelectrodes for hydrogen generation using solar radiation-driven water splitting // Solar Energy 2005. Vol. 78, P.581-592.

6. Sarkissyan A. G. Solar energy conversion at semiconductor — electrolyte junction // J. Contemp.Phys. 1995. Vol. 30, P. 21-33.

7. Aroutiounian V. M., Arakelyan V. M., Shahnazaryan G. E. Investigations of metal-oxide semiconductors promising for photoelectrochemical conversion of solar energy // Solar Energy Materials and Solar Cells 2005. Vol. 89. P. 153-163.

8. Gong D., Grimes C. A., Varghese О. K. et al. Titanium oxide nanotube arrays prepared by anodic oxidation // J. Mater. Res. 2001. Vol. 12. P.3331-3334.

9. Li Y., Lee N. H., Lee E.G., Song J. S., Kim S. J. The characterization and photocatalytic properties of mesoporous rutile TiO, powder synthesized through self-assembly of nano crystals // Chem. Phys. Letter. 2004. Vol. 389, P.124-128.

10. Аракелян В. М, Арутюнян В. М., Шахназарян Г. Э., Степанян Г. М., Оганесян А. Р. Фотоэлектрохимическое получение водорода с использованием металлоксидных полупроводниковых фотоэлектродов. // Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» 2006. № 11(43), С. 78-84.

11. А.А. Сейтмагзимов, И.В. Киященко Фотоэлектрохимические свойства титаноксидных пленок, модифицированных сульфидом кадмия. // Наука и образование Южного Казахстана, №1, 2011, С.92-96.

12. А.А. Сейтмагзимов, Г.Н. Журавлев, Т.Б. Ногаев, И.В. Киященко, Г.М. Сейтмагзимова Оптимизация толщины сверхтонких пленок диоксида титана, используемых при фотолизе воды. // Труды VIII международной научной конференции «Перспективные технологии, оборудование и аналитические системы для материаловедения и наноматериалов». 9-10 июня 2011г.-Алматы: Қазақ университеті, 2011. – С.22-225.

Введение

Работа посвящена решению уравнения Шредингера для атома Гелия и гелий подобных ионов в основном состоянии. Принята модель для основного состояния атома так называемой конфигурации eZe . В этой модели полагается что два электрона в атоме из за сил кулоновского отталкивания занимают преимущественно диаметральное положение. Теоретическое обоснование данной модели можно найти в работе [1].

Рассмотрим схематическое изображение атома Гелия приведенное на Рис.1

Рис. 1

Будем рассматривать плоскую задачу. Для этого введем подвижную систему координат и направим полюс в центр дуги между электронами. В этом случае при любом движении электронов координатная система принимает соответствующее положение и волновая функция становится зависящей только от переменной и угла отклонения электрона от равновесного диаметрального положения. Будем считать среднее значение расстояния электронов от ядра равным друг другу при таком допущении среднее значение потенциальной энергии взаимодействия электронов не меняется. Обоснование есть в [1].

Заметим что потенциальная энергия взаимодействия двух электронов имеет минимальное значение при диаметральном расположении:

А это означает что в этом положении электроны находятся в квантовой потенциальной яме. Очевидно что в таком случае электроны должны совершать по крайней мере нулевые колебания. Нулевые колебания могут быть только противофазные т.е. когда электроны движутся навстречу друг другу и обратно. А синфазные колебания когда электроны движутся в одном направлении т.е. один электрон догоняет другого невозможны, потому что в этом случае при отклонении не возникает возвращающей силы.

Найдем уравнение потенциальной энергии взаимодействия электронов в зависимости от угла отклонения от равновесного диаметрального положения. Как заметили колебания могут быть только противофазные а это означает что при отклонении одного электрона на угол второй электрон тоже отклоняется навстречу на тот же угол запишем это условие в виде:
. При этом расстояние между электронами будет равно: и соответственно потенциальная энергия будет равна : перепишем уравнение в виде :

Запишем уравнение Шредингера для описанной колебательной системы. В силу принятых допущений и получим:

(0.1) 

Разделим уравнение 0.1 на две части

(0.2) 

(0.3) 

Уравнение 0.2 описывает собственно осциллятор а 0.3 это постоянная компонента энергии взаимодействия электронов.

Перепишем уравнение 0.2 в атомных единицах Хартри где принимается

(0.4) 

Будем искать решение уравнения 0.4 с целью нахождения энергии нулевых колебаний

Рис.2 Вид потенциальной ямы при орбитальный радиус Гелия в атомных единицах.

Сначала найдем решение уравнения 0.4 численным методом пользуясь программным пакетом для решения систем дифференциальных уравнений FlexPDE.

По оси X разместим переменную в радианах . По оси Y разместим энергию в атомных единицах Хартри (одна единица энергии равна 27.2 эВ). Значение для радиуса примем это табличное (расчетное а не экспериментальное) значение орбитального радиуса гелия в атомных единицах . Граничные условия для волновой функции: Результат численного решения приведен на Рис.3. Анализируя решение видим, что вид волновой функции соответствует нулевому квантовому состоянию осциллятора т.е. имеет один максимум в середине и спадает до нуля на краях области. А энергия имеет положительное значение и находится в интервале от 78.22269эВ до 80.16008 эВ.

Полученное значение почти точно совпадает с экспериментальным значением энергии оболочки атома Гелия -79.000519 эВ. Такое точное совпадение можно интерпретировать следующим образом: Поскольку нулевые колебания это самый низкий энергетический уровень и ниже этой энергии ничего быть не может, то это означает только одно: в основном не возбужденном состоянии атома Гелия все другие виды кинетической энергии равны нулю.

Рис.3 Результат численного решения уравнения осциллятора 0.4.

В частности равна нулю радиальная кинетическая энергия и фактически наша подвижная координатная система на самом деле неподвижна т.к. ее движение будет означать прибавку энергии, что уже невозможно при этом атом перейдет в возбужденное состояние. Заметим еще, что нулевые противофазные колебания электронов происходят в одной плоскости.

Сделав этот важный вывод нам только остается для получения полного уравнения Шредингера для Гелия и гелий подобных ионов, добавить к уравнению осциллятора все виды потенциальной энергии. Т.е. потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядром и энергию 0.3 опять вернуть в уравнение. Тогда получим:

(0.5) 

Перепишем уравнение 0.5 в атомных единицах Хартри:

(0.6) 

Теперь перейдем к аналитическому решению уравнения осциллятора 0.4.

Для решения уравнения применим Метод Галёркина (метод Бубнова — Галёркина)

Выберем одну базисную функцию которая удовлетворяет граничным условиям Такой функцией является найдем вторую производную подставим значения функции и второй производной в уравнение 0.4 и получим невязку: далее выдвигается требование ортогональности невязки :

Рассчитав определенные интегралы получим: подставим полученное значение энергии осциллятора в уравнение 0.6 получим:

как можно заметить волновая функция сокращается и уравнение для энергии оболочки Гелия принимает вид:

(0.7)  

График уравнения 0.7 для Гелия при приведен на Рис.4

Рис.4 график уравнения энергии 0.7. для Гелия. Энергия имеет минимальное значение при в атомных единицах.

Теперь необходимо найти минимальное значение энергии т.к. атом в основном состоянии должен иметь минимальную энергию. Для нахождения минимума приравниваем к нулю первую производную функции от переменной .

решение дает:

подставим полученное значение в уравнение энергии 0.7 получим:

(0.8) 

Получена простая формула для расчета энергии оболочки Гелия и гелий подобных ионов. На Рис.5 приведены для сравнения данные экспериментальных и рассчитанных по формуле 0.8 значений энергии гелий подобных оболочек первых 29 элементов.

Рис.5. Экспериментальные и теоретические значения энергии гелий подобных ионов.

Результаты

для Гелия получим:

для Гелия получим:

для Гелия получим: умножив на 27.2 получим в электрон-вольтах:

Работа является продолжением статьи [1] и посвящена атому Гелия и гелий подобных ионов в дважды возбужденных симметричных состояниях с разнонаправленными спинами электронов nsns(1S). Принята модель так называемой конфигурации eZe . В этой модели полагается что два электрона в атоме из за сил кулоновского отталкивания занимают преимущественно диаметральное положение. В работе приводятся обоснование раздельного рассмотрения угловых и радиальных колебательных движений электронов, на основании приближения Борна — Оппенгеймера, и решение уравнения Шредингера для дважды возбужденных симметричных состояний.

Наряду с известными состояниями для атома Гелия существуют так называемые дважды возбужденные состояния nsns(1S). Такие состояния возникают при одновременном возбуждении двух электронов и переход обеих электронов на следующую орбиту S типа. В настоящее время имеются много работ посвященных дважды возбужденным состояниям [4]. Данная работа попытка более точного аналитического приближения.

На основании результатов полученных в работе [1] сделаем оценку классических частот угловых и радиальных нулевых колебаний с целью выявления критерия возможности раздельного рассмотрения движений электронов в приближении Борна — Оппенгеймера.

Рассмотрим уравнение углового колебательного движения:

(1.1) 

В работе [1] было установлено, что в основном состоянии Гелия электроны находятся в потенциальной яме Рис.1. и совершают угловые противофазные колебания в пределах угла относительно положения равновесия . Потенциальная энергия угловой колебательной системы имеет вид:

Классическая частота колебаний рассчитывается по формуле где приведенная масса системы из двух электронов а коэффициент квазиупругой силы. Коэффициент квазиупругой силы равен второй производной потенциальной энергии в положений равновесия: где орбитальный радиус Гелия в основном состоянии. Используя приведенные формулы определим частоту колебаний в положении равновесия. Все расчеты выполним в системе атомных единиц Хартри где принимается:

Рис.1 Вид угловой потенциальной ямы при орбитальный радиус Гелия в атомных единицах.

Подставим значения и получим:

(1.2)  таким образом получили значение классической частоты угловых нулевых колебаний электронов оболочки Гелия в положении равновесия на дне потенциальной ямы в атомных единицах.

Теперь сделаем аналогичный расчет классической частоты для радиальных нулевых колебаний.

Анализируем решение углового уравнения полученное в работе [1].

(1.3)  Построив график для Гелия Z=2 Рис.2 можно заметить что образовалась радиальная потенциальная яма. Наличие потенциальной ямы свидетельствует о том, что должны присутствовать по крайней мере нулевые колебания. Сначала определим классическую частоту этих нулевых колебаний.

Рис.2 Вид радиальной потенциальной ямы в основном состоянии для Гелия в атомных единицах.

Для этого примем основное состояние атома Гелия как исходное невозбужденное состояние для дальнейших расчетов. То есть уравнение 1.3 теперь будет уравнением эффективной потенциальной энергии для радиальных движений электронов 1.4.

(1.4)  для Гелия заряд ядра и орбитальный радиус в основном состоянии. Для радиального коэффициента квазиупругой силы получим:

Подставляя значение в

формулу 1.2 для частоты колебаний получим: разделив полученное значение радиальной частоты колебаний на значение угловой частоты колебаний

получим:

Таким образом расчет показывает, что радиальная частота нулевых колебаний выше угловой частоты нулевых колебаний в 4.36 раза. Полученный результат дает основание на применение приближения Борна — Оппенгеймера. То
есть при рассмотрении радиальных колебаний нужно включить полученное значение энергии 1.3 углового уравнения в радиальное уравнения Шредингера.

Запишем радиальное уравнение. Поскольку при решении углового уравнения уже были учтены энергии взаимодействия электронов между собой и с ядром атома, то для составления радиального уравнения остается добавить к энергии 1.3 радиальную кинетическую энергию двух электронов:

(1.5) 

И фактический полученное уравнение уже является полным уравнением атома Гелия и гелиеподобных ионов для симметричных состояний и включает в себя все виды потенциальных и кинетических энергии оболочки.

Рассматриваем связанные состояния когда обозначим

(1.6) 

Перепишем уравнение 1.5 для Гелия Z=2

(1.7) 

Найдем асимптотические решения уравнения 1.7 при и .

При уравнение 1.7 принимает вид:

(1.8)  решением уравнения 1.8 является функция :

При уравнение 1.7 принимает вид:

(1.9)  решением уравнения 1.9 является функция:

Действуя по стандартной схеме заменяем волновую функцию на произведение 1.10

(1.10)  причем константы и включены в искомую функцию . Рассчитав первое и второе производное функции 1.10 и подставив значения в уравнение 1.7 получим: 1.11

(1.11) 

заменой переменной

(1.12)  уравнение 1.11 принимает вид 1.13

(1.13) 

Полученное уравнение 1.13 является вырожденным гипергеометрическим уравнением вида 1.14 [2].

(1.14)  сравнивая уравнения 1.13 и 1.14 и имея ввиду обозначение 1.12 получим: ; ;

Решением вырожденного гипергеометрического уравнения вида 1.14 является функция :

(1.15)  подставляя полученные значения переменных

в формулу 1.15 получим решение уравнения 1.11 в виде:

(1.16) 

Чтобы ряд обрывался параметр надо приравнять [2]. является радиальным квантовым числом.

(1.17)  решая полученное уравнение 1.17 получим формулу :

(1.18)  подставим значение согласно обозначению 1.6

И окончательно формула для расчета значений квантованных уровней энергии дважды возбужденных симметричных состояний оболочки атома Гелия в атомных единицах принимает вид (1.19) 

Для получения формулы энергии в электрон вольтах нужно умножить на 27.2

(1.20) 

На Рис.3 приведен график квантованных значений энергии рассчитанных по формуле 1.20

Рис.3 график значений энергий симметричных дважды возбужденных состояний атома Гелия в электорнвольтах (нумерация начинается с 1. Номер 1 это нулевое состояние соответствующее нулевым колебаниям).

Теперь найдем уравнение для расчета волновых функции.

Гипергеометрическое уравнение 1.14 с целым отрицательным или нулевым параметром называется уравнением Лагерра [2].

(1.21)  

а его решения называются обобщенными полиномами Лагерра. Сравнивая уравнения 1.21 и 1.14 получим откуда

И окончательно радиальные волновые функции 1.10 можно записать через полиномы Лагерра в виде:

(1.22)  

Из формулы Родрига [3] получается известное представление полиномов Лагерра в виде 1.23.

(1.23)  

Сделав расчет для нулевого возбужденного состояния
получим подставим полученное значение в уравнение 1.22 получим волновую функцию нулевого возбужденного состояния (под нулевым возбужденным состоянием имеется ввиду нулевые колебания).

(1.24)  значение постоянного множителя вычисляется из условия нормировки волновой функции:

(1.25)           

Значение расчитывается по формуле 1.19 Рассчитав определенный интеграл получим

Сделаем расчет для получения волновой функции первого возбужденного состояния

Подставив значения ; ; и в уравнение 1.23 получим:

(1.26)  подставим полученное значение в уравнение 1.22

(1.27)  таким образом получили волновую функцию первого дважды возбужденного состояния . Теперь определим значение постоянного множителя

(1.28) 

Значение расчитывается по формуле 1.19 Рассчитав определенный интеграл получим

Аналогичный расчет можно сделать и для следующих возбужденных состояний. На Рис.4 приведены графики нормированных волновых функции нулевого и первого состояния в атомных единицах.

Рис.4 графики нормированных волновых функции нулевого и первого симметрично-возбужденных состояний оболочки Гелия в атомных единицах.

Рис.5 Радиальная плотность вероятности нулевого и первого симметрично-возбужденных состояний оболочки Гелия в атомных единицах.

Результаты

1. Установлено, что в основном состоянии и в дважды возбужденных симметричных состояниях nsns(1S) электроны оболочки атома Гелия находятся в двумерной потенциальной яме и совершают угловые и радиальные колебания.
2. Установлено, что частота радиальных колебаний в основном состоянии выше частоты угловых колебаний в 4.36 раза. Это позволяет применять приближение Борна — Оппенгеймера для раздельного рассмотрения радиальных и угловых движений электронов.
3. Получено уравнение Шредингера для атома Гелия и гелиеподобных ионов для симметричных состояний nsns(1S) в виде:

1. Получена формула для расчета энергий оболочки атома Гелия и гелиеподобных ионов для симметричных состояний nsns(1S) в атомных единицах в виде:

1. Получено уравнение для расчета волновых функции оболочки атома Гелия и гелиеподобных ионов для симметричных состояний nsns(1S) в атомных единицах в виде:
   

Гипотезы и обсуждения

В итоге в данной работе получено несколько результатов которые требуют более детального рассмотрения и экспериментальной проверки.

Очевидно, что нулевое состояние дважды возбужденных состоянии соответствует основному состоянию атома Гелия (два электрона находятся на одной орбите S типа и имеют разнонаправленные спины). И в результате учета энергий угловых и радиальных нулевых колебаний при решении уравнения Шредингера получена энергия основного состояния –29.3823эВ. А в работе [1] в результате учета энергии только угловых нулевых колебаний получена энергия основного состояния -76.9238эВ. Поэтому можно выдвинуть гипотезу о том, что в нормальных условиях оболочка гелия возбуждена угловыми и радиальными нулевыми колебаниями и имеет энергию –29.3823эВ а не –79эВ как принято считать. И только при очень низких температурах при переходе Гелия в сверхтекучее состояние исчезают радиальные нулевые колебания и остаются только угловые. При этих условиях оболочка имеет энергию -76.9238эВ как получено в работе [1]. В работе [1] установлено, что угловые нулевые колебания совершаются в одной плоскости. А это означает, что атом Гелия в этих условиях становится плоским. Это вероятно и будет способствовать более тесной упаковке атомов. В результате это приведет к резкому изменению характеристик, в частности к увеличению теплопроводности. Что и наблюдается в сверхтекучем состоянии Гелия. Как можно легко посчитать в результате исчезновения радиальных нулевых колебаний атом Гелия теряет энергию равную :

–29.3823-(-76.9238) = 47.5415эВ

В результате можно выдвинуть вторую гипотезу о том, что при переходе в сверхтекучее состояние освобождается энергия 47.5415эВ возможно в виде излучения одного или нескольких квантов (более вероятно двух) с суммарной энергией равной приведенному значению. Эту гипотезу можно проверить экспериментально.

укции квантованных  когерентных состояний ультраструктур нейронов мозга, особых состояний сознания, структуры качественных выводов из астрономической модели Керра; удалось сопоставить структуру Нагорной проповеди и библейских заповедей с этапами построения АМКЛ [4], а также многие другие интерпретации особенно в области  медицины (см. http://samlib.ru/ ).

Возможно, любую интересную и сложную область познания можно интерпретировать с помощью этих достаточно гибких по своему построению интуиционистских моделей (далее будем писать иногда просто  «моделей» или М). Формализация этого подхода может по мере накопления опыта и новых данных постепенно уточняться и специализироваться при изучении отдельных областей знания. Можно рассматривать эти модели как некоторый «переводчик» терминов, взятых из специализированных областей знания на язык построения М; они  являются как бы некоторым формализованным познающим субъектом. Познание здесь осуществляется в виде алгебраических моделей интуиционистской  логики (моделей Бета-Крипке). Такие М при практическом их использовании отображают динамику состояний исследуемого объекта или субъекта («свободно становящиеся последовательности» [3]), или вообще динамику роста знаний некоторого субъекта (алгоритма вычисления АМКЛ). Приведем краткое описание этого алгоритма, детальное описание и множество примеров приведено в [1].

В исходном массиве действительных (или комплексных) чисел или чисел  k-значной логики) Х(n+1, m), где n – число переменных (столбцов в Х) и m – число состояний (строк t), записанных в порядке течения времени t, выделяется один или несколько столбцов Y, для которых Y = f(X). В дальнейшем для краткости этот массив (базу данных) будем записывать как (Х, Y, t), где t – время (или порядковый номер строки или в иных случаях номер индивида). Значения Y разбиваются на k частей (обычно на 2 по медиане), и эти значения кодируются, например, в виде булевой функции Z = (0, 1), где например, 0 – целевые состояния и 1 – не целевые.  Далее каждое состояние (строки в Х), которому задано определенное целевое значение Z, сравнивается со всей своей окрестностью нецелевых состояний, начиная с ближайших. Строятся конъюнкции К* (переменные соединены логическими связками «и», &) малого числа r открытых интервалов dx значений переменных для целевого состояния; r будем называть рангом конъюнкции К*. Итоговые К** (по всем целевым состояниям) вычисляются таким образом, чтобы К** были бы простыми импликациями (логические связки «если, то», →), истинными формулами для Z, например: «если К**, то Z = 0» (иногда эти импликации будем называть исходными М). Примем также (это наше семантическое соглашение), что вычисление К* относится к функции подсознания, а К** и далее по алгоритму – к функции сознания. Затем вычисляются оценки Г для  каждой К** (число состояний, где встречается данная К**). Далее  строятся тупиковые дизъюнктивные формы (АМКЛ) для каждого значения Z = (0, 1) в отдельности. Начиная с наибольшей  Г отбираются эти К и объединяются логическими связками «или» (V); предварительно отбрасываются те из них, множества состояний которых («покрытия», множества номеров строк) уже входят в объединение покрытий ранее отобранных итоговых К (т. е. строится тупиковая дизъюнктивная форма или итоговая М). Далее все вышеприведенные аналогичные операции совершаются и для нецелевых состояний. «Целевым» значением здесь становится Z = 1; соответствующее объединенное посредством связок V множество этих К присоединяется в скобках к исходному целевому множеству К посредством связки V и символа отрицания ┐.

В некоторых случаях требуется построение вероятностной модели. Для этого все частичные пересечения двух или более К обозначаются как новые К, оставшиеся множества и эти новые К вновь упорядочиваются по их Г,  переиндексируются и подсчитываются итоговые Г и Г/m.  Эти частоты в сумме дают единицу.

После вычисления модели обычно проводится ее интерпретация (обычно с помощью подходящих информационно-поисковых систем) – сопоставление с уже известными более общими теориями, в которые К входят как подмножества (поиск «мажоранты», «наводящих соображений», «пояснений» [5]). Иногда вычисляется также контекст отдельных наиболее интересных итоговых К, входящих в тупиковую форму. Это замкнутые интервалы значений всех переменных, не включенных в данную К, т. е. только для «своих» Г строк-состояний (для «покрытия» этой К). Интерпретация контекста (вместе с К) соответствует возможному «объяснению» функций Z и также несущественных переменных. При необходимости аналитического отображения логической модели производится аппроксимация всех подмножеств значений (х, у) для каждого К обобщенными рядами Эрмита или Фурье [1, 2, 6]. Будем считать, что мы потенциально имеем возможность отслеживать и сохранять в памяти компьютера весьма большие, но конечные массивы числовой содержательной информации, которая отображает доступный нам смысл исследуемого процесса.

Во многих часто встречающихся случаях Y = (у1, у2, …)  является многокритериальной функцией для Х (алгоритм см. в [1]). В более общем случае можно считать, что Х является массивом всей доступной информации,  как бы некоторый текст (в динамике, по строкам), посредством которого исследуемый объект обменивается информацией с исследователем. Номера соответствующих переменных («слов», столбцов массива Х), являются обычно некоторым ограниченным словарем, тезаурусом. При этом, вообще говоря, каждое слово из этого словаря можно задать в качестве функции цели у относительно оставшейся части Х. Все дело заключается в том, в каком контексте (смысле) проводится исследование. Более того, иногда даже конкретная цель для исследователя не совсем ясна. В этом случае можно вычислить некоторое множество моделей для «обзорного» множества у и отобрать модель, для которой информационная энтропия меньше – практически, можно предпочесть модель, которая содержит меньшее число выводов К с оценками Г = 1. Конечно, далее если возможно, следует с помощью информационно-поисковых средств интерпретировать полученную модель, а иногда и отбросить неинтересные тавтологии, которые неожиданно выявляются при тесной корреляции у с некоторыми сходными (с у) по смыслу переменными. Затем, если это требуется, уже строится модель для многокритериального Y. Еще отметим, что при исследовании объектов в динамике в массив исходных данных можно включать информацию (модели, в том числе и их Y), полученные на предыдущем шаге исследования (модели с «памятью»). Особенно это характерно при исследовании конфликтующих структур (дипломатия, разведка, информационное воздействие на социальные структуры…), при этом обычно Y отображается в виде значений k-значной логики.

Сами модели АМКЛ  в динамике (с контекстами) являются как бы наборами кадров некоторого кинофильма, отображающего поведение исследуемого объекта, который можно видеть с запаздыванием, зависящим от времени передачи исходных данных и всех вычислений. Вычисляемые итоговые импликации К (отдельные модели из АМКЛ) отображают здесь изменения во времени исследуемого объекта (или субъекта). В случае прогнозирования поведения объекта в будущем, входные данные должны включать также некоторые временные переменные: скорости, ускорения и т. п. Весьма часто такие процессы идут с обратной связью – Y зависит не только от значений входных переменных и Y в данный момент времени, но также и от более ранних их значений. При прогнозировании удобно использовать также аппроксимацию всех подмножеств значений (х, у) для каждого К обобщенными рядами Фурье или Эрмита – поведение объекта отображается как бы в виде «голографической интерференции» различных волн или в виде некоторых «всплесков», пакетов волн.

Будем считать, что на первом этапе исследования всевозможных текстов по заданной теме уже вычислены модели, которые распознают в этих произведениях ситуации, отображаемые в итоге некоторыми наборами научных, психологических, философских, религиозных понятий или иных обобщенных выводов, часто обозначаемых определенными терминами. Приведем далее список возможных семантических соглашений (интерпретаций результатов функционирования самого алгоритма построения АМКЛ), которые в итоге приписывают как самому алгоритму построения, так и различным параметрам модели, записанной в общем виде (например, функционалам К и Г) их определенные смысловые значения в различных ситуациях. Эти соглашения могут уточняться по мере накопления новых сведений о применении этих соглашений в определенной содержательной области. Следует отметить, что, возможно, лишь интуиционистские модели в настоящее время позволяют как бы более тонко «настроить» способы понимания, семантику получаемых выводов из моделей, относящихся к определенному содержательному виду. Будем записывать (жирным курсивом) далее нумерованный список по теме статьи некоторых сложных высказываний и понятий различных цитируемых авторов. Эти высказывания будем сопоставлять с различными стадиями функционирующего алгоритма или с наличием различных параметров модели (здесь как бы составляется словарь заранее согласованного «перевода» слов с одного языка на другой). Ссылка на литературу для каждого элемента списка приводится лишь один раз – она относится и к последующим элементам списка, вплоть до очередной новой ссылки  (но внутри поясняющего текста могут быть свои ссылки). Приводимые ниже элементы списка следуют ходу изложения текста цитируемых авторов. В этом списке и в соответствующих интерпретациях даются по возможности лишь краткие определения различных терминов. Их более точный смысл следует искать в контексте всей статьи. Далее в интерпретациях курсивом выделяются термины и высказывания, для краткости поясняющие, например, с точки зрения психологии эти термины (или когда приводятся примеры). Иногда курсив применяется просто для выделения  смысла слов.

1. Струну можно представлять себе как тонкую нить, способную изгибаться и колебаться. Струны могут быть замкнутыми и нет (открытыми). Колебания струны могут происходить с разными частотами (гармониками), начиная с некоторой низшей (основной) частоты. Фундаментально здесь то, что на достаточно большом расстоянии от струны ее колебания воспринимаются как частицы, и колеблющаяся струна с некоторой комбинацией основных гармоник порождает множество, целый спектр разных частиц. Частицы появляются и выглядят (на большом расстоянии от струны) как кванты известных полей − гравитационного, электромагнитного [7].  – (Также см. [8, п.8]). В терминах алгоритма построения АМКЛ в общем случае струна К это итоговый многомерный интервал dx значений особым образом выделенных переменных для целевых состояний исследуемого объекта (см. краткое описание алгоритма выше). При вычислении общей аналитической модели (для всего объекта в целом) производится аппроксимация всех соответствующих подмножеств (нормированных) значений (х, у) для каждого К обобщенными рядами Фурье. Вначале выделяются два интервала dx (из этих К) с наибольшими оценками Г, принадлежащих к разным Z. Для каждого определенного переменного х вычисляется среднее х* для ближайших значений для этих разных Z. В том случае, если в каком-либо выбранном К (в соответствующем ему интервале) нет требуемого х, его крайнее значение вычисляется из соответствующего «контекста» (см. алгоритм). Таким образом, один конец струны в данном случае будет замкнут («закреплен» в точке х*), другой конец обычно свободен кроме того случая, когда при вычислении определенного К в заданном конечном массиве данных уже нет очередного по ходу вычислений значения х (из состояний для «иного» Z). Еще напомним, что медиана y* по всем значениям Y является точкой их разбиения на два множества Z = (0, 1).

Пусть радиус R некоторой многомерной римановой сферы S равен, например, 10у* – зададим для удобства образной интерпретации модели некоторую возможную при дальнейших расчетах толщину слоя около поверхности S, середина которого пусть будет равна R, от которой будут откладываться все нормированные значения (х, у). Также примем, что общая длина всех dx на S не может превышать, например, величину πR для всех n’ импликаций К из АМКЛ (см. далее). На некотором малом «квадратике» размерности r на поверхности S отображаются координаты значений множеств, соответствующих К, причем большие значения Y будем откладывать вне сферы, а малые внутрь (т.е. для Z = 0). Из итоговой АМКЛ выбираем, например,  К для Z = 1 с наибольшим Г, и через произвольную точку поверхности S проводим через равные углы n’< n линий, лежащих на S (в этой точке образуется как бы «звездочка» локальных многомерных координат), где n’ – общее число несовпадающих переменных в нашей итоговой модели (возможно, также некоторых х, вычисленных в виде контекста) и где n – общее число переменных в массиве исходных данных.

Далее выбираем К для Z = 0 со своим наибольшим Г; из К ≡ хi1&хi2&хi3& … &xir (i = 1, … n) выбираем хi1, т.е. первую переменную в записи К. Напомним, что в алгоритме вычисления АМКЛ первый многомерный интервал dxi1 вычисляется при сопоставлении целевой строки с ближайшей по времени нецелевой строкой (вычисляются абсолютные значения относительно целевой строки, см. алгоритм). Первая выделяемая переменная является более существенной при сопоставлении заданного целевого состояния с его ближайшим по времени «прототипом», выбранным из множества нецелевых. Вследствие малого промежутка времени на этот «прототип» еще мало успели воздействовать различные помехи, причину которых мы обычно не знаем вследствие первоначальной ограниченности словаря и грамматики языка исследования.

Далее выбирается хi1 из К для Z = 1, вычисляется его dxi1, затем хi1 из К уже для Z = 0 (возможно из контекста) и так далее по всем хi вычисляется новая «звездочка» х* для Z = 0. Подобным образом, последовательно выбирая эти пары К из разных значений Z (по мере уменьшения их оценок Г), находим хi* для всех К из глобальной АМКЛ, т.е. для общей тупиковой дизъюнктивной формы нашей логической модели. Далее последовательно, начиная с первой пары К, относящихся к разным значениям Z, производится аппроксимация всех соответствующих подмножеств значений (х, у) по всем К (отдельно для каждой К) обобщенными рядами Фурье, используя все вычисленные координаты хi* на поверхности сферы S.

Весьма интересна образная интерпретация полученных результатов. Будем пользоваться обычной практикой построения географических физических карт. Как и ранее, выбирая последовательно пары К (из разных значений Z по мере уменьшения оценок Г), будем раскрашивать нашу «карту» (общую аналитическую модель) следующим образом. Пусть исходная поверхность «глобуса» S  будет белой («terra incognita»). Выбираем первую пару К с наибольшими Г. Область, соответствующую К для Z = 0, сделаем синей (R, соответствующая локальной координате у*, – это «уровень поверхности моря»), область К для Z = 1, сделаем коричневой. Заполнение поверхностного слоя для S (всей «земной коры») последующими К производится аналогичным образом, причем условимся, что в случае появления пересечений областей К (для «своих» Z), объединение областей предыдущих К всегда остается видимой; остальные области, находящиеся внутри них или частично перекрывающихся с предыдущими, будут скрыты. Другими словами, здесь алгоритм «покрытия» S аналогичен алгоритму построения дизъюнктивной тупиковой формы АМКЛ. Поскольку внешние концы каждой совместной пары струн в данном случае открыты, эти концы на S будут иметь соответствующие им аналитические продолжения вдоль своего «меридиана» вплоть до «полюса», т.е. до своей локальной точки πR. Условимся также, что насыщенность цвета везде будет пропорциональна ординате (у) для каждой определенной модели К, отображающей свою Z, т.е. участки, где (у) будут максимальны или минимальны, насыщенность своего цвета будет наибольшей. Будем еще дополнительно помечать области К на нашей карте их соответствующими оценками Г или лучше, их частотами Г/n. В итоге на нашем «глобусе» будут видны «материки» и «океаны», которым отвечают К с большими оценками Г (соответствующими большой устойчивости своих моделей в динамике, это «сейсмоустойчивые» К), далее «острова» и «озера» для других Г и также отдельные «скалы» и «провалы», соответствующие Г = 1 (почти случайные, неустойчивые модели в динамике). Около каждого из n’ «полюсов» будем наблюдать как бы продолжение вида местности, характерной для каждой из n’ импликаций К.  Все эти образования будут находиться на белом фоне «еще неизвестной местности», которая будет в некоторых случаях уменьшаться по мере дальнейшего исследования  нашего объекта. В принципе белые пятна «terra incognita» всегда будут присутствовать на нашем «глобусе»: в динамике исследования вид его поверхности будет немного меняться в основном за счет возникновения новых К с малыми Г и уточнения границ К с большими Г.

2. Колебания струны могут происходить с разными частотами (гармониками), начиная с некоторой низшей (основной) частоты. Фундаментально здесь то, что на достаточно большом расстоянии от струны ее колебания воспринимаются как частицы, и колеблющаяся струна с некоторой комбинацией основных гармоник порождает множество, целый спектр разных частиц. Частицы появляются и выглядят (на большом расстоянии от струны) как кванты известных полей − гравитационного, электромагнитного.

Частотам колебаний струн К пусть будут соответствовать последовательности членов рядов Фурье. Большое расстояние от струн будем интерпретировать, согласно используемому алгоритму, как переход к более совершенному языку (словарь, грамматика) по мере дальнейшего исследования сложного объекта. После первоначального вычисления моделей обычно полагают, что при дальнейшей эволюции объекта, для новых состояний объекта, будет наблюдаться истинность прежних выводов К (это соответствует аппроксимации К рядами Фурье).

Однако, после сопоставления старых К с новыми моделями часто выявляется неустойчивость прежних К, что заставляет исследователя вводить новые переменные х’  и новую интерпретацию обнаруженных связей между различными х. Новые модели при каждом таком подходе становятся все более детализированными – оказывается, что в небольшой окрестности старых К  (для значений Х) соответствующих аналитических продолжений может и не быть – там могут появляться новые К. Введем понятие исходных состояний объекта в динамике, пусть все они  соответствуют точке разбиения у*. Напомним, что у* это медиана для всех значений (у); обычно в окрестности этой «виртуальной» точки наблюдается наибольшее число значений у. При таком подходе для аппроксимации каждого множества «точек» (х, у) и любых К удобно использовать ряды Эрмита – заведомо, «по построению» моделей известно, что все К для разных Z разделены некоторым ограниченным множеством значений Х, соответствующим точке у*, в котором значение Z резко меняется (подробное описание алгоритма см. в [1]).

Ранее при аппроксимации рядами Фурье каждая очередная пара многомерных интервалов, «области» dx (в итоге это К) была соединена (замкнута) лишь своими ближайшими друг к другу концами в многомерной точке х*. Теперь же известно, что и для их отдаленных концов должны существовать подобные «виртуальные» точки х* − при аппроксимации рядами Эрмита все концы «струн» К должны иметь замкнутые концы. Для ускорения сходимости рядов Эрмита к исходному состоянию объекта в динамике у* (т.е. к поверхности сферы S) пусть все точки х* также используются в процессе аппроксимации, однако они не должны учитываться при подсчете числа степеней свободы при вычислении ошибки всей итоговой модели. Теперь, при образной интерпретации S как поверхности некоторого глобуса, около каждого из n’ «полюсов» уже не будет «продолжений» того же вида местности, характерного для каждой из n’ импликаций К.

Исходное отображение АМКЛ с помощью обобщенных рядов Фурье можно в данном случае для наглядности представить, например, в виде некоторого большого детдома, в котором живут лишь малыши и старые воспитатели. Пусть (в существенном для этого примера случае) цель мужчин Z = 1, а цель женщин Z = 0 и общаются они между собой и внешним миром в основном с помощью органов чувств (световые, акустические и другие взаимодействия, которые можно представить в итоге в волновом виде).

Проходит лет 20 («достаточно большое расстояние от струны»), дети становятся взрослыми, которые вступают в брак, разъезжаются. Теперь (это существенно для примера отображения АМКЛ с помощью обобщенных рядов Эрмита) у них дополнительно появляется репродуктивная функция, которой не было ранее: образуются мужские (Z = 1) и женские (Z = 0) гаметы, каждая из которых является как бы «пакетом волн», информационной «частицей», соответствующей ДНК − «На достаточно большом расстоянии от струны ее колебания воспринимаются как частицы». Далее их слияние и развитие зиготы при данном подходе является аналогом вычисления постепенно усложняющейся модели объекта. Еще далее после рождения и воспитания у детей с возрастом постепенно формируется творческое сознание, которое в своей основе является логикой. Ее пока наиболее удачным обобщением являются алгебраические модели конструктивной (интуиционистской) логики (АМКЛ) [1, 2, 3], где вычисляются формулы уже приведенные выше, например, импликации вида К → Z(0, 1), т.е. где  формируются  определенные дискретные отображения, «пакеты волн», в частности соответствующие предикатам в логике (см. выше описание алгоритма).

3. И бозоны и фермионы могут сосуществовать в одной физической системе, и такая система может обладать особым видом симметрии −суперсимметрией. Она отображает бозоны в фермионы и обратно, и для этого (естественно) требуется равное количество обоих видов частиц… Суперсимметричные системы могут жить только в так называемом суперпространстве. Оно получается из обычного пространства-времени с добавкой фермионных координат, и преобразования суперсимметрии в нем похожи на вращения и сдвиги как в обычном пространстве… Струны, живущие в суперпространстве, называются суперструнами. − Будем интерпретировать здесь теорию суперструн следующим образом. Исходный массив данных (Х, Y, t) отображает состояния (строки) объекта; в том случае, когда цель бинарна Z = (0, 1), назовем целевые состояния (“частицы”, соответствующие объекту)  “фермионами”, а нецелевые − “бозонами”. Их взаимные отображения − это вычисление целевых К с помощью нецелевых состояний, затем совершается подобный обратный процесс вычисления нецелевых К с помощью целевых состояний (см. алгоритм). Добавка фермионных координат − это динамика вычислений открытых целевых интервалов dx. Назовем процесс удаления некоторых несущественных переменных вращением частиц (состояний объекта); отметим, что при этом замкнутые интервалы dx для этих переменных (дополняющие список интервалов переменных в К) образуют “контекст” модели (свернутые измерения объекта). Сдвиги − это динамика сопоставлений определенного целевого состояния со всей своей окрестностью нецелевых состояний.

Еще отметим, что при отображении объекта в динамике (при слежении за объектом во времени) многомерные интервалы dx или в итоге области непротиворечивых значений х (импликации К) можно представить как некоторые продолжающиеся во времени многомерные цилиндры (“трубки”). В частности для dx в процессе удаления несущественных х эти трубки постепенно становятся тоньше, затем они “схлопываются” (исчезают); далее идет поиск очередной существенной х и аналогичным образом происходит удаление несущественных х и т.д. вплоть до вычисления импликации итоговый интервал dx ≡  К → Z.

4. Суперструны порождают гравитацию, которая и определяет геометрию пространства-времени… при скручивании лишних измерений в очень маленькие пространства, свойства теории в остающихся измерениях отражают некоторые геометрические характеристики этих пространств… При наличии хотя бы одного скрученного измерения они могут наматываться на него, обвернувшись один или несколько раз. А с точки зрения наблюдателя это выглядит как появление некоторых новых частиц… они становятся легкими, и их можно сравнить с теми безмассовыми частицами, которые ожидались с самого начала, как соответствующие низшим гармоникам колебаний струны… при слабом взаимодействии между струнами, в рамках стандартной теории возмущений струна рождает частицы определенного типа, реализующие определенные симметрии, в частности суперсимметрию. В другом диапазоне интенсивности взаимодействия, вне рамок теории возмущений (в области сильной связи) струна может порождать другие частицы. Но кроме того, теория суперструн… способна порождать наборы частиц, которые выглядят как соответствующие колебания суперструны другого типа. Это происходит в области сильной связи.

Скручивание лишних измерений − удаление несущественных переменных при вычислении К (см. окончание п. 3).

Остающиеся измерения… могут наматываться на скрученное измерение несколько раз. − При сравнении данного целевого состояния с его окрестностью нецелевых вычисляется конъюнкция К* и далее импликация K** ≡  (хi1&хi2&хi3& … &xir) → Z , где i − # переменной (“измерение”),  r − итоговый ранг последней (по ходу вычислений) конъюнкции К* и далее К** (некоторые из К** в дальнейшем войдут в итоговые К) и где n – r − число удаленных измерений (скручиваний, вращений частиц).

Сильная связь − связь между заданным целевым состоянием объекта и ближайшим во времени нецелевым.

Слабая связь (слабое взаимодействие) − связь между целевым состоянием и нецелевыми состояниями, отдаленными во времени.

Итоговые импликации К являются здесь наборами (по Г) сходных между собою суперструн, каждая из них  отличается лишь соответствующими значениями несущественных переменных, т.е. своими “контекстами”. Именно из-за их сходства (и обычно при большом числе “точек” Г) при аппроксимации  подмножеств значений х рядами Фурье появляются сравнительно низкие гармоники колебаний этих суперструн. Итоговые К при больших (“тяжелых”) Г являются как бы “гравитонами”; напомним, что теория  суперструн обобщает квантовую теорию и теорию относительности. Однако при малых Г (при малом числе этих точек) аппроксимация именно таких К практически невыполнима при заранее заданном критерии на точность модели − в этом случае обычно задают некоторый порог малых значений Г, ниже которого К объявляются “шумом”.  В пределе для Г = 1 (лишь для одной “случайной” точки) наша аналитическая модель должна была бы отображать в данном случае некоторую δ-функцию Дирака (“иглу”), которой, вообще говоря, могла бы соответствовать ее аппроксимация рядом Фурье с весьма большой частотой  (“случай” в природе, см. окончание статьи [8]).

В области сильной связи… теория способна порождать наборы частиц, которые выглядят как соответствующие колебания суперструны другого типа. − В каждом множестве Г импликаций (“частиц”) K** ≡  (хi1&хi2&хi3& … &xir) → Z все эти существенные переменные (“по построению”) имеют одинаковые номера (# = 1, 2, …, r). “Случайным” образом некоторые иные К (другого типа) в итоговой модели также могут иметь такие же номера, в частности, для первой переменной хi1 (т.е. для сильной связи). Другими словами могут существовать некоторые наборы суперструн  или “частиц”, родственных по происхождению, т.е. в нашем случае по ходу вычислений.

В этой статье показан путь формализации основных идей теории суперструн в виде набора стандартных операций по вычислению алгебраических моделей конструктивной (интуиционистской) логики, соответствующих приближенной модели творческого сознания. В итоге можно сказать, что идейная основа теории суперструн  (этой теории “всего”) является отображением алгоритма функционирования приведенной выше в общем виде модели творческого сознания.

При публикации данной статьи на сайте журнала возможны искажения отображения формул.

Оригинал статьи в формате PDF доступен для скачивания

Работы коллаборации ИТЭФ-МИФИ-МИЭТ-ОИЯИ направлены на внедрение ядерно-физических и электрофизических методов исследования ядерных технологий в нано- и микроэлектронике (см., например, [1-12]). В качестве примера этих внедрений приводятся работы по созданию имплантера протонов в пластины большого диаметра, используемого в технологических smart-cut процессах производства конкурентоспособной, наукоемкой и импортозамещающей научно-технической продукции структур «кремний на изоляторе» (КНИ) и других полупроводников на изоляторах; разработку и внедрение высокоэффективных технологий атомной промышленности (например, облучение пластин кремния пучками протонов); развитие наукоемких технологий, поддержки работ по разработке научных основ и оптимизации технологий соединения пластин кремния, облученных протонами, и других полупроводников с гидрофильными подложками с целью получения структур КНИ, многослойных структур Ge/Si, (Ge_xSi_1-x)/Si и тонких монокристаллических слоев полупроводников (Si,. Ge, A³B⁵ и A²B⁶) для производства новой элементной базы опто-, нано- и микроэлектроники (например, для создания современных суперкомпьютеров), специальных радиационно- и термостойких интегральных схем и приборов, микроэлектромеханических устройств, сенсоров, датчиков и солнечных элементов.

Для детального понимания процессов образования и эволюции радиационных дефектов в материалах электронной и атомной промышленности в процессе облучения и после облучения (в частности, при послерадиационном отжиге), необходимо проведение фундаментальных исследований радиационных эффектов на атомно-масштабном уровне. К таким эффектам следует, прежде всего, отнести образование единичных точечных дефектов и их комплексов, развитие каскадов атомных столкновений, влияние инородных (примесных) атомов на эти процессы, распыление поверхностных атомов в припороговой области энергий бомбардирующих частиц и т.п. Важнейшей информацией во всех указанных эффектах являются данные о химической природе каждого из наблюдаемых атомов, а также о микроскопическом состоянии материалов во взаимосвязи со спектром и параметрами присутствующих дефектов.

Исследования будут проводиться и уже были проведены на функционирующих в МИЭТ, ИТЭФ, МИФИ уникальных комплексах, позволяющем анализировать не только структуру материалов на атомно-масштабном уровне, но и определять химическую природу единичных наблюдаемых атомов. Созданная современная экспериментальная база включает: томографический атомный зонд (производства «Cameсa»), просвечивающий электронный микроскоп (производства «JEOL»), сканирующий туннельный атомно-силовой микроскоп (производства «Digital Instruments»), разработанные в ИТЭФ приборы (автоионный микроскоп, сканирующие туннельные и атомно-силовые микроскопы) и различные установки метода позитронной аннигиляции (УРАФ, ВРАФ и ДУАЛ). Используемый в работе томографический атомный зонд является уникальным прибором мирового класса, единственным в России. Указанные выше работы являются базой для атомно-масштабных исследований радиационно-стимулированных явлений в материалах электронной и атомной техники. Исходя из опыта развитых стран видно, что решающую роль при этом играют атомно-масштабные методы контроля структуры материалов, особенно томографические атомно-зондовые исследования. Имеющаяся в МИЭТ, ИТЭФ, МИФИ лабораторная база позволяет решать поставленные задачи. Созданная на базе ИТЭФ и МИФИ кафедра «Радиационной физики конденсированных сред» обеспечивает приток молодых кадров и позволяет интенсивно развивать современные направления исследований. В связи с этим коллаборацией были проведены работы по созданию технологии сращивания стандартных пластин кремния и других полупроводников с целью производства структур КНИ, многослойных структур и тонких монокристаллических слоев полупроводников с использованием методов термообработки в условиях влажной атмосферы и газового скалывания (с использованием метода молекулярного наслаивания) тонких слоев методом облучения ионами водорода (гелия) образцов в процессе термообработки, а также рабаты по разработке и эксплуатации источников заряженных частиц разного типа и имеющихся макетах имплантера и источников ионов водорода (дуоплазмотрон, источник Пеннинга с холодным катодом, электронно-ионный источник плазменно-пучкового типа, ВЧ инжектор, СВЧ инжектор).

Для получения структур КНИ и других многослойных структур, тонких монокристаллических слоев полупроводников, используемых для создания новой элементной базы микроэлектроники, современных суперкомпьютеров, ультрабольших интегральных схем с повышенной стойкостью к ионизирующим излучениям, микроэлектронных кремниевых датчиков и микроэлектромеханических устройств (которые необходимы для электронной и атомной промышленности) и солнечных батарей, а также материалов нано- и микроэлектроники использовался метод прямого соединения окисленных поверхностей пластин кремния с последующим утончением одной из пластин до требуемой толщины монокристаллического слоя кремния. При этом определяющую роль играет химический состав и качество обеих поверхностей соединяемых пластин. Контроль качества поверхности обычно осуществляют с помощью измерения геометрических параметров, электрофизических характеристик и анализа загрязнений различными методами (оптическими, ренгтеновскими и т.д.). В некоторых случаях необходимо активирование и модифицирование таких поверхностей. Возникает задача получения известного химического состава поверхности с требуемыми свойствами с целью оптимизации процесса соединения пластин. Таким образом, предложенная технологическая схема изготовления структур КНИ методом отслаивания осуществляется с использованием процессов прямого соединения пластин и химической сборки поверхности во влажных условиях, включающий процессы очистки и окисления кремния, процесс молекулярного наслаивания, процессы низкотемпературного и высокотемпературного сращивания пластин с поверхностями заданного состава. Согласно разработанным маршрутам в методе прямого сращивания вместо технологии шлифовки и травления для утончения одной из пластин предлагается использовать технологию отслаивания (отщепления) части рабочей пластины кремния по области пористого слоя, образованного посредством имплантации протонов на заданную глубину в пластину кремния. Пористый слой включает в свой состав наполненные водородом нанопоры, созданные имплантацией протонов в слое кремния через тонкую пленку SiO₂.

Были сформулированы требования к имплантеру и источникам протонов. На основе анализа полученных результатов определен прототип источника и выполнены необходимые конструктивные доработки, а также рассмотрен вопрос об использовании «электронного душа» для нейтрализации объемного заряда облучаемых пластин.

В частности, был предложен новый модифицированный импульсный источник ионов водорода для проведения работ в области радиационной физики и имплантации протонов в пластины большого диаметра в технологии сращивания стандартных пластин кремния и других полупроводников с целью производства структур кремний на изоляторе, многослойных структур и тонких монокристаллических слоев полупроводников с использованием методов термообработки в условиях влажной атмосферы и газового скалывания (с использованием метода молекулярного наслаивания) методом облучения ионами водорода (гелия) образцов в процессе термообработки. Были продолжены исследования и дальнейшая разработка и усовершенствование этого модифицированного источника ионов водорода установленного на макете имплантера Института теоретической и экспериментальной физики (ИТЭФ).

На разработанном макете имплантора облучались ионами водорода пластины кремния марки КЭФ-4,5(100) и КДБ-12(100). Образцы предназначены для формирования многослойных структур методами сращивания и газового скалывания.

Полученные образцы исследовали методами атомно-силовой и электронной микроскопии. Исследования показали, что облученные образцы содержат зоны неравномерного облучения, которые могут быть устранены при конструктивном усовершенствовании установки. Исследования методами позитронной аннигиляции показали наличие в них наличие вакансионных дефектов в наноразмерных и агстремных диапазонах.

В процессе исследования проводилось изучение состояния сращиваемых поверхностей и эволюции дефектной структуры облученного слоя на атомарном уровне, отработки процессов химической очистки, гидрофилизации, активации поверхности и их термического сращивания. Предполагается в дальнейшем разработка источника ионов водорода с энергиями от 80-150 кэв для облучения пластин большого диаметра (150 –200 мм) с целью получения структур КНИ большого диаметра (на первом этапе 150 мм), разработка и производство мини-чистых комнат для штучного производства и прибора для определения энергии сращивания пластин методом вставления лезвия.

Особая роль при этом уделялась и уделяется позитронике вещества. Позитроника, включающая также в свой состав и позитронную аннигиляционную спектроскопию (ПАС) (см., например, [1-52]), позволяет определять как электронную структуру совершенных кристаллов, так и различные несовершенства особо малых размеров в твердых телах и пористых системах, таких как вакансии, вакансионные кластеры и свободные объемы до одного кубического нанометра (нанообъекты пустоты). Она включает в себя в основном три метода: изучение временного распределения аннигиляционных фотонов (ВРАФ), углового распределения аннигиляционных фотонов (УРАФ) и доплеровского уширения аннигиляционной линии с энергией 0,511 МэВ (ДУАЛ) [1-3,14,15].

Ниже рассматриваются методы определения размеров нанообъектов, их концентраций и химического состава среды, окружающей нанообъекты, по экспериментально измеряемым параметрам спектров ВРАФ и УРАФ для позитронов, аннигилирующих в пористых системах и дефектных твердых телах на примере пористого кремния и пластин кремния, облученных протонами, на основе теоретических представлений, развитых в [1-3,13,14].

Экспериментальные методы позитронной спектроскопии материалов. Теория методов

Методика ПАС основана на изучении особенностей аннигиляции позитронов. Аннигиляции позитронов (e⁺) в веществе происходит в результате квазисвободных соударений с электронами среды, либо из связанных состояний. В зависимости от свойств среды преобладает тот или иной механизм. При возникновении связанного состояния может образовываться атом позитрония (Ps). Большой интерес для решения многих физико-химических задач представляют наблюдения образования и гибели позитрония.

Позитроний – простейший водородоподобный атом, в котором протон замещен позитроном. Приведенная масса Ps вдвое меньшей водородной и, соответственно, потенциал ионизации также вдвое меньше (6,77 эВ), а боровский радиус вдвое больше (1,06 Å). В зависимости от взаимной ориентации спинов электрона и позитрона существует два основных состояния позитрония:

1. триплетный или орто-позитроний (o-Ps) с параллельным направлением спинов, распадающийся на три гамма-кванта; время жизни свободного атома o-Ps равно =1.4·10^-7
   с; вероятность I_t образования o-Ps составляет ¾ от суммарной вероятности образования Ps,
   
2. синглетный или пара-позитроний (p-Ps) c антипараллельными спинами, распадающийся на два гамма-кванта; время жизни свободного атома p-Ps равно  =1.25·10^-10 с; вероятность I_s образования p-Ps составляет ¼ от суммарной вероятности образования Ps.

Приведенные времена характеризуют вакуумные времена жизни o-Ps и p-Ps. В конденсированной фазе время жизни p-Ps практически не меняется, а время жизни o-Ps существенно (~ в 100 раз) сокращается из-за изменения механизма его аннигиляции. В отличие от вакуума позитрон орто-позитрония аннигилирует в соударениях с молекулярными электронами, имеющими спины, направленные противоположно спину позитрона (pick-off-аннигиляциия), что приводит к существенному (~ в 100 раз) сокращению его времени жизни и снимает запрет на 2-аннигиляцию. Время жизни свободных позитронов для большинства конденсированных сред равно (0,3÷0,5)·10^-9
с., а время жизни орто-позитрония зависит от свойств среды и меняется в широком диапазоне – от долей нc (водные растворы) до десятков нc (полимерные материалы).

Источники позитронов

Основным каналом получения позитронов являются радиоактивные источники (РИ) позитронов, в которых происходит реакция b – распада [1-3]. Ее схема приведена на рис.1. Атомное ядро _ZA испускает позитрон (он обозначается b⁺) и нейтрино (на схеме b – распада нейтрино обычно не показывается) и превращается в атомное ядро _Z-1A другого химического элемента. Причем конечное атомное ядро может оказаться в основном (испускается ) или возбужденном (испускается ) состоянии. Возбуждение атомного ядра снимается путем испускания g-кванта. Наличие таких g-квантов (на рис.1 обозначен g₁) играет важную роль в методе измерения времени жизни позитронов в веществе.

Рис.1 Схема b-распада радиоактивного источника позитронов, используемого в методе аннигиляции позитронов

Рис.2. Форма b-спектра радиоактивного источника позитронов

В силу законов b-распада [2] позитроны имеют непрерывное распределение по энергии. Форма спектра позитронов представлена на рис.2 и определяется выражением

, (1)

где A – нормировочная константа; F(Z,E) – функция Ферми, учитывающая взаимодействие вылетающих из атомного ядра позитронов с самим ядром; Z – заряд атомного ядра; E – кинетическая энергия позитронов; E_b – энергия b-распада (верхняя граница b-спектра). Значения величины E_b для наиболее часто используемых в методе аннигиляции позитронов радиоактивных источников представлены в таблице 1.

Таблица 1

Основные параметры радиоактивных источников позитронов, используемых в исследовании вещества с помощью позитронной аннигиляции

Ослабление пучка позитронов из РИ при прохождении вещества толщиной z происходит по экспоненциальному закону [2]

, (2)

где m – массовый коэффициент поглощения позитронов (ослабления позитронного пучка); r – плотность поглощающего (ослабляющего) вещества; I₀ – интенсивность падающего, а I₊ – прошедшего излучения. Полуэмпирическая зависимость m от E_b имеет довольно простой вид [2]

. (3)

Здесь m в см²/г, а E_b в МэВ. Видно, что массовый коэффициент поглощения позитронов из РИ не зависит от вида вещества поглотителя, а определяется только энергией b-распада.

В ряде случаев удобнее пользоваться не выражением (2), а формулой

, (4)

которая определяет длину l поглощения (ослабления) позитронов из РИ в веществе

. (5)

Используя выражение (5), можно показать (см. табл. 1), что пробег позитронов из радиоактивных источников в большинстве веществ составляет десятки или, в крайнем случае, сотни микрон. Таким образом, наиболее удобными во всех отношениях являются РИ позитронов на основе ²²Na и ⁶⁴Cu.

Кроме РИ с непрерывным энергетическим спектром позитронов начинают использоваться пучки монохроматических позитронов с изменяемой энергией позитронов [1-3]. Энергию позитронов в этих пучках обычно меняют в диапазоне от сотен электронвольт до десятков килоэлектронвольт в зависимости от требований конкретного эксперимента. Ускоренными позитронами облучают исследуемый образец. Так как энергия позитронов мала, то их пробеги в веществе образца составляют единицы или, в крайнем случае, десятки нанометров и, следовательно, регистрация этих позитронов позволяет получать информацию о свойствах очень тонких приповерхностных слоев твердого тела. К сожалению, в России пока отсутствуют установки для получения пучков монохроматических позитронов. Правда, в последнее время в ОИЯИ (Дубна) ведутся работы по созданию таких пучков.

Экспериментальные измерения параметров аннигиляции

позитронов в среде

Метод ВРАФ

Измерение временных характеристик аннигиляции позитронов в среде лежит в основе одного из наиболее широко распространенных методов наблюдения Ps в среде – временного распределения аннигиляционных фотонов (ВРАФ) [1-3,14]. Основное его достоинство заключается в высокой скорости набора экспериментальной информации и простоте ее анализа. Схема установки приведена на рис.3, а вид экспериментальной установки – на рис.4. Радиоактивный источник 1, обычно Na²² (T_½ =2,6 года) с интенсивностью частиц ~ (1-2) МБк, испускает позитроны, которые попадают в исследуемое вещество 2 и аннигилируют в нем. При помощи двух сцинтилляционных детекторов 3, 4 регистрируются гамма-квант с энергией 1.28 МэВ (старт – начало отсчета времени) перехода Na²² ® Ne²² + e⁺ + g  и один из гамма-квантов с энергией 0,511 МэВ, испущенных при аннигиляции позитрона (стоп-сигнал). (Позитрон и ядерный - квант (1,28 МэВ) испускаются практически одновременно с разницей < 10 ^–11 с). Оба детектора генерируют сигналы S₁ и S₂, которые привязаны во времени к испусканию соответствующих g – квантов. Таким образом, регистрация - кванта (1,28 МэВ) служит сигналом попадания позитрона в среду, а - квант (0,51 МэВ) свидетельствует о его гибели. Интервал времени между этими событиями измеряется с помощью системы блоков наносекундной электроники, включающей детекторы нуля во временных каналах, блоки амплитудного анализа, конвертор 5, преобразующий интервал времени в амплитуду сигнала. Спектр ВРАФ регистрируется многоканальным анализатором импульсов 6. Разрешающее время аппаратуры (полная ширина на полувысоте пика мгновенных совпадений от Co⁶⁰) современных установок (фирма «Ortec») составляет ~0,2 нсек. Пример спектра времени жизни позитронов в полиметилметакрилате (ПММА) показан на рис. 5. Он демонстрирует, что в полимерных материалах позитроны живут очень долго (до 16 нс и более), в то время как время жизни позитронов в кремнии лежит в диапазоне 0,2 – 0,3 нс.

Рис.3. Схема установки для измерения времени жизни позитронов

Наблюдаемый спектр является суперпозицией нескольких спектров с различными временами жизни и может быть представлен в виде

, (6)

где R(t,t₁) – приборная функция установки ВРАФ; n – число компонент в спектре; t_i – время жизни позитронов в веществе; A_i – доля позитронов с этим временем жизни. Полуширина (ширина на половине высоты) приборной функции для большинства современных установок лежит в диапазоне 0,2 – 0,3 нс. Обработка спектров на ЭВМ (как правило, пользуются программой PATFIT) позволяет определить времена жизни позитронов в веществе, лежащие в диапазоне 0,1 – 30 нс, и вероятности различных каналов аннигиляции позитронов (o-Ps, p-Ps, e⁺ и т.д.).

Рис.4 Вид экспериментального временного спектрометра Университета технологии (Хельсинки). (Reino Aavikko, Klaus Rytsölä, J. Nissilä, K. Saarinen. Helsinki University of Technology, Laboratory of physics, Finland)

Рис.5. Спектр времени жизни позитронов в ПММА

Метод УРАФ

Метод основан на измерении углового распределения аннигиляционных фотонов (УРАФ) [1-3,13-15]. При аннигиляции электрон-позитронной пары выполняется закон сохранения зарядовой четности и энергии и импульса. Из этого следует, что при 2g-аннигиляции покоящейся позитрон-электронной пары оба g – кванта разлетаются в противоположных направлениях (угол разлета равен 180°) с одинаковой энергией m₀c² == 0,511 МэВ g – квантов. Если же импульс пары p отличен от нуля, то углы (рис. 6) между направлениями разлета g – квантов будут отличаться от 180° на величину q (в лабораторной системе координат), а их энергия уже не будет равна 0,511 МэВ. Диапазон изменения угла q очень мал (меньше 1). Распределение счета двойных совпадений по углам q называют угловым распределением аннигиляционных фотонов (УРАФ). Если импульс пары p << m₀c, то угол q определяется соотношением

    , (7)

а доплеровское уширение DE аннигиляционной линии дается выражением

    . (8)

здесь p_^ и p_|| – поперечная и продольная составляющие импульса р, соответственно (рис.6).

Рис.6. Схема разлета g – квантов при двухквантовой аннигиляции электрон-позитронной пары, k и k₁ – импульсы g – квантов, p – импульс электрон-позитронной пары

Таким образом, измерение скорости счета совпадений g – квантов при 2g-аннигиляции в зависимости от угла q (отклонение угла разлета g – квантов от 180°)
или доплеровского уширения аннигиляционной линии (0,511 МэВ) DE_g позволяет определить импульс e⁺-e^– пар (или электронов, если импульс позитрона мал по сравнению с импульсом электрона).

Схема установки для измерения угловых распределений аннигиляционных фотонов представлена на рис.7 [1-3,14,15], а вид экспериментальный установки ИТЭФ – на рис.8. Позитроны из радиоактивного источника 1 попадают в исследуемое вещество 2 и аннигилируют там с испусканием двух g – квантов. Эти кванты разлетаются в разные стороны под некоторым углом друг к другу и регистрируются детекторами D₁ и D₂. Для проведения некоторых исследований используется позитронный конвертор 5, который помещается между источником позитронов 1 и исследуемым веществом 2. Входные окна 3 детекторов g – квантов D₁ и D₂ представляют собой щели с угловыми размерами q_y и q_z, расположенные параллельно друг другу и плоскости образца по разные стороны от образца (такая схема эксперимента называется параллельно-щелевая).

Рис.7. Схема измерения угловых распределений аннигиляционных фотонов

Рис.8. Вид экспериментальной установка УРАФ Института экспериментальной и теоретической физики им. А.И. Алиханова (Москва)

Условия, налагаемые на q_y и q_z, имеют вид

, , (9)

где Dp_y, Dp_z – разрешения установки по проекциям импульса p_y и p_z; m_e – масса электрона; c – скорость света; p_max – максимальная величина импульса электрона в веществе.

Число g – квантов, регистрируемых двумя детекторами одновременно (отбор таких случаев осуществляется схемой совпадений 4), описывается выражением

(10)

где A – нормировочная константа; n_e(p_x,p_y,p_z) – плотность распределения электронов по импульсам в исследуемом веществе. Учитывая условия (9), можно переписать (10) в виде

. (11)

Обычно в качестве УРАФ используется не N_c(q), а f(q) (вероятность); при этом выбирают нормировочную константу A в (12) и (13) такой, чтобы выполнялось условие нормировки

. (12)

На рис. 9 и 10 в качестве примера приведены спектры УРАФ необлученной пластины р-типа и необлученной пластин кремния р-типа с пористым слоем кремния на поверхности.

Таким образом, в параллельно-щелевой геометрии эксперимента число совпадений g – квантов представляет собой интеграл от импульсной плотности электронов по двум проекциям импульса электрона, параллельным плоскости исследуемого образца. Это дает возможность проводить исследования третьей проекции импульса электрона, перпендикулярной плоскости образца. В случае сферической симметрии импульсного распределения электронов из результатов экспериментов с

Рис.9. Угловые распределения аннигиляционных фотонов в монокристаллических образцах кремния: Si-монокристаллический, зеркальный, р-тип, ориентация <111>, КДБ – 10, h = 340 мкм): 1 – экспериментальная кривая УРАФ, 2,3 – параболическая и гауссова компоненты спектра соответственно. По оси абсцисс отложены номера каналов анализатора (цена канала 0,2 мрад), по оси ординат – счет двойных событий.

Рис.10. Угловые распределения аннигиляционных фотонов в пористых образцах кремния: Si – пористый; <111>; КДБ – 0,03; h = 360 – 370 мкм; HF:C₂H₅OH = 2: 1; пористость 45 % ± 3 %; (2 гаусса + парабола) (см. табл.1)): 1 – экспериментальный суммарный спектр (сумма спектров 2, 3, 4), 2 – параболическая составляющая спектра, 3 – первая гауссова составляющая спектра, 4 – вторая гауссова составляющая спектра. По оси абсцисс отложены номера каналов анализатора (цена канала 0,2 мрад), по оси ординат – счет двойных событий.

параллельно-щелевой геометрией можно определить плотность распределения электронов по импульсам [1-3]

, (13)

где p = qm_ec – импульс электрона.

Угловое разрешение современных установок достигает 0,3 мрад и менее при хорошей статистике (10⁴ - 10⁵ импульсов на точку в максимуме кривой f(q), что позволяет получить детальную структуру кривых УРАФ (см., например, [1, 2])). Кривые УРАФ могут содержать узкую и широкую компоненты. Узкая компонента обычно обязана своим происхождением медленным атомам парапозитрония, а широкая – аннигиляции свободных позитронов или позитрона o-Ps на электронах среды. При аннигиляции полностью термализованных атомов парапозитрония при комнатной температуре отклонение угла двух аннигиляционных g – квантов от 180° составляет всего q » 0,5 мрад, а для широкой компоненты q » 10 мрад Экспериментальные спектры хорошо описываются суперпозицией нескольких гауссовых функций, а в случае металлов добавляется параболическая составляющая. Каждая функция описывает определенный канал аннигиляции позитронов и характеризуется интенсивностью (вероятность аннигиляции) и дисперсией, однозначно связанной с энергией аннигилирующей пары.

Ниже рассматриваются методы определения размеров нанообъектов, их концентраций и химического состава среды, окружающей нанообъекты, по экспериментально измеряемым параметрам спектров ВРАФ и УРАФ для позитронов, аннигилирующих в пористых системах, дефектных материалах и наноматериалах и в полупроводниках типа германия и кремния, подвергнутых облучению различными элементарными частицами и - лучами, и других технически важных материалах на основе теоретических представлений, развитых в [18-24], и различные примеры их применений.

Определение размеров свободных объемов вакансий, пор, пустот в пористых системах, наноматериалах и дефектных материалах методом УРАФ

Обычно для расчетов размера пор используется простая модель, в которой полость моделируется сферической ямой с бесконечным потенциальным барьером радиуса . Позитрон и позитроний находятся в этой полости и аннигилируют в ней. При этом парапозитроний аннигилирует преимущественно на собственном электроне, а ортопозитроний и позитрон аннигилируют на электронах среды, окружающей полость. Чтобы обеспечить возможность pick-off-аннигиляции, постулируется, что в пограничной области размером происходит перекрытие волновых функций позитрона и позитрона, входящего в состав , с волновыми функциями электронов среды. При этом радиус свободного объема поры будет равен .

Простые квантовомеханические расчеты позволяют связать время жизни позитрона и ортопозитрония в полости с размером полости R₀
и [19]

(14)

В этой формуле нс [1-3] имеет смысл короткого времени жизни позитрона или спинусредненного времени жизни позитрония нс в объеме среды (вне поры или вакансии) [18-24].

Анализ аннигиляции в материалах с известными значениями радиусов пор в молекулярных твердых телах и цеолитах на основе уравнения (14) показал [19], что величина Ǻ. Вообще говоря, значение величины зависит от природы вещества. Поэтому уравнение (1) в нашем случае пористого кремния и кремния, облученного протонами, можно применить лишь для оценок размеров радиусов пор. Отметим, что ВРАФ спектроскопия оказалась особо эффективным методом определения размеров пор и микропор и раcпределения пор по радиусам в пористых системах (адсорбенты, цеолиты, молекулярные твердые вещества и т.д.) [6,18-24].

Применим ту же самую квантовую модель с целью получения связи между экспериментальными значениями ((full width half-maximum)) узкой компоненты УРАФ и радиусом свободного объема . В этом случае соотношение между и для парапозитрония () имеет вид [19]

, (15)

где , и выражаются в Ǻ и соответственно.

Используя уравнения (14), (15), можем оценивать радиусы свободных объемов в пористых системах, дефектных материалах и наноматериалах по измерению величин узкой компоненты методом УРАФ. Отметим, что в рассматриваемых нами случаях кремния и кварца для соотношения между и рационально использовать приближенную формулу [1]

, (16)

так как значение для кремния в случае в литературе не встречается. В формуле (16) – ширина узкой компоненты в спектрах УРАФ, определяемая движением центра масс парапозитрония.

Преимущество метода УРАФ по сравнению с методом ВРАФ заключается в том, что метод УРАФ дает ориентационные зависимости (вдоль направления измеряемых импульсов), в то время как метод ВРАФ дает средние значения величин . Но при этом на измерения спектров УРАФ затрачивается больше времени, чем в методе ВРАФ. Ниже приводятся данные по определению размеров нанообъектов и их концентраций методом УРАФ для пористого кремния, подложек кремния, облученных протонами, основе изложенных выше расчетных методов и экспериментальных данных, полученных ранее [2,3,15-17,25-31], и в ряде вновь проведенных экспериментов.

Определение радиусов пор и их концентраций в пористом кремнии

Данные табл. 2 и сравнение рис. 9,10 говорят о наличии пара - в пористом кремнии. Экспериментальные спектры УРАФ этого образца пористого кремния хорошо аппроксимируются параболой (I_p) и двумя гауссианами (I_g1, I_g2). В бездефектных же кристаллах кремния (рис. 9) и ряде пористых образцов [2] (см. также табл. 3) эти спектры представляются суперпозицией параболы и гаусса.

Аннигиляция позитронов, характеризуемая параболической компонентой, может быть объяснена аннигиляцией позитронов на электронах валентной зоны кремния.

Таблица 2

Параметры исследуемых образцов монокристаллического и пористого кремния, особенности их получения и характеристики спектров УРАФ

Примечание: h – толщина пластин кремния, <111> – их кристаллографическая ориентация, КДБ – 0,03 – марка пластин кремния, легированных бором с удельным сопротивлением 0,03 ом·см, Ig = S_gi/S_sum (i=1,2) – интенсивности гауссовых компонент, а I_P = S_p/S_sum- интенсивность параболической компоненты в спектрах УРАФ (S_sum-суммарная площадь экспериментального спектра УРАФ, а S_gi и S_p – соответственно площади гауссовых и параболической компонент в этом спектре). J – плотность тока. мрад, мрад, мрад – ширины гауссовых () и параболической компонент.

В свою очередь широкая гауссова компонента I_g1 обусловлена аннигиляцией позитронов и ортопозитрония по различным каналам в бездефектной части кристалла, объеме и на поверхности пор, а узкая гауссова компонента I_g2 – аннигиляционным распадом парапозитрония в объеме пор. Полная ширина этой компоненты на полувысоте составляет величину порядка мрад, что соответствует кинетической энергии аннигилирующей электрон-позитронной пары 0,044 эВ, ее интенсивность порядка 1,5 %; а общий выход позитрония при этом в пористом кремнии достигает величины 6 %. Для определения радиусов ловушек позитронов в пористом кремнии (пор) по ширине (см. табл. 2) использовали формулу (16). Для экспериментального значения мрад (см. выше) получили среднее значение радиуса пор Å нм.

Таблица 3

Параметры исследуемых образцов пористого кремния, особенности их получения и характеристики спектров УРАФ

    Примечание к таблицам: h – толщина пластин кремния, <111> – их кристаллографическая ориентация, КДБ – марки пластин кремния, легированных бором, Е и Ф – энергия и флюенс протонов, соответственно, (Г_g, мрад) – ширина гауссовской компоненты с интенсивностью Ig = Sg/ S_sum, а (Г_p, мрад) – угол отсечки для параболической компоненты с интенсивностью I_P = S_p/S_sum в спектрах УРАФ (S_sum-суммарная площадь экспериментального спектра УРАФ, а Sg и S_p – соответственно площади гауссовской и параболической компонент в этом спектре)

Рассмотрение кинетической схемы аннигиляционных распадов и превращения позитрона и позитрония в пористом слое дает возможность получить связь между их скоростью захвата порами и интенсивностью компоненты [25]

(17)

Здесь с^-1

- скорость аннигиляционного распада пара -. В свою очередь скорость аннигиляции позитрона может быть принята равной с^-1 [28], где – короткое время жизни позитрона в кристалле, а – соответствующая скорость аннигиляции. Подставляя значение (см. табл. 2) и с^-1 в формулу (17), получаем среднюю скорость захвата пара – порами с^-1.

Величина скорости захвата в свою очередь может быть определена на основе известного выражения

    ,      (18)

Здесь - среднее значение сечения захвата порами позитрония и позитрона; – скорость термализованного позитрония или позитрона; - средняя концентрация пор, чувствительных к термализованным объемным состояниям позитрония и позитрона. Таким образом, из приведенных выражений можно определить величины и , если известны такие параметры, как и . Средняя тепловая скорость позитрония при комнатной температуре оценивалась по формуле см/с, для позитрона см/с, где постоянная Больцмана, - эффективная масса парапозитрония, – эффективная масса позитрона, г – масса свободного позитрона. Предполагаем, что сечение захвата позитронов и позитрония порами равно значению геометрического сечения дефекта см².

Имея определенные значения см, и , определили по формуле (18) среднее значение концентрации центров захвата пара - в пористом слое кремния см^-3.

Далее при сопоставлении данных табл. 3 для пористого и монокристаллического образцов следует, что основная часть позитронов аннигилирует в пористом кремнии из позитронных состояний непозитрониевого типа в объеме пор. Будем считать, что такого типа позитронные состояния являются позитронами, локализованными в объеме пор таким же образом, как и атомы позитрония.

Из данных табл. 3, согласно [15,16,26], разность между интенсивностями гауссовой компоненты I_g(Oxidized), то есть окисленными пластинами кремния, и I_g(Not oxidized) (исходной неокисленной пластиной) в спектрах УРАФ, может быть записана в виде

ΔI_g = I_g(Oxidized) – I_g(Not oxidized) ~ , (19)

то есть среднее значение скорости захвата порами составляет величину

~ ΔI_g/, (20)

где (см. табл. 2). С этим значением по формуле (20) для значения с получаем с^-1.