Проблема группового управления объектами общего вида глобальная и актуальная для многих сфер жизни. Групповое управление роботами широко применяется для решения задач, связанных с обследованием крупных объектов и больших территорий, перевозкой или переработкой больших объемов разнородных грузов и т.п. Задача управления группой роботов значительно более сложная, чем управление одиночным роботом.

В данной работе рассматривается задача автономного (без участия оператора) маневрирования малотоннажных безэкипажных судов (МБС) с целью выхода на заданные параллельные курсы при старте из произвольных начальных условий. При этом один из объектов является «ведущим». Алгоритмы управления движением МБС получены на основе управления по выходу и воздействиям с учетом ограничений на ускорения МБС [1-3]. 
Уравнения движения МБС. Предположим, группа состоит из нечетного числа МБС. При  продольные оси всех МБС параллельны начальной траектории движения и совпадают с положительным направлением оси Оx. Ось Оz направлена вправо. Группа МБС движется в горизонтальной плоскости xOy. Эти движения описываются следующими уравнениями:

, , (1)
, , (2)

где  – отклонения координат и скоростей i-го МБС по соответствующим осям; m – масса, а , – коэффициенты МБС. Начальные условия:  м,  м, , ;  м/с, , ;  – число МБС в группе. Движение происходит на тихой воде.
В начале движения МБС должны переместиться на заданные, параллельные траектории, находящиеся на некоторых расстояниях друг от друга и далее некоторое время продолжать прямолинейное движение с одинаковой скоростью. В процессе установившегося движения МБС должны располагаться на заданных расстояниях от головного.
Для выполнения указанных движений МБС, каждый из них снабжается специальным двухканальным устройством управления (УУ), реализующим управление по выходу и воздействиям для каждого канала МБС с необходимым порядком астатизма. 
УУ продольного движения. В соответствии с определением управления по выходу и воздействиям, уравнение искомого УУ всегда берется сначала, как уравнение двумерного УУ. В данном случае возмущение, пропорциональное квадрату скорости МБС, не измеряется, поэтому уравнение УУ берется в виде

, (3)

где  – управление, задающее воздействие и выходная (управляемая) переменные замкнутой системы управления; – начальные значения управления, задающего воздействия и управляемой переменной;  – полиномы, степени и коэффициенты которых определяются, исходя из требований к астатизму, быстродействию, перерегулированию и колебательности системы, а также условий физической реализуемости УУ [1-4]. 
Обозначим  степень некоторого полинома . Тогда условия реализуемости УУ (3) можно записать следующим образом:

, , (4)

где – относительный порядок УУ, определяемый техническими средствами, на основе которых предполагается его реализация [4, с. 317].
При движении в установившемся режиме с постоянной скоростью вдоль оси Ox всех рассматриваемых МБС выходные переменные  их систем управления по каналам , т.е. координаты , является линейными функциями времени, . Поэтому для обеспечения заданного расстояния между отдельными МБС, порядок астатизма их систем управления по координате  должен быть равным двум, т.е. .
На основе (1) запишем уравнение канала  МБС в операторной форме

, (5)

где . Уравнение канала  замкнутой системы (3), (5), очевидно, имеет вид

, (6)

где

. (7)

– задающее воздействие по координате  i-ого МБС.
Так как по  необходимо обеспечить второй порядок астатизма, то примем , тогда из условий (4) при  следует, что . По (6), (7) степень полинома  замкнутой системы . Полиномы  и  определяются решением полиномиального уравнения (7) при , где – назначенный по требованиям к качеству системы полином. Уравнению (7) соответствует линейная система из алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются коэффициенты полиномов  и . Число этих коэффициентов равно . Так как , т.е. . Указанная линейная система из  уравнений будет иметь решение, если выполняется условие . Отсюда следует, что .
В соответствии с применяемым аналитическим методом синтеза, по известным таблицам выбираются коэффициенты  стандартной передаточной функции (СПФ) [4, с. 408-409]. В случае астатизма второго порядка при  перерегулирование равно 10%, при стандартных коэффициентах: , , , , . Коэффициенты ,  характеристического полинома  вычисляются по формулам , , где , где – желаемая длительность переходных процессов в проектируемой системе по каналу ; – длительность переходного процесса в системе, со СПФ. Значение  также указывается в таблицах СПФ. В рассматриваемом случае  с.
Итак, величина , а коэффициенты полинома  равны , ; ; ; . С учетом указанных выше степеней полиномов  и , положим , а . Тогда согласно уравнению (7) при  соответствует следующая система линейных уравнений:

. (8)

Решение системы (8) с учетом указанных выше выражений для коэффициентов , приводит к следующим выражениями для полиномов  и  из уравнения УУ (3) по каналу :

; . (9)

В соответствии с условиями астатизма второго порядка к задающему воздействию (в данном случае это ) необходимо, чтобы два коэффициента полинома  в уравнении замкнутой системы (6) были равны двум последним коэффициентам полинома , т.е. . Отсюда следует, что , т.е. с учетом (8) и (9) полином .
Подставляя найденные полиномы в уравнение (3) и принимая во внимание, что в канале  , , а , получим уравнение искомого УУ:

, . (10)

В данном случае уравнение УУ с двумя входами (3) перешло в уравнение одномерного УУ с управлением по отклонению. Это обусловлено тем, что рассматриваемые МБС с уравнениями (1), (2), фактически, являются чистыми интеграторами. 
Для построения алгоритма управления перейдем к уравнениям в переменных состояния (предварительно умножив обе части (10) на ). Применяя соотношения канонической наблюдаемой формы, будем иметь:

, , , . (11)

Из уравнений (11) следует, что желаемая длительность переходных процессов  является параметром данного УУ. Изменяя значения  можно изменять максимальные перегрузки (ускорения), которые будут возникать при резком изменении скорости продольного движения МБС.
Управление поперечным движением МБС. Имея в виду тот же метод синтеза, что и выше, примем порядок астатизма системы к задающему воздействию в данном случае равным единице, т.е. , а . Уравнение поперечного движения (2) в операторной форме имеет вид аналогичный уравнению (5). Примем, что искомое УУ и в этом случае описывается уравнением (3) с соответствующими заменами переменных и обозначений полиномов. Поэтому уравнение замкнутой системы и выражения для характеристического полинома , также аналогичны выражениям (6), (7), причем в соответствии с уравнением (7) .
Полиномы  и  из уравнения УУ по координате , которое аналогично (3), определяются решением полиномиального уравнения

, (12)

которое аналогично уравнению (7). Здесь – полином, назначенный по требованиям к качеству системы управления по координате  i-го МБС. Линейная система, соответствующая уравнению (12), содержит, очевидно,  алгебраических уравнений и неизвестных коэффициентов. В данном случае примем величину , поэтому, полагая , найдем . Тогда из условия выводим . При этом , , а, т.е. .
В соответствии с таблицами коэффициентов стандартных передаточных функций астатизм первого порядка при  можно обеспечить без перерегулирования, при стандартных коэффициентах: , , ,  и . Вычисляя коэффициенты ,  желаемого характеристического полинома  по той же, что и выше формуле , где , получим: , ; ; . Так как , то положим , а . Тогда полиномиальному уравнению (12) будет соответствовать система [4, с. 319]:

. (13)

Решение системы (13) с учетом выражений для коэффициентов  дает:

; . (14)

В соответствии с условием астатизма первого порядка на коэффициенты полиномов замкнутой системы, в данном случае должно выполняется условие. Отсюда выводим . Наконец, подставляя найденные полиномы в уравнение (3), получим уравнение УУ по координате  i-го МБС: 
, . (15)
где – заданное значение координаты  i-го МБС. 
Уравнению вход-выход (15) УУ i-го МБС соответствуют следующие уравнения в переменных состояния:

,

, . (16)

Таким образом, системы управления плоским движением каждого МБС включают по два УУ, которые описываются уравнениями (11) и (16). С целью изучения свойств этих систем проводилось их компьютерное моделирование при следующих условиях , начальные значения координат по оси x:, м/с; по оси z: , , . 
В результате решения поставленной задачи с использованием программного пакета MatLAB были получены графики траекторий движения МБС.
Выход на заданные курсы с ведущим с последующим отставанием по координате х ведомых МБС от ведущего (2-го МБС) на заданное расстояние (движение «клином»). В этом случае:  м,  м,  м;  м;  м;  м;  м,  м, м. Заданное расстояние . Траектории МБС по оси xOz в этом случае при  и  приведены на рис. 1,б. На рисунке хорошо видно, что в установившемся режиме ведомые 1-й и 3-й МБС отстают от ведущего 2-го МБС на заданное расстояние.

а) б)
Рис. 1. Движение с ведущим – 2-м МБС при  и 

Заключение. По результатам проведенной работы можно сделать вывод, что синтез устройств управления движением МБС целесообразно осуществлять аналитическим методом синтеза систем с управлением по выходу и воздействиям. Данный метод позволяет проектировать системы управления с желаемыми показателями качества как в установившемся, так и в переходном режиме. В дальнейшем предполагается изучить поведение группы МБС в других режимах.

1. Гайдук А.Р., Каляев И.А., Капустян С.Г. Модели и алгоритмы коллективного управления в группах роботов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 280 с. – ISBN 978-5-9221-1141-6.
2. Гайдук А.Р., Плаксиенко Т.А. Синтез автономных и связных многомерных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление, № 1, 2012. С. 13-20.
3. Гайдук А.Р. Плаксиенко Е.А. Синтез динамических систем по требуемым показателям качества // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 4. С. 7-12.
4. Гайдук А.Р., Беляев В.Е., Пьявченко Т.А. Сборник задач с решениями на ЭВМ по теории автоматического управления: Учебное пособие / Под ред. д.т.н., проф. А.Р. Гайдука. – Таганрог: Изд-во Технологического института ЮФУ, 2007. – 466 с.

Все статьи автора «Мельниченко Александра Сергеевна»