Введение понятия производной в школьный курс математики до сих пор вызывает споры между методистами. Одни считают, что производную достаточно изучать только в вузе, другие считают ее введение необходимым. Так, например, Мордкович А.Г. считает, что функциональная линия должна быть ведущей при обучении математике в школе. Вне зависимости от этих разногласий учитель стоит перед необходимостью учить детей элементам анализа. Пропедевтика математического анализа начинается в средней школе, а ключевое понятие математического анализа «производная», вводится в курсе средней школы [3].
Все вышеизложенные противоречия между специалистами, в частности, связаны со сложностями учащихся в усвоении школьниками понятия производной . Для того чтобы овладеть производной учащимся необходимо иметь хорошие представления о бесконечно малых и больших величинах, пределе, приращении функции, дифференцировании и др.
Наше исследование связано с изучением сложившихся тенденций в обучении решению задач, связанных с производной функции в старшей школе и разработки комплекса заданий, способствующих помочь учащимся, учителю в сдаче Единого государственного экзамена.
Для того, чтобы составить представление о типах задач на применение производной в базовом уровне ЕГЭ по математике обратимся к открытому банку заданий Федерального Института Педагогических Измерений (ФИПИ) [1], так как именно он является первоисточником всех заданий ЕГЭ, все остальные, представленные в очень большом количестве электронные и бумажные издания, интернет сайты и так далее составлены на основе именно этого интернет ресурса.
Открытый банк заданий базового уровня ЕГЭ по математике содержит разделы:
- алгебра;
- уравнения и неравенства;
- функции;
- начала математического анализа;
- геометрия;
- элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.
Задания на применение производной представлены в двух разделах: функции и начала математического анализа, причем какой-то системы по их размещению нет.
Мы полагаем, что для эффективного обучения решению этих задач необходимо разбить их по типам в соответствии с темами, способами решения и необходимыми знаниями для решения.
Для лучшего обзора представим основные типы задач с применением производной в виде таблицы 1.
Таблица 1- Основные типы задач с применением производной
Уровень |
Базовый |
Профильный |
|
№ задания |
14 |
В8 |
В12 |
Типы задач
|
Задания на характеристики функции и производной |
Задания на определение по графику производной функции свойств функции. |
Задания на нахождение точек экстремума функции |
Задания на определение значения производной функции в точке |
Задачи на определение по графику функции свойств или значений производной |
Задания на нахождение наименьшего и наибольшего значений функции |
|
Задания на нахождение по графику функции, с проведенной касательной к точке графика значения производной в этой точке |
|||
Задания на определение по графику функции свойств касательной |
|||
Задания на механический смысл производной функции |
Проверяемые требования (умения) в заданиях В8 по кодификатору:
- Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
- Описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
- Строить графики изученных функций;
- Вычислять производные и первообразные элементарных функций;
- Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций.
Рассмотрим некоторые примеры задач.
- Подготовка к решению задачи 14 базового уровня
Пример 1. На рисунке 1 изображен график функции и отмечены точки -6, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Рисунок 1
Алгоритм решения задач на определение значения производной в точке по графику
- Определить в каких точках графика касательная возрастает
- Распределить данные в ответе положительные значения по правилу: чем «круче возрастает касательная», тем больше значение
- Определить в каких точках графика касательная убывает
- Распределить данные в ответе отрицательные значения по правилу: чем «круче убывает касательная», тем меньше значение
- В точках, в которых касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, значение производной равно нулю
- Геометрический смысл производной
Пример 2. Найдите значение параметра, при котором прямая будет являться касательной к графику функции .
Решение представлено рисунке 2.
Рисунок 2 – Решение примера 2
Алгоритм решения задачи с параметрами на геометрический смысл производной
- Найти производную функции
- Найти угловой коэффициент касательной по ее уравнению
- Найти абсциссу точки касания, для этого решить уравнение
- Подставить, найденное значение в уравнения касательной или функции и найти значения параметров
- Физический смысл производной функции
Пример 3. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите расстояние, пройденное точкой от начала движения до остановки.
Решение. Найдем момент времени, когда скорость точки равна нулю. Так как , то из уравнения находим . Тогда искомое расстояние равно (м).
Ответ: 25 м.
Таблица 2 – Алгоритм решения задачи на физический смысл производной
1. Определить, что надо найти в задаче |
||
Расстояние от начала движения |
Скорость |
Время |
2. Найти производную функции |
||
3. Найти время остановки, для этого решить уравнение 4. Подставить найденное значение в |
3. Подставить значение в |
3. Подставить значение в 4. Решить уравнение, найти t |
- Промежутки монотонности
Пример 4. На рисунке 3 изображен график функции , определённой на интервале (—1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Рисунок 3
Алгоритм решения задачи на нахождение по графику функции количества целых точек, в которых производная положительная (отрицательная, равна нулю)
- Если необходимо найти точки, в которых производная положительная, выбрать из указанных на графике точек те, в которых функция возрастает;
- Если необходимо найти точки, в которых производная отрицательная, выбрать из указанных на графике точек те, в которых функция убывает;
- Если необходимо найти точки, в которых производная равна 0, выбрать из указанных на графике точек те, в которых функция имеет экстремум.
- Посчитать количество этих точек.
- Точки экстремума
Пример 5. На рисунке 4 изображен график функции , определенной на интервале (-6;8). Найдите: а) количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = -1000000; б) сумму точек экстремума функции .
Рисунок 4
Алгоритм решения задания на точки экстремума (точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямым вида )
- Найти точки экстремума функции (экстремум –это абсцисса );
- Выбрать те, которые принадлежат указанному интервалу
- Если необходимо сложить их значения
- Промежутки монотонности
Пример 6. На рисунке 5 изображен график - производной функции , определенной на интервале (—1; 13). Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Рисунок 5
Алгоритм решения зада на нахождение промежутков возрастания (убывания) функции по графику производной
- Если необходимо найти промежутки возрастания функции, то на графике производной ищем промежутки, в которых производная положительная, то есть график расположен выше оси абсцисс
- Если необходимо найти промежутки убывания функции, то на графике производной ищем промежутки, в которых производная отрицательная, то есть график расположен ниже оси абсцисс
- Находим сумму целых значений x из этих промежутков, либо находим длину наибольшего (наименьшего) из промежутков, либо количество этих точек.
Анализ школьных учебников, учебных пособий и научно-методической литературы по проблеме исследования показал, что несмотря на то, что теоретические знания и практические умения на тему производной необходимы для решения одной задачи базового и двух задач профильного уровня в школьной литературе не только нет выделенного блока таких заданий, но и вообще отсутствуют прототипы некоторых заданий, что в свою очередь затрудняет подготовку к ЕГЭ.
В открытом банке задания на производную ФИПИ расположены в хаотичном порядке, их изучение позволило нам разделить их на типы по содержанию и способу решения.
Подробный разбор каждого типа заданий на производную, позволил выделить различные приемы и способы решения задач на производную, а также выявить в них «подводные камни», «задачи-ловушки» и так далее.
Изучение элементов математического анализа в школе имеет несомненную важность в развитии представлений учащихся о структуре математики и ее приложений. Именно приложения производной, ее геометрическое и механическое толкования и являются принципиальными при формировании содержания задач ЕГЭ. Это вопросы применения производной в исследовании функций, в прикладных задачах и определение по графику производной свойств функции, а также обратная задача.
Систему упражнений для подготовки к ЕГЭ рекомендовано строить так, чтобы она способствовала систематизации основополагающих понятий, давала новое видение изученного материала и его качественное усвоение.
В нашей работе мы выделили основные типы задач, содержащихся в открытом банке заданий ФИПИ ЕГЭ, обратили внимание на сложности в их решении, рассмотрели требования ФГОС и ЕГЭ, провели анализ учебных пособий и задач ЕГЭ по математическому анализу, составили систему задач, дающую представление учащимся и учителю, о предлагаемых задачах на ЕГЭ. Таким образом, задачи исследовательской работы выполнены.
Библиографический список
- Федеральный институт педагогических измерений [Электронный ресурс] URL: http://www.fipi.ru/. Режим доступа: (Дата обращения: 9.06.2016).
- Стандарты образования. Электронный журнал об образовании и воспитании [Электронный ресурс] URL: http://www.edustandart.ru. Режим доступа: (Дата обращения: 19.05.2016).
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы./Задачник для общеобразовательных учреждений /- 8-е изд., стер. – М., Мнемозина,- 2007. – С315.
- Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: концептуальная методика, рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи /- М., Школа-Пресс, -1999. – С272.
- Стандарты образования. Электронный журнал об образовании и воспитании [Электронный ресурс] URL: http://www.edustandart.ru. Режим доступа: (Дата обращения: 19.05.2016).